Vành euclide các số nguyên đại số

LỜI CẢM ƠNTrong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên, tôi được nhận đề tài nghiên cứu “ Vành Euclidecác số nguyên đại số ” dưới sự hướng dẫn c

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

VŨ THỊ PHƯƠNG THẢO

VÀNH EUCLIDE CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

VŨ THỊ PHƯƠNG THẢO

VÀNH EUCLIDE

CÁC SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ

THÁI NGUYÊN - 2017

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên, tôi được nhận đề tài nghiên cứu “ Vành Euclidecác số nguyên đại số ” dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đàm Văn Nhỉ.Đến nay, luận văn đã được hoàn thành Có được kết quả này là do sựdạy bảo và hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của Thầy Tôi xin bày

tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy và gia đình!

Tôi cũng xin gửi lờn cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, PhòngĐào tạo sau đại học và Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Khoa học– Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trongquá trình học tập tại trường và trong thời gian nghiên cứu hoàn thànhluận văn này Sự giúp đỡ nhiệt tình và thái độ thân thiện của các thầy,

cô giáo, các cán bộ thuộc Phòng Đào tạo, Khoa Toán – Tin đã đã đểlại trong lòng mỗi chúng tôi những ấn tượng tốt đẹp Không biết nói gìhơn, một lần nữa tôi xin trân trọng cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các thànhviên trong lớp cao học Toán K9N (Khóa 2015-2017) đã quan tâm, tạođiều kiện, cổ vũ và động viên để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ củamình

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 5 năm 2017

Tác giả

MỞ ĐẦU 3

1 Vành Euclide và bao đóng nguyên 5 1.1 Vành Z[√d] và Z[√p,√

q] 5

1.2 Vành Euclide 8

1.3 Vành các số nguyên đại số 12

1.4 Chuẩn và vết 23

2 Một số vận dụng 28 2.1 Chứng minh tồn tại nghiệm trong Z[α] 28

2.2 Số nguyên đại số 34

2

Vành Euclide là khái niệm quen thuộc nhưng khá trừu tượng trong

lý thuyết vành Lớp vành đặc biệt này có những tính chất quan trọngđược ứng dụng rất nhiều trong toán phổ thông, đặc biệt là trong các kỳthi học sinh giỏi trong và ngoài nước Hiện nay đã xuất hiện nhiều bàitoán khó trong các kỳ thi học sinh giỏi mà nếu giải theo kiến thức phổthông thì ta phải cần nhiều kết quả phụ và những mẹo mực Nhưng xétbài toán ấy theo con mắt của toán cao cấp thì ta có những cách giải hệthống hơn Do vậy vấn đề nhìn bài toán sơ cấp dưới con mắt toán caocấp cũng rất đáng được quan tâm Luận văn này đặt vấn đề nghiên cứu

về vành Euclid, mở rộng vành, bao đóng nguyên, phần tử nguyên đại số,chuẩn và vết, để từ đó có thể truyền tải một số kết quả của toán caocấp vào toán sơ cấp

Cấu trúc luận văn được chia làm 2 chương cụ thể như sau

Chương 1 trình bày về vành Euclide và bao đóng nguyên Trongchương này, Tiết 1.1 quan tâm đến hai loại vành đặc biệt là vành Z[√d]

và Z[√p,√

q] với d, p, q là các số nguyên không có ước chính phương.Tiết 1.2 nghiên cứu khái niệm vành Euclide và đưa ra một số ví dụ

về vành Euclide như vành Z[√d] với d = −1, 2, 3 (xem Mệnh đề 1.2.8)

và vành đa thức một biến với hệ số trên một trường (Định lí 1.2.11).Tiết 1.3 quan tâm đến khái niệm số nguyên đại số, bao đóng nguyênđại số, và chỉ ra rằng vành các số nguyên đại số của trường Q(√d) với

3

d = −11, −7, −3, −2 là vành Euclide (Định lí 1.3.8), đồng thời xác địnhvành các số nguyên đại số của trường Q(√d) (Định lí 1.3.26) Phần cuốiChương 1 nghiên cứu về chuẩn và vết của các số đại số.

