Đường thẳng Simson

www.facebook.com/nangkhieutoan ĐƯỜNG THẲNG SIMSON MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Định lý Định lý 1.1 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 nội tiếp đường tròn (𝑂) 𝑃 điểm (𝑂) Khi hình chiếu vuông góc 𝑃 đường thẳng 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 𝐴𝐵 thuộc đường thẳng 𝐹 𝐴 𝑃 𝐸 𝐵 𝐷 𝐶 Xét điểm 𝑃 hình vẽ, hình khác chứng minh tương tự Ta có tứ giác 𝑃 𝐹 𝐴𝐸, 𝑃 𝐴𝐵𝐶, 𝑃 𝐸𝐷𝐶, 𝑃 𝐹 𝐵𝐷 nội tiếp Suy ∠𝑃 𝐹 𝐸 = ∠𝑃 𝐴𝐶 = ∠𝑃 𝐵𝐶 = ∠𝑃 𝐹 𝐷 Suy 𝐹, 𝐸, 𝐷 thẳng hàng Bài tập 2.1 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 nội tiếp đường tròn (𝑂) 𝑃 thuộc cung 𝐴𝐶 không chứa 𝐵 Gọi 𝐷, 𝐸 hình chiếu 𝑃 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 Gọi 𝑀, 𝑁 trung điểm 𝐴𝐵, 𝐷𝐸 (a) Chứng minh ∆𝑃 𝐸𝐷 ∼ ∆𝑃 𝐴𝐵 (b) Chứng minh ∠𝑃 𝑁 𝑀 = 90𝑜 2.2 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 nhọn nội tiếp đường tròn (𝑂) Các điểm 𝑃 thuộc cung nhỏ 𝐴𝐶 𝑄 thuộc cung nhỏ 𝐵𝐶 cho 𝑃 𝑄 đường kính Chứng minh đường thẳng simson ứng với 𝑃 𝑄 vuông góc 2.3 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 đường cao 𝐴𝐷, 𝐵𝐸, 𝐶𝐹 Gọi 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄 hình chiếu 𝐴𝐵, 𝐵𝐸, 𝐴𝐶, 𝐶𝐹 Chứng minh 𝑀, 𝑁, 𝑃, 𝑄 thẳng hàng 2.4 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 nội tiếp đường tròn 𝑤 𝑃 điểm tiếp tuyến 𝐴 𝑤 Gọi 𝐷, 𝐸, 𝐹 hình chiếu 𝑃 đường thẳng 𝐵𝐶, 𝐴𝐶 𝐴𝐵 Chứng minh 𝐷, 𝐸, 𝐹 thẳng hàng Page of www.facebook.com/nangkhieutoan 2.5 Cho đường tròn (𝑂) dây cung 𝐵𝐶 cố định Điểm 𝐴 thay đổi cung lớn 𝐵𝐶, đường thẳng qua 𝐴 vuông góc với 𝐵𝐶 cắt (𝑂) 𝐷 Gọi 𝐸, 𝐹 hình chiếu 𝐷 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 (a) Chứng minh 𝑂𝐴⊥𝐸𝐹 (b) Trung trực 𝐸𝐹 cắt 𝐴𝐷 𝑀 , chứng minh 𝑀 thuộc đường cố định 2.6 Cho tam giác 𝐴𝐵𝐶 Điểm 𝑃 thay đổi cung 𝐵𝐶 không chứa 𝐴 Gọi 𝐻, 𝐾 hình chiếu 𝐴 𝑃 𝐵, 𝑃 𝐶 (a) Tìm vị trí 𝑃 để 𝐴𝐻.𝑃 𝐵 + 𝐴𝐾.𝑃 𝐶 lớn (b) Chứng minh 𝐾𝐻 qua điểm cố định 2.7 Cho hai đường tròn (𝑂) (𝑂′ ) cắt hai điểm 𝐴, 𝐵 Một đường thẳng qua 𝐴 cắt (𝑂) (𝑂′ ) 𝐶 𝐷 cho 𝐴 nằm 𝐶, 𝐷 Tiếp tuyết 𝐶 𝑂 tiếp tuyến 𝐷 (𝑂′ ) cắt 𝑃 (a) Chứng minh tam giác 𝐵𝐶𝐷 đồng dạng với tam giác cố định tìm vị trí cát tuyến để 𝐶𝐷 lớn (b) Chứng minh tứ giác 𝑃 𝐶𝐵𝐷 nội tiếp (c) Gọi 𝐻, 𝐾 hình chiếu 𝐵 𝑃 𝐶, 𝑃 𝐷 Chứng minh đường thẳng 𝐾𝐻 tiếp xúc với đường tròn cố định 2.8 Cho đường tròn 𝑂 dây cung 𝐵𝐶 cố định 𝐴 điểm thay đổi cung lớn 𝐵𝐶 Gọi 𝐷, 𝐸, 𝐹 lượt chân đường cao từ 𝐴, 𝐵, 𝐶 Gọi 𝑀 trung điểm 𝐵𝐶 Gọi 𝑃, 𝑄 hình chiếu 𝑀 𝐷𝐸, 𝐷𝐹 𝑃 𝑄 cắt 𝐸𝐹 𝑁 Chứng minh 𝑁 thuộc đường tròn cố định 2.9 Cho tứ giác 𝐴𝐵𝐶𝐷 nội tiếp Gọi 𝑑1 đường thẳng simson ứng với tam giác 𝐵𝐶𝐷 Các đường thẳng 𝑑2 ; 𝑑3 ; 𝑑4 xác định tương tự Chứng minh 𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑3 𝑑4 đồng quy 2.10 Xét điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 cho 𝐴𝐵𝐶𝐷 hình bình hành 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 thuộc đường tròn Gọi 𝑑 đường thẳng qua 𝐴, giả sử 𝑑 cắt đoạn 𝐵𝐶 𝐹 𝐵𝐶 𝐺 Giả sử 𝐸𝐹 = 𝐸𝐺 = 𝐸𝐶, chứng minh 𝑑 phân giác góc ∠𝐷𝐴𝐵 Page of ...