Đề + ĐA HSG Toán 8 (2010-2011)

Phòng giáo dục và đào tạo Kim bảng kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2010 2011 Đề kiểm tra: Môn Toán - lớp 8 Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Bài 1. (5,0 điểm) 1. Biết a(a + 2) + b(b - 2) 2ab = 80, hãy tính a b 2. Phân tích x 4 + 4 thành nhân tử áp dụng hãy tính giá trị biểu thức A = 420 418 48 46 . 44 42 4 4 4 4 4 4 + + + + + + Bài 2. (3,5điểm) 1. Các số a, b thỏa mãn điều kiện 4a 2 + b 2 = 5ab Chứng minh nếu 4a > b thì 2a > b > 0 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 104 3 2 ++ xx Bài 3. (4,0 điểm). Giải các phơng trình a) (x 2 - 1) 2 = 4x + 1 b) 5 2006 4 2007 3 2008 2008 3 2007 4 2006 5 + + = + + xxxxxx Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Từ O kẻ các đờng thẳng OE, OF, MN tơng ứng song song với AB, AC, BC sao cho F, M AB ; E BC ; N AC. Chứng minh 1=++ CA CN BC BE AB AF Bài 2. (5,5điểm). Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD (E AB; F AD) a) Chứng minh hai tam giác CEF và ABC đồng dạng b) Chứng minh AB . AE + AD . AF = AC 2 Hết Phòng giáo dục đào tạo Kim Bảng Kiểm tra chất lợng học sinh giỏi Năm học 2010 2011 Hớng dẫn chấm môn toán 8 Nội dung Điểm Bài 1 (5,0 điểm) ý 1: 2,0 điểm a(a + 2) + b(b - 2) - 2ab = 80 (a b) 2 2(a b) -80 = 0 0,25 (a - b) 2 2(a b) +1 81 = 0 0,25 (a b + 1) 2 -9 2 = 0 0,25 (a b + 10)(a b - 8) = 0 0,25 (a b + 10) = 0 hoặc (a b - 8) = 0 0,5 a b = -10 hoặc a b = 8 0,25 ý 2: 3,0 điểm: Phân tích thành nhân tử x 4 + 4 áp dụng tính A = 4 4 4 4 4 4 2 4 6 4 18 4 . 4 4 8 4 20 4 + + + + + + Phân tích x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 +4 4x 2 = (x 2 + 2) 2 (2x) 2 0,5 = (x 2 + 2x + 2)(x 2 -2x + 2) 0,5 = [(x - 1) 2 + 1] [(x + 1) 2 + 1] 0,5 áp dụng A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 3 1 5 1 7 1 17 1 19 1 3 1 5 1 7 1 9 1 19 1 21 1 + + + + + + + + + + + + 1,0 = 2 2 1 1 2 1 21 1 442 221 + = = + 0,5 Bài 2 (3,5 điểm) ý 1: 2,0 điểm: Các số a, b thoả mãn điều kiện 4a 2 + b 2 = 5ab Chứng minh nếu 4a > b thì 2a > b > 0 Từ 4a 2 + b 2 = 5ab (4a - b)(a - b) = 0 0,5 Vì 4a > b 4a b > 0 Do đó a b = 0 hay a = b 0,5 4a > a 3a > 0 a > 0 0,5 Khi a > 0 thì 2a > a > 0 hay 2a > b > 0 0,5 ý 2: 1,5 điểm: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 2 3 4 10x x+ + Với mọi x ta có: x 2 + 4x + 10 = (x + 2) 2 + 6 6 0,5 Nên B = 2 3 4 10x x+ + 3 1 6 2 = với mọi x 0,5 Vởy biểu thức B = 2 3 4 10x x+ + có giá trị lớn nhất bằng 1 2 khi x = -2 0,5 Bài 3 (4 điểm) ý 2: 2,0 điểm: Giải phơng trình (x 2 + 1) 2 = 4x + 1 x 4 2x 2 + 1 = 4x + 1 0,5 x(x 3 2x -4) = 0 0,5 x(x - 2)(x 2 + 2x +2) = 0 0,5 x = 0 hoặc x 2 = 0 x = 0 hoặc x = 2 0,5 ý 2: 2,0 điểm: Giải phơng trình 5 4 3 2208 2007 2006 2006 2007 2008 3 4 5 x x x x x x + + = + + Cộng vào mỗi vế với -3 ta có 5 4 3 2008 2007 2008 1 1 1 1 1 1 2006 2007 2008 3 4 5 x x x x x x + + = + ữ ữ ữ ữ ữ ữ 0,5 2011 2011 2011 2011 2011 2011 2006 2007 2008 3 4 5 x x x x x x + + = + + 0,5 ( ) 1 1 1 1 1 1 2011 0 2006 2007 2008 3 4 5 x + + = ữ x 2011 = 0 0,25 x = 2011 0,25 Bài 4 (2 điểm) F E N M B C A O Vì MN // BC nên CN BM = CA BA 0,5 FMO ABC: (g.g) nên OM FM = CB AB 0,5 Mà BMOE là hình bình hành nên OM = EB hay EB FM = CB AB 0,5 Vậy AF EB CN AF FM MB AF+FM+MB AB + + = + + = = =1 AB BC CA AB AB AB AB AB 0,5 Bài 5 (5,5 điểm) I F E D B C A ý a: 2,5 điểm: Chứng minh hai tam giác CBE và CDF đồng dạng 0,5 Suy ra CE BC BC = = CF CD AB 0,5 Chứng minh đợc ã ã ECF=CBA 1,0 Kết luận CEF BCA: (c.g.c) 0,5 ý b: 3,0 điểm Kẻ BI AC thì I nằm trong đoạn thẳng AC 0,25 Chứng minh ABI ACE: AB AI = AC AE AB.AE = AC.AI 1,0 Chứng minh CBI ACF: CB CI = AC AF BC.AF = AC.CI 1,0 Vì AD = BC nên AD.à = AC.CI 0,5 Vậy AB.AE + AD.AF = AC(AI + CI) = AC 2 0,25 . 1 3 1 5 1 7 1 9 1 19 1 21 1 + + + + + + + + + + + + 1,0 = 2 2 1 1 2 1 21 1 442 221 + = = + 0,5 Bài 2 (3,5 điểm) ý 1: 2,0 điểm: Các số a, b thoả mãn điều kiện 4a 2 + b 2 = 5ab Chứng minh nếu. a b = 8 0,25 ý 2: 3,0 điểm: Phân tích thành nhân tử x 4 + 4 áp dụng tính A = 4 4 4 4 4 4 2 4 6 4 18 4 . 4 4 8 4 20 4 + + + + + + Phân tích x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 +4 4x 2 = (x 2 + 2) 2 . 3 22 08 2007 2006 2006 2007 20 08 3 4 5 x x x x x x + + = + + Cộng vào mỗi vế với -3 ta có 5 4 3 20 08 2007 20 08 1 1 1 1 1 1 2006 2007 20 08 3 4 5 x x x x x x + + = +