Tóm tắt kiến thức cơ bản toán 9

5/ Nhân các vế của hai phương trình với hệ số thích hợp nếu cần sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau; dùng quy tắc cộng đại số để đượ

TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ BẢN TOÁN 9

PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG I

CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA

1/ Khái niệm căn bậc hai:

+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương ký

+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, viết 0  0

+ Số a âm không có căn bậc hai, viết a với a < 0 không có nghĩa

2/ Căn bậc hai số học: Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0

+ Với hai số a và b không âm, a < b <=> a < b

3/ Căn thức bậc hai:

của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn

4/ Khai phương một tích, một thương:

Kết quả này có thể mở rộng cho tích của nhiều số không âm

+ Với số a không âm và số b dương ta có

b

a b

a



5/ Bảng căn bậc hai:

TÁC GIẢ: ĐẬU THIẾT HIẾU

TRƯỜNG THCS NGHĨA THUẬN – TX THÁI HÒA – NGHỆ AN

+ Muốn tìm căn bậc hai của một số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 100, ta tra bảng căn bậc hai trên giao của dòng (phần nguyên) và cột (phần mười) rồi theo dòng đó đến cột hiệu chỉnh (phần trăm) nếu cần, ta được giá trị gần đúng của căn bậc hai cần tìm

+ Muốn tìm căn bậc hai của số N lớn hơn 100 (hoặc nhỏ hơn 1), ta cần phải theo hướng dẫn: khi dời dấu phẩy sang trái (hoặc sang phải) đi 2, 4, 6

6/ Biến đổi đơn giản căn thức bậc hai:









B

AB B

A



B

B A B

A



+ Với các biểu thức A, B, C mà A  0, A  B2 ta có:

2

) (

B A

B A C B A

C









B A

B A C B A

C









) (

7/ Căn bậc ba:

+ Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = a

+ Mỗi số a đều có duy nhất một căn bậc ba

+ Kí hiệu căn bậc ba của a là 3 a tức là (3 a)3 = a

+ Căn bậc ba của số dương là một số dương, căn bậc ba của một số âm

là một số âm, căn bậc ba của số 0 là số 0

+ a > b  3 a 3 b

+ Với mọi số a, b, 3 a 3 b  3 ab

b

a b

a



CHƯƠNG II

HÀM SỐ BẬC NHẤT

1/ Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá

trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y, thì y được gọi

là hàm số của x, và x được gọi là biến số

2/ Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x: f(x)) trên

mặt phẳng toạ độđược gọi là đồ thị của hàm số y = f(x)

3/ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên (a, b) nếu giá trị của

biến x tăng lên thì giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên, tức là với bất kì các giá trị x1, x2 (a, b) mà x1< x2 thì f(x1) < f(x2)

+ Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên (a, b) nếu giá trị của biến x tăng lên thì giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi, tức là với bất kì các giá trị x1, x2  (a, b) mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)

4/ Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức

y = ax + b trong đó a, b là các số cho trước và a  0 + Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị x thuộc R, đồng biêt khi a > 0, và nghịch biến khi a < 0

5/ Đồ thị của hàm số y = ax + b (a  0) là môt đường thẳng cắt trục tung tại

điểm có tung độ bằng b va song song với đường thẳng y = ax nếu b  0 trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0

+ Để vẽ đồ thị của hàm số y = ax + b (a  0) ta xác định hai điểm đặc biệt

là giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ: đó là điểm P(0; b) và điểm Q(- a b ; 0) rồi vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q

6/ Hai đường thẳng y = ax + b (a  0) và y = a’x + b’ (a’  0) song song với nhau khi và chỉ khi a = a’, b  b’ và trùng nhau khi và chỉ khi a = a’ và b =

b’

* Hai đường thẳng y = ax + b (a  0) và y = a’x + b’ (a’  0) cắt nhau khi

và chỉ khi a  a’

A x

7/ Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox được hiểu là góc tạo bởi

tia Ax và tia AT, trong đố A là giao điểm của đường thẳng = ax + b với trục

Ox, T là điểm thuộc đường thẳng = ax + b và có tung độ dương (hình dưới)

