1 Đường thẳng Simson: 1. Định nghĩa. Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của nó. Khi đó các hình chiếu của P lên các cạnh AB, BC, CA nằm trên một đường thẳng, và đường thẳng đó gọi là đường thẳng Simson của điểm P đối với tam giác ABC. Chứng minh: F E D A B C P Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của P lên BC, CA, AB thì: (DE, DP) ≡ (CE, CP) ≡ (CA, CP) ≡ (BF, BP) ≡ (DF, DP)(modπ).
Đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner và điểm anti-Steiner Ong Thế Phương, khoá 2012-2013 THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai Ngày 1 tháng 11 năm 2012 1 Đường thẳng Simson: 1. Định nghĩa. Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của nó. Khi đó các hình chiếu của P lên các cạnh AB, BC, CA nằm trên một đường thẳng, và đường thẳng đó gọi là đường thẳng Simson của điểm P đối với tam giác ABC. Chứng minh: F E D A B C P Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của P lên BC, CA, AB thì: (DE, DP) ≡ (CE, CP ) ≡ (CA, CP ) ≡ (BF, BP ) ≡ (DF, DP )(modπ). Do đó D, E, F thẳng hàng. Chỉ dẫn lịch sử: Vào thế kỉ XIX, người ta cho rằng định lý này thuộc về nhà toán học người Scotland là Robert Simson (1687-1768), và tên của ông được đặt cho định lý. Tuy nhiên bằng các cuộc khảo sát và điều tra của J.S. Mackay thì định lý này ko nằm trong bất kì công trình nào của Simson, và cũng ko có bất kì bằng chứng nào chứng tỏ định lý này thuộc về ông. Theo như Mackay thì định lý này được khám phá lần đầu tiên bởi William Wallace, và nhiều nhà hình học bỏ qua cái tên quen thuộc là đường thẳng Simson để gọi đường thẳng này mà thay vào đó là đường thẳng Wallace. Hiện nay nó thường được gọi là đường Walace-Simson, và định lý trên được gọi là định lý Walace-Simson. Trong bài viết này, cho gọn, ta sẽ ký hiệu S M (ABC) là đường thẳng Simson của tam giác ABC. Chú ý rằng bài toán đảo lại của định lý Simson cũng đúng, cụ thể như sau: Cho tam giác ABC và điểm P sao cho hình chiếu của nó xuống các cạnh của tam giác ABC nằm trên một đường thẳng thì P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh bài toán này đơn giản xin dành cho bạn đọc. 1 2. Một vài tính chất: Trong mục này, chúng ta sẽ cùng đi đến những tính chất cơ bản nhất về đường thẳng Simson, còn nhiều tính chất thú vị liên quan đến đường thẳng Simson sẽ được đề cập tới dưới dạng bài tập. Với các kí hiệu như trên, ta thu được những tính chất sau: Tính chất 1.1 Nếu Q là giao điểm của DP với đường tròn (ABC) thì ta có: AQS M (ABC). Chứng minh: (QA, QP ) ≡ (CA, CP ) ≡ (CE, CP ) ≡ (DP, DE)(modπ) ⇒ AQS M (ABC) Sau đây là một tính chất khá thú vị có liên quan đến đường thẳng Steiner sẽ được nói đến ở phần sau, do đó trong phần này sẽ không nêu ra chứng minh. Tính chất 1.2 Nếu H là trực tâm tam giác ABC thì đường thẳng S M (ABC) đi qua trung điểm HP . Tính chất 1.3 Giao điểm của đường thẳng S M (ABC) với HP nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC. Chứng minh. M H O' O F E D A B C P Gọi O và O lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và đường tròn Euler của tam giác ABC. M là giao của S P (ABC) và P H. Khi đó theo tính chất 