HỆ THỐNG KIẾN THỨC MÔN TOÁN LỚP 12

37 995 14
HỆ THỐNG KIẾN THỨC MÔN TOÁN LỚP 12

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT MƠN TỐN * PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (3,0 điểm) - Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số - Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số; tìm đồ thị điểm có tính chất cho trước, tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị đường thẳng) Câu II (3,0 điểm) - Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ lơgarit - Giá trị lớn nhỏ hàm số - Tìm ngun hàm, tính tích phân - Bài tốn tổng hợp Câu III (1,0 điểm) Hình học khơng gian (tổng hợp): Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, khối trụ trịn xoay; diện tích mặt cầu thể tích khối cầu * PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh học làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu IV.a (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ không gian: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Mặt cầu - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu V.a (1,0 điểm) - Số phức: mơđun số phức, phép tốn số phức; bậc hai số thực âm; phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức Delta âm - Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay Theo chương trình Nâng cao Câu IV.b (2,0 điểm): Phương pháp tọa độ không gian: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Mặt cầu - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng - Tính góc; tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách hai đường thẳng; vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu V.b (1,0 điểm) - Số phức: Môđun số phức, phép toán số phức; bậc hai số phức; phương trình bậc hai với hệ số phức; dạng lượng giác số phức - Đồì thị hàm phân thức hữu tỉ dạng y = (ax2 + bx +c) /(px+q ) số yếu tố liên quan - Sự tiếp xúc hai đường cong - Hệ phương trình mũ lơgarit - Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay - Hết www.MATHVN.com Trang DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC I BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG ĐẶC BIỆT π π π π 2π 3π Cung/ 4 GTLG 0 0 0 (0 ) (60 ) (90 ) ( 30 ) ( 45 ) ( 120 ) ( 1350 ) 2 cos 2 2 tan 3 cot || sin − || − -1 3 − 3 -1 II CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC Cơng thức cộng cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b π , a ≠ + kπ , k ∈ ℤ cos a 1 + cot a = , a ≠ kπ , k ∈ ℤ sin a kπ tan a.cot a = 1, a ≠ ,k ∈ℤ + tan a = www.MATHVN.com ( 180 ) 2 − 2 π − -1 − 3 − || Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a cos a cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a tan a + tan b π tan(a + b) = ,(a, b ≠ + kπ , k ∈ ℤ) − tan a tan b tan a − tan b π tan(a − b) = ,(a, b ≠ + kπ , k ∈ ℤ) + tan a tan b Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a cos b = [ cos(a − b) + cos(a + b)] sin a sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b)] sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b) ] Các đẳng thức lượng giác sin a + cos a = 5π ( 1500 ) cos 2a = cos a − sin a = 2cos a − = − 2sin a tan a tan 2a = − tan a Công thức hạ bậc + cos 2a − cos 2a cos a = tan a = + cos 2a − cos 2a sin a = Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a −b cos a + cos b = 2cos cos 2 a+b a −b cos a − cos b = −2sin sin 2 a+b a −b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+b a −b sin a − sin b = 2cos sin 2 sin(a + b) tan a + tan b = cos a cos b sin(a − b) cot a + cot b = cos a cos b Trang DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn IV MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC HAY DÙNG π π     sin x + cos x = sin  x +  = 2cos  x −  sin x − cos3 x = (sin x − cos x )  + sin x  4 4     2 2 cos4x = 2cos x − = − 2sin x = cos x − sin x sin x + cos x = − sin 2 x (sinx ± cosx) = ± sin x 4 sin x − cos x = sin x − cos x   3 sin x + cos x = (sin x + cos x )  − sin x    sin x + cos x = − sin 2 x III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Phương trình sinx = a  x = α + k 2π sin x = a = sin α ⇔  ;k ∈ℤ  x = π − α + k 2π  x = arc sin a + k 2π sin x = a ⇔  ;k ∈ℤ  x = π − arc sin a + k 2π Phương trình cosx = a  x = α + k 2π co s x = a = co s α ⇔  ; k ∈ℤ  x = −α + k 2π  x = arccosa + k 2π cosx = a ⇔  ;k ∈ ℤ  x = −arccosa + k 2π Phương trình cotx = a (ĐK: x ≠ kπ , k ∈ ℤ ) π + kπ , k ∈ ℤ ) tan x = a = tan α ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ℤ tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ ; k ∈ ℤ Phương trình tanx = a (ĐK: x ≠ cot x = a = co t α ⇔ x = α + kπ ; k ∈ ℤ cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ ; k ∈ ℤ IV PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP Phương trình asinx + bcosx = c asinx + bcosx = c ⇔ a + b sin( x + α ) = c Trong cosα = a a + b2 ;sin α = b a2 + b2 Phương trình a sin x + b sin x cos x + c cos x = d - Kiểm tra xem cosx = có nghiệm phương trình khơng ? - Nếu cos x ≠ , chia vế phương trình cho cos x , ta được: a tan x + btanx + c = d (1 + tan x) ( xα )' = α xα −1 ' 1  = − x  x ( x )' = x (e x ) ' = ex ( a x ) ' = ax.lna (ln| x |)’ = x (loga| x |)’ = x ln a www.MATHVN.com BẢNG ĐẠO HÀM (sinx)’ = cosx (u α )' = α u '.uα −1 (cosx)’ = - sinx ' u' 1 (tanx)’ =  = − u u cos x u' (cotx)’ = − ( u )' = sin x u (e u ) ' = u’.eu ( a u ) ' = u’.au.lna u' (ln| u |)’ = u u' (loga| u |)’ = u ln a (u ± v)’ = u’ ± v’ (uv)’ = u’v + v’u (ku)’ = k.u’ ' u ' v − v 'u u   = v2 v Trang (sinu)’ = u’.cosu (cosu)’ = -u’.sinu u' (tanu)’ = cos u u' (cotu)’ = − sin u y= ax + b a.d − b.c ⇒ y'= cx + d (cx + d ) DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn PHẦN GIẢI TÍCH KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chương I I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC 3, BẬC Các bước khảo sát - Tập xác định: D = R ; - Tính đạo hàm y’, giải phương trình y’ = tìm điểm cực trị ; - Tính giới hạn lim y ; lim y ; x →−∞ x →+∞ - Lập BBT, nhận xét tính đơn điệu cực trị đồ thị hàm số ; - Vẽ đồ thị Tìm điểm đặc biệt: Tâm đối xứng đồ thị, giao với trục Ox, Oy … Các dạng đồ thị Hàm số bậc Hàm số bậc Có cực đại cực tiểu Có cực đại cực tiểu a>0 a0 a0 a0 a , giả sử tam thức có nghiệm x1 , x2 ( x1 < x2 ) ta có bảng xét dấu: x -∞ x1 x2 +∞ f(x) dấu a trái dấu a dấu a Định giá trị m ax + b  d Đối với hàm bậc y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) Đối với hàm biến y = , x ≠ −   cx + d  c - Tập xác định: D = R - Đạo hàm: y ' = 3ax + 2bx + c a.d − b.c  d TXĐ: D = R \ −  Đạo hàm: y ' = (cx + d )2  c y đồng biến D y nghịch biến y nghịch biến D y đồng biến khoảng D khoảng D ⇔ y ' ≥ , ∀x ∈ D ⇔ y ' ≤ , ∀x ∈ D ⇔ y ' > , ∀x ∈ D ⇔ y ' < , ∀x ∈ D a > a < ⇔ ⇔ ⇔ ad − bc > ⇔ ad − bc < ∆ ≤ ∆ ≤ - Nếu ∆ = f(x) dấu với hệ số a với x ∈ ℝ , trừ x = − Ví dụ: Định m để hàm số y = x3 + mx + (m + 6) x − (2m + 1) đồng biến tập xác định Giải Tập xác định: D = R y ' = x + 2mx + m + có ∆ 'y ' = m − 1(m + 6) = m2 − m − Ví dụ: Định m để hàm số y = (2m − 1) x + đồng x+m biến tập xác định Giải Tập xác định: D = R\{-m} Ta có y ' = m(2m − 1) − 2m2 − m − = ( x + m) ( x + m) Để HS đồng biến TXĐ  m < −1 y ' > ⇔ 2m − m − > ⇔  m >  Để hàm số đồng biến tập xác định a = >  ⇔ −2 < m <  m − m − <  BÀI TẬP Cho hàm số y = x + (m + 2) x − (m − 1) x − (1) Định m để hàm số (1) đồng biến tập xác định Cho hàm số y = x3 + x − 2mx + (1) Định m để hàm số (1) đồng biến tập xác định 3 Cho hàm số y = (m2 − 1) x3 + (m − 1) x − x + (1) Định m để hàm số (1) đồng biến tập xác định www.MATHVN.com Trang DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn BÀI TỐN 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn [a ; b] Cho hàm số y = f(x) xác định đoạn [a ; b] Phương pháp * Tính đạo hàm y’ * Giải y’ = tìm nghiệm x1 , x2 … ∈ (a; b) * Tính giá trị y (a), y (b), y ( x1 ), y ( x2 ) * Tìm số lớn M số nhỏ m số trên, ta có: max y = M y = m [a;b] [a;b] Ví dụ Ví dụ Tìm GTLN GTNN hàm số y = x − 3x + đoạn [-1 ; 1] Giải * Đạo hàm: y ' = 3x − x = 3x( x − 2)  x = 0€(nhaän) Cho y’ = ⇔ x ( x − 2) = ⇔   x = 2€(loại) * Ta có y(-1) = -2 ; y(0) = ; y(1) = * Vậy: max y = đạt x = [−1;1] y = −2 đạt x = -1 [−1;1] BÀI TẬP Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x − 3x + đoạn [0 ; 2] (TN THPT 2007) Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x − x + đoạn [0 ; 2] (TN THPT 2008 – Lần 1) Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x3 − x + đoạn [-1 ; 1] (TN THPT 2008 – Lần 2) Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x − ln(1 − x) đoạn [-2 ; 0] (TN THPT 2009) Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x3 − x + 3x − đoạn [0 ; 2] Tìm GTLN, GTNN hàm số y = (3 − x)e x đoạn [3 ; 3] Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x − e2 x đoạn [-1 ; 0] BÀI TỐN 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Phương trình tiếp tuyến (PTTT) hàm số y = f(x) có đồ thị (C) điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ đồ thị (C) có hệ số góc k = f '( x0 ) là: y − y0 = k ( x − x0 ) = f '( x0 )( x − x0 ) Các tốn thường gặp: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y = f(x) Tại điểm có hồnh độ x0, (tung độ y0 ) biết trước Cách giải: Thay x0, ( y0 ) vào phương trình (C) ta tìm y0, ( x0 ) tương ứng Lưu ý: + Tại giao đồ thị (C) với trục tung: Ta có x0 = + Tại giao đồ thị (C) với trục hồnh: Ta có y0 = Có hệ số góc k cho trước Cách giải: Từ phương trình k = f’( x0 ) ta tìm x0 từ tìm y0 Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) y = ax + b Cách giải: Vì tiếp tuyến // d ⇒ k = a , từ phương trình k = f’( x0 ) = a ta tìm x0 từ tìm y0 Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) y = ax + b Cách giải: Vì tiếp tuyến vng góc với d nên k.a = -1 từ suy k, từ phương trình www.MATHVN.com Trang DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn k = f’( x0 ) = a ta tìm x0 từ tìm y0 Ví dụ Cho hàm số y = x −1 , gọi đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) x+2 Tại điểm có hoành độ -1 ; Tại giao điểm đồ thị với trục hoành ; Giải y'= Tại điểm có tung độ ; Tại giao điểm đồ thị với trục tung ( x + 2)2 Theo đề ta có x0 = -1 ⇒ y0 = y (−1) = −2 Mặt khác hệ số góc k = y’(-1) = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + = 3(x + 1) hay y = 3x + x0 − = ⇒ x0 − = 2( x0 + 2) ⇒ x0 = −5 x0 + Mặt khác hệ số góc k = y’(-5) = x 11 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y - = (x + 5) hay y = + 3 x0 − 1 = ⇒ x0 = Mặt khác hệ số góc k = y’(1) = Theo đề ta có y0 = ⇒ x0 + 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – = (x - 1) hay y = x - 3 3 Theo đề ta có x0 = ⇒ y0 = - Mặt khác hệ số góc k = y’(0) = 3 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y + = (x - 0) hay y = x - 4 2x Ví dụ Cho hàm số y = , gọi đồ thị hàm số (C) Viết PTTT với đồ thị (C) x −1 Theo đề ta có y0 = ⇒ Tại điểm có hệ số góc -2 2 Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − x Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x + Giải y'= −2 ( x − 1) Theo đề ta có y '( x0 ) = −2 ⇔  x0 = −2 = −2 ⇔ ( x0 − 1)2 = ⇔ x0 − x0 = ⇔  ( x0 − 1)  x0 = Với x0 = ⇒ y0 = Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – = -2(x – 0) hay y = -2x Với x0 = ⇒ y0 = Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – = -2(x – 2) hay y = -2x + 2 Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − x nên tiếp tuyến có hệ số góc k = y '( x0 ) = − Ta có y '( x0 ) = − ⇔  x0 = −2 = − ⇒ ( x0 − 1) = ⇒ x0 − x0 − = ⇒  ( x0 − 1)  x0 = −1 1 ( x − 3) hay y = − x + 2 1 Với x0 = −1 ⇒ y0 = Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − = − ( x + 1) hay y = − x + 2 Với x0 = ⇒ y0 = Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − = − www.MATHVN.com