1 Đường thẳng Simson: 1. Định nghĩa. Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của nó. Khi đó các hình chiếu của P lên các cạnh AB, BC, CA nằm trên một đường thẳng, và đường thẳng đó gọi là đường thẳng Simson của điểm P đối với tam giác ABC. Chứng minh: F E D A B C P Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của P lên BC, CA, AB thì: (DE, DP) ≡ (CE, CP) ≡ (CA, CP) ≡ (BF, BP) ≡ (DF, DP)(modπ).
Trang 1Đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner và
điểm anti-Steiner
Ong Thế Phương, khoá 2012-2013 THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai
Ngày 1 tháng 11 năm 2012
1 Đường thẳng Simson:
1 Định nghĩa
Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của nó Khi đó các hình chiếu của P lên các cạnh AB, BC, CA nằm trên một đường thẳng, và đường thẳng đó gọi là đường thẳng Simson của điểm P đối với tam giác ABC
Chứng minh:
F
E D
A
P
Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của P lên BC, CA, AB thì:
(DE, DP ) ≡ (CE, CP ) ≡ (CA, CP ) ≡ (BF, BP ) ≡ (DF, DP )(modπ)
Do đó D, E, F thẳng hàng
Chỉ dẫn lịch sử: Vào thế kỉ XIX, người ta cho rằng định lý này thuộc về nhà toán học người Scotland là Robert Simson (1687-1768), và tên của ông được đặt cho định lý Tuy nhiên bằng các cuộc khảo sát và điều tra của J.S Mackay thì định lý này ko nằm trong bất kì công trình nào của Simson, và cũng ko có bất kì bằng chứng nào chứng tỏ định lý này thuộc về ông Theo như Mackay thì định lý này được khám phá lần đầu tiên bởi William Wallace, và nhiều nhà hình học bỏ qua cái tên quen thuộc là đường thẳng Simson để gọi đường thẳng này mà thay vào đó là đường thẳng Wallace Hiện nay nó thường được gọi là đường Walace-Simson, và định lý trên được gọi là định
lý Walace-Simson
Trong bài viết này, cho gọn, ta sẽ ký hiệu SM(ABC) là đường thẳng Simson của tam giác ABC
Chú ý rằng bài toán đảo lại của định lý Simson cũng đúng, cụ thể như sau: Cho tam giác ABC
và điểm P sao cho hình chiếu của nó xuống các cạnh của tam giác ABC nằm trên một đường thẳng thì P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Chứng minh bài toán này đơn giản xin dành cho bạn đọc
Trang 22 Một vài tính chất:
Trong mục này, chúng ta sẽ cùng đi đến những tính chất cơ bản nhất về đường thẳng Simson, còn nhiều tính chất thú vị liên quan đến đường thẳng Simson sẽ được đề cập tới dưới dạng bài tập
Với các kí hiệu như trên, ta thu được những tính chất sau:
Tính chất 1.1 Nếu Q là giao điểm của DP với đường tròn (ABC) thì ta có: AQkSM(ABC) Chứng minh:
(QA, QP ) ≡ (CA, CP ) ≡ (CE, CP ) ≡ (DP, DE)(modπ) ⇒ AQkSM(ABC)
Sau đây là một tính chất khá thú vị có liên quan đến đường thẳng Steiner sẽ được nói đến ở phần sau, do đó trong phần này sẽ không nêu ra chứng minh
Tính chất 1.2 Nếu H là trực tâm tam giác ABC thì đường thẳng SM(ABC) đi qua trung điểm HP
Tính chất 1.3 Giao điểm của đường thẳng SM(ABC) với HP nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC
Chứng minh
M
H O' O
F
E D
A
B
C P
Gọi O và O0 lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và đường tròn Euler của tam giác ABC M
