Tóm tắt kiến thức cơ bản toán 12

PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa Kí hiệu định K K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số ta có: ( ) y=f x • ( ) y=f x Hàm số gọi đồng biến (tăng) ( ) K xác nếu: ( ) ∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f x1 < f x2 ( ) y=f x • Hàm số gọi nghịch biến (giảm) ( ) ( ) K nếu: ∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f x1 > f x2 Hàm số đồng biến nghịch biến * Nhận xét: • • • • gọi chung đơn điệu ⇔ ( ) f x • K x2 − x1 ( ) ( ) ( ) Nếu ( ) > 0  ∀x1, x2 ∈ K ,  x1 ≠ x2 f ′ ( x) < 0, ∀x ∈ ( a; b) ⇒ ( ) ( ) f ′ x = 0, ∀x ∈ a;b ⇒ Nếu ( ) Nếu ( ) Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) f x hàm số ( ) nghịch biến khoảng f x hàm số đồng biến khoảng không đổi khoảng ( a;b) ⇒ f ′ ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ( a;b) f x • ( ) Hàm số đồng biến K Khi đồ thị hàm số lên từ trái sang phải f x2 − f x1 ⇔ < 0  ∀x1, x2 ∈ K ,  x1 ≠ x2 f x x2 − x1 Hàm số nghịch biến K Khi đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải f ′ x > 0, ∀x ∈ a;b ⇒ f x a;b Nếu hàm số đồng biến khoảng f x • ( ) f x2 − f x1 K nghịch biến khoảng ( a;b) ⇒ f ′ ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ( a;b) Trang ( a;b) ( a;b) • Nếu thay đởi khoảng ( a;b) mợt đoạn nửa khoảng phải ( ) f x bở sung thêm giả thiết “hàm số khoảng đó” 1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm ( ) ( ) liên tục đoạn hoặc nửa u = u x ; v = v x ;C : Quy tắc tính đạo hàm: Cho ′ u ± v = u′ ± v′ • Tổng, hiệu: ′ ′ uv = u′.v + v′.u ⇒ C u = C u′ • Tích: ( ) ( ) ( )  u  u′.v − v′.u  C ′ C u′ , v ≠ ⇒ = −  ÷=  ÷ v2 u2 v u ( • Thương: số ) ( ) ( ) y = f u , u = u x ⇒ yx′ = yu′ ux′ • Đạo hàm hàm hợp: Nếu 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm sơ Đạo hàm hàm hợp cấp ′ ′ C =0 xα = α xα −1 (C số) ′ ′ xα = α xα −1 uα = α uα −1.u′ ( ) ( ) ( ) ( )  ′  ÷ = − (x ≠ 0) x x  ′ u′  ÷ =− u ≠ u u ( ) ( u ) ′ = 2u′u ( u > 0) x ′ = x ( x > 0) ( ) ( sinx) ′ = cosx ( sinu) ′ = u′.cosu ( cosx) ′ = − sin x ( cosu) ′ = −u′.sinu ( tan x) ′ = cos1 x ( tanu) ′ = cosu u ( cot x) ′ = − sin1 x ( cot u) ′ = − sinu u 2 ′ ′ Trang ( e ) ′ =e x ( e ) ′ = u′.e x u u ( a ) ′ = a lna ( a ) ′ = u′.a lna ( ln x ) ′ = x1 ( ln u ) ′ = uu′ ( log x ) ′ = xln1 a u′ ( log u ) ′ = u.ln a x x u a u a 1.4 Cơng thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức  ax + b ′ ad − bc  ÷ =  cx + d  cx + d ( • )  ax2 + bx + c ′  ÷ = dx + ex + f   a   b a   c b   c x +2 x+ d   e d   f e   f ( dx • ) + ex + f 2 1.5 Đạo hàm cấp 1.5.1 Định nghĩa ′ f ′′ ( x) =  f ′ ( x)  1.5.2 Ý nghĩa học () s=f t Gia tốc tức thời chuyển động 1.5.3 Đạo hàm cấp cao f * Một số ý: ( n) ( ) n −1 Nếu hàm số ( ) ( ) ( ) là: gx ( ) đồng biến (nghịch biến) f x +g x số ( ) a t0 = f ′′ t0 ′ ( x) =  f ( ) ( x)  , ( n Ơ , n 2) f x ã ti thời điểm t0 đồng biến (nghịch biến) ( ) K K hàm Tính chất có ( ) f x −g x • thể khơng hiệu f x gx Nếu hàm số hàm số dương đồng biến ( ) (nghịch biến) ( ) K ( ) ( ) f x g x hàm số đồng biến (nghịch Trang biến) K Tính chất khơng hàm số ( ) ( ) f x ,g x • K khơng hàm số dương u=u x x ∈ a;b Cho hàm số , xác định với ( ) ( ) ( ) f u( x)  ( ) u=u x Giả sử hàm số ( ) x ∈ a;b đồng biến với ( ) ( ) x ∈ a;b ⇔ f u