Bảng tóm tắt kiến thức toán 12 học kỳ 1

www.thuvienhoclieu.com TĨM TẮT KIẾN THỨC ƠN TẬP HỌC KỲ I MƠN TỐN 12 Kiến thức 1: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Định lí Viet thuận Định lí Viet đảo   S � �    P Nếu  ,  hai số có: � chúng nghiệm phương trình: Phương trình bậc hai ( ax  bx  c  )  Tổng nghiệm:  Tích nghiệm: S  x1  x2  P  x1.x2  b a x  Sx  P  c a Điều kiện nghiệm phương trình bậc hai  Có nghiệm trái dấu � a.c     Phương trình bậc hai chứa tham số thỏa điều kiện cho trước  x1 < a < x �  �� Có nghiệm dấu �P  �x1  a  �  �� �� ( x1  a )( x2  a )  �x2  a  � 0 � � � �S  �P  � Có nghiệm dương 0 � � � �S  �P  � Có nghiệm âm  x1 < x < a �  �x1  a  � �� �� ( x1  a )  ( x2  a )  �x2  a  � ( x1  a )( x2  a )  �  a < x1 < x 0 � �x1  a  � �� �� ( x1  a )  ( x2  a )  �x2  a  � ( x1  a )( x2  a )  � Kiến thức 2: ĐẠO HÀM Hàm sơ cấp Hàm thường gặp  C  � n  u  �  u 1  u  � 2u�u  x  �  x  � n.x Hàm hợp Hàm thường gặp n 1  x  � x � u ' �1 � � � �u � u u � Quy tắc tính * Quy tắc:  u �v  '  u '�v '  u.v  '  u '.v  v '.u �u � u '.v  v '.u � � �v � v2 * CT Tính nhanh: � ad  bc �ax  b � � � �cx  d �  cx  d  www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com � 1 �1 � � � �x � x Hàm lượng giác Hàm lượng giác cos u  sin u  � u.�  sin x  � cos x sin u  cos u  � u�  cos x  �  sin x  tan u  �  tan x  � cos x  cot x  �  sin x Hàm mũ-logarit  a  '  a ln a x x e 'e x x  log a x   x.ln a  ln x  '  x ' u� cos2 u u�  cot u  �  sin u Hàm mũ-logarit a ln a  a  '  u� u u  e  '  u '.e u u u'  log a u   u.ln a u'  ln u  '  u ' � �ax  bx  c � adx  2aex  be  dc �  � dx  e � �  dx  e  � � � �ax  bx  c � (ab1  a1b)x  2(ac1  a 1c)x  (bc1  b1c) �  � (a1x  b1x  c1 ) �a1x  b1x  c1 � Ứng dụng Phương trình tiếp tuyến y  f '  x0   x  x0   y0  x0 ; y0  tọa độ tiếp điểm f' x +   hệ số góc + Ứng dụng vật lí Một chuyển động với quãng đường + Vận tốc: + Gia tốc: s t v(t )  s '  t  có: a(t )  v '(t )  s ''  t  Kiến thức 3: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ Khảo sát biến thiên Tìm cực trị  Các bước khảo sát  Cách 1: Dùng BBT Bước 1: Tìm tập xác định (Tương tự bước mục 1) Bước 2: Tính y’  Cách 2: Dùng y’’ Bước 3: Tìm nghiệm y’ điểm y’ Bước 1: Tìm tập xác định khơng xác định Bước 2: Tính y’ Bước 4: Lập bảng biến thiên Bước 3: Tìm nghiệm xi y’ Bước 5: Kết luận khoảng đồng biến, nghịch Bước 4: Tính y '' biến  Áp dụng giải phương trình Bước 5: Tính y ''( xi ) + Nếu f tăng (giảm) f (x0)  a phương Bước 6: Kết luận y ''( xi )  � xi điểm cực đại trình f (x)  a có nghiệm x  x0 y ''( xi )  � xi điểm cực tiểu Nếu f tăng g giảm f (x0 )  g(x0 ) + phương trình f (x)  g(x) có nghiệm x  x0 + Nếu f tăng (giảm) tập xác định D thì: f (u)  f (v) � u  v (v�iu,v �D) Tìm max,  Max, đoạn [a;b] Bước 1: Tìm tập xác định Tìm tiệm cận  Tiệm cận ngang www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Bước 2: Tính y’ Bước 3: Tìm điểm xi nghiệm