là giao của SP(ABC) và P H Khi đó theo tính chất 1.2 thì M là trung điểm P H Mặt khác lại
có O0 là trung điểm của HO Từ đó suy ra O0M = 1
2OP mà OP = R (bán kính của (O)), nên suy ra M thuộc đường tròn Euler của tam giác ABC
Tính chất 1.4 Q thuộc (O) sao cho AQ và AP là hai đường đẳng giác, khi đó AQ ⊥ SP(ABC) Tính chất 1.5 P là một điểm bất kì trên đường trong (ABC) thì ta có:
(SP(ABC), BC) ≡ 1
2
−→
OA,−→
OP
+ π
2(modπ) Chứng minh:
(SP(ABC), BC) ≡ (SP(ABC), P D) + (P D, BC) ≡ (CP, CA) + π
2 ≡ 1 2
−→
OA,−→
OP+ π
2(modπ)
Tính chất 1.6 Gọi P và Q là hai điểm bất kì trên đường tròn (ABC) thì:
(SP(ABC), SQ(ABC)) ≡−→
OP ,−→
OQ(modπ)
Trang 3K
H
G
F
E
A
P
Q
Gọi E, F là hình chiếu của P lên BC, BA; G, H là hình chiếu của Q lên BC, CA và K là giao điểm của SP(ABC) và SQ(ABC); L là hình chiếu của K lên BC Ta có:
(SP(ABC), SQ(ABC)) ≡ (KE, KG) ≡ (KE, KL) + (KL, KG) ≡ (EK, EP ) + (GQ, GK) ≡ (BA, BP ) + (CQ, CA)≡−→
OP ,−→
OQ(modπ)
Hệ quả 1 Nếu P và P0 là hai điểm đối tâm đối với (O) thì SP(ABC) ⊥ SP0(ABC)
Hệ quả 2 Với hai điểm khác nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì phương của hai đường thẳng Simson của hai điểm đó cũng khác nhau
Tính chất 1.7 Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng nội tiếp đường tròn (O) và P là một điểm trên đường tròn đó, khi đó:
(SP(ABC), SP(A0B0C0)) ≡ 1
2
−→
OA,−−→
OA0+ 1
2
−→
OB,−−→
OB0+1
2
−→
OC,−−→
OC0(modπ)
Chứng minh:
Áp dụng Tính chất 1.4 ta có:
(SP(ABC), SP(A0B0C0)) ≡ (SP(ABC), BC)+(BC, B0C0)+(SP(A0B0C0)), B0C0) ≡ 1
2
−→
OA,−→
OP+
(BC, BC0) + (BC0, B0C0) +1
2
−→
OP ,−−→
OA0≡ 1
2
−→
OA,−−→
OA0+1
2
−→
OB,−−→
OB0+1
2
−→
OC,−−→
OC0(modπ)
Hệ quả 1 Góc giữa hai đường thẳng Simson của P đối với tam giác ABC và A’B’C’ ko phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn ABC
Hệ quả 2 Chú ý rằng hai đường thẳng Simson vuông góc với nhau khi:
−→
OA,−−→
OA0+−→
OB,−−→
OB0+−→
OC,−−→
OC0≡ π(modπ) Hai đường thẳng Simson của M đối với tam giác ABC và A0B0C0 vuông góc với nhau nếu: a) A0, B0, C0 là các điểm xuyên tâm đối của A, B, C
b) A0 là điểm xuyên tâm đối của A và B0C0kBC
c) A0 trùng A và BC ⊥ B0C0
d) A0, B0, C0 là giao của các đường phân giác trong góc A, B, C của tam giác ABC với đường tròn (ABC)
e) A0, B0, C0 là giao của các đường cao đỉnh A, B, C của tam giác A, B, C với đường tròn (ABC)
Hệ quả 3 Tương tự thì ta cũng có hai đường thẳng Simson song song với nhau khi:
a) A0 là điểm xuyên tâm đối của A và B0C0 ⊥ BC
b) A0 trùng A và BCkB0C0
c) A0, B0, C0 lần lượt là giao điểm của đường phân giác ngoài góc A, B, C của tam giác ABC với (ABC)
Trang 4Tính chất 1.8 Cho tam giác ABC và A’B’C’ cùng nội tiếp 1 đường tròn, P và Q thuộc đường tròn đó thì ta có:
(SP(ABC), SQ(A0B0C0)) ≡ 1
2
−→
OA,−−→
OA0+1
2
−→
OB,−−→
OB0+ 1
2
−→
OC,−−→
OC0+ 1
2
−→
OQ,−→
OP
Chứng minh điều này dựa vào các Tính chất 1.6 và Tính chất 1.7, xin dành cho bạn đọc
2 Đường thẳng Steiner và điểm anti-Steiner:
1 Định nghĩa:
Định lý 1 (đường thẳng Steiner) Cho tam giác ABC và điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó A0, B0, C0 là các điểm đối xứng với P qua BC, CA, AB Khi đó ba điểm A, B,
