Jean Alexandre Eugène Dieudonné (tiếng Pháp: [djødɔne]; sinh ngày 1 tháng 7 năm 1906 – 29 tháng 11 năm 1992) là một nhà Toán người Pháp, nổi tiếng về nghiên cứu trong Đại số trừu tượng, hình học đại số và phân tích chức năng, cho sự liên quan chặt chẽ với nhóm Nicolas Bourbaki và Éléments de géométrie algébrique của Alexander Grothendieck, và là một nhà sử học về toán học. Đặc biệt trong các lĩnh vực phân tích chức năng và topo đại số
Trang 1www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0o1 NGUYEN VAN CHI
NGUYEN NGOC KHOA
0 )4 Phan loai & Phuong phap giai
CAC DANG TOAN
ĐẠI SỐ ] CƠ BẢN & NÂNG CAO
Trang 2NGUYÊN VĂN CHI - NGUYÊN NGỌC KHOA
PHAN LOAI VA PHUONG PHAP GIAI CAC DANG TOAN
DAI SO 10
Biên soạn theo chương trình cúa Bộ Giáo dục & Đào tạo
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
Trang 3www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01
LỜI GIỚI THIÊU
Nhằm góp phần giúp các em học sinh Trung học phổ thông có
tài liện luyện tập mơn Tốn, nắm được phương pháp giải các dạng toán (Đại sĩ và Hình học) lớp 10, chúng tôi biên soạn cuốn sách Phân loại
vd lương pháp giái các dạng toán Đại số 10 theo chương trình
mới c:a Độ Giáo duc va Đào tạo "ap sach gồm các nội dung :
Phương pháp giai từng dạng toán Đại số
Bài tập vàn dụng (cơ ban và nâng cao) Bài giai
Ÿới các nội dung trình bày trên, chúng tôi hi vọng sẽ giúp các em h:c sinh nắm vững kiến thức cơ bản và phương pháp giải các dạng oán từ cơ ban đến nâng cao
chúc các em chăm ngoan, học giỏi và thành đạt Xin cám ơn
Tac gia
Trang 4Zx¿ / MỆNH ĐỀ - MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN A PHƯƠNG PHÁP =_,)ung định nghĩa mệnh để :
¢ Moi ménh dé phai duvc khang định hoặc đúng hoặc sai
¢ Mot ménh dé khong thé vua dung, vula sai,
— Với môi giá trị của biến thuộc một tập hợp nào đó, mệnh đề
chứa biến trở thành một mệnh đẻ
B BÀI TẬP
Bai 1 Phat biéu nao sau day là một mệnh đề :
a) Ngay mai ban co di hoc khong ?
b) 2006 + 1 = 2008
‹) Số 0 không phải là một số nguyên
d) Em da thuộc bài
Huong dan : Dùng định nghĩa mệnh dé chon cau dung Bài 2_ Khoanh tròn vào chữ đứng trước câu có kết quả sai
À Số 29 là một số nguyên tô là một mệnh đề,
B Hà Nội là thủ đô cua nước Việt Nam, là một mệnh đề
C 3x + 5 là một số nguyên dương, là một mệnh dé D ¥2006 là một số vô tỉ là một mệnh đề
Hướng dẫn Tương tụ bài 1
Bài 3 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề đúng phi D, ménh dé sai
ghi S vào ô trông
e) Số 0 không phải là một số n:uvên đương L]Ì
L? Các số nho hơn 0 đều là số nguyên âm L]
c' Các sô chăn thì chia hết cho 3 L]
đj 53 « vŸ s Õ L]
Hướng dán : Dùng kiến thức cơ bản để suy luận
Trang 5www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01 Bai 4 Khang dinh nao sau day là mệnh đề, mệnh đề chứa biến a) Có ba số mà lập phương của chúng bằng chính nó b)x+5=7 c) x? +x>0
d) Tam giác cân có một góc bang 60° là tam giác đều
_- Hướng dẫn : Dùng khái niệm mệnh đề chứa biển để trả lời
Bài 5 Tìm các giá trị của biên để các mệnh đề chứa biến sau trở thành một mệnh đề đúng a)-x?+5=0 - ob) T= x? > 0 Huong dan : x°- 5 =0 > x -(¥5)? =0 = (x + VB\x - V5) =0 = x +75 =0 ° an x - v5 =0 x = ¥5 b)7-x°>0 © (V7 -x2 >0 < (7+ x7 - x) > 0 ÍJf+x>xơ lÍx >- |ự —'K >0 pe V7 +x<0 | [x <-v7 4 (loi) | v7 -x<0 x> V7 âđ -ý7?«<x<V7 Từ các kết quả trên suy ra các giá trị của biến cần tìm để các mệnh đề chứa biến trở thành một mệnh đề đúng a) —-x? +5=0 Lt Dang 2 CAC PHEP TOAN VE MENH DE A PHƯƠNG PHÁP 1 Phủ định của một mệnh đề
Để phú định một mệnh để ta thêm (hoặc bớt) từ "không" hoặc "không phải" vào trước vị ngữ của mệnh đề đó
Trang 6(tho mệnh đề A, mệnh đề phụ định của nó là A Nếu A đúng thì A sai, néu A sai thi A dung
2 Ménh dé kéo theo
—~ Ménh đề "Nếu A thì B" được gọi là mệnh dé kéo theo Ki hiéu A = B — Mệnh đề A => B chi sai khi A dung va B sai
—- Định lí toán học là những mệnh đê đúng và thường có dạng A => B (Với A là giá thiết hay A là điệu kiên đu để có B; B là kết luận
Trang 7www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01
c)P:"1?+2*+3?+ +n không phải là một chính phường
d) Q: "Phương trình x” + 2x + 2 = 0 vô nghiệm"
Hướng dẫn : Tương tự bài 6
Bai 8 Cho mệnh đề kéo theo : "Nếu x = 3 thì x =9” (1)
a) Mệnh đề này đúng hay sai ?
_ b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên ?