Chương 2 trình bày việc vận dụng kiến thức lí thuyết trong Chương

1 để giải một số dạng toán sơ cấp Trong phần đầu Chương 2, chúng tôikhai thác các tính chất về chuẩn, vết của các phần tử trong các vànhEuclid Z[i], Z[√2], Z[√3], Z[√−2] cũng như các vành Z[√−11], Z[√−7],Z[

√

5], Z[√6], Z[√−6] để giải quyết các bài toán đại số sơ cấp, nhiềutrong số đó có thể quy về bài toán về sự tồn tại nghiệm trong Z[√d].Tiết cuối Chương 2 là hệ thống những bài toán sơ cấp mà lời giải củachúng sử dụng các kết quả về vành các số nguyên đại số, đặc biệt là tínhđóng của các phép cộng, trừ, nhân trong tập các số nguyên đại số

Do thời gian và kiến thức hạn chế nên chắc chắn luận văn còn cónhững thiếu sót nhât định, kính mong quý thày cô và các bạn đóng góp

ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn này

Vành Euclide và bao đóng nguyên

Mục đích của chương 1 là trình bày các kết quả về vành Euclide, trong

đó quan tâm đến 3 lớp vành Euclide đặc biệt sau đây:

- Vành Z

h√d

Mệnh đề 1.1.1 Cho số nguyên d > 1 không là số chính phương Khiđó

(1) Tập Z[√d] = {a+b√

d | a, b ∈ Z} cùng phép cộng và nhân lập thànhmột vành giao hoán có đơn vị và ánh xạ f : Z[√d] → Z[√d] cho bởi

f (a + b√

d) = a − b√

d, là một tự đẳng cấu

(2) Tập Z[√−d] = {a + ib√d | a, b ∈ Z} cùng phép cộng và nhân lậpthành một vành giao hoán có đơn vị và ánh xạ f từ vành Z[√−d]đến vành Z[√−d] cho bởi f (a + ib√d) = a − ib√

d là một tự đẳngcấu

5

Với z = a + b√

d ∈ Z[√d], u = a + ib√

d ∈ Z[√−d], ta ký hiệu

N (z) = a2 − db2, N (u) = a2 + db2 Ta gọi N (z) là chuẩn của z và N (u)

là chuẩn của u Khi đó ta có tính chất sau đối với chuẩn

Hệ quả 1.1.2 Với z1, z2, , zn ∈ Z[√d] và u1, u2, , un ∈ Z[√−d] taluôn có hệ thức

N (z1z2 zn) = N (z1)N (z2) N (zn)

N (u1u2 un) = N (u1)N (u2) N (un)

Chứng minh Giả sử zk = ak+ bk√

d ∈ Z[√d] với k = 1, , n, và viếttích

Mệnh đề 1.1.3 Giả thiết p, q là hai số nguyên dương không có nhân

tử chính phương sao cho (p, q) = 1 Khi đó tập

Z[

√

p,√q] = {a + b√

là trường con nhỏ nhất của C chứa Q và α Rõ ràng Q (α) chứa Q [α].Nếu α là số đại số (tức α là nghiệm của một đa thức khác không với hệ

số trong Q) thì Q (α) = Q [α] (xem Định lý 1.3.15)

Với α, β ∈ C, đặt Q (α, β) = (Q (α)) (β) Khi đó Q (α, β) là trườngcon nhỏ nhất của C chứa Q, α, β