C thẳng hàng và đường thẳng đi qua ba điểm này đi qua trực tâm H của tam giác ABC Đường thẳng đi qua A, B, C, H được gọi là đường thẳng Steiner của P đối với tam giác ABC
Chứng minh
H'
A''
H C'
B' A'
A
B
C
P
H0là giao điểm của AH với (ABC), A00 là giao điểm của P A0 với (ABC) Do A00AH0P là hình thang cân và P H0 đối xứng với HA0 qua BC nên:
(A”A, A”P ) ≡ (P A”, P H0) ≡ (A0H, A0P )(modπ)
Từ đó suy ra HA0kAA”(1)
Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu của P xuống BC, CA, AB Như vậy D, E, F thẳng hàng (đường thẳng Simson) Do đó A0, B0, C0 cũng thẳng hàng và đường thẳng qua A0, B0, C0 song song với đường thẳng Simson của P đối với tam giác ABC và do đó song song với AA00 (Tính chất 1.1) Từ đó và (1) ta có A0, B0, C0, H thẳng hàng
Bây giờ ta sẽ đến với một định lý ngược lại của định lý 1 như sau:
Định lý 2 (định lý Collings hay điểm anti-Steiner) Cho tam giác ABC với trực tâm H Một đường thẳng d qua H d1, d2, d3 là các đường thẳng đối xứng với d qua BC, CA, AB lần lượt Khi đó d1, d2, d3 đồng quy tại một điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
P được gọi là điểm anti-Steiner của d đối với tam giác ABC
Trang 5H b
P
H a
H A
Gọi P là giao điểm của d1 và d2 AH và BH cắt (ABC) tại Ha, Hb Như vậy d1, d2 lần lượt đi qua Ha, Hb
Từ đó ta có: (AHa, d1) ≡ (d, AHa) ≡ (HbA, d2)(modπ) Do đó P thuộc (O)
Tương tự suy ra P0 là giao điểm của d1 với d3 cũng thuộc (O) do đó d1, d2, d3 đồng quy tại một điểm thuộc (O)
Ghi chú: Từ Định lý 1 ta thấy rằng đường thẳng Steiner và đường thẳng Simson song song với nhau và phép vị tự tâm P biến đường thẳng Simson thành đường thẳng Steiner theo số 2 Hơn nữa đường thẳng Steiner đi qua H do đó đường thẳng Simson đi qua trung điểm của PH, và đây chính là Tính chất 1.2
2 Một vài tính chất
Như ta đã biết đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner song song với nhau, do đó các tính chất về góc của đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner là như nhau nên ta sẽ ko nhắc lại những tính chất này nữa Cũng phải nói rằng, rất nhiều tính chất của đường thẳng Steiner và điểm anti-Steiner có chứng minh phức tạp và phải dựa vào nhiều kết quả đã biết trước, nên dưới đây ta chỉ đề cập đến một vài tính chất dễ chứng minh của đường thẳng Steiner, đồng thời cũng
là một số kết quả tiện cho việc tìm tòi và giải toán
Tính chất 2.1 P thuộc đường tròn (ABC) thì đường thẳng Steiner và đường thẳng Simson của P với tam giác ABC song song với nhau, và phép vị tự tâm P tỉ số 12 biến đường thẳng Simson thành đường thẳng Steiner
Tính chất 2.2 Kết hợp với Tính chất 1.1 ta có: nếu P là điểm anti-Steiner của d với tam giác ABC đường thẳng qua P vuông với BC cắt (ABC) lần nữa tại Q thì AQkd
3 Một số ví dụ
Trong phần này ta sẽ sử dụng các tính chất của đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner và điểm anti-Steiner để giải các bài toán, đồng thời tìm hiểu thêm nhiều tính chất khác của chúng
3.1 Các bài toán về quan hệ vuông góc và song song của các đường
thẳng.
