Đề thi Toán thanh hóa

www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THANH HÓA NĂM HỌC 2014 - 2015 Đề có 10 câu 01 trang Môn thi: TOÁN co m Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − x − a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để phương trình x − x = m + có nghiệm phân biệt a) Giải phương trình: cos x + sin x − = N Câu (1,0 điểm) b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (2 − i )(1 + i ) + z = − 2i Tính môđun z HV Câu (0,5 điểm) Giải bất phương trình: 3.9 x − 10.3 x + ≤  x y + x + = x x y + Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  ( x, y ∈ R ) 2  y ( x − 1) + y ( x − 2) + y + = π AT Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ( x + cos x) sin xdx Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết AC = 2a, BD = 4a , tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AD SC w M Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm E(3; 4), đường thẳng d : x + y − = đường tròn (C ) : x + y + x − y − = Gọi M điểm thuộc đường thẳng d nằm đường tròn (C) Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) (A, B tiếp điểm) Gọi (E) đường tròn tâm E tiếp xúc với đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn (E) có chu vi lớn ww Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;3;2) , đường thẳng x +1 y − z d: = = mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = Tìm tọa độ giao điểm d −1 −2 với (P) viết phương trình mặt cầu (S) qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P) Câu (0,5 điểm) Gọi M tập hợp số tự nhiên gồm chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ M, tính xác suất để số chọn có chữ số lẻ chữ số đứng hai chữ số lẻ (các chữ số liền trước liền sau chữ số chữ số lẻ) Câu 10 (1,0 điểm) Cho x, y, z số thực thỏa mãn − − 2 < x < −1 + 2 , y > 0, z > x + y + z = −1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1 + + 2 ( x + y) ( x + z) − ( y + z)2 HẾT -www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 THPT NĂM 2015 THANH HÓA Môn thi: TOÁN Câu Câu (2,0 điểm) Nội dung a) (1,0 điểm) 1) Tập xác định : D = R 2) Sự biến thiên: a, Giới hạn : lim y = +∞ ; lim y = +∞ x→−∞ x→+∞ b, Bảng biến thiên: y’ = x − x , y’ = ⇔ x = 0, x = ±1 x -∞ -1 y' + 0 +∞ -3 N co m ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM 0,25 +∞ + +∞ HV y Điểm 0,25 AT -4 -4 Hàm số đồng biến khoảng (- 1; 0) (1;+∞) , hàm số nghịch biến khoảng (−∞;−1) (0; 1) Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = y(0) = - Hàm số đạt cực tiểu x = ± , yCT = y( ± ) = - 3) Đồ thị: Đồ thị (C) hàm số nhận Oy làm trục đối xứng, giao với Ox điểm ( ± ; 0) 0,25 M y ww w − −1 O Câu (1,0 điểm) x 0,25 −3 −4 b) (1,0 điểm) Ta có x − x = m + ⇔ x − x − = m (1) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C) đường thẳng y = m Theo đồ thị ta thấy đường thẳng y = m cắt (C) điểm phân biệt − < m < −3 Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt m ∈ (−4;−3) a) (0,5 điểm) cos x + sin x − = ⇔ 2(1 − sin x) + sin x − = ⇔ sin x − sin x + = www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam co m N Câu (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điều kiện: x y ≥ −2 Gọi hai phương trình (1) (2) (2) ⇔ x y + x y = y − y + y − + 3( y − 1) ⇔ ( x y ) + x y = ( y − 1)3 + 3( y − 1) (3) HV