y’ điểm mà y’ không xác định khoảng (a,b) Bước 4: Tính giá trị f(xi), f(a), f(b) Bước 5: So sánh kết luận Max,  Max, khoảng nửa khoảng Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính y’ Bước 3: Tìm nghiệm y’ điểm y’ không xác định khoảng (a,b) Bước 4: Lập bảng biến thiên Bước 5: Kết luận Max, lim y  y1 Bước 1: Tính x �� � y  y1 tiệm cận ngang lim y  y2 Bước 2: Tính x �� � y  y2 tiệm cận ngang Chú ý: Nếu hai giới hạn đths có TCN  Tiệm cận đứng Bước 1: Tìm điểm x0 điểm khơng xác định hàm số( với hàm phân thức thường nghiệm mẫu) lim x  � � Bước 2: Kiểm tra điều kiện: x �x lim x  � �  x � x0 � x  x0 tiệm cận đứng Kiến thức 4: CÁC DẠNG ĐỒ THỊ Số nghiệm y ' y O nghiệm (2 cực trị) Hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d  a �0  y x O a0 a0 y y nghiệm (0 cực trị) O x x O a0 www.thuvienhoclieu.com x a0 Trang y www.thuvienhoclieu.com y O O x x Vô nghiệm (0 cực trị) a0 Số nghiệm y ' a0 Hàm số bậc bốn trùng phương y  ax  bx  c  a �0  nghiệm (3 cực trị) a0 a0 a0 a0 nghiệm (1 cực trị) Hàm phân thức bậc www.thuvienhoclieu.com y ax  b ,  ab  bc �0  cx  d Trang www.thuvienhoclieu.com + Đồ thị khơng có cực trị + Có tâm đối xứng giao điểm tiệm cận ad  bc  ad  bc  Các dạng toán liên quan đến đồ thị  Tương giao hai đồ thị (tìm giao điểm) y  f ( x); y  g ( x) Bước 1: Tìm nghiệm x0 phương trình hồnh độ giao điểm f ( x)  g ( x) Bước 2: Thay vào công thức f ( x) g ( x) Được tung độ y0  f ( x0 )  g ( x0 ) + Giao với trục hoành (trục Ox): Công thức: ( x0 ; y0 ) f '( x0 ) y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) tọa độ tiếp điểm Là hệ số góc * Các trường hợp đặc biệt: + Tiếp tuyến song song với đường thẳng: � Giao điểm M ( x0 ; y0 ) * Các trường hợp đặc biệt:  Phương trình tiếp tuyến d : y  ax  b y0 � f '( x0 )  a + Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: + Giao với trục tung (trục Oy): x  d : y  ax  b � f '( x0 ).a  1 Kiến thức 5: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ Tịnh tiến đồ thị hàm số   Hàm số y  f x có đồ thị đường cong  C     Đồ thị hs y = f x + a : Tịnh tiến  C  lên a đơn vị    Đồ thị hs y = f x - a : Tịnh tiến  C  xuống a đơn vị    Đồ thị hs y = f x + a : Tịnh tiến  C  sang trái a đơn vị    Đồ thị hs y = f x - a : Tịnh tiến  C  sang phải a đơn vị Suy biến đồ thị   Hàm số y  f x có đồ thị đường cong  C     Đồ thị hs y = -f x : Lấy đối xứng (C) qua Ox    Đồ thị hs y = f -x : Lấy đối xứng (C) qua Oy  Đồ thị hs y = f  x  : + Giữ nguyên phần đồ thị  C  bên phải Oy, bỏ phần bên trái + Lấy đối xứng phần đồ thị  C  giữ lại www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com qua Oy    Đồ thị hs y = f x : + Giữ nguyên phần đồ thị  C  nằm Ox , bỏ phần đồ thị  C  phía Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị  C  bị bỏ qua Ox � �f  x �0 y  f  x � � �y  �f  x  Đồ thị hs + Giữ nguyên phần đồ thị  C  nằm Ox , bỏ phần đồ thị nằm