tóm tắt kiến thức toán 11

Lưu hành nội Điều chỉnh, bổ sung năm 2011  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 MỤC LỤC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Độ radian Các hệ thức Các hệ cần nhớ 4 Các cung liên kết 5 Các công thức biến đổi HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Các hàm số lượng giác Tập xác định hàm số Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số Xét tính chẵn, lẻ hàm số PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 10 Phương trình lượng giác 10 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác 12 Phương trình bậc sinx cosx 12 Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx 13 Phương trình đối xứng, phản đối xứng 13 Phương trình lượng giác khác 13 ĐẠI SỐ TỔ HỢP 14 Phép đếm 14 Hoán vị 14 Chỉnh hợp 14 Tổ hợp 15 Cách phân biệt tổ hợp chỉnh hợp 15 NHỊ THỨC NEWTON 15 Khai triển nhị thức Newton 15 Tam giác Pascal 15 Giải phương trình 16 XÁC SUẤT 16 DÃY SỐ 17 Tính đơn điệu dãy số 17 Tính bị chặn dãy số 17 CẤP SỐ CỘNG 18 Định nghĩa 18 Tính chất 18 Tổng n số hạng cấp số cộng 18 CẤP SỐ NHÂN 18 Định nghĩa 18  GV: NGUYỄN THANH NHÀN 1 : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 Tính chất 18 Tổng n số hạng 18 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 19 Định nghĩa 19 Tính chất 19 Một số giới hạn 19 Cách tìm giới hạn 19 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 20 HÀM SỐ LIÊN TỤC 22 Xét tính liên tục hàm số y  f ( x ) x0 22 Tìm m để hàm số y  f ( x ) liên tục điểm 22 Chứng minh phương trình có nghiệm 22 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ 22 Bảng đạo hàm 22 Các qui tắc tính đạo hàm 23 Đạo hàm cấp cao 23 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG 23 CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 26 I Các phép biến hình 26 II Vẽ ảnh hình qua phép biến hình 27 III Tìm phương trình ảnh 27 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 28 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng 28 Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) 28 Chứng minh điểm thẳng hàng 28 Tìm thiết diện 29 QUAN HỆ SONG SONG 29 I Các định nghĩa 29 II Các tính chất 29 III Chứng minh hai đường thẳng song song 30 IV Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng 30 V Chứng minh hai mặt phẳng song song 31 VI Chứng minh hai đường thẳng chéo 31 QUAN HỆ VUÔNG GÓC 31 I Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 31 II Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng 32 III Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 32 GÓC 33 Góc  hai đường thẳng a, b 33  GV: NGUYỄN THANH NHÀN 2 : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 Góc  đường thẳng a mặt phẳng (P) 33 Góc  hai mặt phẳng (P) (Q) 33 KHOẢNG CÁCH 33 Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a 33 Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) 33 Khoảng cách đường thẳng a // (P) 34 Khoảng cách hai mặt phẳng (P) // (Q) 34 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 34 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 34 Định lí cô sin 34 Định lí sin 35 Công thức tính diện tích tam giác 35 Các hệ thức lượng tam giác vuông 36  GV: NGUYỄN THANH NHÀN 3 : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Độ radian: 180    (rad ) ;  180    (rad); 1(rad )    180    0 Các hệ thức bản: sin   cos   ; cos * sin   cos2   1,  ; * tan   *  tan   cos2  * cot   cos sin   sin           k , k  Z    (  k , k  Z) sin    k * tan  cot      , k  Z   Các hệ cần nhớ: *  cot   sin(  k 