Hệ phương trình vi phân cấp 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP ĐỊNH NGHĨA F1(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = Hệ tổng qt … Fn(t,x1,x2,…, xn, x1’,x2’,…,xn’) = x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn) Hệ tắc … xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn) t : biến x1, x2 , …, xn : ẩn hàm BÀI TỐN CAUCHY Tìm nghiệm hệ x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn) ……………………… xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn) x1(t0) = α1 Thỏa điều kiện ………… xn(t0) = αn Hệ n ptvp cấp tương đương ptvp cấp n nên hệ nghiệm có n số tự PHƯƠNG PHÁP KHỬ B1: xây dựng ptvp cấp n theo hàm chọn trước B2: giải ptvp cấp n vừa tìm rút hệ với (n – 1) hàm Vd:  x ' = x '(t ) = y + e t  t  y ' = y '(t ) = − x + 3y − e (1) (2)  y′′ = − x '+ 3y '− e t  y′′ = −2 y − e t + 3y '− e t (3) ⇒ ⇒ t t  x ' = y + e  x ' = 2y + e (3) ⇔ y "− 3y '+ y = −2e t t Tt cấp hệ số 2t ⇔ y = C1e + C2e + 2te t (2) ⇒ x = − y '+ 3y − e t t = − C1e − 2C2e 2t t t 2t t −2(t + 1)e + 3(C1e + C2e + 2te ) − e t 2t = 2C1e + C2e + (4t − 3)e  x = 2C1et + C2e t + (4t − 3)e t  t 2t t  y = C1e + C2e + 2te t t Cách khử cho hệ pt (tuyến tính)  x ′ = a1x + b1y + f1 (t )   y ′ = a2 x + b2 y + f2 (t ) (1) (2) Lấy đạo hàm pt (1) theo t (3) Thay y’ từ pt (2) vào (3) (4) Rút y từ (1) thay vào (4) Pt kết pt cấp theo ẩn hàm x biến t Nếu xuất phát từ pt (2), ta có pt cấp theo y HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP HỆ SỐ HẰNG X’(t) = AX(t) + F(t)  x1′ (t )   M ÷  ÷  x′ ( t ) ÷  n   x1 (t )   M ÷  ÷  x (t) ÷  n   f1 (t )   M÷  ÷  f (t) ÷ n  (Hệ ẩn hàm )  a11 L A =L L  a  n1 L a1n  L ÷: ma trậ n vuô ng cấ pn ÷ ann ÷  Ví dụ  x ' = x '(t ) = y + e t 1/  t y ' = y '( t ) = − x + y − e   x(t )  X( t ) =  ÷ y ( t )    et  F( t ) =   −e t ÷ ÷    2 A = ÷ −    x ' = x + y + 2z + t + sin t  2 / y ' = 2x + 4y + z + t  t z ' = y − z + e − ln t   t + sin t  1   ÷  ÷ ⇔ X ( t ) = X( t ) +  t , ÷  ÷  −2 ÷  et − ln t ÷      x(t )   ÷ X( t ) = y ( t )  ÷  z( t ) ÷   PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHƠNG THUẦN NHẤT A chéo hóa X’ = AX + F(t) ⇔ X’ = PDP-1X + F(t) ( ⇔ ∃ P: P-1AP = D (chéo) ) Đặt Y = P-1X: ⇔ P-1X’ = DP-1X + P-1F(t) ⇔ Y’ = DY + G(t)  y1′  λ1 K   y1   g1 (t )   y′   λ K   y   g ( t )   2=  2 +            ′       yn   0 K λn   yn   gn (t )  PPTRỊ RIÊNG TÌM NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT X’(t) = AX(t) ⇔ Y’ = DY  y1 '   λ1 K   y1  y '  λ K  y   =  2             y n '  0 K λn   y n   y1 '(t ) = λ1y1 (t )  y '(t ) = λ y (t )  2 ⇔   yn '(t ) = λn yn (t )  y1 '(t ) = λ1y1 (t )  y '(t ) = λ y (t )  2 ⇔   yn '(t ) = λn yn (t ) n  y1 ( t ) = c1eλ1t  λ2 t  y ( t ) = c 2e ⇔   λn t  y n ( t ) = c ne ⇒ X = PY = ∑ c k e Pk { Xk = e k =1 λk t λk t (Pk cột thứ k P) } Pk , k = 1, , n : hệnghiệ mđltt củ a hệthuầ n nhấ t Định lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A có n giá trị riêng thực λ1, λ2 … λn (kể trị