Các quan hệ vuông góc và song song là một trong những quan hệ cơ bản và có nhiều ứng dụng nhất trong hình học phẳng, trong phần này, ta sẽ thấy được sức mạnh của các định lý đã nêu để giải quyết các vấn đề về vuông góc và song song
Ví dụ (Chọn đội tuyển dự JBMO của Rumani, 2001) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) bán kính R Với E là một điểm bất kì nằm trên (O), ta có K, L, M , N lần lượt là hình
Trang 6chiếu của E trên AD, AB, BC, CD Chứng minh rằng N là trực tâm của tam giác KLM khi và chỉ khi ABCD là hình chữ nhật
Lời giải
P
Q
M
L
N
K A
C
E
Cách 1 Dễ thấy rằng N là trực tâm của tam giác KLM khi và chỉ khi M N ⊥ LK và
N K ⊥ M L
Chú ý rằng M N , LK, N K, M L lần lượt là các đường thẳng Simson của E với các tam giác BCD, ABD, ACD, BAC Do đó theo Hệ quả 2 của Tính chất 1.7 ta có N là trực tâm tam giác KLM khi và chỉ khi:
(−→
OB,−−→
OD) ≡ 0(modπ)
(−→
OA,−→
OC) ≡ 0(modπ)
Từ đó suy ra N là trực tâm tam giác KLM khi và chỉ khi ABCD là hình chữ nhật
Cách 2 Gọi P , Q lần lượt là hình chiếu của E lên BD, AC Khi đó theo định lý Simson ta có các cặp điểm thẳng hàng sau: (L, K, P ), (M, Q, L), (M, N, P ), (N, K, Q)
Gọi U , V là giao điểm của EP , EQ với (O), ta có U AkKL, U CkM N , V BkM L, V DkN K
Do đó N là trực tâm tam giác KLM khi và chỉ khi:
M N ⊥ KLvà N K ⊥ M L ⇔ U A ⊥ U C và V B ⊥ V D ⇔ AC và BD là hai đường kính
⇔ ABCD là hình chữ nhật
3.2 Các bài toán về đồng quy và thẳng hàng.
Ví dụ (Điểm Parry reflection) Cho tam giác ABC Qua A, B, C kẻ các đường thẳng α, β, γ song song với đường thẳng Euler của tam giác Gọi α0, β0, γ0 là các đường thẳng đối xứng với α, β, γ qua BC, CA, AB Khi đó α0, β0, γ0 đồng quy tại điểm Parry reflection của tam giác ABC Lời giải
Cách 1
Trang 7α
α'
Q
A'
H O A
Gọi Q là điểm anti-Steiner của đường thẳng Euler đối với tam giác ABC A0 là giao điểm thứ 2 của α với (ABC), theo Tính chất 2.2 ta có QA0 vuông góc với BC Hơn nữa chú ý rằng
OA0 = OQ nên OA0 đối xứng với OQ qua đường thẳng qua O song song với BC
Suy ra đường thẳng đối xứng với OA0 qua BC song song với OQ (1)
Gọi α” là đường thẳng đối xứng với đường thẳng Euler của tam giác ABC qua BC Do phép tịnh tiến−−→
OA0 biến đường thẳng Euler thành đường thẳng α nên từ đó và (1) suy ra phép tịnh tiến
−→
OQ biến α” thành α0
Tương tự gọi β”, γ” là đường thẳng đối xứng với đường thẳng Euler qua AC và AB lần lượt thì phép tịnh tiến −→
OQ biến β” thành β0, biến γ” thành γ0 Hơn nữa theo định lý Collings thì α”, β”, γ” đồng quy, vậy suy ra α0, β0, γ0 đồng quy
Cách 2
E D F
H A
O
Gọi A1, B1, C1 là ba điểm đối xứng của O lần lượt qua A, B, C Suy ra phép vị tự tâm O, tỉ
số 2 biến tam giác ABC thành A1B1C1 Do đó hai đường thẳng Euler của hai tam giác ABC và
A1B1C1 trùng nhau
Gọi A2 là điểm đối xứng của A qua BC Suy ra A2 thuộc α0 Ta sẽ chứng minh rằng α0 đối xứng với đường thẳng Euler của tam giác A1B1C1 qua B1C1
Trang 8Gọi D, F là giao điểm của AA2 với BC và B1C1 Ta có:
HA2 = AA2−AH = 2 AD − OE = 2 AH + HD − OE = 2 OE + HD = 2 DF + HD = 2HF
Từ đó suy ra α0 đối xứng với đường thẳng Euler của tam giác A0B0C0 qua B0C0, tương tự β, γ đối xứng với đường thẳng Euler của tam giác A0B0C0 qua CA, AB lần lượt Từ đó theo định lý Collings thì α0, β0, γ0 đồng quy
Ví dụ (Đường thẳng Droz-Farny) Cho hai đường thẳng bất kì vuông góc với nhau tại trực tâm tam giác ABC Chúng tương ứng cắt các cạnh BC, CA, AB tại X, X0, Y , Y0, Z, Z0 Khi đó
ta có Ma, Mb, Mc tương ứng là trung điểm XX0, Y Y0, ZZ0 thẳng hàng
Lời giải
P Ha
Hc
Hb Y'
X
Z
X'
Z'
H A
Y
Gọi Ha, Hb, Hc lần lượt là điểm đối xứng với H qua BC, CA, AB
Suy ra Ha, Hb, Hc đều thuộc (ABC), và ta có ∠XHaX0 = ∠CHX, ∠Y HbY0 = ∠Y HY0,
∠ZHZ0 = ∠ZHcZ0 Từ đó suy ra Ha, Hb, Hc lần lượt thuộc đường tròn đường kính XX0, Y Y0,
ZZ0
Mặt khác theo định lý Collings ta có XHa, Y Hb, ZHcđồng quy tại một điểm P thuộc (ABC)
Và do đó áp dụng định lý Miquel vào tam giác P Y Z có H ∈ Y Z, Hc ∈ ZP , Hb ∈ Y P Ta có (P HbHc), (ZHHc), (Y HHb) đồng quy Do đó đường tròn (ABC), đường tròn đường kính ZZ0 và
Y Y0 đồng quy
Tương tụ đường tròn (ABC), đường tròn đường kính XX0, Y Y0 đồng quy, đường tròn (ABC), đường tròn đường kính XX0, ZZ0 đồng quy
Từ đó suy ra đường tròn đường kính XX0, Y Y0, ZZ0 đồng quy tại một điểm khác H Do đó tâm của chúng thẳng hàng Hay Ma, Mb, Mc thẳng hàng
