DE+DA HSG TOAN 8

Môn Toán Khối lớp 8: Đề số 1: Bài 1: Hãy chọn câu đúng trong các câu sau, câu nào sai sửa lại cho đúng. 1. Với n N ; n 2 và x 0 ta có x 3 : x 2n-1 = x 4 - 2n . 2. Nếu x = 1; y = -1thì giá trị của biểu thức (x 2 y 2004 ) 2 : x 2 y 2004 bằng -1 3. Phân thức xyx 2 1 đợc xác định nếu x 0 4. x = -1 là một nghiệm của x 2004 + x 2003 +1 > 0. 5. Hình thang cân nhận đờng thẳng đi qua trung điểm hai cạnh bên là trục đối xứng. Bài 2: Tính giá trị của biểu thức. 2 24 1 x xx A ++ = biết x 2 - 4x + 1 = 0 Bài 3: Giải các phơng trình sau: 1. )3)(1( 2 22)3(2 + = + + xx x x x x x 2. 4 2000 3 2001 2 2002 2002 2 2001 3 2000 4 + + = + + xxxxxx Bài 4: Tìm số tự nhiên x để 8 8 2 + + x x là số tự nhiên. Bài 5: Cho hình bình hành ABCDcó AC > BD. Hạ CE AB ; CF AD. 1. Chứng minh CEF BCA. 2. Chứng minh AB . AE + AD . AF = AC 2 . Bài 6: Cho x + 4y = 1 Chứng minh rằng x 2 + 4y 2 1/5 Ngời biên soạn: Đáp án Môn toán lớp 8: 1 Đề I: Bài 1: 4 Điểm 1. Đúng 2. Sai. - Sửa lại là : bằng 1. 3. Sai. - Sửa lại: x 0 ; y 0 4. Đúng. 5. Sai. - Sửa lại là: Hình thang cân nhận đờng thẳng đi qua trung điểm 2 đáy là trục đối xứng. 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 Bài 2: 3 điểm Từ x 2 - 4x + 1 = 0 x 2 - x +1 =3x và x 2 +x + 1 = 5x Ta có: A = 2 22 2 222 2 24 )1)(1()1(1 x xxxx x xx x xx +++ = + = ++ = 155.3 5 . 311 24 === ++ = + x x x x x xx x xx Vậy: A = 15 0.75 1.5 0.5 0.25 Bài 3: 4 điểm 1. )3)(1( 2 22)3(2 + = + + xx x x x x x ĐKXĐ: x -1 và x 3 Quy đồng và khử mẫu ta đợc. x (x +1) + x (x - 3) = 4x x 2 + x + x 2 - 3x = 4x 2x 2 - 6x = 0 2x (x - 3) = 0 x = 0 hoặc x = 3 vậy S = [ 0;3] b) 4 2000 3 2001 2 2002 2002 2 2001 3 2000 4 + + = + + xxxxxx Cộng vào mỗi vế pt với -3 ta có: )1 4 2000 ()1 3 2001 ()1 2 2002 ()1 2002 2 ()1 2001 3 ()1 2000 4 ( + + = + + xxxxxx (x - 2004) ) 2002 1 2001 1 2000 1 ( ++ = (x - 2004) ) 4 1 3 1 2 1 ( ++ (x - 2004) 2002 1 2001 1 2000 1 ( ++ - 0) 4 1 3 1 2 1 = x - 2004 = 0 Vậy S = [2004] 0,25 0,5 0,75 0,25 0,25 0,5 0.5 0.5 0.25 0.25 Bài 4: (3đ) 2 Ta có: 8 8 2 + + x x C N x 2 +8 x x +8 (0.5đ) x 2 -64 +72 x + 8 (0.75đ) 72 x +8 (0.25đ) x +8 là Ư của 72 và lớn hơn hoặc bằng 8. Vậy xảy ra các khả năng sau: x + 8 8 9 12 18 24 36 72 x 0 1 4 10 16 28 64 (1đ) Vậy x [0;1;4;10;16;28;64] thì 8 2 + x x là số tự nhiên. (0.5đ) Bài 5: 4 điểm A B E D C 1/ Xét CBE và CDF F có: CEB = CFD = 90 0 (gt) CBF = CDF (Hai góc kề bù với hai góc bằng nhau) CBE