Íx=3 Ð
Hướng dân : x = 3 : 2 => Mệnh đề (1) đúng
xứ =9
Bài 9 Cho các mệnh đề kéo theo :
se Nếu a chia hết cho m và b cùng chia hết cho m thì a - b Gia hét cho m (a, b, m là các số nguyên; m z 0)
e Tam giác đều có các đường cao xuất phát từ ba đỉnh bằng nhai a) Phát biểu mệnh đề đáo của hai mệnh đề trên
b) Phát biểu hai mệnh đề trên bằng cách sử dụng khá nèm "điều kiện cần" @) Phát biêu hai mệnh đề trên bằng cách sử dung khhei nim "điều kiện đú”" Hướng dẫn : Dùng kiến thức về mệnh dé đảo và định | dlétra lời - — | Bài 10 Các mệnh đề sau đây đúng hay sai ? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng a) Vx c R, lx| < 9006 x < 2006 b) 3xe R,x”-x<0 c) Vx e R,x?+x+1>0 d) 3x « Q, x’ = 11 |
) Hướng dẫn : Sử dụng kiến thức về giá trị tuyệt đối, bất ›hiưng "trình và các kí hiệu với mọi, tôn tại dé tra lời
Trang 8Fai 12 Khoanh tron vao chữ cái đặt trước câu em cho la dung
A.Vvae Ri(a- 1)’ =(1 - a)’
J3 Nếu hai tam giác có các góc tương ứng bằng nhau thì bàng nhau
(` Nêu một tử giác có hai đường chéo vuông góc thì nó là hình thot D.1x<R, Vx-x
EA1 121 Hay phép nổi môi ý của cột A với một ý của cột B để được hai mệnh để tương đương
A ! B
=1 \ABC vuong tai B -a) Tứ giác ABŒD có các cap | 2 AMNP co M= N+P — canh đôi song song
b) \ABC có BA? + BC? = AC? c) XMNP vuông tại M d) VXABC có AB” + AC” = BC” e) Tứ giác MNPQ có : | _MNP+MQP = 180° Po
Huong dan : A => B dung va B => A dung thi A <=> B
3 Tu giac ABCD la hinh | bình hành -4 Tứ giác MNP nội tiếp | | | | | | | một đường tròn
Bài 14 Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng,
sal cua chung
a) Ơx ôâ Q, 9x*- 140
b) vx € Q, x’ >x |
c) dx € R, x’ = V5x ~ (V5 + 1)
d) 3x € N*, x khong chia hét cho x |
Hướng dân : Dùng kiến thức về mệnh đề phú định để trả lời
Zang 3 CAC PHEP TOAN CHUNG MINH
APNUONG PHAP
l Chứng mỉnh định lí : "vx € X, P(x) -> Q(x)" (1)
Chứng minh định lí là dùng suy luận và những kiến thức đã biết để khăng định mệnh đề đã cho là đúng nghĩa là cần chứng minh với mọi x thuộc X mà P(x) đúng thì Q(x) đúng
Trang 9www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01
= Chứng minh phản chứng
+ Bước 1 : Giả sử tồn tại xạ e X sao cho P(x¿) đúng và Q(x,) sai,
tức là mệnh đề (1) là mệnh đề sai
+ Bước 2 : Dùng suy luận và những kiến thức toán học đã biế: để - đi đến mâu thuần
+ Bước 3 : Kết luận điều cần chứng minh
3 Chứng minh quy nạp
Để chứng minh một mệnh đề TT, đúng với mọi số tự nhiên a > nụ
(nạ là một số tự nhiên cho trước) ta thực hiện ba bước : + Bước 1 : Chứng minh T, đúng khi n = nụ
+ Bước 2 : Giả sử Tạ đúng khi n = k = ny
+ Bước 3 : Chứng mình T, đúng khi n = k + 1
B BÀI TẬP
- Bài 15 Chứng minh định lí sau :
Với mọi a, b khong 4m, a + b > 2Vab
Hướng dẫn : Sử dụng hằng đẳng thức
(va - vb)? =a- 2vab + b
Bai 16 Chung minh dinh li sau : 7
Với mọi a R, va? = Ía
Hướng dẫn : Xét hai khả năng :— Khi a < 0
S — Khia>0
Dùng định nghĩa căn bậc hai số học để chứng minh
*
Bài 17 Chứng minh rằng trong một tam giác bao giờ cũng có í: nhất một góc có số đo nhỏ hơn hoặc bằng 609 , Hướng dẫn : Dùng phương pháp chứng minh phản chứng
Bài 18 Chứng minh rằng : Nếu nŸ chia hết cho 5 thì n cũng cha hết
cho 5 :
Hướng dẫn : Tương tự bài 17
Bài 19 Chứng minh rằng : Vn e Ñ, n + 3n + 5 không chia hết che 121
Hướng dẫn : Dùng phương pháp phản chứng |
10
Trang 10Bui 20 Chung minh răng :
Voi Vn  NƠ 14345474 +(2n- 1) =n’ Huong dan : Dung phuong phap quy nap
Bui 21 Chung minh rang :
2 2 2 2 2n
Voi Vn « N* : ——+ t + +— =
12 23 54 n(n+1) (n+: l)
Hướng dân : Tương tự bài 20
Zang ý TẬP HỢP - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP
A PHƯƠNG PHÁP
1 Co hai cach ghi mot tap hop :
Cách 1 : Liệt kê tat cả các phần tử của tập hợp đó
Cóch 2 : Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó
Chui ý : Tập hợp rỗng, kí hiệu @ là tập hợp không chứa phần tử
nào
2 Đê chứng minh tập hợp A là tập hợp con của tập hop B ta can
- chứng minh mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B Chú ý: e AcA e AcB; BcC thì AcC °° ØCA 3 Đê chứng minh hai tập hợp A và B bằng nhau ta cần chứng minh AcBvàBc A
4 Đê tìm giao của hai tập hợp ta tìm các phần tử chung của chúng
Trang 11www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01 B BÀI TẬP Bài 22 Hay xác định các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phan tu cua chúng A=lxixceNvàx< l]] B=tylye Nvà ly| <5| C={tlte N,ti2vat < 20} Hướng dẫn : Dùng cách ghi một tập hợp (cách 1) Bài 23 Hãy xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng của chúng M = {1; 3; 5; 7; .; 2005; 2007} N : Tap hợp các số 1: 4; 9; 16; 25; .; 100 P = {0; 2; 6; 12; 20; 30; 42: .; 90}
Hướng dân : Dùng cách ghi một tập hợp (cách 2)
Bài 24 Cho hai tập hợp: A=lxe<Nlx=32k,keN;90 < k < 251
B = {40; 42; 44; 46; 48; 50}
Hai tap hop A va B có bằng nhau không ?