Mệnh đề 1.1.5 Cho p, q là hai số nguyên dương không có nhân tử chínhphương sao cho (p, q) = 1 Khi đó Q √p,√

p +√

q Khi đó ta có hệ(√

p +√

q = u(p + 3q)√

tử nguyên tố nếu với mọi a, b ∈ R và p|ab thì p|a hoặc p|b Chú ý rằngtrong mọi miền nguyên, mỗi phần tử nguyên tố đều là một phần tử bấtkhả quy Miền nguyên R được gọi là một vành chính nếu mỗi iđêan của

nó là iđêan chính

Định nghĩa 1.2.1 Miền nguyên R được gọi là một vành Euclide nếutồn tại một ánh xạ (Euclide) δ : R∗ = R \ {0} → N thỏa mãn hai điềukiện dưới đây:

(i) Với a, b ∈ R∗, a 6= 0 và b|a, có δ(b) 6 δ(a)

(ii) Với a, b ∈ R, b 6= 0, luôn có hai phần tử q, r ∈ R sao cho a = bq + r

và δ(r) < δ(b) khi r 6= 0

Ví dụ 1.2.2 Z là vành Euclide với ánh xạ g : Z∗ → N cho tương ứng

g (n) = |n|, trong đó Z∗ = Z\ {0}

Ví dụ 1.2.3 Nếu K là một trường thì K là vành Euclide với ánh xạ

g : K∗ → N cho bởi g (a) = 1, với mọi a ∈ K∗ = K \ {0} Thật vậy, ta

có g (ab) = 1 = g (a) với mọi a, b ∈ K∗ Với b ∈ K∗, a ∈ K ta luôn có

a = b b−1a
+ 0 Thực tế với một số nguyên dương n tùy ý, ánh xạ choứng mỗi phần tử của K∗ với n cũng là ánh xạ Euclide

Mệnh đề 1.2.4 Mỗi vành Euclide đều là một vành chính

Chứng minh Giả sử R là một miền nguyên và là vành Euclide với ánh

xạ Euclide δ : R∗ = R \ {0} → N Giả sử I là một iđêan của R Nếu

I = (0) thì I là iđêan chính sinh bởi 0 Nếu I 6= (0) thì có a ∈ I, a 6= 0,sao cho δ(a) là số nhỏ nhất trong tập δ(I∗), trong đó I∗ = I \ {0} Giả

sử x ∈ I Vì R là vành Euclide nên tồn tại q, r ∈ R sao cho x = aq + r

Vì a, x ∈ I nên r ∈ I Nếu r 6= 0 thì δ(r) < δ(a), điều này mâu thuẫnvới giả thiết về cách chọn phần tử a Vậy r = 0 và do đó I = (a)

Vành Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} được gọi là vành các số nguyên Gauss.Chuẩn của phần tử z = a + bi là N (z) = a2 + b2

aa1 + bb1

a21 + b21 − a2

6

1

2,

a1b − ab1

a21 + b21 − b2

61

2.

− a2 + a1b − ab1

a2

1 + b2 1

N (z − z1z2) = Nz1z

z1 − z2 = N (z1)Nz

z1 − z2 < N (z1)

và suy ra Z[i] là một vành Euclide

Bổ đề 1.2.6 Nếu N (α) = p là số nguyên tố thì α là phần tử nguyên tố

Chứng minh Nếu α không là phần tử nguyên tố thì α = ab với a, bkhông là nhân tử tầm thường Khi đó p = N (α) = N (ab) = N (a)N (b)với N (a), N (b) > 1 Điều này là mâu thuẫn

Ví dụ 1.2.7 Nếu N (α) = 2 thì 1 + i là phần tử nguyên tố và ta có

1 − i = (−i)(1 + i) không là phần tử nguyên tố

Lời giải Vì N (1 + i) = 2 nên 1 + i là phần tử nguyên tố theo Bổ đề1.2.6 Hiển nhiên 1 − i = (−i)(1 + i) với N (−i) = 1

Mệnh đề 1.2.5 chỉ ra rằng vành Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} là vànhEuclide Mệnh đề tiếp theo cho thêm một số ví dụ về vành Euclide

Mệnh đề 1.2.8 Vành Z[α] = {a + bα | a, b ∈ Z}, trong đó α2 thuộc{ − 1, 2, 3} là vành Euclide