Để kết thúc phần này, ta sẽ đến với bài toán sau, bài toán sau đây là một bài toán không phải quá khó với nhiều bạn học sinh, tuy vậy nó là một bài toán khá hay, chúng ta sẽ cùng gặp lại nó sau phần Ứng dụng của đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner, và điểm anti-Steiner này
Ví dụ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi Sa, Sb, Sc, Sd lần lượt là các đường thẳng Simson của A với tam giác BCD, B với tam giác ACD, C với tam giác ABD, và D với tam giác ABC Chứng minh rằng Sa, Sb, Sc, Sd đồng quy
Chứng minh
Trang 9Hc
I
O A
B
Gọi Ha, Hb, Hc, Hd lần lượt là trực tâm của tam giác BCD, ACD, ABD, ABC M là trung điểm AB
Do đó DHc = 2OM = CHd
Mặt khác DHckCHd nên tứ giác DCHdHc là hình bình hành Từ đó DHd, CHc cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Tương tự ta thu được AHa, BHb, CHc, DHd cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Chú ý rằng ta có Sa đi qua trung điểm AHa, Sb đi qua trung điểm BHb, Sc đi qua trung điểm
CHc, Sdđi qua trung điểm DHd, nên ta có Sa, Sb, Sc, Sd đồng quy tại trung điểm của AHa, BHb,
CHc, DHd
3.3 Các bài toán về đồng viên
Đồng viên là một trong những vấn đề rộng lớn trong hình học phẳng, có rất nhiều định lý và bài toán nổi tiếng liên quan đến khái niệm đồng viên, trong mục này, ta sẽ khám phá ứng dụng của đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner và điểm anti-Steiner để giải quyết các vấn đề liên quan đến đồng viên Trước tiên là một định lý hết sức quen thuộc và vô cùng quan trọng trong hình học phẳng:
Ví dụ
a) (Điểm Miquel) Cho tứ giác toàn phần ABCDEF Khi đó các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AEF , DCE, ABC, BDF đồng quy tại 1 điểm, điểm đó gọi là điểm Miquel của tứ giác toàn phần
b) (Đường tròn Miquel) Cho tứ giác toàn phần ABCDEF Khi đó điểm Miquel và tâm ngoại tiếp các tam giác AEF , CDE, ABC, BDF cũng nằm trên đường tròn, đường tròn đó gọi là đường tròn Miquel của tứ giác toàn phần
Lời giải
a)
Trang 10E A
B
C
F
D
Gọi M là giao điểm của (ABC) và (AEF ) Ta có:
(F M, F E) ≡ (AM, AC) ≡ (BM, BC) ≡ (BM, BD)(modπ)
Suy ra F , M , D, B đồng viên
Tương tự thì C, E, M , D đồng viên Từ đó suy ra các đường tròn AEF , DCE, ABC, BDF đồng quy tại 1 điểm
b)
S T
O
Ob
Oc Oa
E A
B
C
F
D
Gọi O, Oa, Ob, Oc là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AEF , BDF , CED
R, S, T là trung điểm của M A, M E, M C lần lượt Ta có M A ⊥ OOa, M C ⊥ OOc, M E ⊥
OaOc
Hơn nữa dễ thấy R, S, T thẳng hàng, do đó theo định lý đảo lại của đường thẳng Simson ta
có M , O, Oa, Oc đồng viên
Tương tự M , Oa, O, Ob đồng viên
Do đó M , O, Oa, Ob, Oc đồng viên
Trên đây là định lý Miquel, một định lý rất quan trọng trong hình học, tiếp đến ta sẽ đến với một vài tính chất có liên quan đến đường thẳng Steiner mà theo tác giả thì nó rất hay và đẹp
Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) P là một điểm bất kì trong mặt phẳng Gọi A1, A2, A3 lần lượt là giao điểm của AP , BP , CP với đường tròn (O) A2, B2, C2 lần lượt là các điểm đối xứng của (O) qua BC, CA, AB Chứng minh rằng 4 đường tròn (ABC), (P A1A2), (P B1B2), (P C1C2) đồng quy
Lời giải