CDF (trờng hợp đồng dạng thứ 3) CD CB CF CE = AB BC CD CB CF CE == ( vì AB = CD) Ta có CE AB (gt) CF AD CF BC AD//BC ECF = CBA ( góc có cạnh tơng ứng vuông góc và cùng tù) Xét CEF và BCA có ECF = CBA (chứng minh trên) AB BC CF CE = (chứng minh trên) CEF BCA (trờng hợp đồng dạng thứ 2) 2/ Hạ BG AC G nằm trong đoạn thẳng AC. Dễ thấy ABG ACE ( trờng hợp đồng dạng thứ 3) Nên: AE AG AC AB = AB .AE = AC . AG 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 3 G Lại có CBG ACF (trờng hợp đồng dạng thứ 3) Do đó: AF CG AC CB = BC . AF = AC . CG hay AD . AF = AC . CG( do AD = BC) Vậy AB . AE + AD . AF = AC . AG + AC . CG AB . AE + AD . AF = AC (AG + CG) = AC 2 Vậy AB . AE + AD . AF = AC 2 0.25 0.5 0.25 0.5 Bài 6: 2 điểm Từ x + 4 y = 1 x = 1 - 4y Do đó : x 2 + 4y 2 - 1/5 = ( 1- 4y) 2 + 4y 2 - 1/5 = 1- 8 y + 20 y 2 - 1/5 = 5 )210( 5 440100 22 = + yyy 0 với mọi y. Vì vậy x 2 + 4y 2 1/5 dấu bằng xảy ra khi x = 1/5 và y = 1/5 0.25 0.25 1 0.5 Môn Toán Khối lớp 8: Đề số 2: 4 Bài 1: Điền đúng (Đ) sai (S) vào ô vuông. a. Nếu a = b thì a 2 + b 2 = 2ab. b. Với C(x) là một đa thức ta luôn có: A(x) = B(x) A(x) + C(x) = B(x) + C(x) c. Phân thức 12 3 2 + xx x xác địmh với mọi x. d. Hình bình hành là hình thang cân. e. Hình bình hành có hai đờng chéo bằng nhau là hình chữ nhật. Bài 2: Cho x + y +z = 0 xy + yz + xz = 0 Chứng minh rằng: x = y = z Bài 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a. x 2 - 6x + 5 b. x 3 - 2x + 5x - 4 Bài 4: Rút gọn biểu thức: 145 143 . 113 111 . 19 17 . 15 13 2 2 2 2 2 2 2 2 = A Bài 5: Cho phơng trình (ẩn x). 4x 2 - 25 +k 2 + 4kx = 0 a. Giải phơng trình với k = 0 b. Giải phơng trình với k = -3 c. Tìm giá trị của k sao cho phơng trình nhận x = 2 là nghiệm. Bài 6: Cho tứ giác ABCD gọi M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Chứng minh rằng: S MNPQ = 1/2 S ABCD Ngời biên soạn: Đáp án Môn toán lớp 8: Đề II: 5 Bài 1: 4 Điểm a. Đúng. b. Đúng. c. Sai d. Sai. e. Đúng. 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 Bài 2: 2 điểm Chứng minh: Ta có: (x + y +z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 +2 (xy + yz + xz) = 0 = x 2 + y 2 + z 2 +2 . 0 Vậy x = y = z = 0 1 0.5 0.5 Bài 3: 4 điểm a. x 2 - 6x + 5 = x 2 -x -5x + 5 = x(x - 1) - 5(x -1) = (x -1) (x -5) b. x 3 - 2x 2 + 5x - 4 = x 3 - x 2 -x 2 + x + 4x - 4 = x 2 (x - 1) - x(x - 1) + 4(x - 1) = (x -1) (x 2 - x + 4) 1 0.5 0.5 1 0.5 0.5 Bài 4: 2 điểm Rút gọn biểu thức: A = 145 143 . 