phía Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị  C  giữ lại qua Ox Kiến thức 6: LŨY THỪA – MŨ - LOGARIT Lũy thừa  Tính chất  Định nghĩa Lũy thừa mũ nguyên dương: a Lũy thừa mũ nguyên âm: Lũy thừa mũ 0: a  m n an  Lũy thừa mũ hữu tỉ: a  a  Lũy thừa mũ vô tỉ: a n a � a   a   a  a    a ( a ��) n an m ( a �0 ) ( a �0 ) ( a  )   a  ( ab)  a � b ( a 0) (a  0)   �a � a � �  �b � b Căn bậc n  Tính chất Với a, b số dương:  Định nghĩa n Số a bậc n b a  b  Chú ý: n + Số dương b có bậc chẵn: � b n + Số thực b có bậc lẻ: b n a n b  n ab n a na  b b n www.thuvienhoclieu.com (b  0) Trang www.thuvienhoclieu.com  n a +  (n  �*, n 2) n m n n  n a m (a  0) a  mn a n� u n l� �a an  � u n ch� n �a n� Logarit  Quy tắc tính  Định nghĩa  Với số dương a, b a �0 :   log a b � a  b Logarit thập phân: log10 b  log b  lg b Logarit tự nhiên:  Tính chất log a a  log a  m Lơgarit của tích: log a (b1.b2 )  log a b1  log a b2 log e b  ln b Lôgarit của thương: Lôgarit của lũy thừa a loga b  b log a a   log a b1  log a b1  log a b2 b2  : log a b   log a b Đổi số: log a b  Đặc biệt log c b log c a � log c a.log a b  log c b : log a b  1 log a b  log a b log b a ;  So sánh hai lũy thừa logarit  So sánh hai lũy thừa số  So sánh hai logarit số   log a b1  log a b2 � b1  b2 a a �   + Nếu a  : + Nếu a  :   + Nếu  a  : a  a �    + Nếu  a  : log a b1  log a b2 � b1  b2  So sánh hai lũy thừa số mũ (cơ số dương) m m + Nếu m  : a  b � a  b m m + Nếu m  : a  b � a  b Kiến thức 7: HÀM SỐ LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT Hàm số lũy thừa  Dạng tổng quát y  x với  �� Hàm số mũ  Dạng tổng quát y  a x , (a  0, a �1) www.thuvienhoclieu.com Hàm số logarit  Dạng tổng quát y  log a x, ( a  0, a �1) Trang www.thuvienhoclieu.com TXĐ: +  nguyên dương: D  � +  nguyên âm 0: D  �\  0 D   0; � +  không nguyên:  Đạo hàm ( x  )�   x 1 Đối với hàm hợp: (u )�   u 1.u ' TXĐ: D�  Đạo hàm (a x )�  a x ln a x  ex Đặc biệt: (e )� Đối với hàm hợp: ( a u )�  u� a u ln a u  eu u� Đặc biệt: (e )� TXĐ: D   0; �  Đạo hàm  log a x  � Đặc biệt: x.ln a (ln x)�  x Đối với hàm hợp:  log a u  � Đặc biệt: u� u.ln a (ln u )�  u� u Kiến thức 8: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Phương trình mũ  Phương trình mũ x Dạng TQ: a  bvới  a �1 Nghiệm: + Nếu b �0 phương trình vơ nghiệm x + Nếu b  a  b� x  loga b  Một số phương pháp giải - Đưa số (chú ý trường hợp số ẩn cần xét thêm trường hợp số 1) - Đặt ẩn phụ (chú ý điều kiện ẩn phụ) - Logarit hóa Phương trình logarit  Phương trình logarit Dạng TQ: log a x  b với  a �1 Điều kiện: x  b Nghiệm: log a x  b � x  a  Một số phương pháp giải (Chú ý đặt điều kiện phương trình) - Đưa số - Đặt ẩn phụ - Mũ hóa Kiến thức 9: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Bất phương trình mũ  Bất phương trình mũ x Dạng TQ: a  b x x x (hoặc a  b; a �b; a �b) Nghiệm: + Nếu b b vô số nghiệm + Nếu b>0: x a>1 a >b x  loga b x a 1 loga x > b loga