- Góc có đỉnh ở bên ngoài đ−ờng tròn là góc có đỉnh nằm ngoài đ−ờng tròn và các cạnh đều có điểm chung với đ−ờng tròn
- Hai cung bị chắn là hai cung nằm bên trong góc, hình vẽ bên: BEC là góc có đỉnh ở bên ngoài đ−ờng tròn, có hai cung bị chắn là
AmD và BnC
- Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đ−ờng tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn
sđBnC sđ AmD BEC
2
− =
43. Kết quả bài toán quỹ tích cung chứa góc a) Bài toán: Với đoạn thẳng AB và góc α (00 < α <1800) cho tr−ớc thì quỹ tích các điểm M thỏa mãn AMB= α là hai cung chứa góc α
dựng trên đoạn thẳng AB
- Hai cung chứa góc α dựng trên đoạn thẳng AB đối xứng với nhau qua AB
- Khi α = 900 thì hai cung chứa góc là hai nửa đ−ờng tròn đ−ờng kính AB, suy ra: Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho tr−ớc d−ới một góc vuông là đ−ờng tròn đ−ờng kính AB (áp dụng kiến thức này để chứng minh tứ giác nội tiếp) 1 2 3 E O D B C A m n
b) Cách vẽ cung chứa góc α
- Vẽđ−ờng trung trực d của đoạn thẳng AB. - Vẽ tia Ax tạo với AB một góc α ( BAx =α) - Vẽ tia Ay vuông góc với tia Ax . Gọi O là giao
điểm của Ay với d
- Vẽ cung AmB, tâm O bán kính OA sao cho cung này nằm ở nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax.
c) Cách giải bài toán quỹ tích
Muốn chứng minh quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào đó, ta chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất T đều thuộc hình H Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất T
Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm M có tính chất T là hình H
44. Tứ giác nội tiếp
a) Khái niệm tứ giác nội tiếp
- Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đ−ờng tròn đ−ợc gọi là tứ giác nội tiếp đ−ờng tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)
b) Định lí:
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800
Tứ giác ABCD nội tiếp (O), suy ra:
0
A C B D 180+ = + = c) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định đ−ợc). Điểm đó là tâm của đ−ờng tròn ngoại tiếp tứ giác
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại d−ới một góc α
L−u ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình : Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.
Ng−ời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
- Đ−ờng tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác đ−ợc gọi là đ−ờng tròn ngoại tiếp đa giác và đa giác đ−ợc gọi là đa giác nội tiếp đ−ờng tròn
- Đ−ờng tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác đ−ợc gọi là đ−ờng tròn nội tiếp đa giác và đa giác đ−ợc gọi là đa giác ngoại tiếp đ−ờng tròn
- Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đ−ờng tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đ−ờng tròn nội tiếp.
- Trong đa giác đều, tâm của đ−ờng tròn ngoại tiếp trùng với tâm của đ−ờng tròn nội tiếp và đ−ợc gọi là tâm của đa giác đều.
46. Một số định lí đ−ợc áp dụng : (không cần chứng minh)
a) Định lí 1:
+) Tâm của đ−ờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền
+) Nếu một tam giác có một cạnh là đ−ờng kính của đ−ờng tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông
b) Định lí 2:
Trong một đ−ờng tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau
c) Định lí 3:
Trong một đ−ờng tròn, đ−ờng kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
d) Định lí 4:
Trong một đ−ờng tròn, đ−ờng kính đi qua trung điểm của một dây cung (không phải là đ−ờng kính) thì chia cung căng dây ấy thành hai cung bằng nhau
e) Định lí 5:
Trong một đ−ờng tròn, đ−ờng kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ng−ợc lại, đ−ờng kính vuông góc với một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.
47. Độ dài đ−ờng tròn, độ dài cung tròn, diện tích hình tròn, diện tích hình quạt tròn
a) Độ dài đ−ờng tròn
Công thức tính độ dài đ−ờng tròn (chu vi hình
I
tròn) bán kính R là: C =2 R π Hoặc C =πd Trong đó: C : làđộ dài đ−ờng tròn R: là bán kính đ−ờng tròn d: làđ−ờng kính đ−ờng tròn 3,1415... π ≈ là số vô tỉ. b) Độ dài cung tròn Độ dài cung tròn n0 là: . 180 R n l π = Trong đó: l : làđộ dài cung tròn n0 R: là bán kính đ−ờng tròn n: là số đo độ của góc ở tâm c) Diện tích hình tròn 2 . S =π R Trong đó: S : là diện tích hình tròn . R : là bán kính hình tròn . π ≈ 3 , 14 d) Diện tích hình quạt tròn 2 quat R S = 360 n π Hoặc . 2 = quat R S Trong đó: S là diện tích hình quạt tròn cung n0 R là bán kính
l làđộ dài cung n0 của hình quạt tròn
π≈ 3 , 14
48. Ph−ơng pháp chứng minh một số bài toán hình học th−ờng gặp khi ôn thi vào THPT
a) Chứng minh tam giác cân
1. Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau 2. Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau
3. Chứng minh tam giác đó có đ−ờng trung tuyến vừa là đ−ờng cao 4. Chứng minh tam giác đó có đ−ờng cao vừa là đ−ờng phân giác ở
