hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIẢI TÍCH 12 @. Bổ túc về đại số: 1. phương trình bậc 2: ax 2 +bx+c=0 với x 1, x 2 là nghiệm thì ax 2 +bx+c = a(x-x 1 )(x-x 2 ); ∆=b 2 -4ac (∆’=b’ 2 - ac với b’=b/2) thì ∆±− = ∆±− = a b x a b x 2 '' 2 2,12,1 nếu a+b+c=0 thì x 1 =1; x 2 =c/a; nếu a-b+c=0 thì x 1 =1; x 2 = -c/a; S=x 1 +x 2 = - b/a; P=x 1 .x 2 = c/a (đl Vieet) 2. tam thức bậc hai f(x)= ax 2 +bx+c + ∆<0 thì f(x) cùng dấu a + 0)( 21 <⇔<< αα afxx + <∆ > ⇔> 0 0 0)( a xf + <∆ < ⇔< 0 0 0)( a xf + >− > >∆ ⇔<< 0 2 0)( 0 21 α αα S afxx + <− > >∆ ⇔<< 0 2 0)( 0 21 α αα S afxx 3. phương trình bậc ba: ax 3 +bx 2 +cx+d=0 nếu a+b+c+d=0 thì x 1 =1; nếu a-b+c-d=0 thì x 1 = -1; dùng Hoocner ax 3 +bx 2 +cx+d=(x-1)(ax 2 + βx + γ) = 0 với β=a+b; γ=β+c 4. các công thức về lượng giác, cấp số và lôgarit: );2cos1( 2 1 cos ); 2 cos(sin- ); 2 sin(cos 2 xx xxxx += +=+= ππ )2cos1( 2 1 sin 2 xx −= ; 1+tg 2 x= x 2 cos 1 x x 2 2 sin 1 cotg1 −=+ cấp số cộng: ÷a,b,c,… d = c – b = b – a cấp số nhân: a,b,c,… a b b c q == I. ĐẠO HÀM: 1. Qui Tắc: 1. (u ± v)’ = u’ ± v’ 2. (u.v)’ = u’v + v’u 3. 2 ' v u'vv'u v u − = 4. (ku)’ = ku’ (k:const) 2. Công thức: (x n )’ = nx n-1 (u n )’ = nu n-1 u’ 2 ' x 1 x 1 −= 2 ' u 'u u 1 −= ( ) x2 1 x ' = ( ) u2 'u u ' = (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu (tgx)’ = xcos 1 2 (tgu)’ = ucos 'u 2 (cotgx)’ = xsin 1 2 − (cotgu)’ = usin 'u 2 − (e x )’ = e x (e u )’ = u’e u (a x )’ = a x .lna (a u )’ = u’a u .lna (lnx)’ = x 1 (lnu)’ = u 'u (log a x)’ = alnx 1 (log a u)’ = alnu 'u II. KHẢO SÁT HÀM SỐ: 1. Hàm bậc ba y = ax 3 +bx 2 +cx+d: • Miền xác định D=R • Tính y’= 3ax 2 +2bx+c • y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có) • tính y’’ tìm 1 điểm uốn • bảng biến thiên • điểm đặc biệt (2điểm) • đồ thị (đt) * Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: - để hs tăng trên D ≤∆ > ⇔≥⇔ 0 0 0' 'y a y - để hs giảm trên D ≤∆ < ⇔≤⇔ 0 0 0' 'y a y - để hs có cực trị trên D ⇔y’=0 có 2 n 0 pb - để hs không có cực trị ⇔y’=0 VN hoặc có nghiệm kép - hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị - chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu x i là cực trị thì giá trị cực trị là: y i =mx i +n hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán - đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu. - đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau ⇔ ax 3 +bx 2 +cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc ⇔ y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox. 2. Hàm trùng phương y = ax 4 +bx 2 +c: • Miền xác định D=R • Tính y’ • y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị • bảng biến thiên • điểm đặc biệt (2điểm) • đồ thị * Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương: - đt nhận oy làm trục đối xứng. - để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D ⇔y’=0 có 3 n 0 pb (hoặc 1 n 0 ) - để hs có điểm uốn ⇔ y’’=0 có 2 n 0 pb - đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb ⇔ ∆>0; P>0; S>0. - đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc ⇔ ∆>0; P>0; S>0; x 2 = 9x 1 và sử dụng đlý Vieet. 