Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là một bộ tài liệu được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các em học sinh lớp 9 củng cố và nâng cao kiến thức môn Toán học, chuẩn bị kiếm thức ôn thi vào lớp 10 THPT. Bên cạnh phần lí thuyết được kèm theo các ví dụ cụ thể có lời giải chi tiết kết hợp với hệ thống bài tập thực hành không những giúp các thầy cô có căn cứ để hướng dẫn và giảng dạy cho học sinh mà còn giúp cho các em tự học, tự kiểm tra và so sánh đối chiếu kết quả làm bài của mình khi không có sự trợ giúp của các thầy cô giáo.Hy vọng bộ tài liệu sẽ giúp ích cho các thầy cô trong việc bồi dưỡng HSG và giúp các em học sinh lớp 9 học tập tốt bộ môn Toán học lớp 9.
1 1 Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự nghiệp trồng ngời Năm học 201 1 - 201 5 T TT Tà àà ài ii i l ll li ii iệ ệệ ệu uu u Ô ÔÔ Ôn nn n t tt th hh hi ii i v vv và àà ào oo o T TT Tr rr ru uu un nn ng gg g h hh họ ọọ ọc cc c P PP Ph hh hổ ổổ ổ t tt th hh hô ôô ôn nn ng gg g 1. Điểm - Đờng thẳng - Ngời ta dùng các chữ cái in hoa A, B, C, để đặt tên cho điểm - Bất cứ hình nào cũng là một tập hợp các điểm. Một điểm cũng là một hình. - Ngời ta dùng các chữ cái thờng a, b, c, m, p, để đặt tên cho các đờng thẳng (hoặc dùng hai chữ cái in hoa hoặc dùng hai chữ cái thờng, ví dụ đờng thẳng AB, xy, ) - Điểm C thuộc đờng thẳng a (điểm C nằm trên đờng thẳng a hoặc đờng thẳng a đi qua điểm C), kí hiệu là: C a - Điểm M không thuộc đờng thẳng a (điểm M nằm ngoài đờng thẳng a hoặc đờng thẳng a không đi qua điểm M), kí hiệu là: M a 2. Ba điểm thẳng hàng - Ba điểm cùng thuộc một đờng thẳng ta nói chúng thẳng hàng - Ba điểm không cùng thuộc bất kì đờng thẳng nào ta nói chúng không thẳng hàng. 3. Đờng thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song - Hai đờng thẳng AB và BC nh hình vẽ bên là hai đờng thẳng trùng nhau. - Hai đờng thẳng chỉ có một điểm chung ta nói chúng cắt nhau, điểm chung đó đợc gọi là giao điểm (điểm E là giao điểm) - Hai đờng thẳng không có điểm www.VNMATH.com Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng - - Gia Lộc Gia Lộc Gia Lộc Gia Lộc hải Dơng hải Dơng hải Dơng hải Dơng Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu chung nào, ta nói chúng song song với nhau, kí hiệu xy//zt 4. Khái niệm về tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng nhau - Hình gồm điểm O và một phần đờng thẳng bị chia ra bởi điểm O đợc gọi là một tia gốc O (có hai tia Ox và Oy nh hình vẽ) - Hai tia chung gốc tạo thành đờng thẳng đợc gọi là hai tia đối nhau (hai tia Ox và Oy trong hình vẽ là hai tia đối nhau) - Hai tia chung gốc và tia này nằm trên tia kia đợc gọi là hai tia trùng nhau - Hai tia AB và Ax là hai tia trùng nhau 5. Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng - Đoạn thẳng AB là hình gồm điểm A, điểm B và tất cả các điểm nằm giữa A và B - Hai điểm A và B là hai mút (hoặc hai đầu) của đoạn thẳng AB. - Mỗi đoạn thẳng có một độ dài. Độ dài đoạn thẳng là một số dơng 6. Khi nào thì AM + MB = AB ? - Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì AM + MB = AB. Ngợc lại, nếu AM + MB = AB thì điểm M nằm giữa hai điểm A và B 7. Trung điểm của đoạn thẳng - Trung điểm M của đoạn thẳng AB là điểm nằm giữa A, B và cách đều A, B (MA = MB) - Trung điểm M của đoạn thẳng AB còn gọi là điểm chính giữa của đoạn thẳng AB 8. Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối nhau - Hình gồm đờng thẳng a và một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a đợc gọi là một nửa mặt phẳng bờ a - Hai nửa mặt phẳng có chung bờ đợc gọi là hai nửa mặt phẳng đối nhau (hai nửa mặt phẳng (I) và (II) đối nhau) 9. Góc, góc bẹt www.VNMATH.com 3 3 Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự nghiệp trồng ngời Năm học 201 1 - 201 5 T TT Tà àà ài ii i l ll li ii iệ ệệ ệu uu u Ô ÔÔ Ôn nn n t tt th hh hi ii i v vv và àà ào oo o T TT Tr rr ru uu un nn ng gg g h hh họ ọọ ọc cc c P PP Ph hh hổ ổổ ổ t tt th hh hô ôô ôn nn ng gg g - Góc là hình gồm hai tia chung gốc, gốc chung của hai tia gọi là đỉnh của góc, hai tia là hai cạnh của góc - Góc xOy kí hiệu là xOy hoặc O hoặc xOy - Điểm O là đỉnh của góc - Hai cạnh của góc : Ox, Oy - Góc bẹt là góc có hai cạnh là hai tia đối nhau 10. So sánh hai góc, góc vuông, góc nhọn, góc tù. - So sánh hai góc bằng cách so sánh các số đo của chúng - Hai góc xOy và uIv bằng nhau đợc kí hiệu là: xOy uIv = - Góc xOy nhỏ hơn góc uIv, ta viết: xOy uIv uIv xOy < <=> > - Góc có số đo bằng 90 0 = 1v, là góc vuông - Góc nhỏ hơn góc vuông là góc nhọn - Góc lớn hơn góc vuông nhng nhỏ hơn góc bẹt là góc tù. 11. Khi nào thì xOy yOz xOz + = - Nếu tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz thì xOy yOz xOz + = . - Ngợc lại, nếu xOy yOz xOz + = thì tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Oz 12. Hai góc kề nhau, phụ nhau, bù nhau, kề bù - Hai góc kề nhau là hai góc có một cạnh chung và hai cạnh còn lại nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa cạnh chung. - Hai góc phụ nhau là hai góc có tổng số đo bằng 90 0 - Hai góc bù nhau là hai góc có tổng số đo bằng 180 0 - Hai góc vừa kề nhau, vừa bù nhau đợc gọi là hai góc kề bù www.VNMATH.com Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng - - Gia Lộc Gia Lộc Gia Lộc Gia Lộc hải Dơng hải Dơng hải Dơng hải Dơng Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 13. Tia phân giác của góc - Tia phân giác của một góc là tia nằm giữa hai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau - Khi: xOz zOy xOy và xOz = zOy + = => tia Oz là tia phân giác của góc xOy - Đờng thẳng chứa tia phân giác của một góc là đờng phân giác của góc đó (đờng thẳng mn là đờng phân giác của góc xOy) 14. Đờng trung trực của đoạn thẳng a) Định nghĩa: Đờng thẳng vuông góc với một đoạn thẳng tại trung điểm của nó đợc gọi là đờng trung trực của đoạn thẳng ấy b) Tổng quát: a là đờng trung trực của AB a AB tại I IA =IB 15. Các góc tạo bởi một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng a) Các cặp góc so le trong: 1 3 A và B ; 4 2 A và B . b) Các cặp góc đồng vị: 1 1 A và B ; 2 2 A và B ; 3 3 A và B ; 4 4 A và B . c) Khi a//b thì: 1 2 A và B ; 4 3 A và B gọi là các cặp góc trong cùng phía bù nhau 16. Hai đờng thẳng song song 1 4 2 3 4 3 2 1 b a B A a I B A www.VNMATH.com 5 5 Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự nghiệp trồng ngời Năm học 201 1 - 201 5 T TT Tà àà ài ii i l ll li ii iệ ệệ ệu uu u Ô ÔÔ Ôn nn n t tt th hh hi ii i v vv và àà ào oo o T TT Tr rr ru uu un nn ng gg g h hh họ ọọ ọc cc c P PP Ph hh hổ ổổ ổ t tt th hh hô ôô ôn nn ng gg g a) Dấu hiệu nhận biết - Nếu đờng thẳng c cắt hai đờng thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau b) Tiên đề Ơ_clít - Qua một điểm ở ngoài một đờng thẳng chỉ có một đờng thẳng song song với đờng thẳng đó c, Tính chất hai đờng thẳng song song - Nếu một đờng thẳng cắt hai đờng thẳng song song thì: Hai góc so le trong bằng nhau; Hai góc đồng vị bằng nhau; Hai góc trong cùng phía bù nhau. d) Quan hệ giữa tính vuông góc với tính song song - Hai đờng thẳng phân biệt cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau a c a / /b b c => - Một đờng thẳng vuông góc với một trong hai đờng thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đờng thẳng kia c b c a a / /b => e) Ba đờng thẳng song song - Hai đờng thẳng phân biệt cùng song song với một đờng thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau a//c và b//c => a//b c b a c b a c b a b a M c b a www.VNMATH.com Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng - - Gia Lộc Gia Lộc Gia Lộc Gia Lộc hải Dơng hải Dơng hải Dơng hải Dơng Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 17. Góc ngoài của tam giác a) Định nghĩa: Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác ấy b) Tính chất: Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó ACx A B = + 18. Hai tam giác bằng nhau a) Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tơng ứng bằng nhau, các góc tơng ứng bằng nhau ABC A 'B'C' AB A 'B'; AC A 'C'; BC B'C' A A '; B B'; C C' = = = = = = = b) Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác *) Trờng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c) - Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau Nếu ABC và A'B'C' có: AB A 'B' AC A 'C' ABC A 'B'C'(c.c.c) BC B'C' = = => = = C' B' A' C B A C B' A' C B x C B A A www.VNMATH.com 7 7 Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự nghiệp trồng ngời Năm học 201 1 - 201 5 T TT Tà àà ài ii i l ll li ii iệ ệệ ệu uu u Ô ÔÔ Ôn nn n t tt th hh hi ii i v vv và àà ào oo o T TT Tr rr ru uu un nn ng gg g h hh họ ọọ ọc cc c P PP Ph hh hổ ổổ ổ t tt th hh hô ôô ôn nn ng gg g *) Trờng hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) - Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau Nếu ABC và A'B'C' có: AB A 'B' B B' ABC A 'B'C'(c.g.c) BC B'C' = = => = = *) Trờng hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) - Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau Nếu ABC và A'B'C' có: B B' BC B'C' ABC A 'B'C'(g.c.g ) C C' = = => = = c) Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông Trờng hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Trờng hợp 2: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc C' B' A' C B A A B C A' B' C' C' B' A' C B A www.VNMATH.com Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng - - Gia Lộc Gia Lộc Gia Lộc Gia Lộc hải Dơng hải Dơng hải Dơng hải Dơng Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai giác vuông đó bằng nhau. Trờng hợp 3: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Trờng hợp 4: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. 19. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác) - Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn ABC : Nếu AC > AB thì B > C Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn ABC : Nếu B > C thì AC > AB A B C A' B' C' C' B' A' C B A C' B' A' C B A A B C www.VNMATH.com 9 9 Vì sự nghiệp giáo dục - Vì sự nghiệp trồng ngời Năm học 201 1 - 201 5 T TT Tà àà ài ii i l ll li ii iệ ệệ ệu uu u Ô ÔÔ Ôn nn n t tt th hh hi ii i v vv và àà ào oo o T TT Tr rr ru uu un nn ng gg g h hh họ ọọ ọc cc c P PP Ph hh hổ ổổ ổ t tt th hh hô ôô ôn nn ng gg g 20. Quan hệ giữa đờng vuông góc và đờng xiên, đờng xiên và hình chiếu Khái niệm đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu của đờng xiên - Lấy A d, kẻ AH d, lấy B d và B H. Khi đó : - Đoạn thẳng AH gọi là đờng vuông góc kẻ từ A đến đờng thẳng d - Điểm H gọi là hình chiếu của A trên đờng thẳng d - Đoạn thẳng AB gọi là một đờng xiên kẻ từ A đến đờng thẳng d - Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đờng xiên AB trên đ.thẳng d Quan hệ giữa đờng xiên và đờng vuông góc: Trong các đờng xiên và đờng vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đờng thẳng đến đờng thẳng đó, đờng vuông góc là đờng ngắn nhất. Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu: Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đờng thẳng đến đờng thẳng đó, thì: Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn Đờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn Nếu hai đờng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngợc lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đờng xiên bằng nhau. 21. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác - Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB - Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại. AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC - Nhận xét : Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn C B A d B H A www.VNMATH.com Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng - - Gia Lộc Gia Lộc Gia Lộc Gia Lộc hải Dơng hải Dơng hải Dơng hải Dơng Ngời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại. VD: AB - AC < BC < AB + AC www.VNMATH.com [...]