2 )  sin  ; tan(  k )  tan  ; cos(  k 2 )  cos cot(  k )  cot    k , k  Z cot  xác định   k , k  Z 1  sin   1  cos  tan  xác định   * sin x  cos4 x   sin 2 x * sin x  cos6 x   sin 2 x  GV: NGUYỄN THANH NHÀN 4 : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 Dấu giá trị lượng giác: Góc phần tư GTLG sin cos tan cot Các cung liên kết: I II III IV + + + + + – – – – – + + – + – – a Cung đối:   cos( )  cos  ; tan( )   tan  ; sin( )   sin  cot( )   cot  b Cung bù:     sin(   )  sin  ; tan(   )   tan  ; c Cung phụ:  cos(   )   cos cot(   )   cot      sin      cos ; 2    tan      cot  ; 2    cos      sin  2    cot      tan  2  d Cung  :     tan(   )  tan  ; cot(   )  cot  sin(   )   sin  ; cos(   )   cos  e Cung   :    2   sin      cos ; 2    tan       cot  ; 2   GV: NGUYỄN THANH NHÀN   cos       sin  2    cot       tan  2  5 : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 Các công thức biến đổi: a Công thức cộng:  sin(a  b) = sina cosb  cosa sinb  cos(a  b) = cosa cosb  sina sinb  tan(a  b) = tan a  tan b  tan a tan b  cot(a  b) =  tan a tan b tan a  tan b b Công thức nhân đôi:   sin2a = sina.cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a  tan2a = tan a  tan a * Công thức tính theo t  tan tan x  ; cot2a = cot a  cot a x 2t 2t  t2 ;sin x  ;cos x   t2  t2  t2 c Công thức hạ bậc: cos2a =  cos2 a ; sin2a =  cos2a ; tan2a =  cos2 a  cos2 a Lưu ý: x x *  cos x  2sin 2 d Công thức biến đổi tích tổng: *  cos x  cos2  GV: NGUYỄN THANH NHÀN 6 : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 [sin(a  b)  sin(a  b)] cosa.cosb = [cos(a  b)  cos(a  b)] sina.sinb =  [cos(a  b)  cos(a  b)] sina.cosb = e Công thức biến đổi tổng tích:  sinA + sinB = 2sin AB AB cos 2  sinA – sinB= 2cos AB AB sin 2  cosA + cosB = 2cos AB AB cos 2  cosA – cosB = –2sin AB AB sin 2  tan  tan =  sin(   )     ;    k , k  Z  cos cos    Chú ý:     * sin x  cos x  sin  x    cos  x   4 4       * sin x  cos x  sin  x     cos  x   4 4    GV: NGUYỄN THANH NHÀN 7 : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 f Giá trị lượng giác cung đặc biệt: 00 Góc sin cos tan cot || 300  450  600  900  1200 2 1350 3 2 3 2 2 2 – – ||   1 3 3 1500 5 2 – 1 – 1 – 3 1800  1 ||  HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Các hàm số lượng giác: y  cos x y  sin x - TXĐ: D=  - Là hàm số lẻ - Hàm tuần hoàn với chu kì 2 - Tập giá trị: T   1;1 - TXĐ: D=  - Là hàm số chẳn - Hàm tuần hoàn với chu kì 2 - Tập giá trị: T   1;1 - Hàm số đồng biến        k 2 ;  k 2    - Hàm số nghịch biến   3  k 2    k 2 ; 2  - Hàm số đồng biến    k 2 ; k 2   GV: NGUYỄN THANH NHÀN - Hàm số nghịch biến  k 2 ;  k 2  8 : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 y  tan x y  cot x   - TXĐ: D=  \   k  2  - Là hàm số lẻ - Hàm tuần hoàn với chu kì  - Tập giá trị: T   - Hàm số đồng biến        k ;  k    - Có đường tiệm cận x    - TXĐ: D=  \   k  2  - Là hàm số lẻ - Hàm tuần hoàn với chu kì  - Tập giá trị: T   - Hàm số nghịch biến  k ;   k    k - Có đường tiệm cận x  k Tập xác định hàm số: a) y  Px Q x xác định Q  x   b) y  P  x  xác định P  x   c) y  Px Q x xác định Q  x   d) y  sin f  x  ; y  cos f  x  xác định f  x  xác định   k f) y  cot f  x  xác định f  x   k e) y  tan f  x  xác định f  x   Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số: a) Áp dụng tính chất bất đẳng thức, với x ta có: 1  sin x  1;   cos x  1;  sin x  1;  cos2 x  b) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y  a sin x  b cos x  c x   ta có  a  b2  ainx  b cos x  a2  b2  c  a2  b2  a