Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán

Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán Phân tích và bình luận một số đề thi vào lớp 10 chuyên toán

Tailieumontoan.com  Nguyễn Cơng Lợi PHÂN TÍCH VÀ BÌNH LUẬN 55 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Nghệ An, tháng năm 2019 Website:tailieumontoan.com PHÂN TÍCH VÀ BÌNH LUẬN 55 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi vào chuyên tốn lớp 10, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy em tuyển tập phân tích bình luận 55 đề thi vào chuyên toán năm 2016-2017 năm 2017-2018 Đây đề thi mang tính chất thực tiễn cao, giúp thầy cô em học sinh luyện thi vào lớp 10 chun tốn có tài liệu bám sát đề thi để đạt thành tích cao, mang lại vinh dự cho thân, gia đình nhà trường Bộ đề gồm nhiều Câu tốn hay thầy cô nước sưu tầm sáng tác, ôn luyện qua giúp em phát triển tư mơn tốn từ thêm u thích học giỏi mơn học này, tạo tảng để có kiến thức tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức lớp, cấp học nhẹ nhàng hiệu Các vị phụ huynh thầy dạy tốn dùng dùng tuyển tập đề tốn để giúp em học tập Hy vọng Tuyển tập 55 đề thi vào lớp 10 chuyên toán giúp nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải tốn nói riêng học tốn nói chung Bộ đề viết theo hình thức Bộ đề ơn thi, gồm: đề thi phân tích bình luận, lời giải chi tiết đề thi dựa đề thi thức sử dụng kì thi học sinh chun tốn tỉnh nước năm học 2016-2017 2017-2018 Mặc dù có đầu tư lớn thời gian, trí tuệ song khơng thể tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong góp ý thầy, cô giáo em học! Chúc thầy, cô giáo em học sinh thu kết cao từ đề này! Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com MỤC LỤC Đề số Trang TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2016 – 2017 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Phan Bội Châu Nghệ An Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên tỉnh Vĩnh Phúc Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường chuyên Hùng Vương Phú Thọ - Chuyên Toán Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường chuyên Hùng Vương Phú Thọ - Chuyên Tin Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Quốc Học Huế Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Thành phố Hà Nội Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên ĐHKHTN Hà Nội – Vòng 10 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Trường chun ĐHKHTN Hà Nội – Vòng 11 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Tỉnh Bắc Ninh – Vòng 12 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Tỉnh Bắc Ninh – Vòng 13 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Tỉnh Hà Nam 14 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường PTNK TP Hồ Chí Minh – Vòng 15 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường PTNK TP Hồ Chí Minh – Vòng 16 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Tỉnh Thái Nguyên 17 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên TP Hồ Chí Minh – Vòng 18 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Trường chun Tỉnh Bình Dương 19 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Tỉnh Bình Định 20 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Trường chun Tỉnh Bình Phước 21 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Tỉnh Hưng Yên – Vòng 22 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Tỉnh Hưng Yên – Vòng 23 