3. Hàm nhất biến dcx bax y + + = • Miền xác định D=R\ { } c d − • Tính ( ) 2 ' dcx bcad y + − = (>0, <0) • TCĐ c d x −= vì 0lim = −→ y c d x • TCN c a y = vì c a y x = ∞→ lim • bảng biến thiên • điểm đặc biệt (4điểm) • đồ thị - đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng 4. Hàm hữu tỷ edx x edx cbxax y + ++= + ++ = γ βα 2 chia bằng Hoocner • Miền xác định D=R\ { } d e − • Tính y’= ( ) ( ) 2 2 2 . edx pnxmx edx d + ++ = + − γ α • y' = 0 tìm 2cực trị hoặc không có. • TCĐ d e x −= vì 0lim = −→ y d e x • TCX βα += xy vì 0lim = + ∞→ edx x γ • bảng biến thiên • điểm đặc biệt (4điểm) • đồ thị * Một số kết quả quan trọng: - đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng - có 2 cực trị hoặc không ⇔ y’= 0 có 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN - nếu x i là cực trị thì giá trị cực trị là d bax y i i + = 2 và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị. - đthị cắt ox tại 2 điểm pb ⇔ ax 2 +bx+c=0 có 2 nghiệm pb * CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS: 1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt) @ Loại 1: pttt tại M(x 0, y 0 ) ∈ y=f(x) tính: y’= y’(x 0 )= pttt: y = f’(x 0 )(x-x 0 )+y 0 @ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x 0 thay vào y=f(x) tìm được y 0 từ đó ta có pttt là: y = k(x-x 0 )+y 0 • pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a • pttt ⊥y=ax+b có hệ số góc k = -1/a. @ Loại 3: pttt qua M(x 0, y 0 ) của y=f(x) ptđt d qua M có hệ số góc k là: y = k(x-x 0 )+y 0 để d là tt thì hệ sau có nghiệm: = +−= (2) (1) kxf yxxkxf )(' )()( 00 thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên. 2/ Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và y= g(x) + ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm. + bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m) đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox. Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị. + để f(x) tiếp xúc g(x) ta có: = = (x) ')(' )()( gxf xgxf từ đó tìm điểm tiếp xúc x 3/ đơn điệu: cho y=f(x) đặt g(x)=y’ hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán a/ g(x) = ax 2 +bx+c ≥ 0 trong (α,+∞) ⇔ a>0; α ≤− a b 2 ; g(α)≥0. b/ g(x) = ax 2 +bx+c ≤ 0 trong (α,+∞) ⇔ a<0; α ≤− a b 2 ; g(α)≤0. c/ g(x) = ax 2 +bx+c ≥ 0 trong (α,β) ⇔ ag(α)≤0; ag(β)≤0 {áp dụng cho dạng có m 2 } d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x)) e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x 0 } thì • tăng trên (α,+∞)⇔ y’≥0; x 0 ≤α • giảm trên (α,+∞)⇔ y’≤0; x 0 ≤α 4. Cực trị: * y = f(x) có cực trị ⇔ y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”≠0) * y=f(x) có cực đại tại x 0 ⇔ ( ) ( ) < = 0'' 0' 0 0 xy xy * y=f(x) có cực tiểu tại x 0 ⇔ ( ) ( ) > = 0'' 0' 0 0 xy xy 1. T.Hợp 1: Hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d P.Pháp: Tập xác định D = R • Tính y / Để hàm số có cực trị thì y / = 0 có hai n 0 pb 〉∆ ≠ ⇔ 0 0a 2. T.Hợp 2: Hàm số // 2 bxa cbxax y + ++ = P.Pháp: Tập xác định = / / \ a b RD Tính ( ) 2 // / )( bxa xg y + = Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y / = 0 có hai nghiệm pb thuộc D ≠− 〉∆ ⇔ 0)( 0 / / / a b g g 5. GTLN, GTNN: a. Trên (a,b) • Tính y’ • Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) • KL: ( ) ; max CD a b y y= , ( ) ; min CT a b y y= b. Trên [a;b] • Tính y’ • Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm ( ) 0 ;x a b∈ • Tính y (x 0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn nhất M KL: [ ] ; max a b y M= Chọn số nhỏ nhất m , KL: [ ] ; min a b y m= III. Hàm số mũ và logarit: 1. Công thức lũy thừa : Với a>0, b>0; m, n∈R ta có: a n a m =a n+m ; mn m n a a a − = ; ( n a 1 =a − m ; a 0 =1; a − 1 = a 1 ); (a n ) m =a nm ; (ab) n =a n b n ; m n n b a b a = ; n m n m aa = . 