Hướng dẫn : Viết tập hợp A dưới dạng liệt kê
Bai 25 Khối lớp 10 của trường THPT Trần Quốc Tuấn có 1000 học
sinh trong đó 7B% học sinh thích mơn Tốn; 60% học sinh
thích môn Văn |
a) Nếu có 50 học sinh không thích cả Toán lẫn Văn thì có bao
nhiêu học sinh thích ca hai mơn Tốn và Văn
b) Có ít nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai mơn Tốn và Văn
c) Có nhiều nhất bao nhiêu học sinh thích cả hai mơn Tốn và
Văn |
| Hướng dân : Dùng biểu đồ Ven để suy luận và tra lời
Bai 26 Cho tap hop A = {a; b; 1; 2}
Viết tất cả các tập hợp con của tập hợp A Huong dan :
¢ Mc As Moi phan tu cua tập hợp M đều thuộc tập hop A
-e Số tap hop con cua A bang 2" tap hop
12
Trang 12Bai 27 Cho hai tap hop: P = 12000; 2002; 2004; 2006; 2008]
Q = (2001; 2003; 2005; 2007; 2009] a) Tim P41 Q; PU Q
b) Tìm PSQ: QNP
Huong dan : Dang cach tim giao, hợp, hiệu hai tập hợp Bai 28 Cho hai tap hop: M = {x = Nix = U‘6)
N=lx=Nx<UU8)
ai Tim tap hop A gom hai phan tu sao choAc Mva AGN
b) Tim MiomN; MUN va N\M
Trang 13www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01 3 Tập hợp các số hữu tỉ Q Q= |Êla,bcZ¡ b z 0| 4 Tập hợp các số vô tỉ I I: Tap hợp các số thập phân vô hạn không tuần hoàn 5 Tập hợp các số thực R | R=QuI 6 Các tập hợp con thường dùng của R a)(a:b)=lxe Rla<x<b| b) (a: +z) = {x e Rla< x} ©) (-~; b) = {x « Rix <b] d) [a; b) = {x e Ria<x<bl e) (a; b] = {x e Rla<x <b) fT) f) [ar +0) = Ix e Rla<xl ø) (—z; b] = {x e R|x < bị h) (—œ; +œ) = R B BAI TAP Bài 31 Dién dau x vào ô trống của câu đúng — A= (—4; 3) 9 (-1; 5) a A=l-I;0;1;2;3! [ - bA=l-4:-1 [ c) A=[-1; 3] | LÌ d) A = (-1; 3) Lj Hướng dẫn : Dùng các tập hợp con của R để suy luận
Trang 14Bai 33 A & Bài 31 C Bài 35 a) Cc) Khoanh tron vao chu dung truoc cau sat N- Z-QcR BQ T= Z=N-‹.Z D.2Z L=R Hướng dân : Dùng kiến thức về các tập hợp số đê chọn kết quả sal Cho A={ne Zin =2k+1;k € Z} B = (1; 3: 5; 7; .] Khoanh tròn vào chu dung trước cau dung .A=B B.Ar) B=B A‹zB=B D A\B = A
Hướng dân : Liệt kê các phần tư của tập hợp A đê suy luận Xác định tập hợp số sau và biêu diễn tập hợp này trên trục số
(=2: 2)t¿(1; 5) b) (—3; 2) =(0; 5)
R\(1; +4) d!+ (~5: 4) (2; 7]
Huciig dan : Tu cac tap hop con cua R, xac dinh cac tập hợp
sô cản tìm và biểu diễn chúng lên trục số
Dang 6 SO GAN DUNG - SAI SO
A PHƯƠNG PHÁP
1 Sai số tuyệt đối của số gần đúng
* Cho a 1a gia tri dung, a’ la gia trị gần đúng của a, lúc đó :
= la- a'| được goi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a’
# Độ chính xác của một số gần đúng
Goi đd là cận trên của sai số tuyệt đơi
Ta có: la-al«<d =o ~-đ<a—a <d o> a-d<a<saed
Ta còn nói d là độ chính xác của số gần đúng a'
Trang 15www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01
3 Số quy tròn
Khi thay số đúng bởi số quy tròn đến một hang nào đó thì sai - số tuyệt đối của số quy tròn không vượt quá nửa đơn vị của hàng quy tròn Khi đó, độ chính xác của số quy tròn bằng nửa đơn vị
của hàng quy tròn
Chữ số chắc và cách viết chuẩn số gần đúng
Cho số đúng là a, số gần đúng là a' với độ chính xác là d Trong số a, một chữ số được gọi là chữ số chắc nếu d không vượt quá
nửa đơn vị của hàng có chữ số đó |
Tất cá các chữ số đứng bên trái chữ số chắc đều là chữ số chắc Tất cả các chữ số đứng bên phải chữ số không chắc đều la chu số không chắc
B BÀI TẬP
Bài 36 Biết Ÿ7 = 1,912931183
Viết số gần đúng Ÿ5 theo nguyên tắc làm tròn với ba, bốn chữ số thập phân và ước lượng sai số tuyệt đối
Hướng dẫn : Dùng kiến thức về sai số tuyệt đối
Bài 37 Khoanh tròn vào chữ đứng trước câu đúng
Một cái bảng có chiều dai / = 2,25m + 0,01m Các chữ số đáng
tin cua / là :
A chữ số 2 B chữ số 5
C Các chữ số từ hàng phần mười trở lên D Các kết quả trên đều sai.”
Hướng dẫn : AI < 0,01 từ đó suy ra chữ số đáng tin (chắc) củat Í,
Bài 38 Cho giá trị gần đúng của số vô tỉ v3 là 1,732050808 có 7 cht
16
số chắc
a) Hay quy tròn số V3 và ước lượng sai số tuyệt đối `
b) Hãy ước lượng sai số tuyệt đối nếu lấy giá trị gần dung cua
V3 là 1,73 hoặc 1,732
Tìm các chữ số đáng tin ở mỗi trường hợp Hướng dẫn : Theo quy tắc quy tròn
Trang 16Bài 39 Nếu quy trình ân phím trên máy Ix500MGS (lấy 5 chữ số thập 1H } : J I phan) voi cae phep toán sau :
2) 2.15 b) (¥35 + ¥52): 77
Huong dan : Dé lam tròn kết quả với 5 số thập phân bằng
cách ấn liên tiếp phím MODE cho đến khi màn hình hiện ra
Fix Sci Norm | 2 3 An lién tiép w 5 | đề lấy 5 chữ số thập phan Bài 46 Cho số đúng a = 573495 + 200 Hãy viết số quy tròn của số 573495 Huong dan : Can cứ vào độ chính xác đến hàng trăm nên ta quy tròn sô 573495 đến hàng nghìn
Dang 7 TONG HOP
Bai 4) Cho tap hop A = {x « R| V2x? —(J2 -1)x -1 = 0}
va tap hop B = {x € ¡ 9x? - (2+ V2)x - V2 = 0|
Hai tập hợp A và B có bằng nhau không ? Vì sao ?