Chứng minh Ánh xạ N : Z[α] → N, a + bα 7→ |a2 − γb2|, là chuẩntrong Z[α] Hiển nhiên N (a + bα) = 0 khi và chỉ khi a = b = 0 Giả sử

u = a + bα và v = c + dα thuộc vành Z[α] với N (u) > N(v) > 0 Ta chỉ

ra z, t ∈ Z[α] thỏa mãn u = zv + t với N (v) > N (t) Biến đổi thương

Mệnh đề 1.2.9 Cho vành Z[α]như trong Mệnh đề 1.2.8 Nếu u ∈ Z[α]

có chuẩn N (u) = 1 thì u là phần tử khả nghịch trong Z[α]

Chứng minh Giả sử u = a + bα với a2 − b2α2 = 1 Xét x + yα ∈ Z[α]thỏa mãn (a + bα)(x + yα) = 1 Khi đó ax + bα2y = 1, bx + ay = 0 Giải

hệ phương trình tuyến tính hai ẩn x, y Vì N (u) = 1 nên dễ dàng suy ra

x, y ∈ Z Vậy u là phần tử khả nghịch trong Z[α]

Mệnh đề 1.2.10 Với vành Z[α] như trong Mệnh đề 1.2.8, nếu u ∈ Z[α]

có chuẩn N (u) là số nguyên tố thì u là phần tử bất khả qui trong Z[α].Chứng minh Giả sử u là phần tử khả qui trong Z[α] Khi đó ta cóphân tích thành tích u = u1u2 trong Z[α] Vì

Định lý 1.2.11 Nếu K là một trường thì vành đa thức một biến K [x]

Cho g ∈ K[x], f ∈ K[x]∗ Khi đó theo tính chất chia với dư, tồn tại 2 đathức q(x), r(x) ∈ K[x] sao cho g = f q + r với r = 0 hoặc

ϕ(r) = deg r < deg f = ϕ(f )

Do đó K[x] là vành Euclide Vì thế K[x] là vành Gauss

Một trong những lớp vành Euclide quan trọng trong lý thuyết số đại số

là vành các số nguyên đại số Trong tiết này, chúng tôi trình bày kháiniệm bao đóng nguyên và một số kêt quả về bao đóng nguyên, từ đóđưa ra một số tiêu chuẩn cho vành các số nguyên đại số là vành Euclide(xem Định lý 1.3.8)

Trong mục này S được ký hiệu là một vành giao hoán với phần tửđơn vị 1 và R là một vành con của S cũng chứa phần tử 1

Định nghĩa 1.3.1 Phần tử α ∈ S được gọi là phần tử đại số trên Rnếu α là nghiệm của một đa thức khác 0 với hệ số trên R Phần tử α ∈ Sđược gọi là phần tử nguyên trên R nếu tồn tại các phần tử a1, , an ∈ Rsao cho

αn+ a1αn−1 + · · · + an−1α + an = 0

Đặt f (x) = xn+ a1xn−1 + · · · + an−1x + an = 0 Phương trình f (x) = 0được gọi là phương trình phụ thuộc nguyên của α trên R Vành S đượcgọi là mở rộng nguyên của R nếu mỗi α ∈ S đều là nguyên trên R.Hiển nhiên, mọi phần tử s ∈ R đều là nguyên trên R vì s là nghiệmcủa đa thức x − s ∈ R[x] Hơn nữa, nếu α là phần tử nguyên trên Rthì α là phần tử đại số trên R Điều ngược lại không đúng, chẳng hạnphần tử 1

2 ∈ Q là đại số trên Z vì nó là nghiệm của đa thức khác không

f (x) = 2x − 1 nhưng nó không là nghiệm của đa thức khác 0 với hệ

số nguyên và hệ số cao nhất bằng 1 Vì thế 1

2 là phần tử đại số trên Znhưng không là phần tử nguyên trên Z

Định lý 1.3.2 Giả sử α, β ∈ S Nếu α là nguyên trên R và β là nguyêntrên R[α] thì β là nguyên trên R.