đồng biến với ( ) đồng biến với u=u x • Giả sử hàm số ( ) nghịch biến với x∈ ( a; b) ⇔ f ( u) f u x    nghịch biến với Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số f K Giả sử hàm số có đạo hàm ( ) f' x ≥0 với x∈K Khi đó, hàm số u∈ ( c; d) x ∈ ( a; b) Khi đó, hàm số ( ) u ∈ c;d nghịch biến với ( ) f' x =0 Nếu • f x∈ K K hạn điểm hàm số đồng biến f' x ≤0 f' x =0 x∈K Nếu với một số hữu ( ) một số hữu ( ) x∈K hàm số f nghịch biến K Chú ý: y= * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y′ dấu đạo hàm không xảy ( ) ax + b  d x ≠ − ÷ cx + d  c dấu "= " xét ( ) y = f x = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ f ′ x = 3ax2 + 2bx + c ¡ Hàm số đồng biến  a >   ∆ ≤ ⇔ f ′ x ≥ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔  a =   b =   c > ( ) f u( x)  • hạn điểm Giả sử Hàm số x ∈ a;b xác định với Ta có nhận xét sau: • ( ) ( ) u x ∈ c;d ¡ Hàm số nghịch biến  a <   ∆ ≤ ⇔ f ′ x ≤ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔  a =   b =   c < ( ) Trang ( ) f x =d a =b=c = 0 c Trường hợp hệ số khác (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu chiều l khoảng có độ dài ta giải sau: ( ) y′ = f ′ x;m = ax2 + bx + c Bước 1: Tính ( x ;x ) ⇔ y′ = Bước 2: Hàm số đơn điệu có nghiệm phân biệt  ∆ > ⇔ a ≠ ( *) Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có đợ dài ( ⇔ x1 − x2 = l ⇔ x1 + x2 Bước 4: Giải ( *) giao với ) − 4x1x2 = l ⇔ S2 − 4P = l ( * *) l ( * *) để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa f Giả sử hàm số • x0 x0 xác định tập K x0 ∈ K điểm cực tiểu hàm số cho ( a;b) ⊂ K ( ) f Ta nói: tồn mợt khoảng ( ) ( ) { } f x > f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0 Khi f gọi giá trị cực tiểu hàm số • x0 x0 • • • • điểm cực đại hàm số cho ( a;b) ⊂ K ( ) f ( ) tồn một khoảng ( ) { } f x < f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0 ( a;b) f ( x0 ) ( a;b) ( ) chứa chứa f x0 Khi f gọi giá trị cực đại hàm số Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải một điểm tập hợp K Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số Trang • Nếu x0 ( x ;f ( x ) ) điểm cực trị hàm số điểm gọi điểm f cực trị đồ thị hàm số * Nhận xét: ( ) f x0 • Giá trị cực đại (cực tiểu) (nhỏ nhất) hàm số nhất) hàm số x0 khác f f nói chung khơng phải giá trị lớn ( ) f x0 tập D; một khoảng ( a;b) giá trị lớn (nhỏ chứa • ( ) ( ) Giả sử hàm số đạt cực trị điểm x0 ( ) y=f x Khi đó, có đạo hàm ( ) f ′ x0 = Chú ý: • giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số khoảng f K Hàm số đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập Hàm số khơng có cực trị mợt tập cho trước y=f x điểm x0 ( a;b) f 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: x0 hay nói cách điểm cực đại ( cực tiểu) tồn khoảng (a;b) chứa f x0 cho x0 Đạo hàm f ′ ( x) điểm x0 hàm số f không đạt x0 • • cực trị điểm Hàm số đạt cực trị mợt điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Hàm số đạt cực trị mợt điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: x0 f f Giả sử hàm số đạt cực trị điểm Khi đó, hàm số có đạo hàm điểm x0 f '( x0 ) = Trang ( ) f′ x > • Nếu • (x khoảng − h;x0 ) ( ) f′ x < ( x ;x khoảng +h ) ( ) f x x0 một điểm cực đại hàm số f′ x < x0 − h;x0 f′ x > ( x0; x0 + h) Nếu khoảng khoảng ( ) x0 ( ) ( ) ( ) f x một điểm cực tiểu hàm số 2.4 Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: ( ) f′ x • • • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm xi Bước 2: Tìm điểm mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm f′ x f′ x Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu Nếu đổi ( ) dấu qua Định lí 3: ( i = 1;2; ) ( ) xi hàm số đạt cực trị y=f x Giả sử có đạo hàm cấp khoảng ( ) ( ) f ′ x0 = 0, f ′′ x0 < • Nếu (x ( ) xi − h;x0 + h ) với f hàm số f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ x0 > đạt cực đại f Nếu hàm số đạt cực tiểu Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2: • ( ) h > Khi đó: x0 x0 ( ) f′ x • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm xi ( i = 1;2; ) Bước 2: Tìm nghiệm phương trình f ′′ x f ′′ xi • Bước 3: Tính tính f ′′ xi < xi f ∗ Nếu hàm số đạt cực đại điểm f ′′ xi > xi f ∗ Nếu hàm số đạt cực tiểu điểm • ( ) ( ) f ′ x = ( ) ( ) ( ) Trang MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ y = ax3 + bx2 + cx + d 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba 3.1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hồnh độ cho trước Bài tốn tổng qt: ( ) y = f x;m = ax3 + bx2 + cx + d Cho hàm số Tìm tham số m để hàm số x1, x2 K có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện cho trước? Phương pháp: • Bước 1: D =¡ ∗ Tập xác định: y′ = 3ax2 + 2bx + c = Ax2 + Bx + C ∗ Đạo hàm: • Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu) ⇔ y′ = y′ có hai nghiệm phân biệt đổi dấu qua nghiệm y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt A = 3a ≠ a ≠ ⇔ ⇔ ⇒ m ∈ D1  2 ∆y′ = B − 4AC = 4b − 12ac > b − 3ac > • • Bước 3: x1, x2 y′ = Gọi hai nghiệm phương trình  B 2b x1 + x2 = − = − A 3a  C c x x = =  A 3a Khi đó: Bước 4: K S P Biến đởi điều kiện dạng tởng tích Từ giải tìm m ∈ D2 • được Bước 5: Kết luận giá trị m thỏa mãn: m = D1 ∩ D2 ( ) y = ax3 + bx2 + cx + d a ≠ * Chú ý: Hàm số bậc ba: Ta có: y ' = 3ax2 + 2bx + c Điều kiện Kết luận Trang   b2 − 3ac ≤ Hàm số khơng có cực trị b2 − 3ac > Hàm số có hai điểm cực trị Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu Hàm số có cực trị trái dấu y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ AC = 3ac < ⇔ ac <  Hàm số có hai cực trị dấu y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu ∆y′ >  ⇔ C >0 P = x1.x2 =  A  Hàm số có hai cực trị dấu dương y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  ∆y′ >  B ⇔ S = x1 + x2 = − > A  C P = x x = >0  A  Hàm số có hai cực trị dấu âm y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  ∆y ' >  B ⇔ S = x1 + x2 = − < A  C P = x x = >0  A  Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 < α < x2 x1 < x2 < α α < x1 < x2  Hai cực trị ( x1, x2 thỏa mãn )( ) x1 < α < x2 ( ) ⇔ x1 − α x2 − α < ⇔ x1.x2 − α x1 + x2 + α <  x1, x2 x1 < x2 < α Hai cực trị thỏa mãn  x − α x − α > x x − α x + x + α > 2 ⇔ ⇔ x + x2 < 2α x1 + x2 < 2α  ( )( ) ( ) Trang α < x1 < x2 x1, x2 Hai cực trị thỏa mãn  x − α x − α > x x − α x + x + α > 2 ⇔ ⇔ x + x > α x + x > α 2    ( )( ) ( ) Phương trình bậc có nghiệm lập thành cấp số cộng −b x= 3a có nghiệm , có nghiệm lập thành cấp số nhân có  x = −3 d a nghiệm 3.1.2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng Vị trí tương đối giữa điểm với đường thẳng: ( ) ( A xA ;yA , B xB ;yB Cho điểm ( ax A Nếu )( ) đường thẳng + byA + c axB + byB + c < hai phía so với đường thẳng ( ax A Nếu ) )( hai điểm ∆ : ax + by + c = A, B nằm về ∆ ) + byA + c axB + byB + c > hai điểm A, B nằm ∆ phía so với đường thẳng Một số trường hợp đặc biệt: • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy ⇔ hàm số có cực trị dấu y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy ⇔ hàm số có cực trị trái dấu y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm trái dấu • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox yC Đ yCT > y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt Đặc biệt: • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox Trang 10 Muốn tìm giao điểm Suy ra: Thế M ( ) ∆ (α) ta giải hệ phương trình:  pt(∆)   pt(α ) tìm M x, y, z   ( ) ()( )( ) vào phương trình ( ) 1, 2, rút gọn dưa dạng: mp P mp ( P ) at + b = (*) Û pt ( *) t mợt điểm có mợt nghiệm ( P) Û pt ( *) d • song song với vơ nghiệm • nằm có vơ số nghiệm t d P ⇔ Pt * • d cắt ( ) • d vng góc ( ) r u r phương P ⇔a n ( ) 3.2.2 Vị trí tương đối hai đường thẳng M ' ∆1  a M0  b ∆2  u  u' ∆1 ∆2  u M0 ' ∆1 M M M 0' M0 3.2.2.1 Phương pháp hình học  u  u' ∆2 M ' ∆1 ≡ ∆ ∆1  u' r M ∆ u Cho hai đường thẳng: qua có mợt vectơ phương r ∆ qua N có mợt vectơ phương u2 • x, y, z r r r r uuuur ⇔ u1 ,u2  = u1 , MN  =   r r r  u , u  =   r ⇔  r uuuur u , MN  ≠  ∆ 1  //   ∆   • r r r  u , u  ≠  2 ⇔  r r uuuur  u , u  MN =    ∆ cắt ∆ • r r uuuur ⇔ u1 ,u2  MN ≠ ∆1 ∆2 • chéo 3.2.2.2 Phương pháp đại số Trang 99 ∆2 M Muốn tìm giao điểm Suy ra: ( (∆1) va ( ∆2 ) ta giải hệ phương trình :  pt(∆1)  pt(∆2)   tìm x, y, z ) M x, y, z   3.2.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu d: Cho đường thẳng mặt cầu có 2 2 x = x + a t (1) S : (x − a) + (y − b) + (z − c) = R  y = y0 + a2t (2) z = z + a t (3)  ( ) tâm I (a;b;c) , bán kính R 3.2.3.1 Phương pháp hình học • Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu ( ) đến đường thẳng S d uuuur r IM a   h = d(I ,d) = r a • Bước 2: So sánh d(I ,d) với bán kính mặt cầu:  Nếu  S Nếu d(I ,d) = R d tiếp xúc d(I ,d) > R R d khơng cắt ( S) ( ) ( ) S Nếu d(I ,d) < R d cắt hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu 3.2.2.2 Phương pháp đại số Thế vào phương trình rút gọn đưa phương trình bậc hai 1, 2, S  () ( ) ( ) theo ( ) ( ) t * • Nếu phương trình ( *) vơ nghiệm d khơng cắt ( S) Trang 100 • Nếu phương trình ( *) • Nếu phương trình ( *) có mợt nghiệm có hai nghiệm d tiếp xúc d cắt ( S) ( S) hai điểm phân biệt M, N Chú ý: Ðể tìm tọa đợ M, N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng 3.3 Góc khơng gian 3.3.1 Góc hai mặt phẳng Nội dung Định lý d Hình vẽ ( Oxyz ) Trong không gian cho hai mặt phẳng α, β xác định phương trình : (α ) : A1x + B1y + C 1z + D1 = (β ) : A2x + B2y + C 2z + D2 = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (α ) & (β ) ta có cơng thức: cosϕ = A1A2 + B1B2 + C 1C A12 + B12 + C 12 A22 + B22 + C 22 3.3.2 Góc đường thẳng mặt phẳng Nội dung x − x0 y − y0 z − z0 (∆) : = = a b c Cho đường thẳng Hình vẽ mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Gọi ϕ góc hai mặt phẳng (∆) & (α ) ta có cơng thức: sinϕ = Aa + Bb + Cc A2 + B + C a2 + b2 + c2 3.3.3 Góc hai đường thẳng Nội dung Cho hai đường thẳng : Hình vẽ x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c x − x0′ y − y0′ z − z0′ (∆2) : = = a' b' c' (∆ ) & (∆ 2) Gọi ϕ góc hai mặt phẳng ta có (∆1) : Trang 101 cosϕ = công thức: aa' + bb' + cc' a2 + b2 + c2 a'2 + b'2 + c'2 3.4 Khoảng cách 3.4.1 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Nội dung Cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = điểm Hình vẽ M 0(x0;y0;z0) Khoảng cách từ điểm tính : d(M 0; ∆) = M0 đến mặt phẳng (α ) Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B + C 3.4.2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Nội dung M 0(x0;y0;z0) Cho đường thẳng (∆) qua điểm r có VTCP u = (a;b;c) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến (∆) tính cơng thức: uuuuuur r M M ;u   d(M 1, ∆) = r u 3.4.3 Khoảng cách đường thẳng chéo Nội dung Định lý: Hình vẽ Hình vẽ ( Oxyz ) Trong không gian cho hai đường thẳng chéo : r (∆ 1) co VTCP u = (a;b;c) va qua M 0(x0;y0;z0) ur (∆ 2) co VTCP u' = (a';b';c') va qua M 0' (x0' ;y0' ;z0' ) (∆ ) va ( ∆2 ) Khi khoảng cách tính r uu r uuuuuur u, u ' M M '   0 d(∆1, ∆ 2) = r uu r u;u '   cơng thức Trang 102 3.5 Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d một VTCP 3.5.1 Dạng d 3.5.2 d 3.5.3 x = x + a t o  (d) : y = yo + a2t r z = z + a t M 0(x0;y0;z0) a = (a1;a2;a3) o  qua điểm có VTCP Dạng uuur A , B : AB d qua hai điểm Một VTCP Dạng ( t ∈ R) d qua điểm M 0(x0;y0;z0) song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d / / ∆ nên VTCP ∆ VTCP d 3.5.4 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) vng góc với mặt phẳng ( ) d⊥ P nên VTPT 3.5.5 Dạng (P ) (P ) cho trước: Vì VTCP d d giao tuyến hai mặt phẳng • Cách 1: Tìm mợt điểm mợt VTCP ( P) ,( Q) :  (P )  (Q )  A ∈ d :  Tìm toạ đợ mợt điểm cách giải hệ phương trình  (với việc chọn giá trị cho một ẩn) r r r d : a = nP , nQ   Tìm mợt VTCP • Cách 2: Tìm hai điểm A, B tḥc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm 3.5.6 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) vng góc với hai đường thẳng d1,d2 : r r r a = ad ,ad  d ⊥ d1, d ⊥ d2  2 d Vì nên mợt VTCP là: 3.5.7 Dạng d qua điểm M 0(x0;y0;z0) , vng góc cắt đường thẳng ∆ • Cách 1: H ∈ ∆  uuuuur r M H ⊥ u∆ M Gọi H hình chiếu vng góc đường thẳng ∆ Thì  M , H Khi đường thẳng d đường thẳng qua • Cách 2: Trang 103 Gọi (P ) mặt phẳng qua A vng góc với d qua A chứa d Khi 3.5.8 Dạng ( ) ; Q mặt phẳng ( ) ( ) d =  P ∩ Q d qua điểm M 0(x0;y0;z0) cắt hai đường thẳng d1,d2 : • Cách 1: M ∈ d1, M ∈ d2 M , M 1, M Gọi Từ điều kiện thẳng hàng ta tìm M 1, M Từ suy phương trình đường thẳng d • Cách 2: Gọi ( P ) = (M ,d ) , ( Q ) = (M ,d ) Khi d = ( P ) ∩ ( Q ) Do đó, một VTCP d r r r a = nP , nQ  chọn 3.5.9 Dạng ( P ) cắt hai đường thẳng d ,d A = d ∩(P ), B = d ∩(P ) Tìm giao điểm d nằm mặt phẳng 1 ( ) ( ) : Khi d đường thẳng AB 3.5.10 Dạng 10 Viết phương trình mặt phẳng (P ) ( ) Q d, d chứa ∆ mặt phẳng chứa ∆ d= P ∩ Q Khi 3.5.11 Dạng 11 d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: • Cách 1: MN ⊥ d1  MN ⊥ d2 M ∈ d1, M ∈ d2 Gọi Từ điều kiện  , ta tìm M , N Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: r r r a = ad ,ad  d ⊥ d1 d ⊥ d2   d  Vì nên mợt