* Các đường thẳng có cùng hệ số a (a là hệ số của x) thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau nên gọi a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b

CHƯƠNG III

HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

y = ax + b T



y

a > 0

y = ax + b T



O y

a < 0

1/ Phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là phương trình có dạng

trong đó a, b và c là cấ số đã cho biết (a  0 hoặc b  0)

+ Nếu tại x = x0 và y = y0 mà vế trái của phương trình (1) có giá trị bằng

vế phải thì cặp số (x0; y0) được gọi là nghiệm của phương trình đó Đồng thời

độ(x0; y0) trong mặt phẳng toạ độ Oxy

+ Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c, kí hiệu là đường thẳng (d)

2/ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng

(I) 











' ' 'x b y c a

c by ax

Trong đố ax + by = c và a’x + b’y = c’ là các phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Nếu hai phương trình của hệ (I) có nghiệm chung (x0; y0) thì (x0; y0) được gọi là nghiệm của hệ

+ Nếu hai phương trình của hệ (I) không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiêm) của nó

3/ Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng

có cùng tập nghiệm, tức là mỗi nghiệm của hệ phương trình này cũng là nghiệm của hệ phương trình kia và ngược lại

Trong một hệ phương trình hai ẩn, có thể cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ để được một phương trình mới Phương trình mới này cùng với một trong hai phương trình của hệ lập thành một hệ tương đương với

hệ đã cho

4/ Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ

phương trình mới rong đó có một phương trình một ẩn; giải phương trình một

ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho

5/ Nhân các vế của hai phương trình với hệ số thích hợp (nếu cần) sao

cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau; dùng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0, tức là được một phương trình một ẩn; giải phương trình một ẩn này rồi từ đó suy ra nghiệm của hệ đã cho

6/ Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Bước 1: Lập hệ phương trình

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn số và các đại lượng đã biết

Bước 2: Giải hệ phương trình vừa lập được.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình

nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, thích hợp với bài toán rồi kết luận

CHƯƠNG IV

HÀM SỐ y = ax (a 2  0) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1/ Hàm số y = ax 2 (a  0) xác định với mọi giá trị của x thuộc R.

2/ Hàm số y = ax 2 có các tính chất:

a) Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0 b) Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0 c) Nếu a > 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0)

d) Nếu a < 0 thì giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0 (khi x = 0)

3/ Đồ thị hàm số là một đường cong (được gọi là parabol với đỉnh O(0; 0))

đi qua gốc toạ độ và nhận Oy làm trục đối xứng

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O(0; 0) là điểm thấp nhất của đồ thị

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O(0; 0) là điểm cao nhất của đồ thị

Để vẽ parabol ta có thể dựa vào bảng với một giá trị tương ứng của x và

y Ngoài ra có thể vẽ bằng các cách được mô tả trong sách giáo khoa trang 37 nếu trên trang vở có dòng kẻ hoặc biết một điểm khác O(0; 0) của nó

4/ a) Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là

phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 (1)

b) Có hai cách cơ bản để giải (1):

+ Phân tích vế trái (1) ra thừa số:

a(x – m)(x – n) = 0 <=> 









n x

m x

2 1

+ Bằng cách biến đổi tương đương để đưa (1) về dạng

2 2 2

4

4

ac b

a

b











Từ đó tuỳ theo dấu của vế phải của (2) mà kết luận về nghiệm của phương trình đã cho

5/ Đặt  = b2 – 4ac Gọi  là biệt thức của phương trình (1)

+ Nếu  > 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt

x1 =

a

b

2





 ; x2 =

a

b

2







+ Nếu  = 0 thì (1) có nghiệm kép x1 = x2 =  2b a

+ Nếu  < 0 thì (1) vô nghiệm

6/ Đối với (1) ta có công thức nghiệm thu gọn:

Nếu đặt b’ = 2b và '

 = b’2 – ac:

 > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 =

a

b' '





a

b' '







 = 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 =

a

b'



 < 0 thì phương trình vô nghiệm

7/ Nếu x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) thì

có định lý Vi-ét:

x 1 + x 2 = - a b ; x 1 x 2 = a c + Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có a + b + c = 0 thì

phương trình có một nghiệm x 1 = 1 và một nghiệm x 2 = a c

trình có một nghiệm x 1 = -1 và một nghiệm x 2 = - a c .