1.2 thì M là trung điểm P H. Mặt khác lại có O là trung điểm của HO. Từ đó suy ra O M = 1 2 OP. mà OP = R (bán kính của (O)), nên suy ra M thuộc đường tròn Euler của tam giác ABC. Tính chất 1.4 Q thuộc (O) sao cho AQ và AP là hai đường đẳng giác, khi đó AQ ⊥ S P (ABC) Tính chất 1.5 P là một điểm bất kì trên đường trong (ABC) thì ta có: (S P (ABC), BC) ≡ 1 2 −→ OA, −→ OP + π 2 (modπ) Chứng minh: (S P (ABC), BC) ≡ (S P (ABC), P D) + (PD, BC) ≡ (CP, CA) + π 2 ≡ 1 2 −→ OA, −→ OP + π 2 (modπ) Tính chất 1.6 Gọi P và Q là hai điểm bất kì trên đường tròn (ABC) thì: (S P (ABC), S Q (ABC)) ≡ −→ OP, −→ OQ (modπ) Chứng minh: 2 L K H G F E A B C P Q Gọi E, F là hình chiếu của P lên BC, BA; G, H là hình chiếu của Q lên BC, CA và K là giao điểm của S P (ABC) và S Q (ABC); L là hình chiếu của K lên BC. Ta có: (S P (ABC), S Q (ABC)) ≡ (KE, KG) ≡ (KE, KL) + (KL, KG) ≡ (EK, EP ) + (GQ, GK) ≡ (BA, BP ) + (CQ, CA)≡ −→ OP, −→ OQ (modπ). Hệ quả 1. Nếu P và P là hai điểm đối tâm đối với (O) thì S P (ABC) ⊥ S P (ABC). Hệ quả 2. Với hai điểm khác nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì phương của hai đường thẳng Simson của hai điểm đó cũng khác nhau. Tính chất 1.7. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng nội tiếp đường tròn (O) và P là một điểm trên đường tròn đó, khi đó: (S P (ABC), S P (A B C )) ≡ 1 2 −→ OA, −−→ OA + 1 2 −−→ OB, −−→ OB + 1 2 −→ OC, −−→ OC (modπ) Chứng minh: Áp dụng Tính chất 1.4 ta có: (S P (ABC), S P (A B C )) ≡ (S P (ABC), BC)+(BC, B C )+(S P (A B C )), B C ) ≡ 1 2 −→ OA, −→ OP + (BC, BC ) + (BC , B C ) + 1 2 −→ OP, −−→ OA ≡ 1 2 −→ OA, −−→ OA + 1 2 −−→ OB, −−→ OB + 1 2 −→ OC, −−→ OC (modπ) Hệ quả 1. Góc giữa hai đường thẳng Simson của P đối với tam giác ABC và A’B’C’ ko phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm trên đường tròn ABC. Hệ quả 2. Chú ý rằng hai đường thẳng Simson vuông góc với nhau khi: −→ OA, −−→ OA + −−→ OB, −−→ OB + −→ OC, −−→ OC ≡ π(modπ) Hai đường thẳng Simson của M đối với tam giác ABC và A B C vuông góc với nhau nếu: a) A , B , C là các điểm xuyên tâm đối của A, B, C. b) A là điểm xuyên tâm đối của A và B C BC. c) A trùng A và BC ⊥ B C d) A , B , C là giao của các đường phân giác trong góc A, B, C của tam giác ABC với đường tròn (ABC) e) A , B , C là giao của các đường cao đỉnh A, B, C của tam giác A, B, C với đường tròn (ABC) Hệ quả 3. Tương tự thì ta cũng có hai đường thẳng Simson song song với nhau khi: a) A là điểm xuyên tâm đối của A và B C ⊥ BC. b) A trùng A và BCB C . c) A , B , C lần lượt là giao điểm của đường phân giác ngoài góc A, B, C của tam giác ABC với (ABC). 3 Tính chất 1.8 Cho tam giác ABC và A’B’C’ cùng nội tiếp 1 đường tròn, P và Q thuộc đường tròn đó thì ta có: (S P (ABC), S Q (A B C )) ≡ 1 2 −→ OA, −−→ OA + 1 2 −−→ OB, −−→ OB + 1 2 −→ OC, −−→ OC + 1 2 −→ OQ, −→ OP Chứng minh điều này dựa vào các Tính chất 1.6 và Tính chất 1.7, xin dành cho bạn đọc. 2 Đường thẳng Steiner và điểm anti-Steiner: 1. Định nghĩa: Định lý 1 (đường thẳng Steiner). Cho tam giác ABC và điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. A , B , C là các điểm đối xứng với P qua BC, CA, AB. Khi đó ba điểm A, B, C thẳng hàng và đường thẳng đi qua ba điểm này đi qua trực tâm H của tam giác ABC. Đường thẳng đi qua A, B, C, H được gọi là đường thẳng Steiner của P đối với tam giác ABC. Chứng minh. H' A'' H C' B' A' A B C P H là giao điểm của AH với (ABC), A là giao điểm của P A với (ABC). Do A AH P là hình thang cân và P H đối xứng với HA qua BC nên: (A”A, A”P ) ≡ (P A”, P H ) ≡ (A H, A P )(modπ) Từ đó suy ra HA AA”(1). Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu của P xuống BC, CA, AB. Như vậy D, E, F thẳng hàng (đường thẳng Simson). Do đó A , B , C cũng thẳng hàng và đường thẳng qua A , B , C song song với đường thẳng Simson của P đối với tam giác ABC và do đó song song với AA (Tính chất 1.1). Từ đó và (1) ta có A , B , C , H thẳng hàng. Bây giờ ta sẽ đến với một định lý ngược lại của định lý 1 như sau: Định lý 2 (định lý Collings hay điểm anti-Steiner) Cho tam giác ABC với trực tâm H. Một đường thẳng d qua H. d 1 , d 2 , d 3 là các đường thẳng đối xứng với d qua BC, CA, AB lần lượt. Khi đó d 1 , d 2 , d 3 đồng quy tại một điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. P được gọi là điểm anti-Steiner của d đối với tam giác ABC. Chứng minh: 4 N H b P H a H A B C Gọi P là giao điểm của d 1 và d 2 . AH và BH cắt (ABC) tại H a , H b . Như vậy d 1 , d 2 lần lượt đi qua H a , H b . Từ đó ta có: (AH a , d 1 ) ≡ (d, AH a ) ≡ (H b A, d 2 )(modπ). Do đó P thuộc (O). Tương tự suy ra P là giao điểm của d 1 với d 3 cũng thuộc (O) do đó d 1 , d 2 , d 3 đồng quy tại một điểm thuộc (O). Ghi chú: Từ Định lý 1 ta thấy rằng đường thẳng Steiner và đường thẳng Simson song song với nhau và phép vị tự tâm P biến đường thẳng Simson thành đường thẳng Steiner theo số 2. Hơn nữa đường thẳng Steiner đi qua H do đó đường thẳng Simson đi qua trung điểm của PH, và đây chính là Tính chất 1.2. 2. Một vài tính chất. Như ta đã biết đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner song song với nhau, do đó các tính chất về góc của đường thẳng Simson và đường thẳng Steiner là như nhau nên ta sẽ ko nhắc lại những tính chất này nữa. Cũng phải nói rằng, rất nhiều tính chất của đường thẳng Steiner và điểm anti-Steiner có chứng minh phức tạp và phải dựa vào nhiều kết quả đã biết trước, nên dưới đây ta chỉ đề cập đến một vài tính chất dễ chứng minh của đường thẳng Steiner, đồng thời cũng là một số kết quả tiện cho việc tìm tòi và giải toán. Tính chất 2.1 P thuộc đường tròn (ABC) thì đường thẳng Steiner và đường thẳng Simson của P với tam giác ABC song song với nhau, và phép vị tự tâm P tỉ số 1 2 biến đường thẳng Simson thành đường thẳng Steiner. Tính chất 2.2. Kết hợp với Tính chất 1.1 ta có: nếu P là điểm anti-Steiner của d với tam giác ABC. đường thẳng qua P vuông với BC cắt (ABC) lần nữa tại Q thì AQd. 3 Một số ví dụ Trong phần này ta sẽ sử dụng các tính chất của đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner và điểm anti-Steiner để giải các bài toán, đồng thời tìm hiểu thêm nhiều tính chất khác của chúng. 