Chứng minh Vì α là phần tử nguyên trên R nên tồn tại đa thức

f (x) ∈ R[x] nhận α làm nghiệm và f (x) có hệ số cao nhất bằng 1 Trong

số các đa thức nhận α làm nghiệm ta chọn đa thức f (x) bậc thấp nhấtvới hệ tử cao nhất bằng 1 Giả sử f (x) = xn+ a1xn−1+ · · · + an−1x + an

Vì β là phần tử nguyên trên R[α] nên có đa thức g(x) ∈ R[α][x] nhận βlàm nghiệm và có hệ số cao nhất bằng 1 Giả sử

g(x) = xm+ b1(α)xm−1+ · · · + bm−1(α)x + bm(α), bi(α) ∈ R[α]

Do α là nghiệm của f (x) nên ta có

αn = −a1αn−1− · · · − an−1α − an.Thay vào mỗi bi(α), nếu cần thiết, ta có thể giả thiết các lũy thừa của

α trong mỗi bi(α) có bậc không vượt quá n − 1 Sắp xếp theo lũy thừatăng dần của α trong g(x), có thể viết lại đa thức g(x) thành dạng sau

(

ps1(β) + ps2(β)α + · · · + psn(β)αn−1 = 0

s = 1, 2, , n

Do hệ phương trình này có nghiệm không tầm thường là (1, α, , αn−1)nên định thức phải bằng 0 hay det(psi(β)) = 0 Như vậy, β là nghiệmcủa đa thức det(psi(x)) ∈ R[x] \ {0} Do đó β là nguyên trên R.

Bổ đề 1.3.3 Giả sử α, β ∈ S Nếu α và β là nguyên trên R thì γ = α+β

tương ứng Vì h(x), k(x) thuộc R[α][x] nên γ, β là những phần tử nguyêntrên vành R[α] Vậy, γ, δ nguyên trên vành R theo Định lý 1.3.2

Định lý 1.3.4 Giả sử R là một vành con của vành S Khi đó, tập tất

cả các phần tử thuộc S nguyên trên R lập thành một vành con của Schứa R

Chứng minh Ký hiệu R là tập tất cả các phần tử thuộc S nguyêntrên R Vì mỗi phần tử r ∈ R đều thỏa mãn phương trình x − r = 0 nên

R ⊆ R Nếu α và β thuộc S là nguyên trên R thì α + β và αβ cũng lànguyên trên R theo Bổ đề 1.3.3 Như vậy, α + β và αβ thuộc R khi α và

β thuộc R Suy ra R là một vành con của vành S chứa vành R

Định nghĩa 1.3.5 Vành con R gồm các phần tử của S nguyên trên Rđược gọi là bao đóng nguyên của R trong S Nếu R = R thì R được gọi

là vành đóng nguyên trong S Nếu S = R thì S được gọi là vành nguyêntrên R hay mở rộng nguyên của R

Mệnh đề 1.3.6 Z là vành đóng nguyên trong trường Q

+ a1

ab

n−1

+ + an−1

ab

+ an = 0

Quy đồng mẫu số ta có

an = a1ban−1+ + an−1bn−1a + anbn

Vì vế phải của đẳng thức trên là bội của b nên an là bội của b Do a

b tốigiản nên b=1 Suy ra a

Số phức α được gọi là số nguyên đại số nếu nó là nguyên trên Q Đặt

Q[

√d] = {a + b√

d | a, b ∈ Q}

Khi đó chú ý rằng Q[√d] là một trường chứa Q

Định lý 1.3.8 Vành R các số nguyên đại số của Q[√d] với d thuộc{−11, −7, −3, −2} là vành Euclide với ánh xạ ϕ : R → N, α 7→ αα.Chứng minh Cho các phần tử khác không α và β, ta có thể viết

4 Chia đoạn [u1, u2] ra làm hai đoạn bằng nhau

và chia đoạn [v1, v2] ra làm bốn đoạn bằng nhau Nếu x thuộc nửa thứnhất (thứ hai), tương ứng y thuộc phần tư thứ nhất (thứ tư), thì ta chọn

u = u1, (u = u2), tương ứng v = v1, (v = v2), Nếu y thuộc đoạn phần tưthứ hai hay thứ ba thì ta có thể chọn u = u1 + u2

ϕ ((x − u) + i(y − v)√

−d)β
= 4 − d

16 ϕ(β) < ϕ(β).