8/ a) Để giải phương trình trùng phương ax4 + bx2 + c = 0 (a  0), thường

nghiệm không âm của phương trình này và từ đó suy ra nghiệm của phương trình đã cho

b) Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu theo bốn bước:

+ Tìm điều kiện xác định của phương trình

+ Quy đồng mẫu thức ở hai vế rồi khử mẫu thức

+ Giải phương trình vừa thu được

+ Tìm các nghiệm thoả mãn điều kiện

c) Phương trình tích là phương trình có dạng A(x).B(x) = 0 Để giải

ta giải riêng biệt đối với hai phương trình A(x) = 0 và B(x) = 0 Nghiệm của phương trình đã cho sẽ là hợp các nghiệm của hai phương trình trên

9/ Để giải toán bằng cách lập phương trình ta tiến hành theo các bước:

Bước 1: Lập phương trình:

+ Chọn ẩn số và nêu điều kiện cần thiết cho các ẩn;

+ Biểu thị các dữ liệu cần thiết qua ẩn số;

+ Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ liệu

đã biết

Bước 2: Giải phương trình vừa lập được.

Bước 3: Chọn các nghiệm thích hợp, từ đó đưa ra đáp số.

PHẦN HÌNH HỌC CHƯƠNG I

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1/ Hệ thức về cạnh và đường cao của tam giác vuông:

+ b2 = ab’; c2 = ac’ A

Cạnh kề

Cạnh đối

Cạnh đối

Cạnh kề

+ h2 = b’c’

+ ah = bc

1 1 1

c b

c h b

B c’ b’

a

2/ Tỷ số lượng giác của góc nhọn:

sin =

cos =

tg =

cotg =

 +  = 900 ( và là hai góc

phụ nhau) thì:

sin = cos , cos = sin

tg = cotg , cotg = tg

cạnh kề cạnh đối



Cạnh huyền

A

 

C B

3/ Hệ thức giữa cạnh và góc của một tam giác vuông: A

Trong tam giác vuông ABC, Aˆ = 900 ta có hệ thức:

c h b

C c’ b’ B

a

4/ Hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác:

+ sin  1; cos 1; tg  =





cos

sin

; cotg  =





sin

cos s

;

+ 1 + tg2  =



2

cos

1

; 1 + cotg2  =



2

sin

1

Cạnh đối

Cạnh huyền

Cạnh kề Cạnh huyền

CHƯƠNG II

ĐƯỜNG TRÒN

1/ Định nghĩa, sự xác định, tính chất dối xứng của đường tròn:

a) Định nghĩa:

định một khỏng R không đổi ( R > 0) gọi là

đường tròn tâm O bán kính R

Ký hiệu là: (O; R) hoặc (O)

tròn được giới hạn bởi hai điểm

Hai điểm này gọi là hai mút của cung Chẳng hạn cung AC (AC), cung BC (BC)

cung BC

Định lý: Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn

b) Sự xác định của đường tròn: Định lý: Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng chỉ vẽ được một đường tròn và chỉ một mà thôi

c) Tính chất đối xứng:

Định lý 1: Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của

dây ấy

Định lý 2: (Đảo của 1) Đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây

không là đường kính) thì vuông góc với dây ấy

Định lý 3: Trong một đường tròn:

2/ Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

R

O

C

a) Đường thẳng có thể cắt, tiếp xúc hoặc không cắt đường tròn.

b) Tiếp tuyến của đường tròn:

Tiếp tuyến của đường tròn là đường

thẳng chỉ có một điểm chung với

đường tròn đó

Định lý 1: Nếu một đường thẳng a là

tiếp tuyến của một đường tròn thì nó

vuông góc với tiếp tuyến qua tiếp

điểm

Định lý 2: Nếu một đường thẳng a đi

qua một điểm của đường tròn và

vuông góc với bán kính qua điểm đó

thì đường thẳng ấy là tiếp tuyến của

đường tròn

a

3/ Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của một đường

tròn cắt nhau tại một điểm:

tuyến

kính đi qua hai tiếp điểm

4/ Vị trí tương đối của hai đường tròn: (Ba vị trí tương đối)

Định lý: Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông góc với dây chung

và đi qua trung điểm của dây chung ấy

O

hai đường tròn chỉ có một điểm

chung, điểm chung đó gọi là tiếp

điểm.