3.1 Các bài toán về quan hệ vuông góc và song song của các đường thẳng. Các quan hệ vuông góc và song song là một trong những quan hệ cơ bản và có nhiều ứng dụng nhất trong hình học phẳng, trong phần này, ta sẽ thấy được sức mạnh của các định lý đã nêu để giải quyết các vấn đề về vuông góc và song song. Ví dụ. (Chọn đội tuyển dự JBMO của Rumani, 2001) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm (O) bán kính R. Với E là một điểm bất kì nằm trên (O), ta có K, L, M, N lần lượt là hình 5 chiếu của E trên AD, AB, BC, CD. Chứng minh rằng N là trực tâm của tam giác KLM khi và chỉ khi ABCD là hình chữ nhật. Lời giải. P Q M L N K A B D C E Cách 1. Dễ thấy rằng N là trực tâm của tam giác KLM khi và chỉ khi MN ⊥ LK và NK ⊥ ML. Chú ý rằng MN, LK, N K, ML lần lượt là các đường thẳng Simson của E với các tam giác BCD, ABD, ACD, BAC. Do đó theo Hệ quả 2 của Tính chất 1.7 ta có N là trực tâm tam giác KLM khi và chỉ khi: ( −−→ OB, −−→ OD) ≡ 0(modπ) ( −→ OA, −→ OC) ≡ 0(modπ) Từ đó suy ra N là trực tâm tam giác KLM khi và chỉ khi ABCD là hình chữ nhật. Cách 2. Gọi P , Q lần lượt là hình chiếu của E lên BD, AC. Khi đó theo định lý Simson ta có các cặp điểm thẳng hàng sau: (L, K, P ), (M, Q, L), (M, N, P ), (N, K, Q). Gọi U, V là giao điểm của EP , EQ với (O), ta có UAKL, UCMN , V BM L, V DNK. Do đó N là trực tâm tam giác KLM khi và chỉ khi: MN ⊥ KLvà NK ⊥ M L ⇔ UA ⊥ UC và V B ⊥ V D ⇔ AC và BD là hai đường kính ⇔ ABCD là hình chữ nhật. 3.2 Các bài toán về đồng quy và thẳng hàng. Ví dụ. (Điểm Parry reflection) Cho tam giác ABC. Qua A, B, C kẻ các đường thẳng α, β, γ song song với đường thẳng Euler của tam giác. Gọi α , β , γ là các đường thẳng đối xứng với α, β, γ qua BC, CA, AB. Khi đó α , β , γ đồng quy tại điểm Parry reflection của tam giác ABC. Lời giải. Cách 1. 6 α" α α' Q A' H O A B C Gọi Q là điểm anti-Steiner của đường thẳng Euler đối với tam giác ABC. A là giao điểm thứ 2 của α với (ABC), theo Tính chất 2.2 ta có QA vuông góc với BC. Hơn nữa chú ý rằng OA = OQ nên OA đối xứng với OQ qua đường thẳng qua O song song với BC. Suy ra đường thẳng đối xứng với OA qua BC song song với OQ. (1) Gọi α” là đường thẳng đối xứng với đường thẳng Euler của tam giác ABC qua BC. Do phép tịnh tiến −−→ OA biến đường thẳng Euler thành đường thẳng α nên từ đó và (1) suy ra phép tịnh tiến −→ OQ biến α” thành α . Tương tự gọi β”, γ” là đường thẳng đối xứng với đường thẳng Euler qua AC và AB lần lượt thì phép tịnh tiến −→ OQ biến β” thành β , biến γ” thành γ . Hơn nữa theo định lý Collings thì α”, β”, γ” đồng quy, vậy suy ra α , β , γ đồng quy. Cách 2. E D F A 2 C 1 B 1 A 1 H A O B C Gọi A 1 , B 1 , C 1 là ba điểm đối xứng của O lần lượt qua A, B, C. Suy ra phép vị tự tâm O, tỉ số 2 biến tam giác ABC thành A 1 B 1 C 1 . Do đó hai đường thẳng Euler của hai tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 trùng nhau. Gọi A 2 là điểm đối xứng của A qua BC. Suy ra A 2 thuộc α . Ta sẽ chứng minh rằng α đối xứng với đường thẳng Euler của tam giác A 1 B 1 C 1 qua B 1 C 1 . 