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Trường chun Tỉnh Quảng Bình 24 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Tỉnh Long An 25 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chun Tỉnh Hòa Bình 26 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên ĐHSP Hà Nội – Vòng 27 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn Trường chun ĐHSP Hà Nội – Vòng Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com 28 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Tỉnh Quảng Ngãi TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN NĂM HỌC 2017 – 2018 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Phan Bội Châu Nghệ An Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Tỉnh Thái Bình – Vòng Đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Trường chun Tỉnh Thái Bình – Vòng Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường THPT chuyên Quốc Học Huế - Chuyên Toán Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường THPT chuyên Quốc Học Huế - Chuyên Tin Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường THPT chuyên Tỉnh Vĩnh Phúc Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường THPT chuyên Tỉnh Bình Định Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên ĐHSP Hà Nội – Vòng Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn Trường chun ĐHSP Hà Nội – Vòng 10 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường THPT chuyên Tỉnh Đồng Nai 11 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường THPT chuyên Tỉnh Quảng Ninh 12 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường THPT chuyên Hùng Vương Phú Thọ 13 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường THPT chuyên tỉnh Bắc Ninh 14 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường THPT chuyên tỉnh Hưng Yên 15 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Trường THPT chun tỉnh Bình Phước 16 Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường THPT chuyên tỉnh Thái Nguyên - Chuyên Toán 17 Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường THPT chuyên tỉnh Thái Nguyên - Chuyên Tin 18 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường THPT chuyên tỉnh Hải Dương 19 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường THPT chuyên tỉnh Bắc Giang 20 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn Trường THPT chun tỉnh Bình Dương 21 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường THPT chuyên Thành phố Hà Nội 22 23 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Trường THPT chun Thành phố Hồ Chí Minh Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên ĐHKHTN Hà Nội – Vòng Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi – xem thử TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com 24 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Tốn Trường chun ĐHKHTN Hà Nội – Vòng 25 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàuc 26 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Trường PTNK TP Hồ Chí Minh – Vòng 27 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Trường PTNK TP Hồ Chí Minh – Vòng 28 29 30 Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi – xem thử TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Đề số ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU Năm học 2016 – 2017 Câu (7.0 điểm) a) Giải phương trình 3x b) Giải hệ phương trình x 2xy 4x 2 4x y 3x 3y 