De DA HSG toan 8 1314

PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG MŨI NHỌN ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2013 – 2014 Môn thi: TOÁN (Đề gồm trang) Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm ) a Phân tích đa thức thành nhân tử: x + xy + y − b Giải phương trình: x −1 x − x − x − 2012 + + + + = 2012 2013 2012 2011 c Tìm đa thức f ( x) biết: f ( x) chia cho x − dư 5; f ( x) chia cho x − dư 7; f ( x) chia cho ( x − 2)( x − 3) thương là x − và đa thức dư bậc x Bài 2: (2.0 điểm) Cho: P = 7.2014 + 12.1995 với n ∈ N ; Q = n a b n ( x + n)(1 + n) + n2 x + Chứng minh: ( x − n)(1 − n) + n2 x + P chia hết cho 19 Q không phụ thuộc vào x và Q > Bài 3: (1,5 điểm) a Chứng minh: a + 5b2 − (3a + b) ≥ 3ab − b Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x + y + x = 19 Bài 4: ( 4.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB6 HE HF HG Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG Câu Ý âc b Câu c a b Câu ĐÁP ÁN THI KSCL MŨI NHỌN NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN Nội dung x + xy + y − = ( x – 9) + 2y(x + 3) = (x – 3)(x + 3) + 2y(x + 3) =(x+ 3)(x + 2y – 3) 2 x −1 x − x − x − 2012 + + + + = 2012 ⇔ 2013 2012 2011 x −1 x−2 x−3 x − 2012 −1+ −1+ − + + −1 = ⇔ 2013 2012 2011 x − 2014 x − 2014 x − 2014 x − 2014 1 + + + + = ⇔ (x – 2014)( + + + ) = 2013 2012 2011 2013 2012 ⇔ x = 2014 Câu b 0.5 0,25 Gọi dư phép chia f(x) cho x2 - là ax + b Ta có : f(x) = (x – 2)(x – 3)(x2- 1) + ax + b Theo bài : f(2) = nên ta có 2a + b = ; f(3) = nên 3a + b = HS tính a = ; b = Vậy đa thức cần tìm là : f(x) = (x – 2)( x – 3)(x2 - 1) + 2x + P = 7.2014n + 12.1995n = 19.2014n -12.2014n + 12.1995n = 19.2014n - 12(2014n -1995n) Ta có : 19 2014n M19 ; (2014n -1995n) M19 nên P M19 0.25 ( x + n)(1 + n) + n x + x + x n + n + n + n x + = ( x − n)(1 − n) + n x + x − x n + n − n + n x + x (n + n + 1) + n + n + (n + n + 1)( x + 1) (n + n + 1) = = 2 = x (n − n + 1) + n − n + (n − n + 1)( x + 1) ( n − n + 1) 0,25 Q= Vậy Q không phụ thuộc vào x a Điểm 0.5 (n + ) + n2 + n + >0 = Q= n − n + (n − ) + a + 5b – (3a + b) ≥ 3ab – ⇔ 2a2 + 10b2 – 6a -2b – 6ab +10 ≥ ⇔ a2 – 6ab +9b2 + a2 – 6a + + b2 - 2b +1 ≥ ⇔ (a – 3b)2 +(a - 3)2 + (b – 1)2 ≥ Dấu « = » xảy a = ; b = x + y + x = 19 ⇔ 2x2 + 4x + = 21 – 3y2 ⇔ 2(x + 1)2 = 3(7 – y2) (*) Xét thấy VT chia hết 3(7 – y2) M2 ⇔ y lẻ (1) Mặt khác VT ≥ ⇔ 3(7 – y2) ≥ ⇔ y2 ≤ (2) Từ (1) và (2) suy y2 = thay vào (*) ta có : 2(x + 1)2 = 18 HS tính nghiệm nguyên là (2 ; 1) ; (2 ; -1) ; (-4 ; -1) ; (-4 ; 1) 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.25 0.25 A F K G H I B E M C N D Câu a CE CA = Ta có ∆ AEC : ∆ BFC (g-g) nên suy CF Xét ∆ ABC và ∆ EFC có b CB CE CA = và góc C chung nên suy ∆ ABC : ∆ EFC ( c-g-c) CF CB Vì CN //IK nên HM ⊥ CN ⇒ M là trực tâm ∆ HNC ⇒ MN ⊥ CH mà CH ⊥ AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD Do M là trung điểm BC nên ⇒ NC = ND ⇒ IH = IK ( theo Ta let) AH S AHC S ABH S AHC + S ABH S AHC + S ABH = = = = HE SCHE S BHE SCHE + S BHE S BHC BH S BHC + S BHA CH S BHC + S AHC = = Tương tự ta có và BF S AHC CG S BHA Ta có: c 0.75 AH BH CH S AHC + S ABH S BHC + S BHA S BHC + S AHC + + + + = S BHC S AHC S BHA HE HF HG S AHC S ABH S BHC S BHA S BHC S AHC + + + + ≥ Dấu ‘=’ tam giác ABC đều, mà theo gt = + S BHC S BHC S AHC S AHC S BHA S BHA AB < AC nên không xảy dấu Lưu ý: - Học sinh giải cách khác mà cho điểm tối đa - Học sinh không vẽ hình vẽ hình sai không chấm hình 0.75 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 ... khác VT ≥ ⇔ 3(7 – y2) ≥ ⇔ y2 ≤ (2) Từ (1) và (2) suy y2 = thay vào (*) ta có : 2(x + 1)2 = 18 HS tính nghiệm nguyên là (2 ; 1) ; (2 ; -1) ; (-4 ; -1) ; (-4 ; 1) 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.25