đỉnh
b) Chứng minh tam giác đều
1. Chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau 2. Chứng minh tam giác đó có ba góc bằng nhau 3. Chứng minh tam giác cân có một góc là 600 c) Chứng minh một tứ giác là hình bình hành
Ng−ời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu
2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành
3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành 4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành
5. Tứ giác có hai đ−ờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đ−ờng là hình bình hành
d) Chứng minh một tứ giác là hình thang:
Ta chứng minh tứ giác đó có hai cạnh đối song song
e) Chứng minh một hình thang là hình thang cân
1. Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau 2. Chứng minh hình thang có hai đ−ờng chéo bằng nhau
f) Chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật
1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
2. Hình thanh cân có một góc vuông là hình chữ nhật 3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
4. Hình bình hành có hai đ−ờng chéo bằng nhau là hình chữ nhật
g) Chứng minh một tứ giác là hình thoi
1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau
3. Hình bình hành có hai đ−ờng chéo vuông góc với nhau
4. Hình bình hành có một đ−ờng chéo là đ−ờng phân giác của một góc
h) Chứng minh một tứ giác là hình vuông
1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau 2. Hình chữ nhật có hai đ−ờng chéo vuông góc
3. Hình chữ nhật có một đ−ờng chéo là đ−ờng phân giác của một góc 4. Hình thoi có một góc vuông
5. Hình thoi có hai đ−ờng chéo bằng nhau
i) Chứng minh hai đ−ờng thẳng vuông góc
Ph−ơng pháp 1: Nếu hai góc của một tam giác có tổng bằng 900 thì tam giác đó là tam giác vuông => góc còn lại bằng 900 => hai đ−ờng thẳng chứa hai cạnh góc vuông là vuông góc với nhau.
Ph−ơng pháp 2: Nếu một đ−ờng thẳng vuông góc với một trong hai đ−ờng thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đ−ờng thẳng kia
Ph−ơng pháp 3: Vận dụng tính chất, nếu một tam giác có một đ−ờng trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông => hai đ−ờng thẳng chứa hai cạnh góc vuông là vuông góc với nhau.
Ph−ơng pháp 4: Vận dụng tính chất ba đ−ờng cao của tam giác,
Ph−ơng pháp 5: Vận dụng hai góc kề phụ nhau (hai góc kề có tổng bằng 900)
Ph−ơng pháp 6: Vận dụng tính chất hai cạnh kề của hình chữ nhật, hình vuông thì vuông góc với nhau
Ph−ơng pháp 7: Vận dụng tính chất của tam giác cân
Trong tam giác cân, đ−ờng phân giác, đ−ờng trung tuyến xuất phát từ đỉnh đồng thời là đ−ờng cao
Ph−ơng pháp 8: Vận dụng tính chất hai đ−ờng chéo của hình thoi vuông góc với nhau
Ph−ơng pháp 9: Vận dụng hai tam giác đồng dạng với nhau (hoặc hai tam giác bằng nhau), trong đó có một tam giác vuông.
Ph−ơng pháp 10: Vận dụng tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau
Ph−ơng pháp 11: Dựa vào định lí đảo của định lí Py - ta - go
Ph−ơng pháp 12: Chứng minh tứ giác nội tiếp có một góc bằng 900, suy ra góc đối diện cũng bằng 900 => hai đ−ờng thẳng chứa hai cạnh của góc là vuông góc với nhau.
Ph−ơng pháp 13: Vận dụng tính chất đ−ờng nối tâm
Ph−ơng pháp 14: Vận dụng định nghĩa đ−ờng trung trực.
Ph−ơng pháp 15: Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đ−ờng tròn bằng 900
Ph−ơng pháp 16: Sử dụng tính chất đ−ờng kính của một đ−ờng tròn đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy hoặc đ−ờng kính của một đ−ờng tròn đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy
Ph−ơng pháp 17: Sử dụng tính chất tiếp tuyến của đ−ờng tròn (tiếp tuyến của đ−ờng tròn luôn luôn vuông góc với bán kính tại mút nằm trên đ−ờng tròn); tính chất tiếp tuyến chung của hai đ−ờng tròn.
Ph−ơng pháp 18: Dây cung chung và đ−ờng nối tâm của hai đ−ờng tròn thì vuông góc với nhau
Ph−ơng pháp 19: Sử dụng hai góc kề bù bằng nhau
Ph−ơng pháp 20: Chứng minh một tam giác bằng một tam giác vuông
Ph−ơng pháp 21: Sử dụng tính chất tam giác cân
Ph−ơng pháp 22: Chứng minh bằng phản chứng
k) Chứng minh hai đ−ờng thẳng song song với nhau
Ph−ơng pháp 1: Chứng minh hai đ−ờng thẳng chứa hai cạnh đối của hình bình hành (hoặc hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi)
Ph−ơng pháp 2: Dựa vào dấu hiệu nhận biết hai đ−ờng thẳng song song: Nếu đ−ờng thẳng c cắt hai đ−ờng thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau
Ph−ơng pháp 3: Hai đ−ờng thẳng cùng song song với đ−ờng thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Ph−ơng pháp 4: Hai đ−ờng thẳng cùng vuông góc với đ−ờng thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Ng−ời viết - Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Ph−ơng pháp 5: áp dụng định lí đảo của định lí Ta - lét Ph−ơng pháp 5: áp dụng định lí đảo của định lí Ta - lét