7 Gọi D, F là giao điểm của AA 2 với BC và B 1 C 1 . Ta có: HA 2 = AA 2 −AH = 2 AD − OE = 2 AH + HD − OE = 2 OE + HD = 2 DF + HD = 2HF Từ đó suy ra α đối xứng với đường thẳng Euler của tam giác A B C qua B C , tương tự β, γ đối xứng với đường thẳng Euler của tam giác A B C qua CA, AB lần lượt. Từ đó theo định lý Collings thì α , β , γ đồng quy. Ví dụ. (Đường thẳng Droz-Farny) Cho hai đường thẳng bất kì vuông góc với nhau tại trực tâm tam giác ABC. Chúng tương ứng cắt các cạnh BC, CA, AB tại X, X , Y , Y , Z, Z . Khi đó ta có M a , M b , M c tương ứng là trung điểm XX , Y Y , ZZ thẳng hàng. Lời giải. P H a H c H b Y' X Z X' Z' H A B C Y Gọi H a , H b , H c lần lượt là điểm đối xứng với H qua BC, CA, AB. Suy ra H a , H b , H c đều thuộc (ABC), và ta có ∠XH a X = ∠CHX, ∠Y H b Y = ∠Y HY , ∠ZHZ = ∠ZH c Z . Từ đó suy ra H a , H b , H c lần lượt thuộc đường tròn đường kính XX , Y Y , ZZ . Mặt khác theo định lý Collings ta có XH a , Y H b , ZH c đồng quy tại một điểm P thuộc (ABC). Và do đó áp dụng định lý Miquel vào tam giác P Y Z có H ∈ Y Z, H c ∈ ZP , H b ∈ Y P. Ta có (P H b H c ), (ZHH c ), (Y HH b ) đồng quy. Do đó đường tròn (ABC), đường tròn đường kính ZZ và Y Y đồng quy. Tương tụ đường tròn (ABC), đường tròn đường kính XX , Y Y đồng quy, đường tròn (ABC), đường tròn đường kính XX , ZZ đồng quy. Từ đó suy ra đường tròn đường kính XX , Y Y , ZZ đồng quy tại một điểm khác H. Do đó tâm của chúng thẳng hàng. Hay M a , M b , M c thẳng hàng. Để kết thúc phần này, ta sẽ đến với bài toán sau, bài toán sau đây là một bài toán không phải quá khó với nhiều bạn học sinh, tuy vậy nó là một bài toán khá hay, chúng ta sẽ cùng gặp lại nó sau phần Ứng dụng của đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner, và điểm anti-Steiner này. Ví dụ. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi S a , S b , S c , S d lần lượt là các đường thẳng Simson của A với tam giác BCD, B với tam giác ACD, C với tam giác ABD, và D với tam giác ABC. Chứng minh rằng S a , S b , S c , S d đồng quy. Chứng minh. 8 H d H c I O A B D C Gọi H a , H b , H c , H d lần lượt là trực tâm của tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. M là trung điểm AB. Do đó DH c = 2OM = CH d . Mặt khác DH c CH d nên tứ giác DCH d H c là hình bình hành. Từ đó DH d , CH c cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Tương tự ta thu được AH a , BH b , CH c , DH d cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Chú ý rằng ta có S a đi qua trung điểm AH a , S b đi qua trung điểm BH b , S c đi qua trung điểm CH c , S d đi qua trung điểm DH d , nên ta có S a , S b , S c , S d đồng quy tại trung điểm của AH a , BH b , CH c , DH d . 3.3 Các bài toán về đồng viên Đồng viên là một trong những vấn đề rộng lớn trong hình học phẳng, có rất nhiều định lý và bài toán nổi tiếng liên quan đến khái niệm đồng viên, trong mục này, ta sẽ khám phá ứng dụng của đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner và điểm anti-Steiner để giải quyết các vấn đề liên quan đến đồng viên. Trước tiên là một định lý hết sức quen thuộc và vô cùng quan trọng trong hình học phẳng: Ví dụ a) (Điểm Miquel) Cho tứ giác toàn phần ABCDEF . Khi đó các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AEF , DCE, ABC, BDF đồng quy tại 1 điểm, điểm đó gọi là điểm Miquel của tứ giác toàn phần. b) (Đường tròn