Vậy, vành R là một vành Euclide

Phần tiếp theo chúng ta nghiên cứu tính chất của số đại số trên mộttrường Một trường K được gọi là đóng đại số nếu mỗi đa thức bậcdương với hệ số trên K đều có nghiệm trong K Chẳng hạn C là trườngđóng đại số (theo Định lý cơ bản của đại số ), R không đóng đại số vì

đa thức x2 + 1 có bậc dương nhưng không có nghiệm trong R

Cho K là một trường trung gian giữa C và Q Ta nói K là mộttrường số nếu K là một Q–không gian vec tơ hữu hạn chiều Chẳnghạn, Q[√d] = {a + b√

d | a, b ∈ Q} (với d là một số không chứa nhân tửchính phương) là một trường số vì nó là một Q-không gian chiều 2

Chú ý rằng trên một trường, phần tử đại số và phần tử nguyên lànhư nhau Thật vậy, nếu α đại số trên K thì α là nghiệm của một đathức

anxn+ + a1x + a0 ∈ K [x]

với an 6= 0 Do an khả nghịch trong K nên ta có thể nhân đa thức trênvới an−1 ∈ K, ta được một đa thức với hệ số cao nhất bằng 1 nhận αlàm nghiệm Vì vậy phần tử α ∈ C là đại số trên K nếu và chỉ nếu nó

là nguyên trên K Nếu α là đại số trên K thì có đa thức

ϕ (x) = xn+ a1xn−1+ + an−1x + an

nhận α làm nghiệm và phương trình xn+ a1xn−1+ + an−1x + an = 0được gọi là phương trình đại số của α trên K

Định nghĩa 1.3.11 Phần tử α ∈ C được gọi là siêu việt trên K nếu

nó không đại số trên K

Định lý 1.3.12 Nếu phần tử α ∈ C là đại số trên K thì nó là nghiệmcủa một đa thức bất khả quy duy nhất f (x) ∈ K[x] với hệ số cao nhấtbằng 1 Hơn nữa, tất cả các đa thức p(x) ∈ K[x] nhận α làm nghiệm đều

là bội của f (x)

Chứng minh Vì α là phần tử đại số trên K nên tồn tại f (x) ∈ K[x]nhận α làm nghiệm và f (x) 6= 0 Trong số các đa thức khác 0 nhận αlàm nghiệm ta chọn đa thức f (x) bậc thấp nhất với hệ tử cao nhất bằng

1 Nếu f (x) là đa thức khả qui thì f (x) phân tích được thành tích củahai đa thức g(x) và h(x) với bậc dương và hệ tử cao nhất cũng bằng 1.Khi đó f (x) = g(x)h(x) với 0 < deg g, deg h < deg f Vì f (α) = 0 nêng(α)h(α) = 0 Vì C là một trường nên ta có thể giả thiết g(α) = 0 Nhưthế có đa thức g(x) với deg g < deg f nhận α làm nghiệm, điều này mâuthuẫn với việc chọn của f (x) Do đó f (x) là bất khả qui Tiếp theo, giảthiết đa thức p(x) ∈ K[x] nhận α làm nghiệm Nếu p(x) bằng 0 thì p(x)chia hết cho f (x) Nếu p(x) 6= 0 thì viết

Từ Định lý 1.3.7, ta có ngay kết quả sau đây

Định lý 1.3.14 Với K là trường trung gian giữa Q và C, vành các sốđại số trên K là một trường chứa K