Hướng dan : Hày liệt kê các phần tử của từng tập hợp rồi suy ra điều cần chứng minh
Bài 4: Cho M và Ñ là hai tập hợp và mệnh đề P : "M là tập con của N"
a' Viết P dưới dạng một mệnh đề kéo theo
bì Viết mệnh đẻ đảo của P.-
Hướng dẫn : Dùng khái niệm mệnh đề kéo theo để tra lời
Bài 4: Dùng kí hiệu V, 3 để viết các,mệnh đề sau rồi lập mệnh đề phủ định và xét tính đúng, sai cua các mệnh đề đó
a' Mọi số thực luôn có bình phương là một số không âm
b) Ton tại số nguyên sao cho lập phương của chúng bằng chính nó Bài 44 Hay ghép nối môi ý của cot A với mot ý của cột B để được hai
mệnh đề tương đương ĐẠI HỚC, {J2 CA rà cv ợo | TRUNG TAM THONG TIN TH! HY VIEN
www.facebook.com/ " (sở Ld —
Trang 17
www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01 A B HT mm mm 1P: "x € A và xe B a)M:"x e ANB"
2.Q:"x« Avaxe B" b) N: "x e¢ A\B" 3 R:"x e€ A hoac x € B’ c) T: "xe AcB d)S:"xe Au B - Hướng dẫn : Dùng khái niệm hai mệnh đề tương đương Bài 45 Đúng ghi Ð, sai ghi S vao 6 trong a)Ma¬NcN b)M.:.NcM c) Mc N; CxM = M\N dMdMaNcMuUN e) McMUN f) Mc MAN
Hướng dân : Dùng các phép toán trên tập hợp để trả lời LILILILILIL]
Bài 4G Xác định các tập hop sau:
a) (-2006; 3) +¿ [3; 2006) b) (—2; 2006) (2006; +z2)
c) (-10; 10] 7 (0; +) d) N\{0}
Hướng dẫn : Cách xác định tập hợp số
Bài 47 Biết số gần đúng = 257,3593 có sai số tuyệt đối không vượt
quá 0,01 Viết số quy tròn của ÿ
Hướng dân : Dùng cách viết quy tròn của một số để giải
18
Trang 18cá -
CMing 2 HAM SO BAC
Dang 7 HAM S6 - DO THI - TINH CHAN, LE
A PHUOJNG PHAP
~ Fé tìm tập xác định của một hàm số ta tìm tập hợp tất ca các
gá trị của biên sao cho hàm số có nghĩa
~ Fe cho mot nim so (i c6 thé : + Cho bang bang
+ Cho bang do thi
+ Cho bane bieéu do
+ Cho bang cong thuc
Trang 19www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01
Hướng dẫn : - Chú ý : la! > 0 với Va e R
- Đề phân thức có nghĩa <> Mẫu thức khác 0
Trang 20Bài 52 Xét tính đồng biến và nghịch Liên của các hàm số sau :
aj ve -3x” trén (—-4: O) va (0: +7)
x - _
b)y= x -O tren (—47; 5) va (lo, +7)
Huong dan : Lay x), x» bat ki thuoc khoang dang xét vol x; # Xp XxX; " xX; ~ Néu >0 thì ham so đồng biên trên khoảng đang xet ftx,)- Ítx,) » Naw —— X y= X, 0 thi ham so nghich bién tren khoang đang ket Bài 53 Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau : a)y=x +2x+1 trên (—z; -1) và (—-1; +z) bry = -2x” + 4x + 1 trên (—z; ]) và (1; +) Huong dan : — Xét tính đồng biến, nghịch biên cua hàm số trên các khoảng đà cho
— Lập bang biến thiên
Bài 54 Xét tính chăn lẻ của các hàm so sau:
aby = | 2x | b)v atx’ 4 3)
Hướng dân : Dựa vào tinh chat chan, le cua ham số,
Trang 21www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01 Huong dan : Dé tim TXD cua ham so da cho ta cần thực hiện : jl-x 20 1+x>»0 |e +x #0 Bài 57 Đánh dấu x vào ô trống của câu đúng Ilx+1l+|x -1 an’ Hàm sô y = : Ix + 1 -Íx - 1 a) là hàm số chăn | L] b) là hàm số lẻ CJ e) là hàm số không chăn, không le [_]
Hướng dán : Tương tự bài 5ã
Daug 2 HAM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b (a+ 0) ñ PHƯƠNG PHÁP 1 Để khao sát hàm số y = ax + b ta z0) ta thực hiện các bước : — Bước 1: Tập xác định D = R | Hước 3 : Xét chiều biến thiên < a hành dong biên trên 7 ” a <0: hàm nghịch biến trên R Bước 3 : Lập bảng biến thiên Hước 4 : Vẽ đô thị y = ax + b ta + 0)
+ Nếu b=0: đồ thị là đường thăng đi qua gốc tọa độ O(0; 0)
E Nếu bz 0: đồ thị là đường thăng song song với đường thăng:
y = ax và đi qua hai điểm A(0; b) và Bị —, 0 |
: a ;
2 Đô thị hàm số y = b (hàm hằng) là mét dudng thang song sone
Trang 22Bài 5 a) Bal 6) Bài 61 Bai @ a Bax 63 31)
Hướng đản : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Xác định hai điểm thuộc đô thị : =_ Điểm cát trục tùng A(0; b) f —b ~ Pieém cat truc hoanh B —-; 0 a Ve do thị của các hàm số sau : g ya uxt b)y = |2x +1)
Hướng dán : Tương tự bài 58
Viết phương trình đường thăng có hệ số góc bằng -3 và đi qua
điểm M(1; 2)
Hướng dân : Gọi phương trình đường thăng cần tìm là y = ax + b
Căn cứ vào hệ số góc đã cho ta tìm điểm a, thay tọa độ điểm
M vào đường thăng ta tìm được b
Trên mặt phăng tọa độ Oxy cho hai điểm A(—1; 1) va B(8; —2) Viết phương trình đường trung trực của đoan thăng AH
Huong dan :
Viết phương trình đường thăng AH
Xác định tọa độ trung điểm ÏI của doan thang AB
