Tích phân đường loại một

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2014 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Đặt vấn đề Cho hàm số z = f (x, y ) đường cong C mặt phẳng tọa độ Oxy Hãy tính diện tích "hàng rào" dọc theo đường C có chiều cao điểm (x, y ) f (x, y ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Đặt vấn đề TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Đặt vấn đề Diện tích "hàng rào" cần tìm n S≈ f (xi , yi ).∆ i i=1 Đây tổng Riemann lấy giới hạn tổng ∆ i → ta tích phân đường loại I TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Định nghĩa Định nghĩa Nếu f (x, y ) hàm số xác định đường cong trơn C = AB tích phân đường loại I f dọc theo C n f (x, y )d = lim λ→0 AB f (xi , yi ).∆ i i=1 giới hạn tồn tại, với λ = max ∆ i i TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Định nghĩa Định nghĩa Nếu f (x, y ) hàm số xác định đường cong trơn C = AB tích phân đường loại I f dọc theo C n f (x, y )d = lim λ→0 AB f (xi , yi ).∆ i i=1 giới hạn tồn tại, với λ = max ∆ i i Chú ý f (x, y )d = AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y )d BA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại 10 Tính chất tích phân đường loại 1d = L AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại 10 Tính chất tích phân đường loại 1d = L AB α.f (x, y )d = α AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y )d AB TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại 10 Tính chất tích phân đường loại 1d = L AB α.f (x, y )d = α AB f (x, y )d AB 30 [f (x, y ) + g (x, y )]d = AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y )d + AB TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT g (x, y )d AB TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại 10 Tính chất tích phân đường loại 1d = L AB α.f (x, y )d = α AB f (x, y )d AB 30 [f (x, y ) + g (x, y )]d = AB f (x, y )d + AB g (x, y )d AB 40 Nếu C = C1 ⊕ C2 f (x, y )d = C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y )d + C1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT f (x, y )d C2 TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại không gian Định lý Cho hàm số f (x, y , z) liên tục cung AB Khi f (x, y , z)d = AB b f (x(t), y (t), z(t)) (x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 dt = a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 30 / 37 Tích phân đường loại Ví dụ Tính I = Tính phân đường loại khơng gian y sin zd , với C C : x = cos t, y = sin t, z = t, TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT t 2π TP HCM — 2014 31 / 37 Tích phân đường loại Ví dụ Tính I = Tính phân đường loại khơng gian y sin zd , với C C : x = cos t, y = sin t, z = t, TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT t 2π TP HCM — 2014 31 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Giải Từ phương trình đường cong C : x = cos t, y = sin t, z = t ta có x (t) = − sin t; y (t) = cos t; z (t) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 32 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Giải Từ phương trình đường cong C : x = cos t, y = sin t, z = t ta có x (t) = − sin t; y (t) = cos t; z (t) = 2π sin t sin t (− sin t)2 + (cos t)2 + 12 dt = y sin zd = C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 32 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Giải Từ phương trình đường cong C : x = cos t, y = sin t, z = t ta có x (t) = − sin t; y (t) = cos t; z (t) = 2π sin t sin t (− sin t)2 + (cos t)2 + 12 dt = y sin zd = C = √ √ 2π sin tdt = t − sin 2t 2 2π 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT = √ 2π TP HCM — 2014 32 / 37 Tích phân đường loại Ví dụ Tính tích phân I = Tính phân đường loại không gian xzd , với C giao tuyến C mặt cầu x + y + z = mặt nón z = x + y lấy phần x, z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 33 / 37 Tích phân đường loại Ví dụ Tính tích phân I = Tính phân đường loại khơng gian xzd , với C giao tuyến C mặt cầu x + y + z = mặt nón z = x + y lấy phần x, z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 33 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại không gian Giải Viết phương trình tham số hóa giao tuyến Giao tuyến mặt cầu x + y + z = mặt nón z = x + y thỏa x2 + y2 + z2 = ⇒ z2 = x2 + y2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x2 + y2 + x2 + y2 = z2 = x2 + y2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 34 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Giải Viết phương trình tham số hóa giao tuyến Giao tuyến mặt cầu x + y + z = mặt nón z = x + y thỏa x2 + y2 + z2 = ⇒ z2 = x2 + y2 ⇒ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x2 + y2 + x2 + y2 = z2 = x2 + y2 x2 + y2 = z2 = TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 34 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Vì giao tuyến lấy phần z nên z = 1, x π π nên đặt x = cos t ta lấy phần t ∈ − , 2 Vậy giao tuyến C cần tìm có phương trình tham số   x = cos t   x (t) = − sin t π π t ⇒ y = sin t, − y (t) = cos t   2 z (t) = z =1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 35 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Khi I = xzd = C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 36 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Khi I = xzd = C π/2 = cos t.1 (− sin t)2 + (cos t)2 + 02dt = −π/2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 36 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Khi I = xzd = C π/2 = cos t.1 (− sin t)2 + (cos t)2 + 02dt = −π/2 π/2 = [sin t]−π/2 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 36 / 37 Kết thúc THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 37 / 37 ... TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại 10 Tính chất tích phân đường loại 1d = L AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường. .. TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Đặt vấn đề TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Đặt vấn đề Diện tích. .. ta tích phân đường loại I TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Định nghĩa Định nghĩa Nếu f (x, y ) hàm số xác định đường cong trơn C = AB tích