sin x  b cos x  c  c  a2  b Xét tính chẵn, lẻ hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định D  GV: NGUYỄN THANH NHÀN 9 : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 HÀM SỐ LIÊN TỤC Xét tính liên tục hàm số y  f ( x ) x0 * Tính f ( x ) (nếu f ( x ) không tồn hàm số không liên tục) * Tìm lim f ( x ) , cần tính giới hạn bên x  x0 * So sánh f ( x ) lim f ( x ) để kết luận x  x0 Tìm m để hàm số y  f ( x ) liên tục điểm Phương pháp: * Tính f (a) tìm lim f ( x ) xa * Hàm số liên tục x  a  lim f ( x )  f (a) Từ điều kiện tìm m, xa cần tìm giới hạn bên Chứng minh phương trình có nghiệm: Phương pháp: * Đặt f ( x ) vế trái phương trình, f ( x ) liên tục D * Tìm hai số a, b  D cho f (a) f (b)  phương trình có nghiệm x  (a; b)  ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ Bảng đạo hàm: Hàm số y  f ( x ) (C )'  C: số Hàm số hợp y  f (u), u  g( x ) y / x  y / u u / x ( x )/    x /  x / 1    x x   x   /   x 1  GV: NGUYỄN THANH NHÀN    2u 'u / u / 1 u'    u u   u   /   u 1 u '  22  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 Hàm số y  f ( x ) Hàm số hợp y  f (u), u  g( x ) / /  sin x   cos x  cos x    sin x  sin u   u '.cos u  cos u   u '.sin u   tan x cos x /  cot x    sin12 x Các qui tắc tính đạo hàm:  tan u  /  tan x  / / u' cos2 u /  cot u   sinu2 'u  /  Cho hàm số u, v, w có đạo hàm u / , v / , w/ Ta có: / a)  u  v  w   u/  v /  w/ / / b)  u.v   u / v  uv / Hệ quả:  C.u   C u/ (C: số) /  u  u / v  uv / c)    v2 v d) u  u( x ) có đạo hàm theo x ux/ , y  f (u) có đạo hàm theo u yu/ hàm số y  f [u( x )] có đạo hàm theo x y x/  yu/ ux/ Đạo hàm cấp cao: * Đạo hàm y / gọi đạo hàm cấp 2, kí hiệu y / / * Đạo hàm y / / gọi đạo hàm cấp 3, kí hiệu y / / / * Đạo hàm đạo hàm cấp  n  1 gọi đạo hàm cấp n, kí hiệu y ( n ) Ý nghĩa hình học đạo hàm: - Đạo hàm hàm số y  f  x  điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M  x0 ; y0  - Nếu hàm số y  f  x  có đạo hàm điểm x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M  x0 ; y0  có phương trình là: y  y0  f '  x  x  x    GV: NGUYỄN THANH NHÀN  23  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y  f  x  : Có dạng sau: Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M  x0 ; y0    C  (với y0  f  x  ) Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  y0  f '  x  x  x  Dạng 2: Tiếp tuyến điểm có hoành độ x  x0 thuộc (C) - Tìm y0  f  x  f '  x  - Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y  y0  f '  x  x  x  Chú ý: Nếu toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C) trục tung x0  Dạng 3: Tiếp tuyến điểm có tung độ y  y0 thuộc (C) - Giải phương trình f  x   y0 tìm x  x0 - Tìm f '  x  - Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y  y0  f '  x  x  x  Chú ý: Nếu toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (C) trục hoành y0  Dạng 4: Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước - Tính y '  f '  x  Giải phương trình f '  x   k tìm nghiệm x  x0 - Tính y0  f  x  - Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y  y0  f '  x  x  x  Dạng 5: Tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y  ax  b - Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên hệ số góc k tiếp tuyến a (tức ktt  a , viết dạng 4) Dạng 6: Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y  ax  b - Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên ktt a  1  ktt   a (viết dạng 4) Dạng 7: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: y  ax  b góc  ,    90  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  