Viết phương trình đường trung trực của đoạn thắng AB Khoanh tròn vào chữ đặt trước câu có kết qua đúng
Phương trình đường thắng song song với đường thăng y = —5x + 1 :
và đi qua điểm a(2, -3 la:
\
2
y= —-x-l 5 ° B.y = -5x +3
.y=_—ỗx— Ì D y = —5x — 3
Trang 23www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01 b) Hàm số y = =x - 1 là hàm số lẻ [ | c) Đồ thị hàm số y = ax + b di qua hai diém A0 S| va BÍ =2; =5 có hệ số a và b là a = 3 và b = = L] { * \ + Hướng dẫn : Dựa vào tính chất chăn, le và đồ thị của hàm số y= ax +b để chọn câu đúng -
Bài 64 Điền dấu x vào câu tra lời đúng
Cho hai đường thăng (D) : mx - v=m
(D):x+ my =
a) Với mọi m thi (D) và (DÐ) luôn song song
b) Với mọi m thì (D) và (Ð) luôn cắt nhau
UO
c) V6i moi m thi (D) va (D’) luén tring nhau
Hướng dẫn : Dựa vào hệ số góc của hai đường thắng để trá lời
Trang 24` by ` ` `
— Hước +1 : Vỏ trục đòi xửng x = , tin piaoađiem với trục Ôy va
+) Lek
wiao diem vot truc Ox
Buoc 5: Ve do thi, ket luan
B BAI TAP
Bai 65 Lap bang biến thiên và ve đó thị các hàm sô :
a) y = 3x” = 4x +1 b) y =—x’ + 4x - 3
Hương dạn : Thực hiện theo các bước giải trên, Bat 66 Xac dinh parabol y = ax 4 bx - 1 biết parabol đó :
a} Di qua hai diem Pi 2: 7) va Qi-d: ĐÔ, lcs b) Di qua diém M(1; 6) va co true dor sung la x = - 4 Hong dân : a) Thay toa do diém P và Q vào ham: số, giải hệ phương trình để tìm a và b b) Thay tọa độ điểm ÀI vào ham số và chú ý hoành độ của tọa độ đình x= = 2a
Bài 67 Xác định parabol y = ax + bs +3 biét dé thi cua ching :
ai C6 toa dé dinh I(1; 5)
b) Di qua diém H(-1; 9) va co tung do cua dinh 1a 1
Huong dan :
¬ =b =A a) Dựa vào tọa độ định của parabol L X=—;y= =A)
\ 2a da/
b) Thay tọa độ điểm H(-1; 9) vao ham số và dựa vào tung độ
cua dinh y = la đê tìm a và b
: 4a
Bài 68 Xác định parabol y = ax” + bx + c biết rằng đô thị của nó có
tọa độ đỉnh l5: = và đi qua điêm M(2; -4)
Hướng dân : Parabol đi qua hai điệm I, M có trục đối xứng là
T1 2a
25
Trang 25www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01
Bài 69 Xác định parabol y = axÝ + bx + e biết đồ thị của nó đi qia ba
điểm A(0; 4), B(1; 9) và C(-2; 6)
Hướng dân : Thay tọa độ ba điểm A, B, C vao ham so Bai 70 Danh dau x vào ô trông câu có kết qua đúng Parabol y = -3x” +4x+7 " 3 l a ; a) Đồng biên trên khoang |-z; =| va nghich bién trén khoang \ ⁄ | —; +0 | lấn) A è oa? A ” “2 ` oat ˆ s b) Đông biên trên khoảng | 3) và nghịch biên trên khoang 3 —; + | gore L] \ + À ~ 2 "¬ ễ : i -2 ị ` 3 ” og age a : c) Dong bién trên khoang | a7 tzj Và nghịch biến trên khong ⁄ _ n 3s Lộ
d) Các kết quả trên đều sai CJ
Huong dan : — Cha y hé sé a
— Xác định hoành độ của tọa độ đỉnh
Bài 71 Đánh dấu x vào câu có kết quả không đúng a) Parabol y = -9xŸ + 4x — 7 có trục đối xứng là x = 1 L] b) Parabol y = 3xŸ + 5x + 2 có tọa độ đỉnh lễ 1 L] 6` 19) c) Parabol y =.x” + 5x - 6 cắt trục hoành tại hai điểm A(1:0) và (-6; 0) _ (J
d) Parabol y = 3x” + 6x — 1 déng bién trén khoang (—2006; = 1) L ]
Trang 26A, Bai 73 A, Bai 74 a) Cc) Bai 75 a) &) ll V 3x” + 4x — Ì B y = 3x° + 4x + 1
Ư ¥ = Ber — dx ~ | D.y ø -ÄK” ~ âx — 1
Ilvong dan : Tuong tu bai 66
Khoanh tròn vào chữ đứng trước câu tra lời đúng
Một chiếc ăng-ten thu sóng lòng chao là parabol có chiều cao ảm và đường kính 4m ở mặt cắt qua trục ta được một parabol dang y = ax’ Hé sé a can tim là :
° B ` C.2 1) a
2 3 | | 1
Huong dan : Xác định tọa độ điêm thuộc parabol Đúng ghi Ð, sai ghi S vào ô trông
Cho parabol (P): y = x° + x + 2 va dudng thang (d) : y = ax + 1
(P) va (d) tiép xuc khi hé so a cua dudng thang (d) la :
a =—~Il hoặc a = 3 L] b)a = 1 hoặc a =—3 L] a=2 L] đ) Không tìm đượca [ ]
Chọn kết quả đúng và điền dấu x vào ô trông
Hàm số y = ax” + bx +c đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = -2 11) — s) ! — va di qua diem A) 1; - Hệ sô a,b,e là : l a=ljb= s¡c=2 bige cha Bess | | a=2;b=l;c=ð [] đ) Một đáp số khác LÌ Hương dân : Tương tự bài 68 L | Dang ¢ TONG HOP Bai 76 a) c) Bài 77 Xét tính chăn, lẻ của các hàm số sau : y = |x| b) y =x? — 2x y= (x+0) dy = Vi-x? (|x| <1)
Huong dan : Tuong tu bai 54 va 55
Tìm tập xac dinh cua ham so: y = eal „ |
x -4x+5 Huong dan : Nhân xét mẫu +hức
27
Trang 27www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01
Bài 78
a) Tìm parabol y = ax” + bx + e biết đô thị đi qua điểm A(1; 8)