riêng bội), n vector riêng P1, P2 , … , Pn độc lập tuyến tính ⇒ Nghiệm tổng qt pt nhất: n X ( t ) = [ x1 ( t ) , x ( t ) , K , xn ( t ) ] = ∑ c k e Pk T k =1 λk t Vd:  x1′ = x1 + x + 2x 1 2   x′2 = x1 + x + 2x ⇔ X′ =  1 ÷X  ÷  x′ = x + x + x  2 4÷  3   1− λ A − λI = 1− λ λ1 = ⇔ λ2 = 2 4−λ A = λ (6 − λ ) =  1   p1   ÷  ÷ ⇔ 1 p =0 ( A − λ1I)P =  ÷ ÷  2 ÷ p ÷     1  2 Chọn vector riêng: P1 =  −1÷, P2 =  ÷  ÷  ÷  0÷  −1÷       p1   −5  ÷  ÷ ( A − λ2I)P = ⇔ −5 p2 =  ÷ ÷  2 −2 ÷ p ÷ 1     Chọn VTR: P3 =  ÷  ÷  2÷   λ1t λ1t λ2 t X1 = e P1, X2 = e P2 , X3 = e P3 = e6 tP2 ⇒ X = ∑ Ck Xk k =1  1  2 1 0t  0t  6t  ÷ ÷ ÷ = C1e −1 + C2e + C3e  ÷  ÷  ÷  0÷  −1÷  2÷       6t    x1  C1 + 2C2 + C3e  ÷ 6t  ÷ ⇔ x =  −C1 + C3e ÷  ÷  x ÷  6t ÷ ÷    −C2 + 2C3e  Cấu trúc nghiệm hệ tt khơng X = X0 + Xr X0 : nghiệm tổng qt hệ pt X’(t) = AX(t) (1) Xr : nghiệm riêng hệ pt khơng Cấu trúc nghiệm tổng qt hệ X0 = C1X1 + C2X2 + …+ CnXn { Xk , k = 1, ,n }: hệ nghiệm độc lập tuyến tính (1) PP biến thiên số tìm Xr Xr = C1(t)X1 + …+ Cn(t)Xn Ci tìm từ hệ pt: C’1(t)X1 + …+ C’n(t)Xn = F(t) Ví dụ  x1′ = x + et (1)  t  x′2 = − x1 + 3x − e Hệ nhất:  x1′ = x (2)   x′2 = − x1 + 3x  2 A = , ÷  −1   et  F( t ) =   −e t ÷ ÷   Trị riêng VTR A:  2  1 λ1 = 1, P1 =  ÷, λ1 = 2, P2 =  ÷,  1 1 Các nghiệm đltt hệ t  2 t  1 X1 = e  ÷, X = e  ÷ 1  1 Nghiệm tổng qt hệ t  2 t  1 X0 = C1X1 + C2 X2 = C1e  ÷+ C2e  ÷ 1  1 Tìm Xr pp biến thiên số: Trong X0 xem C1 C2 hàm cố theo t Tìm C1 C2 từ hệ: C’1(t)X1 + …+ C’n(t)Xn = F(t) t   e t  2 t 1 ⇔ C1′ e  ÷+ C′2e  ÷ =  ÷ 1 1  −et ÷  C1′ 2et + C′2e t = e t ⇔ t 2t t ′ ′ C1e + C2e = −e C1 (t ) = 2t Chọn:  −t C2 (t ) = 3e C1′ = ⇔ −t C′2 = −3e t  2 t  1 X0 = C1X1 + C2 X2 = C1e  ÷+ C2e  ÷ 1  1 C1 (t ) = 2t  −t C2 (t ) = 3e ⇒ Xr = C1 (t ) X1 + C2 (t ) X Nghiệm tổng qt: t  2 − t t  1 = 2te  ÷+ 3e e  ÷ 1  1  4te t + 3et  = ÷  2te t + 3et ÷   X = X0 + Xr Ví dụ  x1′ (t ) = 3x1 + x + e t   x′2 (t ) = x1 + x + t   F =  2t +  A =  3t ÷ ÷    4 Chéo hóa A  1  −1  / −1 /   0 P= P = D= ÷ ÷ ÷  −1  1/ 1/   5 Đặt :  y1   / −1 /   x1  Y = P X ⇔  ÷=  ÷  ÷  y2   / /   x2  −1  et − t  t  / − /    e 3÷ −1 P F= ÷  ÷=  ÷  / /   t   et + t ÷ 3 3 Hệ viết lại theo y1, y2 Y′ = DY + P −1F  et − t   y1′   2y1   3÷ ⇔  ÷=  + ÷ ÷  y′2   5y   et + t ÷ 3 3  y′ = y + e t − t  3 ⇔ t t  y′2 = 5y + e +  3  y = − et + t + + C e2t  12 ⇒  y = − e t − t + + C e5 t  12 15 75 ⇒ X = PY  x1   1   y1  hay  ÷ =  ÷  ÷  x   −1   y  ...  1 1 = 1, P1 =  ÷, 1 = 2, P2 =  ÷,  1 1 Các nghiệm đltt hệ t  2 t  1 X1 = e  ÷, X = e  ÷ 1  1 Nghiệm tổng qt hệ t  2 t  1 X0 = C1X1 + C2 X2 = C1e  ÷+ C2e  ÷ 1  1 ... nghiệm hệ x1’ = f1(t,x1,x2,…, xn) ……………………… xn’ = fn(t,x1,x2,…, xn) x1(t0) = 1 Thỏa điều kiện ………… xn(t0) = αn Hệ n ptvp cấp tương đương ptvp cấp n nên hệ nghiệm có n số tự PHƯƠNG PHÁP KHỬ B1:... 1  1   y1  1  x1  Y = P X ⇔  ÷= P  ÷  y2   x2  1 t   t   2e  1 e 1 P F( t ) =  =  t ÷ ÷ ÷  −3et ÷  1   −e ÷    1 (1) ⇔ Y′ = DY + P F(t ) t   ′ y y e  1