... hai tam giác vuông Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 15 www.VNMATH.com Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng *)Trờng hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì chúng đồng dạng S Nếu ABC và A'B'C' có: 0 A = A ' = 90 => ABC A 'B 'C' C = C' B' B C A C' A *)Trờng hợp 2: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai... sin 2 ;cos 1 > cos 2 ;tg1 < tg2 ;cot g1 > cot g2 c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông b = a.sinB; b = a.cosC; b = c.tgB; b = c.cotgC; => a = c = a.sinC c = a.cosB c = b.tgC c = b.cotgB b = c c = b = sinB sinC cosC cosB 31 Đờng tròn, hình tròn, góc ở tâm, số đo cung Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 19 www.VNMATH.com Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng - Đờng tròn tâm O, bán... không giao nhau (không có điểm chung) +) ở ngoài nhau: OO' > R + r +) Đựng nhau: OO' < R r +) Đặc biệt (O) và (O) đồng tâm: OO' = 0 d) Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 23 Năm học 2011 - 2015 www.VNMATH.com Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng - Tiếp tuyến chung của hai đờng tròn là đờng thẳng tiếp xúc với cả hai đờng tròn đó - Tiếp tuyến chung ngoài không... minh một hệ thức liên hệ giữa các đoạn thẳng, các cạnh của hai tam giác, các đoạn thẳng với bán kính của đờng tròn , Phơng pháp 1: áp dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông Phơng pháp 2: Chứng hai tam giác đồng dạng Phơng pháp 3: Vận dụng hai cặp tam giác đồng dạng để có tỉ số trung gian (nguyên tắc bắc cầu) a = c b d a = a' hay ab' = a'b => b b' a' = c b' d Phơng pháp 4: Vận dụng công thức tính... hiệu sau: Dấu hiệu 1: Đờng thẳng và đờng tròn chỉ có một điểm chung (định nghĩa tiếp tuyến) Dấu hiệu 2: Đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 21 www.VNMATH.com Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng => a là tiếp tuyến của (O) a OH tại H H ( O) 36 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau; đờng tròn nội tiếp, bàng... cho trớc, dựng đờng thẳng vuông góc với một đờng thẳng cho trớc; f) Qua một điểm nằm ngoài một đờng thẳng cho trớc, dựng đờng thẳng song song với một đờng thẳng cho trớc; g) Dựng tam giác biết ba cạnh, hoặc biết hai cạnh kề và góc xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề 30 Hệ thức lợng trong tam giác vuông (lớp 9) a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông 2 b = ab ' 2 c = ac ' 2... một góc Lu ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình : Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân 45 Đờng tròn ngoại tiếp Đờng tròn nội tiếp Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 27 www.VNMATH.com Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng - Đờng tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác đợc... đờng thẳng chứa hai cạnh góc vuông là vuông góc với nhau Phơng pháp 2: Nếu một đờng thẳng vuông góc với một trong hai đờng thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đờng thẳng kia Phơng pháp 3: Vận dụng tính chất, nếu một tam giác có một đờng trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông => hai đờng thẳng chứa hai cạnh góc vuông là vuông góc với nhau Phơng pháp 4:... song song với nhau Phơng pháp 3: Hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba thì song song với nhau Phơng pháp 4: Hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba thì song song với nhau Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 31 www.VNMATH.com Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng Phơng pháp 5: áp dụng định lí đảo của định lí Ta - lét Phơng pháp 6: S d ng tớnh ch t ng trung bỡnh c a tam... minh một đờng thẳng là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn Phơng pháp 1: Chứng minh đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó => a là tiếp tuyến của (O) a OH tại H H (O) Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông 35 www.VNMATH.com Trờng THCS Hồng Hng - Gia Lộc hải Dơng Phơng pháp 2: ĐĐể chứng minh đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) tại điểm A ta chứng minh . vuông Trờng hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Trờng hợp 2: Nếu một cạnh góc vuông. góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. 19. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác (quan hệ giữa. giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề. 30. Hệ thức lợng trong tam giác vuông (lớp 9) a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông 2 b ab' = 2 c ac' = 2