và có tọa độ đỉnh [(-1; 4)
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị parabol vừa tìm
Bai 79 Cho hai ham so y = x° + 2x + 4 (P) va y = kx + 2 (d)
a) Tìm k để đồ thị hai hàm số tiếp xúc
b) Tìm k để đô thị hai hàm số có hai điểm chung
Bài 80* Cho hàm sô y = x” + 2x — 3 Một đường thăng (d) đi qua:
M(0; 6) và cắt parabol theo một dây cung nhận điểm \ là
- trung điểm, lập phương trình đường thăng (d) Bài 81 Chọn kêt qua đúng
Hàm số v = ftx) đồng biến trên khoảng (a; b) | Ham so y = —-flx) :
A Đồng biến trên khoảng (a; b)
B Nghịch biến trên khoảng (a; b)
C Khéng thé xac định đồng biến hay nghịch biến trên khoa ng (a; b) | Bài 82 Hãy ghép nối mỗi ý của cột A với một ý của cột B để được _ khang dinh đúng | " A | i B | fo ; —+ —-——- — | 1 Giao diém cua parabol y = 4x" — 3x - 1 La) P(0; 3), Q(-3; 6) | | với đường thăng y=—x+ 1l là: " ! -b) A(1;0) và B.-— | 2 Giao diém cua parabol y = —x” - 5x với | _ #8 ị d): =— Xa |
¡_ đường thắng (4): y + -x + 8 là —— a tine eins ttre apne _c¢) M(-3; 6), Ni-1; 4 d2 6-s66esdwc=sbtrdla —
Bài 83 Khoanh tròn vào chừ đứng trước câu có kết qua đúng
Wie
Parabol y = ax” + bx + e nhận trục tung làm trục đối xứrg và cắt đường thẳng y = -x tại các điểm có hoành độ -2; 3 là :
A.y =x’ +6 B y = 2x" + 3x - 6
C.y =-x" +6 Dy =x? + 3x - 6
28
Trang 28Chung 3 PHUONG TRINH VA _HE PHUONG TRÌNH _ Z2;„¿ / MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ñ PHƯƠNG PHÁP I Phương trình bậc nhất aX + b=0 Hệ số - Ket luận ị peer HN HH peer ere errr M.Ấ by } | | a0 | Có 1 nghiém duy nhat x = — a
tên ~ôcclkeeeeefE-esemeEtDTSerioi 22BEESL,AGfESEREEN = pees ————————————
b= = _Phương tr inh CÓ VÔ SỐ nghiêm |
as0 | — NHƯ
ob t Phuong trinh vo nghiệm
Chu y: Khi : a # 0, phương trình ax + b = O goi la stung trinh bác nhất một ân II Phương trình bậc hai ax” Pe bx t¢=0 (a z 0)
Trang 29www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01 f(x)= a ea>O <> f(x) = - 2 lfx)! =g(x) (1) Ig(x) > 0 (f(x) < 0 Phương pháp ï :(1) <= ' b „ hoặc ‹ ` (b) | {f(x)Ƒ -[gtx)Ƒ fx) = gtx) f(x) >0 Phương pháp 2 :(1) < | (a) f(x) = g(x)
Tập nghiệm của (1) là hợp của các tập nghiệm của các hệ (a) và (b) 3 Phương trình có nhiều dấu giá trị tuyệt đối :
a) |ftx)| = lgtx)l (5)
, Phương pháp 1: (°) <» Í(x) = + g(x) Phương pháp 2: (*) <= [Ñx) = [g(x)f b) f(x) + g(x) = h(x)
Phương phap : Xét cac khoảng trên trục số phân chia trường
hợp đưa phương trình về dạng phương trình không chứa dấu giá trị tuyệt đối |
IV Phương trình chứa ẩn ở mẫu
° f(x) “0 c3 jgtx) z0 g(x) If(x) = 0
, £00 1) 2 [eee 0
g(x) f(x) - htx).g(x) = 0
V Phương trình tring phuwong : ax’ + bx? +c=0 (a0) (1) Phuong phap: Datt=x?>0, (1) © at? +bt+c=0
Trang 30e) Đặt ấn phụ, lưu ý điều kiện kèm theo của ân phụ
d) Ap dung hang đăng thức một cách lĩnh hoạt e) Nhận xét nghiệm nhơ so sánh hai về
B BÀI TẬP |
Bài 84 Giai phương trinh : 5x — 3 = 5(x — 1)
Bai 85 Giai va bién luan phuong trinh : x + m* = 1 + mx
Bài 86 Giai và biện luận phương trình : mx - 2m” = -3x + 6m
Hướng dạn : Bài 84, 85, 86 dựa vào phương pháp giai phương
trinh dang ax + b = 0
Bài 87 Giai phương trình :(m — 1)x> +x — m = 0 Huong dan: — Khi m = ]
— Khi mz 1
Bài 88 Giai phương trình : (x + 1)x + 2)(x + 3)(x + 4) = 63
Hướng dân : Đặt ấn phụ đưa về giải phương trình bac hai Bài 89 Cho phương trình bậc hai ẩn x : xÝ + 2mx + 1+ 2m + m =0
Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Huong dan: — Lap A
= Xét A' > 0
Bài 90 Cho phương trình : xÝ - 2(m - 1)x + m- 3 = 0
Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
VỚI mọi m
Huong dan : Chung to duge V > 0
Bai 91 Tim m để phương trình sau có hai nghiệm cùng âm a) 2x”+5x+l-m=0 b) 3x” + 4x + 2(m - 1) = 0 Hướng dẫn : A>0 Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng âm <> › <0 P >0
Bài 92 Giai phương trinh : x(x — 1)(x + 1)(x + 2) — 24 = 0 Huong dan : Tuong tu bai 88
31
Trang 31www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01 Bài 93 Tìm m đê phương trình sau có hai nghiệm cùng dương x” - (2m + l)x +m? +m-6= 0 Huong dan : | iA 20 Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dương c> 4S > 0 \P > 0
Bài 94 Gọi hai nghiệm cúa phương trình : x” — 7x — 11 = 0 la x; va x,
Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm là : xị + x¿ và XxịX¿
Hướng dẫn : Tìm hai nghiệm của phương trình bậc hai cần lập