24  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 - Gọi  ,  góc hợp tiếp tuyến (d), đường thẳng (  ) với chiều dương trục hoành Gọi k hệ số góc tiếp tuyến, ta có:      suy ra: tan   tan  k a  (1)  tan  tan   ak - Giải phương trình (1) tìm hệ số góc k tiếp tuyến (như dạng 4) tan   tan     tan        GV: NGUYỄN THANH NHÀN  25  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG I Các phép biến hình:  Phép tịnh tiến theo vectơ v :   a) Định nghĩa kí hiệu: Tv (M )  M /  MM /  v  b) Biểu thức tọa độ: M ( x; y ), M / ( x '; y '), v  ( a; b) Ta có: x '  x  a Tv ( M )  M /   y '  y  b Phép đối xứng trục d: a) Định nghĩa kí hiệu: Ñd (M )  M /  d đường trung trực MM / b) Biểu thức tọa độ: x '  x * M ( x; y ), M / ( x '; y ') qua phép đối xứng trục Ox:  y '  y x '  x * M ( x; y ), M / ( x '; y ') qua phép đối xứng trục Oy:  y '  y Phép đối xứng tâm I: a) Định nghĩa kí hiệu: ÑI (M )  M /  I trung điểm MM / b) Biểu thức tọa độ: M ( x; y ), M / ( x '; y '), I (a; b) Ta có:  x '  2a  x ÑI (M )  M /    y '  2b  y Phép quay tâm O, góc quay  : Định nghĩa kí hiệu: Q(O , ) ( M )  M /  (OM ,OM / )   (  góc định hướng) Phép vị tự tâm I, tỷ số k: a) Định nghĩa kí hiệu:   V( I ,k ) ( M )  M /  IM /  kIM b) Biểu thức tọa độ: M ( x; y ), M / ( x '; y '), I (a; b) Ta có:  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  26  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11  x ' a  k ( x  a) V( I ,k ) ( M )  M /    y '  b  k ( y  b) Chú ý: F  M   M/  F (H / )  M /  (H / ) (H )   M  (H )  II Vẽ ảnh hình qua phép biến hình: Vẽ ảnh điểm:   a) Qua phép tịnh tiến: Lấy M / cho MM /  v b) Qua phép Đối xứng trục d: Lấy M / cho d đường trung trực MM / c) Qua phép Đối xứng tâm I: Lấy M / cho I trung điểm MM / d) Qua phép Vị tự V( I ,k ) : Trên đường thẳng IM lấy M / cho đoạn IM /  k OM * M , M / phía I k  * M , M / khác phía I k  Vẽ ảnh tam giác: Lần lượt vẽ ảnh đỉnh Vẽ ảnh đường thẳng d: Trên d lấy hai điểm A, B; vẽ ảnh A / , B / A,B Ảnh d đường thẳng A / B / Vẽ ảnh đường tròn: * Vẽ I / ảnh tâm I qua phép biến hình * Vẽ đường tròn tâm I / có bán kính R (nếu phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay), bán kính k R (nếu phép vị tự) III Tìm phương trình ảnh: Phương pháp: Cho hình (H) có phương trình f ( x; y)  , viết phương trình (H / ) ảnh  x '  u( x ) (H) qua phép biến hình F có biểu thức tọa độ   y '  v( y ) Cách giải: * Gọi M ( x; y ), M / ( x '; y ')  F ( M )  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  27  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11  x '  u( x ) * Khi đó:  tính x theo x’, y theo y’  y '  v( y ) * M ( x; y)  ( H )  f ( x; y)  thay x,y vừa tìm vào phương trình f ( x; y)  ta phương trình g( x '; y ')  M / ( x '; y ')  (H / ) nên phương trình (H / ) g( x '; y ')   ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Tìm giao tuyến hai mặt phẳng: a) Cách 1: Để tìm giao tuyến mặt phẳng (P) (Q) ta tìm hai điểm chung phân biệt A,B Giao tuyến đường thẳng AB * A  (P ), A  (Q)  A điểm chung thứ * B  (P ), B  (Q)  A điểm chung thứ hai Vậy (P )  (Q )  AB b) Cách 2: (Khi học xong chương quan hệ song song) * Tìm điểm chung S (P) (Q)  (P )  (Q)  Sx * Chứng minh Sx song song với đường thẳng cho trước  A  (d ),(d )  (P )  A  ( P )   A  (d )  (a)  A  (d ) vaø A  (a) Chú ý:   A  (d )  ( P )  A  (d ) vaø A  (P ) (d )  (P )  (Q)  (d )  (P ) vaø (d )  (Q) Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P): a) Cách 1: * Tìm mặt phẳng phụ (Q) chứa d * Tìm giao tuyến a (P) (Q) * Trong