113 111 . 19 17 . 15 13 2 2 2 2 2 2 2 2 = )145)(145( )143)(143( . )141)(141( )139)(139( . )113)(113( )111)(111( . )19)(19( )17)(17( . )15)(15( )13)(13( + + + + + + + + + + = 46.44 44.42 . 42.40 40.38 . 14.12 12.10 . 10.8 8.6 . 6.1 4.2 = 23 1 46 2 = 1 0.75 0.25 Bài 5: 5 điểm a. Giải phơng trình với k = 0 Khi k = 0 ta có phơng trình 4x 2 - 25 = 0 (2x - 5) (2x + 5) 2x - 5 = 0 2x + 5 = 0 x = 5/2 x = -5/2 vậy tập hợp nghiệm của pt là S = 5/2; -5/2 b. Giải phơng trình với k = -3 khi k = -3 ta có phơng trình: 4x 2 - 25 + (-3) 2 + 4.(-3)x = 0 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 6 4x 2 - 16 - 12x = 0 x 2 - 3x - 4 = 0 x 2 - 4x + x - 4 = 0 x(x - 4) +(x -4) = 0 (x - 4) (x + 1) = 0 x- 4 = 0 x + 1 = 0 x = 0 x = -1 Vậy tập hợp nghiệm của phơng trình là: S = 4; -1 c. Phơng trình nhận x = 2 làm nghiệm nếu: 4(-2) 2 - 25 + k 2 + 4k (-2) = 0 16 - 25 + k 2 - 8k = 0 k 2 - 8k - 9 = 0 k 2 - 8k - k + k - 9 = 0 k 2 -9k +k - 9 = 0 k (k - 9) + (k - 9) = 0 (k - 9) (k + 1) = 0 k = 9 k= -1 Vậy với k = 9 hoặc k = -1 thì pt đã cho nhận x = -2 làm nghiệm. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 6: 3 điểm B M A N Q Học sinh chứng minh đợc: D P C S QAM = 1/4 S ADB S CPN = 1/4 S CDB S QAM + S CPN = 1/4 S ABCD (1) Tơng tự : S DPQ + S BMN = 1/4 S ABCD (2) Từ (1) và (2) ta có: S ADM + S CPN + S DPQ + S CPM = 1/2 S ABCD Nh vậy phần còn lại S MNPQ = 1/2 S ABCD 0.25 0.25 0.5 1 0.5 0.5 Môn Toán Khối lớp 8: 7 Đề số 3: Bài 1: Điền đúng (Đ) sai (S) vào ô vuông. a. x - x 2 2 - 1 < 0 với mọi x. b. Phơng trình bậc nhất một ẩn ax + b = 0 (a 0) chỉ có một nghiệm x = -b/a c. Hai phơng trình là tơng đơng nếu tập hợp nghiệm của phơng trình này cũng là tập hợp của phơng trình kia và ngợc lại. d. Hình bình hành nhận giao điểm của hai đờng chéo làm tâm đối xứng. e. Tứ giác có hai cạnh đối song song là hình bình hành. Bài 2: Cho biểu thức: A = 1 55 4 3 + x xx a. tìm x để A có nghĩa. b. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức với x =2. c. Tìm x để A = 0 Bài 3: Phân tích đa thức: a(b +c) 2 +b (a +c) 2 + c (a+b) 2 - 4abc thành nhân tử. Bài 4: Giải phơng trình: 2 (x 3 + 1) + 3x (x + 1) = 0 Bài 5: Cho cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, các đờng cao AA , BB , CC cắt nhau tại H chứng minh hệ thức. A A, A H = A B . A C Bài 6: Cho 2x + y = 6. a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x 2 + y 2 b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = xy Ngời biên soạn: Đáp án Môn toán lớp 8: 8 Đề III: Bài 1: 4 Điểm a. Đúng. b. Đúng. c. Đúng. d. Đúng. e. Sai. 0,8 0,8 0,8 0,8 0,8 Bài 2: 3 điểm a. A có nghĩa khi x 4 - 1 0 (x 2 - 1) (x 2 + 1) 0 (x - 1) (x + 1) (x 2 - 1) 0 1 và x -1 Vậy với x 1 và x -1 thì A có nghĩa. b. A = )1)(1)(1( )1(5 . 