Bài 95 Cho phương trình ẩn x : |
x” - (2m - 3)x + m” - 3m =0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm khác dấu b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu
Hướng dân : Phương trình bậc hai có hai nghiệm : A»0 A>0 a) cùng dấu < | b) khác dấu <> P<0 ,P>0 Z2¿x¿ 2Ø MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẤN A PHƯƠNG PHÁP
- Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là phương trình có dạng : ax + by = c, trong đó a, b, c e R, a và b không đồng thời bằng 0
Trang 32c— by Hoặc: ax+by=c ‹© ax=c-by ô@â xe a c - by -y «— R) Nghiệm tơng quát : (x = 2 a=0vàbz0 Ox+by=c © y=— ) | Nghiệm tong quat : (x « R; y = 3 az0vàb=0 ax+QOy=c © x=- Nghiém tong quat : (x = £ ye R) a Nâng cao : Tìm nghiệm nguyén cua phuong trinh ax + by = ¢ (a, b, c,x,y € Z) | Phuong phap : Van dung li thuyét chia hét trén tap hop Z B BAI TAP - Bài 96 Giải các phương trình : a) 0x + 3y = 2 b) ~-3x + Oy =3 ©) 2x — 3y = 5
Hướng dẫn : Sử dụng phương pháp giải ở trên để tìm nghiệm
tổng quát của phương trình
Bài 97 Giải phương trình 2x + y = 5 và biểu diễn tập nghiệm lên mặt phẳng tọa độ Oxy Hướng dẫn : — Dùng phương pháp giải — Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình là một đường thăng
Bài 98 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 3x + 2y = 17 Hướng dân : Sử dụng tính chất chia hết trên Z
33
Trang 33www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Bai 99 Tim nghiém nguyén cua phuong trinh : 3x + 17y = 123 Hướng dẫn : Tương tự bài 98 |
Bài 100 Tìm nghiệm nguyén duong cua phương trình : 3x + 4y = 43
Hướng dẫn :
— Tim nghiệm nguyên của phương trình
— Sau đó lập luận : (x > 0; y > 0) để suy ra nghiệm nguyên dương Bài 101 Chứng to phương trình : 3x + 6y = 23 không thê có nghiệm
nguyên
Hướng dẫn : Chú ý vế trái của phương trình chia hết cho 3 còn vế phai của phương trình không cha hết cho 3 Z2¿«¿ 5 HỆ PHƯƠNG TRÌNH a a ˆ x 2 _ I HE PITUONG TRÌNH BẬC NHẤT HAI AN : a +a = ` () a;x + b¿U = C; A PHƯƠNG PHÁP 1 Phương pháp cộng Giá sử bị và bạ khác 0 {a,b,x + b,b,y = eb, ° Jta,b, ~ a,b, )x = ¢,b, ~ ¢,b, (”} s+ la,b,x + b, bs¥ = c,b, |a„x + b„Y.= €„ sẽ a, b, ¬x wk * ` e Nếu anbi — asb) z 0 hay —— z — thì hệ có nghiệm duy nhất là : - —8ạ 2 7 _¢b,-¢,b, aye, - ane, a,b, — a,b,’ a,b, - a,b, X ` ai Dị ì ĐA
e Nêu a,b» — a,b; = 0 va cb, _ CaÐy #: Ö hay —— —= =— thi hé
phương trình đã cho có vô số nghiệm
e Nếu a¡b„ — a;b; = 0 và cạb¿ — c;by z 0 hay — =— z — thì hệ
phương trình đã cho vô nghiệm,
34
Trang 34Phương pháp thế layx + bịy =€\ (1) lax + byy =¢, (2) thr ` z Cì ~ a,X Fừ phương trình (1) ta có : y = TS (bị z 0) 2 Thay giá trị y vào phương trình (2) : C -8¡X aX + b,———— = Co seo a,b x + bạc aibax = bic» l <> (a¡b; — asb¡)x = bạc; — bịc; Lập luận để tìm nghiệm của hệ phương trình (nếu có) Phương pháp đồ thị lax+b,y=c, (d,) lax +b,y=c, (d,)
Ve cac dudng thang (d,) va (dy) trên cùng một mặt phẳng tọa độ Nếu (d;) và (d›) cắt nhau thì tọa độ giao điểm chính là nghiệm duy nhất của hệ
Nếu (đ)) và (d;) song song thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm
Nếu (d;) và (đ;) trùng nhau thì hệ phương trình đã cho có vô số
nghiệm
Phương pháp so sánh
Rút x từ hai phương trình rồi cho bằng nhau
Trang 35www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01 se Nếu Dz 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là : eB] x=— y=— D D se Néu D = 0, D, = 0 va D, = 0 thì hệ phuong trình đã cho có vô số nghiệm se Nếu D= 0 mà D, z 0 và Dy z 0 thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm B BÀI TẬP | Bài 109 Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng a) 3x + 2y =5 b) 5x — dy = 13 {x-2y=7 4x + 5y = -6 | , |2x-y=3 Bai 108, Giai hé phuong trinh bing phuong phap thé: ~~” _ -4x + äy = -8 se se A ` À , a2 : 3X + y a 7
Bài 104, Giải hệ phương trình bằng phương pháp đồ thị : 5 x~y=3 5
Bai 105, Dùng phương pháp so sánh, hãy giải hệ phương trình sau :
2x+ 3y = 13
3x-y=3
T big : : 2 eth i i 2x-y=-5
Bài 106; Dùng định thức Cramer giải hệ phương trình : "
| i, —X + y = &
Hướng dẫn : Từ bài 102 đến bài 106 Dùng phương pháp giải
hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài 107: Cho hệ phương trình : fe ng kx-y=n
a) Chứng tö hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi m, n, k bất kì b) Hệ đã cho có thể có vô số nghiệm được không ?
