Đề thi Toán đh vinh lần 2

www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN m ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề x2 x 1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị  H  hàm số cho co Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y  b) Viết phương trình tiếp tuyến  H  biết tiếp tuyến có hệ số góc k  Câu (1,0 điểm) b) Tìm số phức z thỏa mãn z  z  số thực 1 i Câu (1,0 điểm) Giải phương trình  2 2x HV Câu (0,5 điểm) Giải bất phương trình x.21 x  sin   2cos3 cos  sin  N a) Biết số thực  thỏa mãn tan   Tính giá trị biểu thức A   x  x  x  x   x  1   x Câu (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x ln  x  1 , trục hoành hai đường thẳng x  0, x  a 10  , BAC  1200 Hình chiếu vuông góc C ' lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' theo a tính số đo góc hai mặt phẳng (ABC) ( ACC ' A ') 2 2 Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có trọng tâm G  ;  , 3 3 tâm đường tròn ngoại tiếp I (1;  2), điểm E (10; 6) thuộc đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ A điểm F (9;  1) thuộc đường thẳng BC Tìm tọa độ điểm A, B, C biết B có tung độ bé .M AT Câu (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB  2a, AC  a, AA '  Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M (2; 1; 0) đường thẳng x  y 1 z 1 :   Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M chứa  Tìm tọa độ điểm N thuộc  1 cho MN  11 ww w Câu (0,5 điểm) Một hộp chứa 12 viên bi kích thước nhau, có viên bi màu xanh đánh số từ đến 5, có viên bi màu đỏ đánh số từ đến viên bi màu vàng đánh số từ đến Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp Tính xác xuất để hai viên bi lấy vừa khác màu vừa khác số Câu 10 (1,0 điểm) Giả sử x, y, z số thực không âm thỏa mãn xy  yz  zx  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 P     x  1  y  1  z  1 2 x y y z z x Hết Ghi chú: BTC trả vào ngày 25, 26/4/2015 Để nhận thi, thí sinh phải nộp lại phiếu dự thi cho BTC Thi thử THPT Quốc gia lần tổ chức vào chiều ngày 16 ngày 17/5/2015 Đăng ký dự thi Văn phòng Trường THPT Chuyên từ ngày 25/4/2015 www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN Câu (2,0 điểm) Đáp án a) (1,0 điểm) o Tập xác định:  \ {1} o Sự biến thiên: * Giới hạn, tiệm cận: Ta có lim y   lim y   Do đường thẳng x  tiệm x 1 x 1 co cận đứng đồ thị (H) Vì lim y  lim y  nên đường thẳng y  tiệm cận ngang đồ thị (H) x  x   0, với x  ( x  1) Suy hàm số đồng biến khoảng  ; 1 , 1;    * Bảng biến thiên:  HV   y  0,5 N * Chiều biến thiên: Ta có y '  x  y' Điểm m Câu ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 – LẦN Môn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút  o M AT Đồ thị: Đồ thị (H) cắt Ox  2;  , cắt Oy  0;  ; nhận giao điểm I 1; 1 hai đường y 0,5 O I x ww w tiệm cận làm tâm đối xứng b) (1,0 điểm) , với x  Vì tiếp tuyến có hệ số góc k  nên hoành độ tiếp ( x  1) x  điểm nghiệm phương trình  , hay  x  1     x  1  x  *) Với x  ta có phương trình tiếp tuyến y  x  *) Với x  ta có phương trình tiếp tuyến y  x  Vậy có hai tiếp tuyến y  x  y  x  a) (0,5 điểm) Ta có y '  Câu (1,0 Rõ ràng cos  0, chia tử số mẫu số A cho cos3 ta www.DeThiThuDaiHoc.com 0,5 0,5 0,5 điểm) A www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam tan  1  tan    2.5   tan   tan    16  b) (0,5 điểm) Từ giả thiết z  2(1  i )  a  bi   a   (b  1)i 1 i m Giả sử z  a  bi, (a, b  ) Suy z  số thực ta có b  1 i N Câu (1,0 điểm) *) Điều kiện:  x   2  x  Phương trình cho tương đương với x   x  x  x   x  x    Ta có x   x  42 x HV Câu (0,5 điểm) Vậy số phức cần tìm z   i z    i Bất phương trình cho tương đương với 2 23 x.21 x  x  23 x 1 x  x  3x   x  x  x  x      x   co Khi z   a  i   a    a   3 0,5 (1)  x  , với x   2; 2 Suy x   x  2, với x   2; 2 Dấu đẳng thức (2) xảy x  0, x   Đặt 0,5 0,5 (2) x  x  t Dễ dàng có t  1; 2 , với x   2; 2 M AT Khi vế phải (1) f (t )  t  2t  2, t   1; 2 t  Ta có f (t )  3t  4t    t     22 Hơn nữa, ta lại có f ( 1)  1, f (0)  2, f    , f (2)    27 Suy f (t )  2, với t  1; 2 Do x  x   x  x    , với x  2;  0,5 (3) ww w Dấu đẳng thức (3) xảy x  0, x   Từ (2) (3) ta có nghiệm phương trình (1) x  0, x   Vậy phương trình cho có nghiệm x  0, x   Câu (1,0 điểm) Chú ý x ln  x  1  0, với  x  Khi diện tích hình phẳng cần tính S   x ln  x  1 dx Đặt u  ln  x  1 , dv  xdx Suy du  0,5 dx, v  x 3x  Theo công thức tích phân phần ta có 1 1 x2   S  x ln  x  1   dx  ln    x   dx 2 3x  0 3x   www.DeThiThuDaiHoc.com 0,5 www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam 13   ln   x  x  ln x    ln  62 12 0 N co m Câu (1,0 điểm) Gọi H trung điểm BC Từ giả thiết suy C ' H  ( ABC ) Trong ABC ta có a2 AB AC sin1200  2 BC  AC  AB  AC AB cos1200  7a a a  C ' H  C ' C  CH   BC  a  CH  HV S ABC  0,5 3a3 M AT Suy thể tích lăng trụ V  C ' H S ABC  Hạ HK  AC Vì C ' H  ( ABC )  đường xiên C ' K  AC    ( ABC ), ( ACC ' A '   C ' KH (1)  ( C ' HK vuông H nên C ' KH  90 ) 2SHAC S ABC a   AC AC C 'H    tan C ' KH   1 C ' KH  450 HK Từ (1) (2) suy  ( ABC ), ( ACC ' A ')   450 ww w Trong HAC ta có HK  0,5 (2) Ghi chú: Thí sinh tính độ dài AH suy AHC vuông A để suy K  A Câu (1,0 điểm)  x   7t Gọi M trung điểm BC Phương trình GE hay AM x  y     y   4t Gọi M   m;  m  Ta có   IM   7m  2; 4m   ; FM   7m  6; 4m   Vì IM  FM nên   IM FM  0,5   m   m     m   4m     m  Suy M  3;  www.DeThiThuDaiHoc.com www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam   Giả sử A   a;  4a  Vì GA  2GM ta a  1 Suy A  4;   Suy phương trình BC : x  y    B(2b  7; b)  BC (điều kiện b  2) b  Vì IB  IA nên (2b  6)  (b  2)  25   b  (ktm) Suy B(5; 1)  C (1; 3) (vì M trung điểm BC) m    có vtcp u  (1;  1; 2) A(2; 1; 1)    MA  (4; 0; 1)     vtpt n p  u , MA  (1; 7; 4) co Câu (1,0 điểm) 0,5 Suy ( P) : 1( x  2)  7( y  1)  z   x  y  z   0,5 N    N (t  2;  t  1; 2t  1) Khi MN  (t  4)  ( t )  (2t  1)  11 HV Từ (1) áp dụng (2) ta 1 1 1      2 2 2 x y y z z x u v v u 1 1  3 1         u v 4u v  4u v  1    u v 2uv  u  v 2 ww w Câu 10 (1,0 điểm) Số cách lấy hai viên bi từ hộp C122  66 Số cách lấy hai viên bi gồm viên màu xanh, viên màu đỏ khác số   16 Số cách lấy hai viên bi gồm viên màu xanh, viên màu vàng khác số   12 Số cách lấy hai viên bi gồm viên màu đỏ, viên màu vàng khác số   Như số cách lấy viên bi từ hộp vừa khác màu vừa khác số 16  12   37 Suy xác suất cần tính 37 P  0,5606 66 z z Giả sử z  x, y , z Đặt x   u  0, y   v  Khi ta có 2 2 z z   2 2 x  z   x    u ; y  z   y    v2 ; 2 2   (1) 2 z z     x2  y2   x     y    u  v2 2  2  Chú ý với hai số thực dương u, v ta có 1 1     (2) u v u v uv u  v M AT Câu (0,5 điểm) N  6t  12t    t  1 Suy N (1; 2;  1)  u  v   u  v   10 u  v   www.DeThiThuDaiHoc.com 0,5 0,5 10 x  y  z Mặt khác ta có  x  1  y  1  z  1  xyz   xy  yz  zx    x  y  z    xyz  x  y  z   x  y  z  Từ (3) (4) suy 0,5 (3) (4) www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam P 10 x  y  z Đặt x  y  z  t  Xét hàm số f (t )    x  y  z   (5) 10  t , t  t2 20  , t 0 t3 Suy f (t )   t  2; f (t )   t  2; f (t )    t  15 Suy f (t )  f (2)  với t  (6) 25 Từ (5) (6) ta P  , dấu đẳng thức xảy x  y  1, z  hoán vị 25 Vậy giá trị nhỏ P ww w M AT HV N co m Ta có f (t )   www.DeThiThuDaiHoc.com 0,5 ...  u  0, y   v  Khi ta có 2 2 z z   2 2 x  z   x    u ; y  z   y    v2 ; 2 2   (1) 2 z z     x2  y2   x     y    u  v2 2  2  Chú ý với hai số thực dương...  2; 2 Dấu đẳng thức (2) xảy x  0, x   Đặt 0,5 0,5 (2) x  x  t Dễ dàng có t  1; 2 , với x   2; 2 M AT Khi vế phải (1) f (t )  t  2t  2, t   1; 2 t  Ta có f (t ) ... 3t  4t    t     22 Hơn nữa, ta lại có f ( 1)  1, f (0)  2, f    , f (2)    27 Suy f (t )  2, với t  1; 2 Do x  x   x  x    , với x   2;  0,5 (3) ww w Dấu đẳng