x < b x  ab x  ab < a < x  ab x  ab � Cơ số lớn giữ chiều, bé đảo chiều  Một số phương pháp giải (Chú ý đặt điều kiện bất phương trình) - Đưa số - Đặt ẩn phụ - Mũ hóa Kiến thức 10: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Tam giác vuông a  b2  c2 b  ab ' c  ac ' h2  b ' c ' 1  2 2 h b c ah  bc (Pitagpo) b a c cos B  sin C  a b tan B  cotC  c c cot B  tan C  b sin B  cos C  Tam giác thường Định lí cosin: cosA  b2  c  a 2bc a  b  c  2bc.cosA � a b c    2R Định lí sin: sinA sinB sinC Độ dài trung tuyến: Diện tích tam giác: (r bán kính đường trịn nội tiếp) (R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác) p a b c ) (với Chú ý: Với tam giác cạnh a www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Diện tích: S ABC  a2 AM  Trung tuyến: Diện tích hình Hình Abình hành A D cạnh a Hình vng Diện tích: S ABCD  a S ABCD  BC AH Đường chéo: B C AC  BD  a B H a D  AB AD sin A C A D Hình chữ nhật cạnh a, b S ABCD  a.b B C A Hình thoi S ABCD  AC.BD B D  AB AD.sin A C  AB AD.sin B HìnhAthang S B ABCD H  D ( AD  BC ) AH C Kiến thức 11: KHỐI ĐA DIỆN Khối chóp Khối lăng trụ S V = B.h Thể tích: Thể tích: V = B.h D O C Lăng trụ đều: + Là lăng trụ đứng + Đáy đa giác + Các cạnh bên Khối chóp tam giác S.ABC + Đáy tam giác + Hình chiếu đỉnh trọng tâm đáy + Các cạnh bên Khối hộp chữ nhật: V = abc Khối chóp tứ giác S.ABCD S + Đáy hình vng + Hình chiếu đỉnh giao điểm A AC BBD + Các cạnh bên ’ ’ A C ’ B www.thuvienhoclieu.com C Trang 10 www.thuvienhoclieu.com Tỉ số thể tích VS.A ��� SA �SB �SC � BC = VS.ABC SA SB SC Khối lập phương: V = a Kiến thức 12: MẶT TRỊN XOAY Mặt nón Mặt trụ A r D h B Đường sinh: l  OM Đường cao: h  OI Bán kính đáy: r  IM Diện tích xung quanh: S xq   rl Stp  S đ  S xq   r   rl V   r 2h Thể tích: C Đường sinh: l  DC Đường cao: h  AB  l Bán kính đáy: r  AD  BC Diện tích đáy: S đ   r Diện tích tồn phần: r Diện tích xung quanh: S xq  2 rl Diện tích tồn phần: Stp  S2 đ  S xq  2 r  2 rl  2 r (r  l ) Thể tích: V   r h Mặt cầu Diện tích mặt cầu: S  4 R V   R3 Thể tích khối cầu: www.thuvienhoclieu.com Trang 11 www.thuvienhoclieu.com Giao của mặt cầu mặt phẳng Chú ý: OH  d (O, (P)) Trường hợp mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn bán kính r , ta có: OH  R  r www.thuvienhoclieu.com Trang 12 ...  dc �  � dx  e � �  dx  e  � � � �ax  bx  c � (ab1  a1b)x  2(ac1  a 1c)x  (bc1  b1c) �  � (a1x  b1x  c1 ) �a1x  b1x  c1 � Ứng dụng Phương trình tiếp tuyến y  f ''  x0   x... v ''(t )  s ''''  t  Kiến thức 3: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ Khảo sát biến thiên Tìm cực trị  Các bước khảo sát  Cách 1: Dùng BBT Bước 1: Tìm tập xác định (Tương tự bước mục 1) Bước 2: Tính y’ ... Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính y’ Bước 3: Tìm nghiệm y’ điểm y’ khơng xác định khoảng (a,b) Bước 4: Lập bảng biến thiên Bước 5: Kết luận Max, lim y  y1 Bước 1: Tính x �� � y  y1 tiệm