Hệ phương trình vi phân cấp 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1... Cách khử cho hệ 2 pt tuyến tính1... PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT X’ = AX + Ft A chéo hóa được... Cấu trúc nghiệm hệ tt không thuần nhất... Các n

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

BÀI TOÁN CAUCHY

x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn)

………

xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn) Tìm nghiệm hệ

Thỏa điều kiện

PHƯƠNG PHÁP KHỬ

' '( ) 2' '( ) 3

B 1 : xây dựng một ptvp cấp n theo 1 hàm chọn trước.

B 2 : giải ptvp cấp n vừa tìm được và rút về hệ với (n – 1)

hàm

Vd:

(1) (2)

Cách khử cho hệ 2 pt (tuyến tính)

1 Lấy đạo hàm pt (1) theo t được (3)

2 Thay y’ từ pt (2) vào (3) được (4)

Nếu xuất phát từ pt (2), ta có pt cấp 2 theo y

HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG

1( )( )

f t

f tX’(t) = AX(t) + F(t)

PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT

X’ = AX + F(t) A chéo hóa được

( )( )

X = PY

giải

Y

1 2

2(1)

1(1) ⇔ Y′ = DY P F t+ − ( )

1 2 2

PPTRỊ RIÊNG TÌM NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT

'( ) ( )'( ) ( )

'( ) ( )

λ λ λ

( ) ( ) ( )

1 2

'( ) ( )

λ λ λ

Định lý : Hệ X’ = AX(t), ma trận A có n giá trị riêng thực λ1, λ2 … λn (kể cả trị riêng bội), và n vector riêng P1, P2 , … , Pn độc lập tuyến tính

⇒ Nghiệm tổng quát của pt thuần nhất:

λ λ

1(A − λ I P) = 0

1 2 3

1 1 2

2 2 4

ppp

 

 ÷

=  ÷ ÷

 

Cấu trúc nghiệm hệ tt không thuần nhất

PP biến thiên hằng số tìm X r

Xr = C1(t)X1 + …+ Cn(t)Xn

C’1(t)X1 + …+ C’n(t)Xn = F(t)

Ci tìm từ hệ pt:

1 2

2(1)

λ = =  ÷  

Các nghiệm đltt của hệ thuần nhất

tF

Hệ viết lại theo y1, y2

t

te

15