Đề thi GVG môn Toán THCS

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9, CẤP TRƯỜNG (Lần 1) Thời gian :90 phút  x x +1 x −1   x  − x + ÷  ÷ với x > x ≠  x −1 ÷ x −1 ÷  x −1   Bài 1: Cho biểu thức: P =  a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P = 1 1 1 + + + + + + + + 2 2 2005 20062 Bài 3: Giải phương trình: x4 - 8x + 12 = 1 + + + > 24 Bài 4: Chứng minh rằng: 1+ 5+ 9997 + 9999 Bài 2: Tìm tổng A = + Bài 5: Cho tam giác ABC, AD phân giác góc A (D  BC) Gọi M,N chân đường vuông góc kẻ từ B,C tới AD Chứng minh rằng: a) MB CN = AB AC b) BM + CN ≤ BC , dấu “=” xẩy nào? A BC BC c) Sin ≤ AB + AC ≤ AB AC Trường THCS Thuỷ Mai Đáp án biểu điểm ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9, CẤP TRƯỜNG (Lần 1) Bài 1: a) P = 2− x x (2điểm) b) Giải tìm x= (2điểm) Bài 2: (3,5 điểm) Với số tự nhiên n > ta có: ( ) ( ) 2 n2 + n + n2 + n + n ( n + 1) + ( n + 1) + n 1 1+ + = = = 2 n ( n + 1) n ( n + 1) n ( n + 1) = (n ) + n +1 n ( n + 1) ⇒ 1+ 1 1 n2 + n + 1 + = = 1+ = 1+ − 2 n n +1 n ( n + 1) n ( n + 1) n ( n + 1) Do đó: 1 1 A= + − + + − + + + 1 1 2005 − = + + + − = 2005 + − = 2005 2005 2006 2006 2006 2006 Bài 3: (3 điểm)Giải phương trình: x4 - 8x + 12 = ( ⇔(x ) ( ) ⇔ x4 − 4x2 + + 4x2 − 8x + = ) ( −2 +4 x− ) =0  x − = ⇔ ⇔x=  x − = Bài 4: (3,5 điểm) Gọi vế trái bất đẳng thức M 1 + + + 1+ 5+ 9997 + 9999 1 + + + N= 3+ 7+ 9999 + 10001 1 1 1 + + + + + + + M+N= + 1+ 5+ 9997 9999 3+ 7+ 9999 + 10001 M= − + − + − + + + 9997 − 9999 + 9999 − 10001 −2 − 10001 10001 − 10000 − 100 − 99 = > = = M+N= −2 2 2 99 M + N 99 96 M +N ⇒ > > = 24 ⇒ > 24 Như M + N > (1) 2 4 M +N Mặt khác: M > N ⇒ 2M > M + N ⇒ M > (2) M +N > 24 (đpcm) Từ (1) (2) ⇒ M > M+N= Bài 5: (6 điểm) Câu a: 1,5đ ; Câu b: 1,5đ ; Câu c: 2,5đ A M B D N C A BM CN = = AB AC b) BM ≤ BD CN ≤ CD (tính chất đường xiên – đường vông góc ) ⇒ BM + CN ≤ BD + CD hay BM + CN ≤ BC dấu “=” xẩy ⇔ Δ ABC cân A a) Sin để đường phân giác trùng với đường cao c) Sin A BM CN BM + CN BC = = ≤ = AB AC AB + AC AB + AC (1) Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương AB AC ta có BC BC AB + AC ≥ AB AC ⇒ AB + AC ≤ AB AC A BC (2) BC Từ (1) (2) ⇒ sin ≤ AB + AC ≤ AB AC Dấu “=” Xẩy AB =AC hay Δ ABC cân A Trường THCS Thuỷ Mai ...Đáp án biểu điểm ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9, CẤP TRƯỜNG (Lần 1) Bài 1: a) P = 2− x x (2điểm) b) Giải tìm x= (2điểm)... AB AC A BC (2) BC Từ (1) (2) ⇒ sin ≤ AB + AC ≤ AB AC Dấu “=” Xẩy AB =AC hay Δ ABC cân A Trường THCS Thuỷ Mai