OO’ = R + r (tiếp xúc ngoài); OO’ = R =

r > 0 (tếp xúc trong)

(không có điểm chung

+ Ngoài nhau: OO’ > R + r

+ Đựng nhau: OO’ < R + r

+ Đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác hay tam giác nội tiếp đường tròn

+ Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác hay tam giác ngoại tiếp đường tròn Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác

+ Đường tròn bàng tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia Tâm của đường tròn bàng tiếp là giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài với tia phân giác góc trong còn lại

+ Hai đường tròn trong nhau không có tếp tuyến chung

Hai đường tròn (không trong nhau) có thể có nhiều tiếp tuyến chung

CHƯƠNG III

GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

H

B

A R

O’

O r

a) Định nghĩa:

chung hai đầu mút vơíi cung lớn đó

b) So sánh hai cung: (chỉ so sánh hai cung trên một đường tròn hay hai đường

tròn bằng nhau)

c) Điểm nằm trên cung: Điểm C nằm trên cung AB thì số đo cung AB bằng

tổng số đo cung AC với số đo cung CB

d) Liên hệ giữa cung và dây:

Định lý 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng

nhau:

Định lý 2: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đương tròn bằng

nhau:

2/ Góc nội tiếp – Góc giữa tiếp tuyến và dây cung:

a) Góc nội tiếp:

Định lý: Trong một đường tròn số đo của góc nội tiếp

bằng nửa số đo cung bị chắn

sđ B AˆC 12sđ BC

* Hệ quả: Trong một đường tròn:

+ Các góc nội tiếp bằng nhau, chắn các cung bằng nhau’

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

một cung

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

b) Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và một dây cung:

* Góc CAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến AC

và dây AB

* Định lý Số đo của góc tạo bởi tia tiếp

tuyến và dây cung băng nửa số đo của cung

bị chắn

sđ B AˆC 21sđ AB

 Hệ quả: Trong một đường tròn góc

tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và

góc nội tiếp cùng chắn một cung thì

bằng nhau C AˆB A DˆB

c) Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn:

B

O

A

B C

D C

B

+ Góc BEC là góc có đỉnh ở bên trong

đường tròn Góc PNQ cũng gọi là góc có

đỉnh ở bên trong đường tròn

+ Định lý 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên

trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai

cung bị chắn

sđ C EˆB 21(sđ CB + sđ CD)

+ Góc BMD là góc có đỉnh ở bên ngoài

đường tròn

+ Định lý 2: Số đo góc có đỉnh ở bên

ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai

cung bị chắn

sđ B MˆD 21(sđ BD – sđAC)

M nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới

góc  (00 <  < 1800) là hai cung chứa

3/ Tứ giác nội tiếp Đường tròn nội ngoại tiếp:

A

B

P N

A C

O





D

Q

D

M

a) Tứ giác nội tiếp:

đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

 Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối diện bằng 1800 Định lý đảo Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800 thì nội tiếp được đường tròn

b) Đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp.

ngoại tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác nội tiếp đường tròn.

đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được gọi là đa giác ngoại tiếp

đường tròn

Định lý: Bất kỳ đa giác đều nào cũng chỉ có một và chỉ một đường tròn

ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp

4/ Chu vi, diện tích hình tròn:

a) Độ dài đường tròn, cung tròn.

* Độ dài đường tròn: C = 2 R

* Trên đường tròn bán kính R, độ dài  của cung tròn n là:

180

Rn







b) Diện tích hình tròn và quạt tròn.

 Diện tích hình tròn: S =  R2

S =

360

2n R