Câu (0,5 điểm) π    x = + k 2π sin x = (lo¹i) ⇔ (k ∈ Z) ⇔  x = 5π + k 2π sin x =   b) (0,5 điểm) Đặt z = a + bi , ( a, b ∈ R ), z = a − bi Theo ta có (2 − i )(1 + i ) + a − bi = − 2i ⇔ a + + (1 − b)i = − 2i a + = a = Do z = + 3i , suy z = 12 + 32 = 10 ⇔ ⇔ 1 − b = −2 b = x Đặt t = (t > 0) Bất phương trình cho trở thành 3t − 10t + ≤ ⇔ ≤ t ≤ 3 Suy ≤ x ≤ ⇔ −1 ≤ x ≤ Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [−1;1] 0,25 Xét hàm số f (t ) = t + 3t có f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R Do (3) ⇔ f ( x y ) = f ( y − 1) ⇔ x y = y − 1, ( y ≥ −1) 0,25 AT Thế vào (1) ta x y + x + = x y + M ⇔ x ( y + 1) − x y + + = ⇔ ( x y + − 1) = ⇔ x y + = Do hệ cho tương đương với x y + x =  y = − x  x y + =   ⇔  x y = y − ⇔  x (2 − x ) + x = (4)   x y = y − x > x >   2 (4) ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) − x = ⇔ ( x − x − 1)( x + x − 1) = 0,25 w  1± x = − 1+ 1+ Do x > nên x = x = ⇔ 2  −1 ± x =  1+ 1− −1+ 1+ ⇒y= Với x = ⇒y= 2 2 1+ 1−   −1 + 1+   , ( x; y ) =   Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) =  ; ;    2 2     ww Với x = Câu (1,0 điểm) π π π π 2 2 0 I = ∫ x sin xdx + ∫ cos x sin xdx Đặt I1 = ∫ x sin xdx, I = ∫ cos x sin xdx u = x du = dx Đặt  ⇒ ⇒ I1 = − x cos x dv = sin xdx v = − cos x π π 2 0,25 0,25 π π + ∫ cos xdx = sin x π =1 0,25 π cos3 x I = ∫ cos x sin xdx = − ∫ cos xd (cos x) = − = 3 0 www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 B O AB a 15 = 2 1 = AC.BD = 2a.4a = 4a 2 +) SH = C E S ABCD co m H N Câu (1,0 điểm) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Vậy I = + = 3 Gọi O = AC ∩ BD , H trung điểm S AB, suy SH ⊥ AB Do AB = ( SAB ) ∩ ABCD ) ( SAB ) ⊥ ( ABCD) nên SH ⊥ (ABCD ) AC 2a +) Ta có OA = = =a, 2 BD 4a OB = = = 2a A 2 D K AB = OA2 + OB = a + 4a = a HV 1 a 15 2a 15 Thể tích khối chóp S ABCD : V = SH S ABCD = ⋅ a = 3 Ta có BC // AD nên AD //(SBC) ⇒ d ( AD, SC ) = d ( AD, ( SBC )) = d ( A, ( SBC )) Do H trung điểm AB B = AH ∩ (SBC ) nên d ( A, (SBC)) = 2d ( H , (SBC)) Kẻ HE ⊥ BC , H ∈ BC , SH ⊥ BC nên BC ⊥ (SHE ) Kẻ HK ⊥ SE , K ∈ SE , ta có BC ⊥ HK ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ HK = d ( H , ( SBC )) 0,25 0,25 0,25 0,25 AT S BCH S ABC S ABCD 4a 2a = = = = HE = BC BC AB 2a 5 1 91 2a 15 2a 1365 = + = 2+ = ⇒ HK = = 2 2 HK HE SH 4a 15a 60a 91 91 4a 1365 91 Đường tròn (C) có tâm I (−2;1) , bán kính R = Do M ∈ d nên M (a;1 − a ) M Vậy d ( AD, SC ) = HK = Do M nằm (C) nên IM > R ⇔ IM > ⇔ (a + 2) + (− a ) > ⇔ 2a + 4a − > (*) Ta có MA2 = MB = IM − IA2 = (a + 2) + (−a ) − = 2a + 4a − Do tọa độ A, B thỏa mãn phương trình: ( x − a ) + ( y + a − 1) = 2a + 4a − ⇔ x + y − 2ax + 2(a − 1) y − 6a + = (1) Do A, B thuộc (C) nên tọa độ A, B thỏa mãn phương trình x + y + x − y − = (2) Trừ theo vế (1) cho (2) ta (a + 2) x − ay + 3a − = (3) Do tọa độ A, B thỏa mãn (3) nên (3) phương trình đường thẳng ∆ qua A, B +) Do (E) tiếp xúc với ∆ nên (E) có bán kính R1 = d ( E , ∆) Chu vi (E) lớn ⇔ R1 lớn ⇔ d ( E , ∆ ) lớn  11  Nhận thấy đường thẳng ∆ qua điểm K  ;  2  ww w Câu (1,0 điểm) 0,25 Gọi H hình chiếu vuông góc E lên ∆ ⇒ d ( E, ∆) = EH ≤ EK = Dấu “=” xảy H ≡ K ⇔ ∆ ⊥ EK www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 0,25 0,25 10 Câu (1,0 điểm)  x = −1 + 2t  d có phương trình