12x 4x 4y Câu (3.0 điểm) Tìm tất c{c cặp số nguyên dương x ; y cho x 2 xy Câu (2.0 điểm) Cho a, b, c l| c{c số thực dương thay đổi Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: a2 P a b2 b b c c 4a Câu (6.0 điểm) Cho điểm A cố định nằm ngo|i đường tròn O Kẻ c{c tiếp tuyến AE, AF O (E, F l| c{c tiếp điểm) Điểm D di động cung lớn EF cho DE DF , D không trùng với E v| tiếp tuyến D O cắt c{c tia AE, AF B, C a) Gọi M, N l| giao điểm đường thẳng EF với c{c đường thẳng OB, OC Chứng minh tứ gi{c BNMC nội tiếp đường tròn b) Kẻ tia ph}n gi{c DK góc EDF v| tia ph}n gi{c OI góc BOC K EF;I BC Chứng minh OI song song với DK c) Chứng minh đường thẳng IK qua điểm cố định Câu (2.0 điểm) Mỗi điểm mặt phẳng gắn với hai m|u đỏ xanh Chứng minh ln tồn tam gi{c có ba đỉnh m|u v| có độ d|i cạnh Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Phân tích hướng dẫn giải Câu (7.0 điểm) 3x a) Giải phương trình x 3x 4x Phân tích Phương trình có chứa nhiều dấu ta khơng nhẩm nghiệm đẹp nên tạm thời ta không sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp Lại thấy phương trình khơng thể viết thành tích hay viết thành bình phương Phương pháp đặt ẩn phụ khó khăn ta khơng thể biểu diễn vế phải theo hai thức vế trái Nhận thấy sau bình phương hai vế phương trình thức phân tích nên ta chọn phương pháp nâng lên lũy thừa để giải toán xem 3x x 3x 4x 3x 2 2x 3x 2x Đến ta thấy giải phương trình Lời giải Điều kiện x{c định phương trình l| Phương trình cho x tương đương với 3x Đặt t t2 3x 2t Từ t x 2x t t 3x 4x 3x 2 2x 3x 2x Khi phương trình trở th|nh 3x ta 2x x 13 Kết hợp với điều kiện x{c định phương trình ta tập nghiệm l| S 13 ; 13 b) Giải hệ phương trình 2xy 4x 3y 4x y2 12x 4y Phân tích Quan sát phương trình hệ ta thấy phương trình thứ có bậc ẩn, ta biểu diễn ẩn theo ẩn vào phương trình thứ hai, nhiên sau phép phương trình thu có bậc nên ta tạm thời chưa sử dụng phép Quan sát kỹ phương 2xy 4x trình 3y ta thấy phương 2x Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử y trình thứ phân tích Đến ta giải hệ phương trình TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải Phương trình thứ hệ tương đương với 2xy 3y 2x y y 2 x y , v|o phương trình thứ hai hệ v| thu gọn ta y y + Với x y2 4x 2x 4y + Với x , v|o phương trình thứ hai hệ ta 4x 12x x ;x 2 3 ; 2, ; , ;0 , ; Vậy hệ phương trình có c{c nghiệm x ; y 2 2 Nhận xét Để ý phương trình thứ hai hệ có bậc hai ẩn nên ta xem phương trình phương trình ẩn y tham số x (vì hệ số cao y 1) Khi ta viết phương trình lại thành y ' 4x 2 4x 4y 12x 12x 4x 9 12x Đến ta , khơng có dạng phương Do phương trình khơng phân tích thành tích Để ý lên hệ hai phương trình hệ ta thấy 4x y2 4xy 2x y 12x 4y 8x 6y 4x 2y Do từ hệ phương trình ta 4x 2x y2 y 12x 4y 2xy 2x y 2x 4x y 3y 2x 4x y y2 4xy 4x 2y 0 Đến ta có thêm cách giải khác cho hệ phương trình Trong hệ phương trình mà phương trình có bậc hai ẩn ta cần kiểm tra cụ thể phương trình xem có phương trình phân tích thành tích Khi khơng có phương trình phương trình phân tích thành tích ta nghĩ đến phép cộng, trừ theo vế hai phương trình Nhận thấy giá trị y nhận 4; 2;0 , điều có nghĩ phương trình ẩn y phân tích dẽ dàng Do ta rút x theo y từ phương trình thứ vào phương trình thứ hai để đươncj phương trình bậc ẩn y Chú ý khí rút x theo y ta phải xét trường hợp y để phương trình phân tích Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi – xem thử TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Câu Tìm tất c{c cặp số nguyên dương x ; y cho x xy 2 Phân tích Khi giải toán số học quan hệ chia hết ta ln có thói quen đặt kết phép chia k để đưa dạng phương trình nghiệm nguyên Ở ta áp dụng hướng Đặt x 2 ta x k xy kxy 2k phương trình bậc hai nên ta có hai ý tưởng để giải phương trình sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình áp dụng hệ thức Vi – et Xem phương trình phương trình bậc ẩn x ta có + Ý tưởng Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình k 2y Ta có 2k k 2y 2 8k Để phương trình có nghiệm x ngun số phương Đến hướng khơng hợp lí cho k 2y phải 8k số phương khó để tìm k + Ý tưởng Sử dụng hệ thức Vi – et để tìm điều kiện k Giả sử x ; y thỏa mãn yêu cầu tốn Xét phương trình x theo x0 định x1 lia Vi ky0 ; x 0x1 – kxy0 te 2k 2k phương , x nghiệm phương trình Do trình có nghiệm x1 Ta có Đến dễ thấy x nhận giá trị nguyên âm nên hương không khả thi + Ý tưởng Cũng với ý tưởng đặt k ta cần thay đổi toán chút xem x2 Khi đặt 2x 2y xy x 2y k xy 2x 2x 2y xy 2x 2y xy 2 đưa dạng phương trình nghiệm nguyên để giải Tuy nhiên để giải phương trình ta cần giới hạn k Để làm điều ta cho k nhận vài giá trị 1;2; giới hạn k Ta thấy k ta tìm cặp x ; y 3; thỏa mãn Khi k 2;3;4 ta thấy phương trình khơng có nghiệm ngun dương Do ta nghĩ đến chứng minh k Lời giải Ta có x Đặt 2x Xét k 2x 2y k xy xy 2 với k x 2y 2x y xy 2x 2y xy 2x 2y xy N* Khi 2y k xy 2 xy Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử x x y 1 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Điều n|y m}u thuẫn x ; y nguyên dương Suy k hay k + Nếu x 1; y 2 x 3; y + Nếu x 2; y x 4; y Suy x y xy x 2 y 2 Vậy cặp số x ; y thỏa mãn b|i to{n l| 3; 4; Câu Cho a, b, c l| c{c số thực dương thay đổi Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: a2 P a b2 b c Phân tích: Đầu tiên ta dự đoán P nhỏ a b P a2 hay a b b2 b c c 4a b c 4a Ta cần chứng minh c Khi P Ý tưởng ta đưa bất đẳng thức dạng c2 4ac c hoán vị Lại thấy theo bất đẳng thức Cauchy ta có 4a c2 a c nên ý tưởng lại có sở a2 Như ta cần chứng minh Để ý ta thấy x y2 z2 a2 a x y b c2 c a Ta cần chứng minh a b a c b b c a a b 2 c c b a c , áp dụng ta b c2 z b2 b a b2 c b a c c a a b c a b b b c c c a Nếu áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức bất đẳng thức sai Do ta nghĩ đến hướng khác Ta có a a b b b c c a a2 c a2 a a2 a2 a b Hay ta cần chứng minh a b b2 b2 b b4 c4 b2 b c2 c b2 2 c2 c c2 c a ta chứng minh c2 c a 2b a b 2c 2 c 2a a 3b b 3c c 3a Đến ta lại chứng minh đánh giá Như sử dụng bất đẳng thức Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử TÀI LIỆU TOÁN HỌC 146 Website:tailieumontoan.com y x2 x Với x x y x2 4x 10xy x2 y2 y2 x 4y y 2x x2 y x 2y y2 x y x 2y y 2x 2y , thay v|o phương trình thứ hai hệ ta y 4y 2y Với y y2 y2 3y 3 y x y 2x , thay v|o phương trình thứ hai hệ ta 2x x x 4x 3x 3 x Vậy hệ phương trình cho có c{c nghiệm l| x ; y 1;2 , 2;1 Câu (1.5 điểm) Tìm số phương có bốn chữ số biết tăng chữ số đơn vị số tạo th|nh l| số phương có bốn chữ số Lời giải Gọi số phương có bốn chữ số cần tìm l| abcd Đặt k abcd k N * , ta có 1000 số abcd đơn vị ta a Đặt a b c Do ta m Để ý m b d a m2 m k m k 1111 k2 9999 c d 31 k a abcd N * , ta có m 1.1111 a b, c, d 8, 100 Khi tăng chữ 1111 k2 1111 11.101 n nên từ phương trình ta xét c{c trường hợp sau + Trường hợp Với + Trường hợp Với m k m m k 1111 k m k 