Hướng dẫn : Biến đổi hệ dưới dạng : Ũ _mx.n
y=kx-n
Chú ý :— Nếu m = k Hệ có vô số nghiệm - Nếu m #k = Hệ có nghiệm duy nhất ' 36
Trang 36: 2 l2x - ay = 3 Bài 108 Cho hệ phương trình : - ~ laX t oy - 4 Với giá trị nguyên nào của a thì nghiệm của hệ thỏa mãn x < 0 va y > 0
Huong dan : Tim nghiém cua hé theo a
Bài 109 Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm :
+my=1
mx — 3my = 2m +3
Hướng dân : Bằng phương pháp thế biểu thị x theo y ở phương
trình thứ nhất, sau đó thay vào phương trình thứ hai Biện luận sự có nghiệm của hệ theo m Tr ˆ ` X + ny =5 Bài 110 Cho hệ phương trình : nx-y=2 by _n? Tìm n dé hệ có nghiệm thỏa mần :x+y=l+ 2.3 | n° + Hướng dân : Tìm nghiệm của hệ theo n —n” Thay giá trị của nghiệm vào đăng thức :x + y =1+— zi nˆ+ Từ đó suy ra n II HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẤN Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là : ayx+byy+ez=d, (1) a,x+boy+c,z=d, (2) aax+bạy+c;z=d, (3) Trong đó x, y, z là ba ẩn, các chữ còn lại là các hệ số
Môi bộ ba (xo; yọ; zo) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình
A PHƯƠNG PHÁP
- Nhân hai vế phương trình (1) của hệ với c;, nhân hai vế của
phương trình (2) của hệ với c¡, sau đó trừ vế theo vế ta có :
37
Trang 37www.facebook.com/groups/TaiLieuOn ThiDaiHoc01
(a¡c¿ — a;c¡)x + (bịc; — b¿c¡)y = dịc; — d;c; (4)
- Nhân hai vế phương trình (1) của hệ với c;, nhân hai vế của
phương trình (3) của hệ với c¡, sau đó trừ vế theo vế ta có :
(a¡ca — aac)x + (bịca — bạc¡)y = dịcs — dạc; (5) — Giải hệ hai phương trình bậc nhất (4) và (5) ta tìm được x và y
Trang 38Chung 4: BAT DANG THUC BẤT PHƯƠNG TRINH» 1 BiT DANG THUC TINH CHAT la<b @ a+e<b+c a.e < be nếu e>0 Oo a<b- & s a.c>be néu c <0 ỏ.a<bvàc<d => a+c<b+d 4 Vớia>0,c>0: a<bvàc<d => ac<bd | ¬ a<b + a"''cb”"h' (nec Z,) Ct 0<a<b = a <b" (n « Z,) 6 Voia>O: a<b => Ja < Vb 7T.a<b => fa < Yb
MOT SO BAT DANG THUC CAN BIET
1 Bat dang thie Cé-si
Với mọi a,b> 0: a+b> 2ýab, dấu "="” xảy ra << a=b Mở rộng : Với mọi a¡, aa, , an > O
a; + ay + +a, >nYa,a,.a,
Dau "=" xay ra <> a, = a2 = = a)
Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
Trang 39www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc0o1 A PHUONG PHAP 1 Dùng phép biến đổi tương đương : a >b<>a—b>0 Dùng phương pháp phản chứng Dùng các tính chất của bất đẳng thức Dùng bất đẳng thức trong tam giác Dùng bất đẳng thức Côsi Dùng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki hoặc một số bất đẳng thức khác, Ãs Ff EM * SS Ww B BAI TAP
Bai 116 Chứng minh bất đẳng thức : (ac + bđ)? < (a? + b?)(e? + đ?),
Hướng dẫn : Xét hiệu (ac + bd)’ - (a? + b’)(c? + d?)
Bài 117 Chứng minh rằng không tôn tại một tam giác có độ dài ba đường cao là 1; X3 và v3 +1 (cùng don vi do)
„ Hướng dẫn : Dùng phương pháp phản chứng để chứng minh
Bài 118 Cho a + b = 2, chứng minh rằng : a” + bỶ > 9
Le +b 1S
2- 2
Hướng dẫn : Sử dụng bất đẳng thức :
Bài 119 Cho ba số va, vb, ve thỏa mãn : 0< va <1:0< vb <1; 0< ýe <1và va +vb + c =2 Chứng minh : a+b+ecs<2 Hướng dẫn : Sử dụng tính chất bất đẳng thức Bài 120 Cho a và b là các số dương 4ab 1+ab_ Chứng minh rằng : a + b > Hướng dẫn : Sử dụng bất đắng thức Côsi Bài 121 Cho hai số a và b thỏa mãn : 3a + 2b = 5 Chứng minh rằng : 3a” + 2bŸ > 5
| Hướng dẫn : Ap dung bat đẳng thức Bunhiacôpxki Bài 122 Cho ba số a, b, c thỏa mãn : a” + bŸ + cŸ = 1
Chứng minh rằng : 2(1 +a + b + ce + ab + bc + ca) + abc > 0
40
Trang 40Hướng dân : Sử dụng bất đăng thức giá trị tuyệt đối, XI a+b 4c <1 Suyra:lal<1l; |b <1; e <1 (1+ a(1+b(1l+c)-0 o> lLl+eatb4+e+ab4+be+ca + abe > 0 Và dùng hằng đăng thức :
(ta +b+c+ 1 =a +b +e + 14+ 2ab + 2be + 2ca + 2a + 2b + 2c
Tu do suy ra diéu can chung minh
Bài 123 Chứng minh rằng nêu a.b, c là độ dài các cạnh của một tam
_ ` N 2 2
giac thi taco: a +b +c < Zab + be + ca)
Hướng dẫn : Sử dung bat dang thức tam giác
II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH he ; % MỘT ẨN Bất phương trình Định nghìa : Bất phương trình ân x là mệnh đề chứa biến có dang : fix) < g(x) (f(x) < g(x))
Trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x Nghiệm của bất phương trình :
Giá trị xạ c R thỏa mân ftx,) < g(x,) (xu) < g(xu)) là một mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình
2 Hệ bất phương trình một ẩn
Hệ bất phương trình ẩn x gòm một số phương trình ẩn x mà ta
phải tìm các nghiệm chung của chúng : |
Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương
trình của hệ được gọi là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó
A PHƯƠNG PHAP
Dùng phương pháp biến đổi tương đương hai bất phương trình
hoặc hai hệ bất phương trình
e P(x) < Q(x) ôâ P(x) + Fx) < Q(x) + F(x)
4]