mặt phẳng (Q) tìm M  a  d Suy M  d  (P ) b) Cách 2: Tìm mặt phẳng (P) đường thẳng a mà a  d  M  M  a, M  (P )   M  d  (P ) M  d Chứng minh điểm thẳng hàng: Ta chứng minh điểm thuộc mặt phẳng phân biệt  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  28  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11  A  (P ), A  (Q )  B  (P ), B  (Q)  A, B, C thẳng hàng C  (P ),C  (Q)  Tìm thiết diện: Để tìm thiết diện tạo mặt phẳng với khối đa diện ta tìm giao điểm mặt phẳng với cạnh khối đa diện (nếu có) Các giao điểm đỉnh thiết diện Ta tìm đoạn giao tuyến mặt phẳng với mặt đa diện  QUAN HỆ SONG SONG I Các định nghĩa: Hai đường thẳng song song: a // b  a, b nằm mặt phẳng điểm chung Đường thẳng song song với mặt phẳng: a // ( P )  a  ( P )   Hai mặt phẳng song song: (P ) // (Q)  ( P )  (Q)   II Các tính chất: a  c   ab b  c a  c;(P )  (Q )  b  abc a  (P ); c  (Q) Ba mặt phẳng cắt theo giao tuyến phân biệt giao tuyến song song đồng qui a  b; a  (P )   a  (P ) b  (P ) a  (P ); a  (Q )   ab (P )  (Q )  b a  (P ), a  (Q)   ab (P )  (Q )  b a  (Q )   a  (P ) (Q)  (P )  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  29  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 Trong mặt phẳng (P) có hai đường thẳng a, b cắt song song mặt phẳng (Q) (P )  (Q) (P )  ( R )   ( P )  (Q) (Q)  ( R) (P )  (Q )  10 (P )  (R )  a  a  b (Q)  ( R)  b  III Chứng minh hai đường thẳng song song: Để chứng minh hai đường thẳng a, b song song ta áp dụng phương pháp sau: a  c   a b b  c a  (P ), a  (Q )  ab (P )  (Q)  b a  (P ), c  (Q)  ab a  c,(P )  (Q)  b a  (P ), a  (Q)   ab (P )  (Q )  b (P )  (Q )  (P )  (R )  a  a  b (Q)  ( R)  b  Chứng minh ba mặt phẳng cắt theo giao tuyến phân biệt 3giao tuyến không đồng qui chúng song song Sử dụng tính chất hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Ta lét, tính chất hình bình hành, a  (P ) Chứng minh  ab b  (P ) IV Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng: a  b   a  (P ) b  (P )  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  30  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 a  (Q )   a  (P ) (Q)  (P ) a  b  b  (P )  a  (P ) a  (P )  a  (Q )  (P )  (Q)  a  (P )  a  (Q )  V Chứng minh hai mặt phẳng song song: a, b  (P ), a  b  I   (P )  (Q) a  (Q ).b  (Q) (P )  ( R )   ( P )  (Q) (Q)  ( R) (P )  a   (P )  (Q ) (Q)  a VI Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau: Chứng minh phương pháp phản chứng: Giả sử a, b không chéo suy a b nằm mặt phẳng Từ điều kiện cho dẫn đến điều trái với giả thiết  QUAN HỆ VUÔNG GÓC I Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: Sử dụng phương pháp Hình học phẳng: Góc nột tiếp, định lí Pitago a  b  góc đường thẳng a, b 90   a  b  a b  a  c  ab b  c  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  31  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 a  (P )  ab b  ( P ) a  (P )  ab b  (P ) Áp dụng định lí đường vuông góc: a/ hình chiếu a lên (P ) , b  (P ), a  b  b  a / II Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng: a  b, a  c  b, c  (P )  a  (P ) b  c  I  (Q)  (P )  ( R)  (P )  a  (P ) (Q)  ( R)  a  (P )  (Q)  (P )  (Q )  b  a  (P ) a  (Q), a  b  a  b   a  (P ) b  (P ) a  (Q )   a  (P ) (Q)  (P ) III Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: a  (P )   ( P )  (Q) a  (Q) a  (P )  b  (Q)  ( P )  (Q) a  b  Chứng minh góc (P) (Q) 90   GV: NGUYỄN THANH NHÀN  32  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 GÓC Góc  hai đường thẳng a, b: Từ điểm O tùy ý dựng a /  a, b /  b (thường chọn O a b)  góc hai đường thẳng a/ b/ Góc  đường thẳng a mặt phẳng (P): * Nếu a vuông góc với (P)   90 * Nếu a không vuông góc với (P)   góc a a/ ; a/ hình chiếu a lên (P) (Tìm M  a  ( P ) , a lấy điểm A khác M, H ) hình chiếu A lên (P)   AMH Góc  hai mặt phẳng (P) (Q): a  (P ) a)     góc hai đường thẳng a, b b  (Q )  (P )  (Q) b)     00 ( P )  ( Q )  c) Khi ( P )  (Q )  d , (P) dựng a  d , (Q) dựng b  d  = góc hai đường thẳng a, b Chú ý: * Với  góc a b, a (P), (P) (Q) 0    90 * Cho hình chóp S.ABCD có SH đường cao ta có:  góc cạnh bên SA với (ABCD) - SAH  góc - M hình chiếu S lên AB ta có MH  AB nên SMH (SAB) (ABCD)  KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a: H hình chiếu O lên đường thẳng a d (O, a)  OH Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P): H hình chiếu O lên mặt phẳng (P) d (O,(P ))  OH  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  33  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P) song song nhau: a  (P )  d  a,(P )   d  O,(P )  O  a Khoảng cách hai mặt phẳng (P), (Q) song song nhau: (P )  (Q)  d  ( P ),(Q )  d  O,(P )   O  (Q) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: a) Đường vuông góc chung: hai đường thẳng a, b đường thẳng c vuông góc với a, b cắt a, b hai điểm A, B AB gọi đoạn vuông góc chung a, b d  a, b   AB b) Cách dựng: * Dựng (P) chứa b (P) song song a * Dựng a/ hình chiếu a lên (P) * Dựng B  b  a / Qua B dựng c vuông góc với (P), c cắt a A Chú ý: d  a, b   d  a,(P )  Đặc biệt: Khi a  b * Qua b dựng (P )  a , dựng A  a  (P ) , (P) dựng c qua A c  b , c cắt b B  HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC A c B b ma M a C Định lí cô sin: Trong tam giác ABC với BC  a, CA  b, AB  c , ta có:  GV: NGUYỄN THANH NHÀN  34  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11  a2  b  c2  2b.c.cos A  b2  a  c2  2a.c.cos B  c2  a  b2  2a.b.cos C Hệ quả: b  c  a2 a2  c  b a2  b  c cos A  ; cos B  ; cos C  2bc ac ab @ Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến tam giác Cho tam giác ABC có cạnh BC=a, CA=b, AB=c Gọi ma , mb , mc độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C tam giác Ta có:  ma2  2(b2  c )  a2  mb2  2(a2  c )  b2  mc2  2(a2  b )  c Định lí sin: Trong tam giác ABC với BC=a, CA=b, AB=c R a b c bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:    2R sin A sin B sin C Công thức tính diện tích tam giác:  1 S  a.ha  b.hb  c.hc 2 1 S  ab sin C  bc sin A  ca sin B 2 abc S 4R S  pr  S    với p   GV: NGUYỄN THANH NHÀN p( p  a)( p  b)( p  c ) (Hê – rông) abc  35  : 0987 503.911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 Các hệ thức lượng tam giác vuông A B H C M * Các hệ thức lượng giác: AC AB sin B  cos C  cos B  sin C  BC BC AC AB tan B  cot C  cot C  tan C  AB AC * Các hệ thức cạnh, đường cao, hình chiếu: AB  AC  BC (Pi ta go) AB.AC  BC.AH  2.S ABC 1   2 AB AC AH AC  CH BC AB  BH BC AH  HB.HC MA  MB  MC  R   GV: NGUYỄN THANH NHÀN  36  : 0987 503.911 ... GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 MỤC LỤC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Độ radian Các hệ thức Các hệ cần nhớ 4 Các cung liên kết 5 Các cơng thức biến đổi ... THANH NHÀN 3 : 0987 503. 911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Độ radian: 180    (rad ) ;  180    (rad); 1(rad )    180    0 Các hệ thức bản: sin   cos   ;...   sin  2    cot       tan  2  5 : 0987 503. 911  GIÁO KHOA & PP GIẢI TỐN 11 Các cơng thức biến đổi: a Cơng thức cộng:  sin(a  b) = sina cosb  cosa sinb  cos(a  b) = cosa