1 55 2 2 4 3 ++ + + xxx xx x xx = )1)(1( 5 + xx x Với x = 2 A = 3 10 )1)(1( 2.5 = + xx c. A = 0 )1)(1( 5 + xx x = 0 5x = 0 x = 0 Vậy với x = 0 thì A = 0 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.5 1 Bài 3: 3 điểm Phân tích đa thức thành nhân tử. a(b +c) 2 +b (a +c) 2 + c (a+b) 2 - 4abc = a(b +c) 2 + [b (a +c) 2 - 2abc] + [c (a+b) 2 - 2abc] = a(b +c) 2 + b [(a +c) 2 - 2ac] + c[(a+b) 2 - 2ab] = a(b +c) 2 + b (a 2 +c 2 ) + c (a 2 +b 2 ) = a(b +c) 2 + ab 2 + cb 2 + a 2 c +b 2 c = a(b +c) 2 + a 2 (b +c) + bc (b + c) = (b +c) [a (b +c) + a 2 + bc] = (b +c) [ab + ac) + a 2 + bc] = (b +c) [(a (a +c) + b(a + c)] = (b +c) (a +c) (a + b) 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Bài 4: 3 điểm Giải phơng trình: 2 (x 3 + 1) + 3x (x + 1) = 0 (x + 1) (2 x 2 - 2x + 2 + 3x) = 0 (x + 1) (2 x 2 + x + 2 ) = 0 x + 1 = 0 (1) 2x 2 + x + 2 = 0 (2) phơng trình (1) có một nghiệm: x = -1 0.5 0.5 0.5 0.25 9 phơng trình (2) vô nghiệm vì: 2x 2 + x + 2 = x 2 + x 2 + x + 4 1 + 3 1 1 = x 2 + (x + 4 1 ) 2 + 3 1 1 > 0 với x Vậy phơng trình đã cho có 1 nghiệm: x = -1 0.5 0.5 0.25 Bài 5: 5 điểm Hình vẽ: A B C B A C Học sinh chứng minh đợc: B AH BB C Từ đó: BB AB CB HA = (1) Tơng tự: CAA CBB Từ đó: BC AC BB AA = (2) Nhân (1) với (2), vế với vế ta đợc: A A . A H = A B . A C (đpcm) 0.75 0.5 0.75 0.5 0.5 Bài 6: 4 điểm Cho 2x + y = 6. a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x 2 + y 2 Thay y = 6 - 2x vào biểu thức A ta đợc. A = 2x 2 + (6 - 2x) 2 = 2x 2 + 36 - 24x + 4x 2 = 6x 2 - 24x - 36 = 6(x 2 - 4x + 4) + 12 = 6(x -2) + 12 12 với x Vậy Min A = 12 khi x = 2, y =2 b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = xy Thay y = 6 - 2x vào B ta đợc: 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 10 H . (3đ) 2 Ta có: 8 8 2 + + x x C N x 2 +8 x x +8 (0.5đ) x 2 -64 +72 x + 8 (0.75đ) 72 x +8 (0.25đ) x +8 là Ư của 72 và lớn hơn hoặc bằng 8. Vậy xảy ra. biên soạn: Đáp án Môn toán lớp 8: 8 Đề III: Bài 1: 4 Điểm a. Đúng. b. Đúng. c. Đúng. d. Đúng. e. Sai. 0 ,8 0 ,8 0 ,8 0 ,8 0 ,8 Bài 2: 3 điểm a. A có nghĩa khi