Giả thiết α ∈ C là số đại số (trên Q) với đa thức tối tiểu

f (x) = xn+ a1xn−1+ · · · + an

Ký hiệu Q[α] = {g(α) | g(x) ∈ Q[x]} Định lý sau đây chỉ ra rằng vành

đa thức Q[α] của α không những là một trường mà còn là một Q-khônggian véc tơ n chiều

Định lý 1.3.15 Q[α] là một trường và là Q-không gian véc tơ n chiều

Chứng minh Vành Q[α] là một miền nguyên vì nó là vành con củatrường C Lấy t ∈ Q[α] với t 6= 0 Khi đó có đa thức g(x) ∈ Q[x] thỏamãn t = g(α) 6= 0 Vì g(α) 6= 0 nên (g(x), f (x)) = 1 và như thế tồn tạihai đa thức p(x), q(x) ∈ Q[x] để

và trong mỗi phần tử t = g(α) ∈ Q[α], phần tử αn được thay qua

−an − an−1α − · · · − a1αn−1 ta suy ra 1, α, , αn−1 là một hệ sinh củaQ[α] Vậy Q[α] là Q-không gian véc tơ n chiều

Chú ý rằng trường

Q(α) =

ng(α)hα) | g(α), h(α) ∈ Q[α], h(α) 6= 0o

là trường con nhỏ nhất của C chứa đồng thời cả Q và α Nếu α là số đại

số thì theo Định lý 1.3.15, ta có Q(α) = Q[α]

ChoR là môt vành và I là idean của R Ký hiệu R/I = {x + I |x ∈ R }.Chú ý rằng x + I = y + I khi và chỉ khi x − y ∈ I Khi đó R/I là mộtvành với các phép toán

(x + I) + (y + I) = x + y + I; (x + I) (y + I) = xy + I

Vành R/I được gọi là vành thương của R theo I Nếu f : R → R0 làmột đồng cấu vành thì Kerf = {x ∈ R | f (x) = 0} là một idean của R

là toàn cấu với Ker(φ) = (f ) nên Q[α] ∼= Q[x]/(f )

Trường Q(α) xác định như trong Định lý 1.3.15 được gọi là một mởrộng bậc n của Q

Định nghĩa 1.3.17 Giả sử K là một trường mở rộng của trường Q.Trường K được gọi là mở rộng bậc hai nếu K là Q-không gian véc tơchiều 2

Mệnh đề 1.3.18 Giả sử d là số nguyên không chứa nhân tử chínhphương Tập Q[√d] = {a + b√

d | a, b ∈ Q} là trường con nhỏ nhất củatrường C chứa Q và √d Hơn nữa dimQQ[√

d | a, b ∈ Q} là trường con nhỏ nhất củatrường C chứa Q và √d Vì 1 và √

d là độc lập tuyến tính trên Q nêndimQQ[√

d] = 2

Bây giờ ta chứng minh một tiêu chuẩn cho mở rộng bậc hai của Q

Định lý 1.3.19 Nếu K là trường mở rộng bậc hai của Q thì có sốnguyên d không chứa nhân tử chính phương thỏa mãn K = Q[√d]

... K[x] vành Euclide Vì K[x] vành Gauss

Một lớp vành Euclide quan trọng lý thuyết số đại số

là vành số nguyên đại số Trong tiết này, chúng tơi trình bày kháiniệm bao đóng ngun số kêt... ngun số kêt bao đóng nguyên, từ đóđưa số tiêu chuẩn cho vành số nguyên đại số vành Euclide( xem Định lý 1.3.8)

Trong mục S ký hiệu vành giao hoán với phần tửđơn vị R vành S chứa phần tử... data-page="18">

Số phức α gọi số nguyên đại số nguyên Q Đặt

Q[

√d] = {a + b√

d | a, b ∈ Q}

Khi ý Q[√d] trường chứa Q

Định lý 1.3.8 Vành R số nguyên đại số Q[√d]