De thi HSG Thanh Hoa 07-08

Gọi M là trung điểm của cạnh AD.. Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt tia AB tại E và tia đối của tia AC tại F.. Gọi N là trung điểm của EF.. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một phần t

Sở Giáo Dụcvà Đào Tạo Kỳ thi học sinh giỏi

thanh hoá lớp 12 THPT , BTTHPT, lớp 9 THCS

Đề chính thức Năm học : 2007-2008

Môn thi: Toán lớp 9 THCS

Ngày thi: 28/3/2008

Thời gian: 150 phútkhông kể thời gian giao đề

Câu 1: (6 điểm)

1) Rút gọn biểu thức: A =

 

2) Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện: x2 y2 z2 12 12 12 6

x y z

      3) Tính giá trị của biểu thức: P = x2006 + y2007+z2008

Câu 2: (4điểm)

Cho tứ giác ABCD có góc A vuông, góc D = 1200 và các cạnh AB = 2 3

cm, AD = 4 cm, DC = 2 cm Gọi M là trung điểm của cạnh AD

1) Chứng minh BM  MC

2) Tính độ dài cạnh BC

Câu 3: (6 điểm)

1) Giải hệ phơng trình:

x y xy

y z yz

x z zx

 





 





 

 2) Cho số thực dơng thoả mãn điều kiện : x + y + z = 2008

Chứng minh rằng:

x y y z z x

x y y z z x

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của cạnh BC , đờng phân giác ngoài của góc A cắt đờng thẳng BC tại D Đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt tia AB tại E và tia đối của tia AC tại F Gọi N là trung điểm của EF Chứng minh MN // AD

Câu 5: (1 điểm)

Cho hai tập hợp A và B thoả mãn đồng thời 2 điều kiện a, b sau :

a) Trong mỗi tập hợp, các phần tử của nó đều là các số nguyên dơng phân biệt

và nhỏ hơn 2008

b) Tổng số các phần tử của hai tập hợp lớn hơn 2008

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một phần tử của tập hợp A và một phần tử của tập hợp B có tổng bằng 2008

Số báo danh

K N

D

E

F

M

C B

A

Gọi K đối xứng với F qua M

Tứ giác FBKC là hình bình hành  FC // BK

 BKM MEB BKM MFA Mà AEM  MFA  BKM MEB  Tứ giác BMKE nội tiếp  BEK  DAE BEK FMD FAD DAE   BEK DAE  AD // EK

Do N là trung điểm củaEF , M là trung điểm của FK  MN // EK