2. Công thức logarit : log a b = c⇔a c =b ( 0< a≠1; b>0) Với 0< a≠1, 0<b≠1; x, x 1 , x 2 >0; α ∈R ta có: log a (x 1 x 2 )=log a x 1 +log a x 2 ; log a 2 1 x x = log a x 1 −log a x 2 ; xa x a = log ; log a x α = α log a x; xx a a log 1 log α α = ; (log a a x =x); log a x= a x b b log log ; (log a b= a b log 1 ) log b a.log a x=log b x; a log b x =x log b a . 3. Phương trình mũ- lôgarít * Dạng a x = b ( a> 0 , 0a ≠ ) b ≤ 0 : pt vô nghiệm b>0 : log x a a b x b= ⇔ = * Đưa về cùng cơ số: A f(x) = B g(x) ⇔ f(x) = g(x) * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x b= ( a> 0 , 0a ≠ ) Điều kiện : x > 0 log b a x b x a= ⇔ = • log a f(x) = log a g(x) ⇔ f(x) = g(x) • Đặt ẩn phụ; mũ hóa… 4. Bất PT mũ – logarit: * Dạng a x > b ( a> 0 , 0a ≠ ) b ≤ 0 : Bpt có tập nghiệm R b>0 : log x a a b x b> ⇔ > , khi a>1 log x a a b x b> ⇔ < , khi 0 < a < 1 * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x b> ( a> 0 , 0a ≠ , x>0 ) log b a x b x a> ⇔ > , khi a >1 hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán log b a x b x a> ⇔ < , khi 0 < x < 1 • Đặt ẩn phụ; mũ hóa… VI. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: ΙΙΙ Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b) ⇔ F ( ) ( ) xfx = / , ( ) bax ;∈∀ Nguyên hàm của hàm số sơ cấp 1. ∫ += cxdx.1 2. ( ) 1 1 . 1 −∝≠+ +∝ = ∫ +∝ ∝ c x dxx 3. ∫ += cxdx x ln. 1 4. ∫ += cSinxdxCosx. 5. ∫ +−= cCosxdxSinx. 6. ∫ += ctgxdx xCos . 1 2 7. ∫ +−= cCotgxdx xSin 2 1 . 8. ∫ += cedxe xx . 9. ∫ += c a a dxa x x ln . Nguyên hàm các hàm số thường gặp: 1. ( ) ( ) ∫ + +∝ + =+ +∝ c bax a dxbax 1 1 . 1 α 2. ∫ ++= + cbax a dx bax ln. 1 . 1 3. ( ) ( ) ∫ ++=+ cbaxSin a dxbaxCos . 1 . 4. ( ) ( ) ∫ ++−=+ cbaxCos a dxbaxSin . 1 . 5. ( ) ( ) ∫ ++= + cbaxtg a dx baxCos . 1 . 1 2 6. ( ) ( ) ∫ ++−= + cbaxCotg a dx baxSin . 1 . 1 2 7. ∫ += ++ ce a dxe baxbax . 1 . 8. ∫ += + + c a a m dxa nmx nmx ln . 1 . Các phương pháp tính tích phân:Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức. Phương pháp đổi biến số : ( ) [ ] ( ) ( ) ∫ ϕϕ= b a xdxxfA / P.Pháp: Đặt : t = ( ) xϕ ⇒ ( ) ( ) xdxdt . / ϕ= Đổi cận: ( ) ( ) ϕ=⇒= ϕ=⇒= atax btbx Do đó: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ϕ ϕ ϕ ϕ == b a b a tFdttfA . Các dạng đặc biệt cơ bản: 1. ∫ + = a xa dx I 0 22 P.Pháp: • Đặt: tgtax .= π 〈〈 π − 22 t ( ) dtttgadt tCos a dx .1. 2 2 +==⇒ • Đổi cận: 2.Tính dxxaJ a . 0 22 ∫ −= P.Pháp: • Đặt π ≤≤ π −= 22 int. tSax dtCostadx =⇒ • Đổi cận Phương pháp tính tích phân từng phần Loại 1: Có dạng: A= dx Cosx Sinx e xP b a x .).( ∫ Trong đó P(x)là hàm đa thức Phương pháp: Đặt u = P(x) ⇒ du = P(x).dx dv = ∫ ∫ ∫ Cosx Sinx e x .dx ⇒ v = Áp dụng công thức tích phân từng phần A = [ ] ∫ − b a b a duvvu hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Loại 2: B = ∫ + b a dxbaxLnxP ).().( Phương pháp: Đặt u = Ln(ax+b) ⇒ dx bax a du . + = dv = P(x).dx ⇒ v = Áp dụng: B = [ ] ∫ − b a b a duvvu Dạng : ∫ = dxxSinA n . Hay ∫ = dxxCosB n . 1. Nếu n chẵn: Áp dụng công thức 2 21 2 aCos aSi n − = ; 2 21 2 aCos aCos + = 2. Nếu n lẻ: ∫ − = dxSinxxSinA n 1 Đặt Cosxt = (Đổi x n 1 sin − thành Cosx ) Dạng : ∫ = dxxtgA m . Hay ∫ = dxxCotgB m . PP:Đặt 2 tg làm thừa số Thay 1 1 2 2 −= xCos tg IV. Diện tích hình phẳng: 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b: P.Pháp: DTHP cần tìm là: dxxfS b a .)( ∫ = (a < b) •Hoành độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 ΣNếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn [ ] ba; thì: ∫ = b a dxxfS ).( ΣNếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn [ ] ba; . Giả sử x = α , x = β thì dxxfdxxfdxxfS b a .)(.)(.)( ∫∫∫ β β α α ++= ∫ α = a dxxfS ).( + ∫ β α dxxf ).