Miquel) Cho tứ giác toàn phần ABCDEF . Khi đó điểm Miquel và tâm ngoại tiếp các tam giác AEF , CDE, ABC, BDF cũng nằm trên đường tròn, đường tròn đó gọi là đường tròn Miquel của tứ giác toàn phần. Lời giải. a) 9 M E A B C F D Gọi M là giao điểm của (ABC) và (AEF ). Ta có: (F M, F E) ≡ (AM, AC) ≡ (BM, BC) ≡ (BM, BD)(modπ) Suy ra F , M , D, B đồng viên. Tương tự thì C, E, M, D đồng viên. Từ đó suy ra các đường tròn AEF , DCE, ABC, BDF đồng quy tại 1 điểm. b) S T R M O O b O c O a E A B C F D Gọi O, O a , O b , O c là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AEF , BDF , CED. R, S, T là trung điểm của MA, ME, MC lần lượt. Ta có MA ⊥ OO a , M C ⊥ OO c , M E ⊥ O a O c . Hơn nữa dễ thấy R, S, T thẳng hàng, do đó theo định lý đảo lại của đường thẳng Simson ta có M, O, O a , O c đồng viên. Tương tự M, O a , O, O b đồng viên. Do đó M, O, O a , O b , O c đồng viên. Trên đây là định lý Miquel, một định lý rất quan trọng trong hình học, tiếp đến ta sẽ đến với một vài tính chất có liên quan đến đường thẳng Steiner mà theo tác giả thì nó rất hay và đẹp. Ví dụ. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). P là một điểm bất kì trong mặt phẳng. Gọi A 1 , A 2 , A 3 lần lượt là giao điểm của AP , BP , CP với đường tròn (O). A 2 , B 2 , C 2 lần lượt là các điểm đối xứng của (O) qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng 4 đường tròn (ABC), (P A 1 A 2 ), (P B 1 B 2 ), (P C 1 C 2 ) đồng quy. Lời giải. 10 [...]... Q lần lượt kẻ các đường vuông góc với AP và AQ, các đường này cắt BC lần lượt tại M , N Chứng minh rằng đường thẳng qua P và vuông góc với OM và đường thẳng qua Q và vuông góc với ON cắt nhau tại một điểm nằm trên đường tròn (O) Lời giải 1 (Lê Bích Ngọc, học sinh chuyên toán chuyên KHTN) 11 A Q P O H M B X Z N Y T C S Gọi đường thẳng qua P và vuông góc với OM và đường thẳng qua Q và vuông góc với ON... đường cố định Lời giải: 14 F' Q A M' E' H O' E O D B D' M C F P Gọi D, E, F là hình chiếu của P lên BC, CA, AB và D , E , F là hình chiếu của Q lên BC, CA, AB Do đó theo định lý về đường thẳng Simson ta có D, E, F thẳng hàng và D , E , F thẳng hàng Gọi H và trực tâm tam giác ABC và O là tâm đường tròn Euler của tam giác ABC, M và M lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua D, E, F với HP và đường thẳng. .. giao điểm J của (O) và đường thẳng qua Q vuông góc với ON là điểm anti -Steiner của đường thẳng QH trong tam giác ABC Vậy J ≡ J Ta có kết luận của bài toán 13 3.4 Các bài toán về điểm và đường cố định Trước hết chúng ta cũng xem qua ví dụ đơn giản sau: Ví dụ Cho hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) cắt nhau tại A, B Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (O1 ) tại C và (O2 ) tại D Tiếp tuyến tại C của (O1 ) và tiếp... được hai đường thẳng qua D, E, F và D , E , F vuông góc với nhau, do vậy giao điểm của chúng nằm trên đường tròn Euler của tam giác ABC (cố định), ta hoàn thành chứng minh Trên đây là một ví dụ khá thú vị, nó giúp ta thấy được mối liên hệ giữa đường thẳng Euler của tam giác và hai đường thẳng Simson của hai điểm xuyên tâm đối đối với tam giác đó tiếp tục mối liên