VTCP là: ( P ) chứad d1, cách:  Lập phương trình mặt phẳng d  Lấy mợt điểm A r r r nP = a,ad  P) (  1  Mợt VTPT là: ( Q ) chứa d d2 Khi  Tương tự lập phương trình mặt phẳng ( ) ( ) d= P ∩ Q 3.5.12 Dạng 12 Trang 104 d hình chiếu đường thẳng ∆ lên mặt phẳng (Q ) ( P) ta Lập phương trình ( ) P chứa ∆ vng góc với mặt phẳng cách: • Lấy M ∈ ∆ r r r Q) P) a∆ , nP  n = ( ( Q • Vì chứa ∆ vng góc với nên d = ( P ) ∩ (Q ) • Khi 3.5.13 Dạng 13 M d d : d qua điểm , vng góc với cắt • Cách 1: d MN ⊥ d1, Gọi N giao điểm d Từ điều kiện ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: mặt phẳng (P ) (Q ) Viết phương trình mặt phẳng d = ( P ) ∩ (Q ) Khi  Viết phương trình mặt phẳng d qua M vng góc với  d chứa M  3.6 Vị trí tương đối 3.6.1 Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng mợt phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm tḥc đường thẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng 3.6.2 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng mợt phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng 3.6.3 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu 3.7 Khoảng cách 3.7.1 Khoảng cách từ điểm • Cách 1: M đến đường thẳng d Trang 105 uuuuur M M ,ar    d(M ,d) = r r M a Cho đường thẳng d qua có VTCP a • Cách 2:  Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d  ( ) d M ,d = MH • Cách 3:  Gọi ( ) N x; y; z ∈ d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường thẳng d)  Tìm t để MN nhỏ  Khi N ≡ H Do ( ) d M ,d = MH 3.7.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d2 qua điểm Chú ý: M2 có VTCP r a2 d1 d2 Biết d1 qua điểm M1 có VTCP r r uuuuuur a1,a2  M 1M d(d1,d2) = r r a1,a2  Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách r a1 , d1 ( α ) chứa d2 song song với d1 với mặt phẳng 3.7.3 Khoảng cách hai đường thẳng song song Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng 3.7.4 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng (α) khoảng cách từ mợt điểm M d đến mặt phẳng 3.8 Góc 3.8.1 Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP r r a1,a2 d1, d2 r r a1,a2 song song với (α) r r a1.a2 r r cos( a1,a2 ) = r r a1 a2 Góc bù với góc là: 3.8.2 Góc đường thẳng mặt phẳng r r α a = (a1;a2;a3) Cho đường thẳng d có VTCP mặt phẳng có VTPT n = (A;B ;C ) ( ) Góc đường thẳng d mặt phẳng (α) hình chiếu d' ( ) sin d· , ( a ) = là: (α) góc đường thẳng d với Aa1 + Ba2 + Ca3 A2 + B + C a12 + a2 + a32 Trang 106 MẶT CẦU 4.1 Phương trình mặt cầu 4.1.1 Phương trình tắc Phương trình mặt cầu tâm bán kính là: R S I a;b;c , ( ) ( ) ( ) (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R Phương trình () gọi phương trình tắc mặt cầu Đặc biệt: Khi I ≡O (C ) : x2 + y2 + z2 = R 4.1.2 Phương trình tởng qt Phương trình : với phương x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = a2 + b2 + c2 − d > trình mặt cầu ( ) S có tâm ( ) bán kính I a;b;c , R = a +b +c −d 2 4.2 Giao mặt cầu mặt phẳng Cho mặt phẳng mặt cầu có phương trình : (α ) S ( ) (α ) : Ax + By + Cz + D = (S) : (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = R Gọi d(I ;α ) khoảng cách từ tâm mặt cầu Cho mặt cầu S( I ; R ) mặt phẳng ( P) ( S) đến mặt phẳng ( α ) I ( P ) ⇒ d = IH = d I ,( P ) hình chiếu vng góc lên d>R d=R d