( + ∫ β b dxxf ).( 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y =f(x) và trục hoành: P.Pháp: ♦ HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 = = ⇔ bx ax ∫∫ == b a b a dxxfdxxfS ).(.)( 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường (c 1 ): y = f(x) và(c 2 ): y = g(x) và hai đường x = a; x = b: P.Pháp • DTHP cần tìm là: dxxgxfS b a .)()( ∫ −= • HĐGĐ của hai đường (c 1 ) và (c 2 ) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) = 0 Lập luận giống phần số 1 V. Thể tích vật thể: 1. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn [ ] ba; . Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích: [ ] dxxfV b a .)(. 2 ∫ π= 2. Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn [ ] ba; . Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích: [ ] dyygV b a .)(. 2 ∫ π= VII. SỐ PHỨC: Số phức là một biểu thức có dạng a bi+ , trong đó a,b∈R; i 2 = -1. Số phức z a bi= + có a là phần thực, b là phần ảo. Số phức z a bi= + được biểu diễn bởi điểm ( ) ;M a b hay bởi ( ) ;u a b= r trong mặt phẳng tọa độ Oxy. hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán Hai số phức bằng nhau : a c a bi c di b d = + = + ⇔ = . Modun của số phức z a bi= + chính là độ dài của OM uuuur . Vậy : 2 2 z OM a b= = + uuuur . Số phức liên hợp của số phức z a bi= + là số phức z a bi= − . CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC : a. Phép cộng, trừ, nhân hai số phức : ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di a c b d i+ + + = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di a c b d i+ − + = − + − ( ) ( ) ( ) ( ) a bi c di ac bd ad bc i+ + = − + + Chú ý: 1 2 3 4 , 1, , 1i i i i i i= = − = − = . Tổng quát : 4 4 1 4 2 4 3 1, , 1, n n n n i i i i i i + + + = = = − = − . ( ) 2 1 2i i+ = ; ( ) 2 1 2i i− = − . b. Phép chia hai số phức : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 a bi c di a bi c di a bi c di c di c di c d + − + − + = = + + − + Như vậy : . . z z z z z z ′ ′ = Chú ý: 1 1 i i i + = − . c. Các tính chất của số phức liên hợp và modun : z z= ; z z z z ′ ′ + = + ; .zz z z ′ ′ = ; z z z z ′ ′ = ÷ . z z= ; zz z z ′ ′ = ; z z z z ′ ′ = ; z z z z ′ ′ + ≤ + PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : a. Căn bậc hai của số phức : Định nghĩa : Số phức z là căn bậc hai của số phức nếu: 2 z w= . Như vậy để tìm Số phức z x yi= + ( ) ,x y∈¡ là căn bậc hai của số phức w a bi= + ta giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau: 2 2 2 x y a xy b − = = Chú ý : Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0. Số thực 0a > có đúng hai căn bậc hai là : a± Số thực 0a < có hai căn bậc hai là i a i a ± = ± − . Đặc biệt , số 1 − có hai căn bậc hai là i± . b. Phương trình bậc hai : Cho phương trình bậc hai 2 0az bz c+ + = ( , , , 0a b c a∈ ≠£ ). * Nếu 0∆ = , phương trình có một nghiệm kép 2 b z a = − . * Nếu 0∆ ≠ , phương trình có hai nghiệm phân biệt : 1,2 2 b z a δ − ± = , ( δ là một căn bậc hai của ∆ ) . . hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán GIẢI TÍCH 12 @. Bổ túc về đại số: 1. phương trình bậc 2: ax 2 +bx+c=0 với x 1, x 2 là nghiệm thì. ∆±− = ∆±− = a b x a b x 2 '' 2 2 ,12, 1 nếu a+b+c=0 thì x 1 =1; x 2 =c/a; nếu a-b+c=0 thì x 1 =1; x 2 = -c/a; S=x 1 +x 2 = - b/a; P=x 1 .x 2 = c/a (đl Vieet) 2. tam thức bậc hai f(x)= ax 2 +bx+c +. dx Cosx Sinx e xP b a x .).( ∫ Trong đó P(x)là hàm đa thức Phương pháp: Đặt u = P(x) ⇒ du = P(x).dx dv = ∫ ∫ ∫ Cosx Sinx e x .dx ⇒ v = Áp dụng công thức tích phân từng phần A =