11 m m k 101 k Do số cần tìm l| abcd k2 452 556 555 56 45 , loại k không thỏa mãn 31 , thỏa mãn điều kiện 31 2025 a b c d k a k 100 100 562 3136 Câu 1) Từ điểm S nằm ngo|i đường tròn t}m O kẻ c{c tiếp tuyến SA, SC v| c{t tuyến SBD (B nằm hai điểm S v| D) Gọi I l| giao điểm AC v| BD Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử TÀI LIỆU TOÁN HỌC 147 Website:tailieumontoan.com a) Chứng minh ABCD AD.BC A Xét hai tam giác SAB SDA có ASD chung SAC SDA nên H S SAB ∽ SDA Từ ta có AB AD ý SA AB AD C SB Chứng minh ho|n to|n SA tương tự ta BD CD O D B SB Để SC SC nên ta BC CD AB.CD b) Chứng minh AD.BC SB SD IB ID AB Theo chứng minh ta có AD AB.CB AD.CD BC AB BC AD DC DC BC DC SB SC SB SB SB SB SC Do SCB ∽ SDC nên ta có nên 2 SD SD SC SD SC SC AB BC SB Từ ta Ta có AH vng góc ới OS v| SH SO SB.SD SA2 từ AD DC SD ta suy SOB ∽ SHD Điều n|y dẫn đến tứ gi{c OHBD nội tiếp đường tròn, ta BHS OHD ODB OBD OHD Lại có ODB OBD nên ta suy SHB Từ ta DHI BHI hay HI l| tia ph}n gi{c tam gi{c HBD nên HS l| tia ph}n gi{c ngo|i tam gi{c HBD Theo tính chất tia ph}n gi{c tam gi{c ta có SB IB HB SD ID HD SB IB AB.CB Do ta có SD ID AD.CD 2) Cho nửa đường tròn t}m O có đường M kính AB 2R Điểm M nằm nửa đường tròn O cho MAB F 600 Kẻ MH vng góc với AB H, HE vng E K A H O B góc với AM E v| HF vng góc với BM F C{c đường hẳng EF v| AB cắt Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử TÀI LIỆU TỐN HỌC 148 Website:tailieumontoan.com K Tính diện tích tam gi{c MEF v| độ d|i c{c đoạn thẳng KA, KB theo R + Tính diện tích tam gi{c MEF theo R 900 nên AM Do góc AMB Lại có AH Do ta EH R; MH R.cos600 MAc osMAH 2.cos600 AB.cosMAB AH sin EAH R sin 600 Theo hệ thức lương tam gi{c ta có ME Từ đs ta SMEF 3R R 4 S MEHF R MA.sin 600 MA.sin MAH R R R MH MA 3R R 3R dvdt 32 + Tính độ d|i c{c đoạn thẳng KA, KB theo R Ta có HF 3R nên ta có BF ME 3R HF cot ABC 1800 Do tứ gi{c ABEF nội tiếp đường tròn nên ta có KFB Mà ABC 300 , suy FKH MAB 300 Suy tam gi{c KFB c}n F, suy KF FB 3R Vẽ FI vng góc với KB I, ta KB 2IB 2.BF cosABC Do KA KB 9R AB 2R a 2bc 3R 9R R dvdd Câu (1.0 điểm) Cho c{c số thực dương a, b, c thỏa mãn a 1200 b 2ca c 2ab b c Chứng minh rằng: Lời giải Dễ d|ng chứng minh bổ đề: Với x, y, z dương ta có x y z x y x Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử TÀI LIỆU TOÁN HỌC 149 Website:tailieumontoan.com [p dụng bổ đề ta a Do a b Từ ta có 2bc c b 2ca nên ta có a c 2ab a b c 2bc b a 2 2ca Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử c b 2ca c 2ab a b c 2bc 2ab Bất đẳng thức chứng minh TÀI LIỆU TOÁN HỌC 150 Website:tailieumontoan.com Đề số 20 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG CHUYÊN TỈNH BÌNH PHƯỚC Năm học: 2016 – 2017 Câu (2.0 điểm) Cho biểu thức P x x 2 x x x , với x x x 0, x a) Rút gọn biểu thức P b) Tính gi{ trị biểu thức P x 46 5 Câu (1.0 điểm) Cho phương trình x m2 2mx 4m (m l| tham số) Tìm c{c gi{ trị m x12 để phương trình có hai nghiệm x 1; x cho biểu thức T x 22 x1x đạt gi{ trị nhỏ Câu (2.0 điểm) a) Giải phương trình x b) Giải hệ phương trình 2x xy y2 x 3y 7x 14x x 2y 3y 4xy 7xy 5x y Câu (3.0 điểm) Cho tam gi{c nhọn ABC có AB AC nội tiếp đường tròn O Tiếp tuyến A đường tròn O cắt BC T Gọi T l| đường tròn t}m T có b{n kính TA Đường tròn T cắt đoạn thẳng BC K a) Chứng minh TA2 v| AK l| tia ph}n gi{c góc BAC TBTC b) Lấy điểm P cung nhỏ AK đường tròn T Chứng minh TP l| tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam gi{c PBC c) Gọi S, E, F l| giao điểm thứ hai AP, BP, CP với đường tròn O Chứng minh SO vng góc với EF Câu (1.0 điểm) Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi – xem thử TÀI LIỆU TỐN HỌC 151 Website:tailieumontoan.com a4 Cho biểu thức Q 94 2a 16a 2a 15 Tìm tất c{c gi{ trị nguyên a để Q chia hết cho 16 Câu (1.0 điểm) a) Từ 2016 số 1;2; 3; ;2016 ta lấy 1009 số Chứng minh c{c số lấy có hai số nguyên tố b) Cho c{c số thực a v| b lớn Chứng minh a b b a 3ab 11 Hướng dẫn giải x Câu (2.0 điểm) Cho biểu thức P a) Với x P 0, x x x x x x x 46 Do ta P x x x x x x , với x x 0, x 1 ta x 2 x x x x x 2 x x 46 x 5 x 2 x x x x x x b) Tính gi{ trị biểu thức P x Ta có x x x x 1 x x 1 5 Câu (1.0 điểm) Cho phương trình x 2mx m2 4m (m l| tham số) Tìm c{c gi{ trị m để phương trình có hai nghiệm x 1; x cho biểu thức T x12 x 22 x1x đạt gi{ trị nhỏ Lời giải Phương trình cho có nghiệm x 1; x v| ' m2 Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử m2 4m 4m m TÀI LIỆU TOÁN HỌC 152 Website:tailieumontoan.com Theo hệ thức Vi – et ta có x1 x12 Ta có T x 22 Hay ta T x1x m Do m nên m T m 27 x2 x1 2m; x1x 2 x2 m2 4m 4m 3x1x 3 m2 4m m2 12m 27 21 nên suy m 6 441 nên 16 16 , đạt m 16 Vậy gi{ trị nhỏ T l| Câu (2.0 điểm) a) Giải phương trình x 2x 7x 14x Lời giải Điều kiện x{c định phương trình l| 2x 7x Phương trình cho viết lại th|nh 2x 2x Đặt t 7x 7x 2x 7x , ta có phương trình 2t t Khi ta phương trình 2x 7x 2x 2 7x Kết hợp với điều kiện x{c định ta t}p nghiệm S b) Giải hệ phương trình xy xy y2 4xy 3y x 7xy 5x 2y y 3y y x y x 3t x 57 ; t 57 57 0; x 2y 1 l| nghiệm hệ phương trình Do 2y y Lời giải Điều kiện x{c định hệ phương trình l| 3y Dễ thấy x , phương trình thứ hệ tương đương với y 3y Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử x x 2y x y y 3y x 2y TÀI LIỆU TỐN HỌC 153 Website:tailieumontoan.com Dễ thấy với y x 3y x 2y Do từ phương trình ta y thay v|o phương trình thứ hai hệ cho ta phương trình x4 4x 7x 6x x Kết hợp với điều kiện x{c định ta x ; y x2 2x x 1;1 l| nghiệm hệ phương trình cho AC nội tiếp đường tròn O Tiếp Câu (3.0 điểm) Cho tam gi{c nhọn ABC có AB tuyến A đường tròn O cắt BC T Gọi T l| đường tròn t}m T có b{n kính TA Đường tròn T cắt đoạn thẳng BC K a) Chứng minh TA2 TBTC E A AK l| tia ph}n gi{c góc BAC F P O Tam giác TAB tam giác TCA T C K B đồng dạng với nên J TA Ta có TBTC AKB ACK KAC TAK TAB BAK Mà AKB ACK S TAK TAB Do ta suy KAC BAK hay AK tia ph}n gi{c góc ABC b) Lấy điểm P cung nhỏ AK đường tròn T Chứng minh TP l| tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam gi{c PBC Ta có TA TP nên TP , suy TBTC TP TB TC , m| ta lại có PTB TP đến hai tam gi{c PTB v| CTP đồng dạng với nhau, TPB CTP nên dẫn TCP hay TP l| tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam gi{c PBC Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi – xem thử TÀI LIỆU TỐN HỌC 154 Website:tailieumontoan.com c) Gọi S, E, F l| giao điểm thứ hai AP, BP, CP với đường tròn O Chứng minh SO vng góc với EF Ta có TPB TCP BEF nên TP song song với EF Ta có PTJ 2.PAJ JOS 2.JAS 2.PAJ ta PTJ JOS M| TJ l| tiếp tuyến đường tròn O nên TJ vng góc với OJ, suy TP vng góc với OS Kết hợp với TP song song với EF ta OS vng góc với EF a4 Câu (1.0 điểm) Cho biểu thức Q 2a 16a 2a 15 Tìm tất c{c gi{ trị nguyên a để Q chia hết cho 16 Lời giải Nhận thấy a l| số nguyên chẵn Q l| số nguyên lẻ, Q khơng chia hết cho 