UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Thí sinh không sử dụng máy tính bỏ túi PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài 1: ( điểm) Cho biểu thức P = x +1 x+2 x +1 − − x −1 x x −1 x + x + a, Rút gọn biểu thức P b, Tìm giá trị lớn biểu thức Q = + x P Bài 2: (2 điểm) a) Giải phương trình sau: x − x +1 − x + + x + = b) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình ( m − ) x + ( m − 3) y = (m tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) lớn Bài 3: (2 điểm) a) Tìm tất số nguyên dương ( x; y; z ) thỏa mãn x + y 2013 số y + z 2013 hữu tỉ, đồng thời x + y + z số nguyên tố b) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn: x(1 + x + x2 ) = 4y(y -1) Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB2 b+c c+a a+b HẾT -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi:Toán - Lớp Bài 1: (2điểm) Ý/Phần Đáp án ĐKXĐ x ≥ 0; x ≠ a Ta có P = b x + x +1− x − − ( )( ( x −1 x + )( x + 1) x +1 )= x −1 Điểm 0,25 − x x + x +1 0,75 Áp dụng BĐT Cô – si ta có: Q= ( )+ −2 x + x + x x = −2 − x + ÷ ≤ −2 − 2 x Vậy GTLN Q= −2 − 2 x=2 0,75 0,25 Bài 2: (2 điểm) Ý/Phần a ĐKXĐ: x ≥ Đáp án Điểm 0,25 x − x +1 − x + + x + = ⇔ ⇔ (1) x + − x + = x +1 − x = x+9 + x+4 0,25 x +1 + x ⇔ x + + x + = 5( x + + x) (2) 0,25 Từ (1),(2) suy ra: x + = x + + x ≥ x + = x + ≥ x + ,dấu b “=” xảy x=0 Thử lại x=0 nghiệm pt Vậy pt cho có nghiệm x=0 Với m, đường thẳng (d) không qua gốc toạ độ O(0; 0) • m = 4, ta có đường thẳng y = 1, khoảng cách từ O đến (d) (1) • m = 3, ta có đường thẳng x = -1, khoảng cách từ O đến (d) (2) • m ≠ 4, m ≠ (d) cắt trục Oy, Ox tại: 0,25 0,25 A 0; ; ÷ ÷ B m−3 m−4 Hạ OH vuông góc với AB, tam giác vuông AOB, ta 1 có: OA = m − , OB = m − 0,25 1 2 = + = ( m − 3) + ( m − ) = 2m − 14m + 25 2 OH OA OB 7 1 = 2 m − ÷ + ≥ 2 2 0,25 Suy OH ≤ ⇒ OH ≤ (3) Từ (1), (2), (3) ta có GTLN OH , đạt m = 0,25 Kết luận: m = Bài 3: (2,0 điểm) Ý/Phần a Đáp án x + y 2013 m = m, n ∈ ¥ * , ( m, n ) = y + z 2013 n nx − my = x y m ⇒ = = ⇒ xz = y ⇔ nx − my =( mz − ny ) 2013 ⇒ y z n mz − ny = ( Ta có ) x + y + z = ( x + z ) − xz + y = ( x + z ) − y = ( x + y + z ) ( x + z − y ) 2 Điểm 0,25 0,25 0,25 Vì x + y + z > x + y + z số nguyên tố nên x2 + y + z = x + y + z x − y + z = Từ suy x = y = z = (thỏa mãn) x(1 + x + x2 ) = 4y(y - 1) ⇔ x + x2 + x3 + = 4y2 – 4y + b ⇔ (x2 + 1)(x + 1) = (2y - 1)2 (1) Do (2y - 1)2 số lẻ, gọi d = (x2 + 1,x + 1) ⇒ d số lẻ x2 + Md (x + 1)(x – 1) Md ⇒ Md mà d lẻ nên d = nên x2 + x + nguyên tố với x, y số nguyên (2y - 1)2 số phương nên x2 + x + số phương lại có x2 x2 + hai số phương liên tiếp ⇒ x2 = ⇒x = Thay x = vào phương trình (1) ta tìm y = 0, y =1 Vậy cặp số tự nhiên (x,y) (0,1); (0,0) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4: (3,0 điểm) Ý/Phần Đáp án a A E F G O H B C M D Điểm 0,25 · · BFC = BEC = 900 ( nhìn cạnh BC) Suy B, C, E, F thuộc đường tròn đường kính BC · Ta có ACD = 900 ⇒ DC ⊥ AC Mà HE ⊥ AC; suy BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) (2) suy BHCD hình bình hành Ta có M trung điểm BC suy M trung điểm HD Do AM, HO trung tuyến ∆AHD b c ⇒ G trọng tâm ∆AHD ⇒ GM = AM Xét tam giác ABC có M trung điểm BC, Suy G tâm ∆ABC GM = AM 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Do a,b,c > áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) ≥ a(b + c) ⇔ a [a + (b + c)] ≥ 2a b + c a 2a ≥ b+c a+b+c Điểm 0,25 Tương tự ta thu : b 2b ≥ c+a a+b+c Cộng theo vế ta được: , c 2c ≥ a+b a+b+c a b c + + ≥ b+c c+a a+b 0,25 0,25 Dấu ba BĐT đồng thời xảy , có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = ( trái với giả thiết a, b, c đề số dương ) Từ suy : a b c + + >2 b+c c+a a+b 0,25 ... E, F thuộc đường tròn đường kính BC · Ta có ACD = 900 ⇒ DC ⊥ AC Mà HE ⊥ AC; suy BH//DC (1) Chứng minh t ơng t : CH//BD (2) T (1) (2) suy BHCD hình bình hành Ta có M trung điểm BC suy M trung... T (1),(2) suy ra: x + = x + + x ≥ x + = x + ≥ x + ,dấu b “=” xảy x=0 Thử lại x=0 nghiệm pt Vậy pt cho có nghiệm x=0 Với m, đường thẳng (d) không qua gốc toạ độ O(0; 0) • m = 4, ta có đường thẳng... có M trung điểm BC suy M trung điểm HD Do AM, HO trung tuyến ∆AHD b c ⇒ G trọng t m ∆AHD ⇒ GM = AM X t tam giác ABC có M trung điểm BC, Suy G t m ∆ABC GM = AM 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25