tham số  y = − t  z = −2t  Gọi B = d ∩ (P ) , B ∈ d nên B (−1 + 2t ;4 − t ;−2t ) co m www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam  3 Ta có EK =  − ;  , ∆ có vectơ phương u = (a; a + 2)  2 Do ∆ ⊥ EK ⇔ EK u = ⇔ − a + (a + 2) = ⇔ a = −3 (thỏa mãn (*)) 2 Vậy M (− 3;4) điểm cần tìm Do B ∈ (P ) nên 2(−1 + 2t ) − 2(4 − t ) − 2t − = ⇔ t = ⇒ B (7;0;−8) HV N Gọi I tâm mặt cầu (S), I thuộc d nên I (−1 + 2a;4 − a;−2a ) Theo (S) có bán kính R = IA = d ( I , ( P )) 2(−1 + 2a ) − 2(4 − a ) − 2a − ⇒ (2 − 2a ) + (a − 1) + (2 + 2a ) = 2 + 2 + 12 4a − 16 ⇔ a − 2a + = 35 13 +) Với a = ⇒ I = (1;3;−2), R = ⇒ ( S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + 2) = 16 35 116  83 87 70  +) Với a = − ⇒ I = − ; ; ; R = 13 13  13 13 13  0,25 0,25 0,25 0,25 2 0,25 83   87   70  13456  ⇒ (S ) :  x +  +  y −  +  z −  = 13   13  169  13   Xét số có chữ số khác nhau: - Có cách chọn chữ số vị trí - Có A98 cách chọn chữ số 0,25 M Câu (0,5 điểm) AT ⇔ 9(9a − 2a + 9) = (4a − 16) ⇔ 65a + 110a − 175 = ⇔ a = 1; a = − 0,25 ww w Do số số có chữ số khác là: A98 = 3265920 Xét số thỏa mãn đề bài: - Có C54 cách chọn chữ số lẻ - Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, chữ số đứng đầu cuối nên có cách xếp - Tiếp theo ta có A42 cách chọn xếp hai chữ số lẻ đứng hai bên chữ số - Cuối ta có 6! cách xếp chữ số lại vào vị trí lại Gọi A biến cố cho, n( A) = C54 A42 6! = 302400 302400 Vậy xác suất cần tìm P ( A) = = 3265920 54 www.DeThiThuDaiHoc.com ⇔ 2( z + y )(1 + zy ) + 2(1 + yz ) + (1 + zy )( y − z ) + zy (1 + yz ) ≥ (1 + zy ) + 2( z + y )(1 + zy ) + ( z + y ) co m Câu 10 (1,0 điểm) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam 1 1 1 + + = + + Ta có P = 2 2 (−1 − z ) (−1 − y ) − (−1 − x) (1 + y ) (1 + z ) − (1 + x) 1 Ta chứng minh + ≥ 2 (1 + y ) (1 + z ) + yz 1 Thật vậy: + ≥ ⇔ (1 + yz)[(1 + z ) + (1 + y) ] ≥ [(1 + z )(1 + y)]2 2 (1 + y) (1 + z ) + yz ⇔ (1 + yz )(2 + z + y + z + y ) ≥ (1 + zy + z + y ) 0,25 ⇔ (1 + zy )( y − z ) + + yz + y z − (1 + yz ) − ( y − z ) − yz ≥ N ⇔ yz ( y − z ) + (1 − yz ) ≥ (hiển nhiên đúng) Dấu “=” xảy y = z = y+z (−1 − x) (1 + x)  y+z ≥ yz ⇒ yz ≤  = =  4   1 1 + ≥ ≥ = Do 2 (1 + x) (1 + y ) (1 + z ) + yz + (1 + x) 1+ 4 ⇒P≥ + + (1 + x) − ( x + 1) 2 HV Ta lại có 0,25 ww w M AT Do − − 2 < x < −1 + 2 nên ( x + 1) ∈ [0;8) Đặt t = (1 + x) ⇒ t ∈ [0;8) P ≥ + 4+t 8−t Xét f (t ) = + với t ∈ [0;8) 4+t 8−t − 3t + 72t − 240 f ' (t ) = − + = (4 + t ) (8 − t ) (4 + t ) (8 − t ) f ' (t ) = ⇔ −3t + 72t − 240 = ⇔ t = 4; t = 20 (loại) Bảng biến thiên t f’(t) + +∞ f(t) (1 + x) =  x = −3 3  Do P ≥ f (t ) ≥ P =  y = z = ⇔ 4  x + y + z = −1  y = z =  Vậy P = x = −3, y = z = 0,25 0,25 HẾT www.DeThiThuDaiHoc.com ...www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 THPT NĂM 2015 THANH HÓA Môn thi: TOÁN Câu Câu (2,0 điểm) Nội dung a) (1,0 điểm) 1) Tập xác định : D = R 2) Sự biến thi n:... x + sin x − = ⇔ 2(1 − sin x) + sin x − = ⇔ sin x − sin x + = www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam co m N Câu (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điều... ∫ cos xd (cos x) = − = 3 0 www.DeThiThuDaiHoc.com 0,25 B O AB a 15 = 2 1 = AC.BD = 2a.4a = 4a 2 +) SH = C E S ABCD co m H N Câu (1,0 điểm) www.MATHVN.com – Toán học Việt Nam Vậy I = + = 3 Gọi