16 Do a phải l| số nguyên lẻ, ta đặt a 2k 1k Z Biến đổi biểu a2 2a thức Q ta a4 Q 2a a2 a Thay a 16a 2 2a a 15 a2 a2 16 a 2a a 1 2k 1k Z v|o biểu thức Q ta thu Q 2k 2k 16 4k 4k 16 k a 16 a k 16a 16 4k 16 4k 16 Như với a l| số ngun lẻ Q ln chia hết cho 16 Câu (1.0 điểm) a) Từ 2016 số 1;2; 3; ;2016 ta lấy 1009 số Chứng minh c{c số lấy có hai số nguyên tố Lời giải Gọi 1009 số lấy 2016 số l| a1;a2 ;a3 ; ;a1009 a1 a2 a3 Xét dãy số n1 a2 a1; n2 Giả sử S n1 n2 n 1008 a1009 a3 a2 2016 a2 ; n a1 a3 a4 a3 ; ; n1008 a2 a1009 a1009 a1008 a1008 Khi ta có a1009 a1 2016 Dễ thấy c{c số n1; n2 ; n3 ; ; n1008 lớn thừ S lớn 2016 Từ S 2015 2015 nên c{c số n1; n2 ; n3 ; ; n1008 tồn số Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi – xem thử TÀI LIỆU TỐN HỌC 155 Website:tailieumontoan.com Giả sử ni i 11 1008 , ta có tiếp Điều n|y dẫn đến a i ai 1 , hay a i l| hai số tự nhiên liên l| hai số nguyên tố b) Cho c{c số thực a v| b lớn Chứng minh rằng: a b b a 3ab 11 Lời giải Do a v| b lớn nên {p dụng bất đẳng thức AM – GM ta a a a ab 2b a b b b ab 2a b Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta ab Từ suy a b b a nên ab a b Phép chứng minh kết thúc ta 12 3ab t2 t t , suy ab 11 t2 t2 36 b a 6 ab b a 3ab 2ab 3ab Bất đẳng thức dươc viết lại th|nh 12 Đặt t a b 3ab ab 3ab 11 11ab Thay v|o bất đẳng thức ta 2t 8t 11t Dễ thấy bất đẳng thức cuối với t 44 t 2t 0 Vậy b|i to{n chứng minh xong Dấu xẩy a Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử b TÀI LIỆU TOÁN HỌC 156 Website:tailieumontoan.com Đề số 21 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUN TỐN TRƯỜNG CHUN TỈNH QUẢNG BÌNH Năm học 2016 – 2017 a Câu (2.0 điểm) Cho biểu thức P a a a 3 a a với a 0, a a) Rút gọn biểu thức P b)Tính gi{ trị P a Câu 2(2.5 điểm) a) Giải phương trình x2 2x b) Cho phương trình x 2017 2m 1x x 3x m2 2016 (1) (m l| tham số) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm ph}n biệt x 1; x thỏa mãn x12 4m m x 22 x1 4m x2 m2 Câu 3(1.0 điểm) Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn ab Chứng minh a3 b b3 c c3 Câu 4(3.5 điểm) Cho tam gi{c nhọn ABC ( AB 25 bc ca 3abc a AC ) nội tiếp đường tròn t}m Đường ph}n gi{c góc BAC cắt BC D, cắt đường tròn (O) E Gọi M l| giao điểm AB v| CE Tiếp tuyến C đường tròn (O) cắt AD N v| tiếp tuyến E đường tròn (O) cắt CN F a) Chứng minh tứ gi{c MACN nội tiếp đường tròn b) Gọi K l| điểm cạnh AC cho AB = AK Chứng minh AO c) Chứng minh CF Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử CN DK CD TÀI LIỆU TOÁN HỌC 157 Website:tailieumontoan.com Câu 5(1.0 điểm).Trong 100 số tự nhiên từ đến 100 chọn n số ( n ) cho hai số ph}n biệt chọn có tổng chia hết cho Hỏi chọn n số thỏa mãn điều kiện với n lớn bao nhiêu? Hướng dẫn giải a Câu (2.0 điểm) Cho biểu thức P a a a a a với a 0, a a) Rút gọn biểu thức P a Với P a a a a a 0, a a Suy a ta có P 2 4 a a b)Tính gi{ trị P a Với a 0, a ta a a a 2 có a a a Ta có a 3 2 Khi P 3 2 3 1 1 2 Câu 2(2.5 điểm) a) Giải phương trình x2 2x 2017 x 3x 2016 Lời giải Điều kiện x{c định phương trình l| x 672; x Biến đổi phương trình cho ta Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử TÀI LIỆU TOÁN HỌC 158 Website:tailieumontoan.com x2 2x 3x x x 2017 x x 3x 2x 2016 Do 3x 2x 2016 2016 2017 x2 2017 x2 x x với x Suy từ phương trình ta x 3x 2m 2017 3x 672; x 2x 2016 x2 2017 0 Kết hợp với điều kiện x{c định ta có nghiệm x b) Cho phương trình x 2x 2016 m2 1x (m l| tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ph}n biệt x 1; x thỏa mãn x12 4m x1 Lời giải Ta có m x 22 ' 4m 3m m2 x2 4m m 25 3m m Phương trình cho có hai nghiệm ph}n biệt ' m 3m Vì x 1; x l| hai nghiệm phương trình nên theo hệ thức Vi – et ta có x 12 4m x1 m2 x1 x 22 4m x2 m2 x2 x12 4m x1 x1x x1 x1 m x2 4m m2 x 1.x 2 Khi đó: m x 22 4m x2 m2 31 m2 32m 31 x2 x1 25 m Kết hợp với điều kiện có nghiệm phương trình ta m x2 1; 31 31 thỏa mãn yêu cầu b|i toán Câu 3(1.0 điểm) Cho a, b, c l| c{c số thực dương thỏa mãn ab Chứng minh a Lời giải Từ giả thiết ta có b a Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử b b c c c bc ca 3abc a Khi TÀI LIỆU TỐN HỌC 159 Website:tailieumontoan.com 1 a3 b3 b c c3 1 a 2a ab 2b bc 2c ca a ab b bc c ca a ab b bc c ca 2 2 2 3 1 ab bc b c 2bc ca 2 c a 2ca 2 Dấu xẩy xảy v| a b c Câu 4(3.5 điểm) Cho tam gi{c nhọn ABC ( AB ab b a ab a b 2ab a ab ab bc c b bc bc bc ca c ca ca ca AC ) nội tiếp đường tròn t}m O Đường ph}n gi{c góc BAC cắt BC D, cắt đường tròn O E Gọi M l| giao điểm AB v| CE Tiếp tuyến C đường tròn O cắt AD N v| tiếp tuyến E đường tròn O cắt CN F a) Chứng minh tứ gi{c MACN nội tiếp đường tròn Vì AD l| tia ph}n gi{c BAC MAN nên A NAC Mà NAC MCN (góc tạo tia tiếp tuyến O v| d}y cung v| góc nội tiếp chắn cung) Suy NAM K MCN Vậy tứ gi{c B I C D MACN nội tiếp đường tròn AK Chứng minh AO DK Gọi I l| giao điểm AO v| DK (I Khi dễ thấy AKD F E b) Gọi K l| điểm cạnh AC cho AB = DK ) M N ABD nên AKI ABD Suy AKI AOC AKI OAK 900 OAK nên 900 Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử TÀI LIỆU TOÁN HỌC 160 Website:tailieumontoan.com Vậy OA vng góc với DK c) Chứng minh Ta có BCE EF CD CF CN CD CEF nên BC//EF hay DC//EF Do CN CF CN CF CD CN Vậy CF EF CD NF , kết hợp với EF NC CN CF suy CD Câu 5(1.0 điểm).Trong 100 số tự nhiên từ đến 100 chọn n số ( n ) cho hai số ph}n biệt chọn có tổng chia hết cho Hỏi chọn n số thỏa mãn điều kiện với n lớn bao nhiêu? Lời giải Gọi a1;a2 ; ;an l| n số thỏa mãn đề b|i Vì 6, 12, 18 thỏa mãn đề b|i nên cần xét n Theo giả thiết a1 a2 ;a1 a ; a2 a3 chia hết 2a1 a2 a3 suy 2a1 chia hết cho a1 chia hết cho Lập luận tương tự số a1;a2 ; ;an chia hết cho 3, nghĩa l| chia cho chúng có dạng 6k 6k (k l| số tự nhiên) Trong n số xét khơng thể có hai số thuộc hai dạng trên, lúc tổng chúng khơng chia hết cho Vậy có hai dãy số ( n ) thỏa mãn đề b|i l|: + C{c số có dạng 6k , với + C{c số có dạng 6k k , với Kết luận: Có thể chọn dãy với n lớn l| n Tác giả: Nguyễn Công Lợi – xem thử 16 , gồm 16 số k 16 , gồm 17 số 17 số thỏa mãn đề b|i TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... Website:tailieumontoan.com PHÂN TÍCH VÀ BÌNH LUẬN 55 ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUN TỐN LỜI NĨI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu giáo viên toán THCS học sinh luyện thi vào chuyên toán lớp 10, website tailieumontoan.com giới thi u... Chuyên Toán Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường chuyên Hùng Vương Phú Thọ - Chuyên Tin Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Quốc Học Huế Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên. .. Tỉnh Bình Dương 19 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chun Tốn Trường chun Tỉnh Bình Định 20 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường chuyên Tỉnh Bình Phước 21 Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Trường