hệ giữa các đường thẳng Simson và đường. .. tiếp đường tròn tâm (O) với trực tâm H Một đường thẳng bất kì qua O cắt AB, AC tại I, J Khi đó: a) Các đường tròn đường kính BI và CJ cắt nhau tại một điểm F nằm trên (O) b) Gọi G là điểm đối xứng của F qua IJ thì G thuộc (O), khi đó HF là đường thẳng Steiner của G đối với tam giác ABC Chứng minh bổ đề 12 L A M G H K P O I C J B F a) Kẻ đường kính CP và BK của (O) Áp dụng định lý Pascal đảo cho 6 điểm. .. với đường tròn đường kính AB Do đó HK tiếp xúc với đường tròn cố định Bài toán trên là ví dụ khá cơ bản về đường thẳng Simson trong việc tìm các yếu tố cố định, sau đây cũng là một ví dụ về các yếu tố cố định liên quan đến hai đường thẳng Simson Ví dụ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), P và Q là hai điểm xuyên tâm đối với nhau qua (O) Chứng minh rằng giao điểm hai đường thẳng Simson của P và. .. nhau qua AC kéo theo điểm đối xứng với G qua AC nằm trên M F Mặt khác dễ thấy H, L đối xứng với nhau qua AC và L thuộc M G do đó H thuộc M F Vậy HF là đường thẳng Steiner của G đối với tam giác ABC Đó là điều phải chứng minh Trở lại bài toán A P H J O B C M N Q Áp dụng bổ đề trên ta suy ra giao điểm J của (O) và đường thẳng qua P vuông góc với OM là điểm anti -Steiner của đường thẳng P H trong tam... đến đường thẳng Simson, hay đường thẳng Steiner, tuy nhiên ta vẫn có thể dùng phán đoán để giải bài này như sau Suy nghĩ một chút, ta sẽ thấy khi M di chuyển trên BC thì nó đi qua hai điểm đặc biệt rất dễ nhìn thấy, đó là B và C, hơn nữa, khi đó trung điểm DE sẽ lần lượt trùng với chân đường cao hạ từ B và C xuống các cạnh tương ứng, đến đây, ý tưởng của ta là chứng minh trung điểm DE, chân các đường. .. rằng một trong hai giao điểm của đường tròn (M N P ) và đường trong (A B C ) là điểm anti -Steiner của Q đối với tam giác A B C Bài 5 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) với N là điểm Nagel của nó ON cắt đường tròn (O) tại P Chứng minh rằng đường thẳng Simson của P với tam giác ABC hoặc song song hoặc vuông góc với HN Bài 6 (Định lý Sondat) Cho tam giác ABC, một đường thẳng d bất kì cắt BC,... Y là hai giao điểm của (A1 B1 C1 ) với đường tròn Euler của tam giác ABC P là điểm liên hợp đẳng giác của Q trong tam giác ABC M là 1 điểm trên đường vuông góc kẻ từ P tới BC −→ − − sao cho P M = → cho trước CMR trong hai đường thẳng qua X, Y và vuông góc với XM , Y M , u 19 có một đường thẳng cắt BC tại điểm cố định Bài 13 Cho tứ giác ABCD nội tiếp Kí hiệu SA ,SB theo thứ tự là đường thẳng Simson của . vào các Tính chất 1.6 và Tính chất 1.7, xin dành cho bạn đọc. 2 Đường thẳng Steiner và điểm anti -Steiner: 1. Định nghĩa: Định lý 1 (đường thẳng Steiner) . Cho tam giác ABC và điểm P nằm trên đường. biến đường thẳng Simson thành đường thẳng Steiner theo số 2. Hơn nữa đường thẳng Steiner đi qua H do đó đường thẳng Simson đi qua trung điểm của PH, và đây chính là Tính chất 1.2. 2. Một vài tính. giao điểm J của (O) và đường thẳng qua P vuông góc với OM là điểm anti -Steiner của đường thẳng P H trong tam giác ABC. Tương tự giao điểm J của (O) và đường thẳng qua Q vuông góc với ON là điểm