Đề thi GVG môn Toán THCS Thạch Hà

ĐỀ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2013-2014 Môn Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao nhận đề) Bài 1: Cho số: a = 11 11 (2n chữ số 1); b = 44 44 (n chữ số 4) Chứng minh rằng: a+b+1 số phương với số tự nhiên n Cho số tự nhiên a, b; thỏa mãn: a2+b2 chia hết cho Chứng minh rằng: tích ab chia hết cho Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: M = ( x − 2013) + ( x − 2014) 2 N = x − + x − + x − Bài 3: Giải phương trình: x −1 + x − = 2x − Phân tích thừa số: x4 + 64 Bài 4: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Vẽ dây CD vuông góc với AB H Phân giác góc ADC cắt AB I cắt đường tròn (O) M Chứng minh: MA=MI=MC Gọi N giao điểm MO với (O) Chứng minh: tam giác MCN đồng dạng với tam giác ICH Đặt OI=d; IH=r Chứng minh: R2-d2=2Rr Bài 5: Tìm số tự nhiên a, b Biết: a+1 chia hết cho b b+1 chia hết cho a PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO THẠCH HÀ Sơ lược giải hướng dẫn chấm môn Toán Bài 1: điểm (mỗi câu điểm) 102 n − 10n − 1 Ta có: a = 11 11= ; b = 44 44 = 9 2n n n 10 + 4.10 + 10 + 2 nên a+b+1 = =( ) 10n + n Mặt khác 10 +2 chia hết cho 3, nên số nguyên Vậy a+b+1 số phương (đpcm) Đặt a=3k+r (r=0; 1; 2); a2 = 9k2+6k+r2 suy a2 chia cho dư tương tự b2 chia cho dư Nếu a không chia hết cho 3, suy a2 chia cho dư Do a2+b2 chia hết cho suy b2 chia cho dư (loại) Vậy a chia hết cho 3, từ a2+b2 chia hết cho suy b chia hết cho 3; nên ab chia hết cho (đpcm) Bài M = ( x − 2013)2 + ( x − 2014) = x − 2013 + x − 2014 Mặt khác: M = x − 2013 + x − 2014 ≥ x − 2013 − x + 2014 = Dấu "=" xẩy ↔2013≤x≤2014 Vậy GTNN M =1 x − ≥0 dấu "=" ↔x=2 (1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 x − + x − ≥ dấu "=" xẩy ↔1≤x≤3 (2) Do đó: N≥2 dấu "=" xẩy ↔x=2 Trả lời: GTNN N=2 Bài 3: điểm (mỗi câu điểm) Lập phương vế phương trình: điểm 0,25 0,25 0,25 x − + x − = x − ta 0,25 được: 2x-3+ 3( x − + x − 2) ( x − 1)( x − 2) = x − Hay ( x − + x − 2) ( x − 1)( x − 2) = Xét khả năng: 0,25 a) ( x − 1)( x − 2) = ↔x=1 x=2 0,25 b) x − + x − = ↔x= Vậy phương trình cho có nghiệm: x=1; 2; x4+64=x4+2.x2.2.22 +(2.22)2 - 16x2 =(x2+8)2-(4x)2 =(x2-4x+8)(x2+4x+8) 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy: x4+64=(x2-4x+8)(x2+4x+8) Bài 4: ) ) DM phân giác góc ADC, nên AM = MC → MA=MC (1) sđ MABˆ = C M A I ) ) ( MC + CB ) ; ) ) ) ) AIMˆ = ( AM + DB ) mà MC = MA ; ) ) CB = BD ; nên MAIˆ = MIAˆ hay ∆MAI cân 0,25 điểm điểm O B M (2) Từ (1) (2) suy đpcm ∆IHC=∆IHD (t/c đối xứng đường D tròn) Mặt khác MDCˆ = MNCˆ (cùng chắn cung MC) suy tam giác vuông IHD, IHC MCN đồng dạng (g.g) N ∆IHD : MCN nên điểm điểm IH ID = ↔ID.MC=IH.MN=2Rr (3); MC MN MC=MI nên MI.ID=AI.IB=(R-d)(R+d)=R2-d2 (4) Từ (3), (4) suy ra: R2-d2=2Rr (đpcm) Bài 5: Do vai trò a, b bình đẳng, không tính tổng quát giả sử: 1≤a≤b *Nếu a=b→a=b=1 *Nếu a