ĐỀTHI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Đềthi gồm: 01 trang PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ BÀI 3x + x − + Câu 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P = x+ x −2 x −1 + − : x +2 x −1 1 Tìm điều kiện x để P có nghĩa, rút gọn P Tìm số tự nhiện x để số tự nhiên P Tính giá trị P với x = + 10 + − 10 27 27 Câu 2: (4,0 điểm) Cho phương trình x2 + 5mx - 4m = Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt; Với điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt x1; x2 Chứng minh x12 + 5mx2 - 4m > 0; Tìm m để biểu thức Câu 3: (4,0 điểm) 1) Giải phương trình ( m2 x1 + 5mx + 12m x+3 − x )( + x + 5mx1 + 12m đạt giá trị nhỏ m2 ) 1− x +1 = x2 + y = 2x2 y 2) Giải hệ phương trình ( x + y ) ( + xy ) = x y Câu 4: (6,0 điểm) Từ điểm S nằm đường tròn tâm (O), kẻ tiếp tuyến ST SK cát tuyến SAB (A nằm S B; A, B nằm cung tròn chứa điểm T) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với OT cắt TK TB C D Chứng minh CA = CD Câu 5: (2,0 điểm) 1) Với số thực a ta gọi phần nguyên a số nguyên lớn không vượt a ký hiệu2 [ a ] Chứng minh với số nguyên dương n , biểu thức 1 + 27 không biểu diễn dạng lập phương số nguyên dương 2) Với x, y, z số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy + yz + zx = , tìm giá trị 3x + y + z P= 2 n + 3 n − nhỏ biểu thức 6( x + 5) + 6( y + 5) + z + -Hết Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔNTOÁN KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Đáp án gồm: 02 trang BÁ THƯỚC ĐỀ CHÍNH THỨC II, ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Nội dung Điều kiện x ≥ 0; x ≠ P= = x+3 x +2 ( x − 1)( x + 2) x+3 x +2 ( x − 1)( x + 2) Điểm 0,5 ( x − 1) 0,5 ( x − 1)( x + 1) = ( x + 1) Do ( x + 1) ≥ với x ≥ nên < Vì Mà 1 ( x + 1) ≤1 1 = ∈N ⇔ = ⇔ ( x + 1) = 2 P ( x + 1) ( x + 1) = số tự nhiên x + > ⇒ x + = ⇔ x = Khi P Đặt a = + 10 0,5 0,5 Lập phương hai vế ta có x3 = + 2x ⇔ x3 - 2x - = ⇔ (x - 2)(x2 + 2x + 2) = 0,5 1 ; b = − 10 ta có 27 27 a + b = 3a.b = 0,5 0,5 x2 + 2x + > nên x = 0,25 Vậy P = ( + 1) = + 2 0,25 Để PT cho có hai nghiệm phân biệt ĐK cần đủ là: m > ∆ = 25m + 16m > ⇔ m < − 16 25 x1 + x = 5m x1 x = −4m Theo hệ thức Vi-ét: 0,5 0,25 Vì x1 hiệm pt nên: x12 - 5mx1 - 4m = => x12 = 5mx1 + 4m 0,25 Do x12 + 5mx2 - 4m = 5mx1 + 4m + 5mx2 - 4m 0,25 = 5m(x1+ x2 ) = 25m2 > Theo câu b ta có x12 + 5mx2 - 4m = 25m2 suy x12 + 5mx2 +12m = 25m2 + 16m 0,25 Tương tự x22 + 5mx1 +12m = 25m2 + 16m S= Vậy x1 x + 5mx1 + 12m m2 + m2 + 5mx + 12m 0,5 m2 25m + 16m = + 25m + 16m m2 Áp dụng BĐT Côsi với hai số dương tao có: 0,5 m2 25m + 16m S≥2 =2 25m + 16m m2 Dấu “=” xảy khi: m4=(25m2 + 16m)2 24m2 +16m = 0,5 m = ⇔ m = − 0,5 0,25 0,25 (m= loại) Vậy MinS= m = − Điều kiện ≤ x ≤ 0,5 phương trình tương đương với ⇔ ⇔ 3( − x + 1) = x + x + Nếu ≤ x < ⇒ ( x+3 + x ) − x + > đồng thời ( − x + 1) = x+ Suy VT > VP (loại) Thử lại ta thấy x = nghiệm x = y = nghiệm Xét x ≠ 0, y ≠ hệ phương trình tương đương với 1 1 1 x2 + y2 = x + y = (1) ⇔ + 1 + = + + = (2) ÷ ÷ ÷ ÷ x y xy x y xy x+3 < 0,5 1+ =3 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 1 x + y = 1 1 ⇔ x = y =1 Thay (1) vào (2) ta thu + ÷ = ⇔ x y =1 xy Vẽ hình xác T 0,5 P D B I C A O 0,5 S K Lấy I trung điểm AB => OI ⊥ AB 0,5 Chứng minh điểm S; T; I; O; K thuộc đường tròn đường kinh SO 0,75 sđ STK = sđ SIK = Ta có sđ ACK = (1) (sđ AT + sđ TP) Mà sđ AT = sđ TP => sđ ACK = sđ TK sđ TK 0,5 (2) Suy AIC = AKC (cùng chắn cung AC) AKC = TBA suy AIC = TBA mà hai góc vị trí đồng vị => CI//DB Trong tam giác ADB có CI//DB, IA = IB => C trung điểm AD 0,5 (do ST//AP) Từ (1) (2) suy ACK = AIK Vậy tứ giác AKIC nội tiếp mà 0,5 Hay CA = CD (đpcm) 1 1 + , n > ⇒ K ≥ Ta có K ≤ n − Ký hiệu K = n − + < K +1 27 27 1 ⇔ ( K − )3 ≤ n − < ( K + )3 27 0,5 0,5 0.75 0,75 0,25 0,25 K 1 − ≤ n− ≤ K + 2K + K + 27 27 27 K ⇔ K + ≤ n + K < K + 3K + K + 3 3 ⇔ K < n + K < ( K + 1) ⇔ K3 − K2 + 0,25 0,25 1 Suy n + K = n + n − + không biểu diễn dạng lập 27 0,25 phương số nguyên dương ( x2 + 5) + ( y + 5) + z + = ( x + y ) ( x + z ) + ( y + z ) ( y + x ) + ( z + x) ( z + y) 0,25 Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ≤ 3( x + y ) + ( x + z ) 3( x + y ) + ( y + z ) ( z + x ) + ( z + y ) + + 2 ≤ 9x + y + 6z = ( 3x + y + z ) 2 3x + y + z ≥ 6( x + 5) + 6( y + 5) + z + Đẳng thức xảy ⇔ x = y = 1, z = 2 Vậy Pmin = Suy P = 2 0,25 0,25 0,25 Ghi chú: - Thí sinh trình bày đúng, đủ nội dung làm cho 20 điểm - Điểm toàn tổng điểm thành phần làm tròn số đến 0,5đ ……………………… Hết …………………… ...KÌ THI GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011 – 2012 Đáp án gồm: 02 trang BÁ THƯỚC ĐỀ CHÍNH THỨC II, ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Câu Ý Nội dung