Trang DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x nên tiếp tuyến có hệ số góc k = y '( x0 ) = − Đến làm tương tự câu 2 Đáp án: Có tiếp tuyến thoả mãn y = − x + 32 y = − x + 9 BÀI TẬP 2x + Viết PTTT với đồ thị hàm số y = điểm có hồnh độ x0 = −3 (TN THPT 2006) x +1 Cho HS y = x − x + có đồ thị (C) Viết PTTT với (C) điểm cực đại (TN THPT 2007) 3x − Cho HS y = có đồ thị (C) Viết PTTT với (C) điểm có tung độ = -2 (TN THPT 2008) x +1 2x +1 có đồ thị (C) Viết PTTT với (C), biết hệ số góc tiếp tuyến -5 (TN Cho HS y = x−2 THPT 2009) có đồ thị (C) Viết PTTT với (C) điểm có hồnh độ 2 2x − có đồ thị (C) Viết PTTT với (C), biết tiếp tuyến song song với đường Cho HS y = 1− x Cho HS y = x − x + thẳng y = -x + BÀI TOÁN 4: Dùng đồ thị (C) y = f(x) biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x) = m Phương pháp - Biến đổi, đưa phương trình dạng: f(x) = m (1) - Đặt: y = f(x) (C) y=m (d) đường thẳng song song với trục Ox - Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C) (d) Dựa vào đồ thị, ta có: Hàm bậc 3: y = ax3 + bx + cx + d Đồ thị Biện luận Hàm bậc 4: y = ax + bx + c Đồ thị Biện luận * m < yCT : (1) vô nghiệm * m = yCT : (1) có nghiệm * yCT < m < yCD : (1) có nghiệm * m = yCD : (1) có nghiệm * m > yCD : (1) có nghiệm m > y CD *  : (1) có nghiệm m < yCT  m = y CD *  : (1) có nghiệm  m = yCT * yCT < m < yCD : (1) có nghiệm Ví dụ: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 − x Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 − 3x + − m = Giải * Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: (học sinh tự làm) * Đồ thị: www.MATHVN.com Ví dụ: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x − x − Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình x4 − 2x2 − m + = Giải * Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: (học sinh tự làm) * Đồ thị: Trang 10 DeThiThuDaiHoc.com Toá Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán Chương IV www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn SỐ PHỨC Định nghĩa Số phức biểu thức có dạng: z = a + bi với a, b ∈ R , i = −1 Tập hợp số phức kí hiệu là: ℂ Số phức liên hợp Số phức liên hợp z = a + bi là: Nghịch đảo số phức Số phức nghịch đảo z = a + bi là: 1 a − bi = = z a + bi a + b Phép cộng nhân hai số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi, gọi z = a – bi số phức liên hợp z Ta có: z + z = 2a z = a - bi Mô đun số phức Mô đun z = a + bi là: | z |= a + b Các phép toán cộng, trừ, nhân số phức Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta có: a = a' z = z' ⇔  b = b' z + z' = (a + a' ) + (b + b')i z z = a + b Căn bậc hai số thực âm phương trình bậc hai hệ số thực - Căn bậc hai số thực a âm là: ±i | a | - Cho PT bậc hai ax + bx + c = (a, b, c ∈ R,a ≠ 0) Có biệt thức ∆ = b − 4ac Khi ta có bảng: ∆ ∆ >0 z - z' = (a - a') + (b - b')i z.z' = (a.a' - b.b') + (ab' + a'b)i Phép chia Cho z = a + bi, z’ = c + di ≠ z a + bi (a + bi )(c − di ) = = z ' c + di c2 + d ∆ =0 ∆ SI = - a AB = 2 A 1 3 1 a a a3 Vậy V = S ∆ABC SI = (đvtt) = 3 24 Khi thể tích V = B.h = S∆ABC SI Mà S∆ABC = a AB AC.sin A = a a C a I B Bài tập tương tự Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy (ABC), đáy ABC tam giác vuông B Biết BC = a, AC = a mặt SAB tam giác vng S SA = a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a www.MATHVN.com Trang 25 DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết BC = a ,BD = a , mặt bên (SAB) vng góc với mặt đáy (ABCD) góc hai mặt phẳng (SCD), (ABCD) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a II THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Dạng Hình lăng trụ có cạnh bên d vng góc với mặt đáy B (nó lăng trụ đứng) d: chiều cao Thì thể tích V = B.d B: Diện tích đáy; Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có AC = a, BC = 2a, ACB = 600 tam giác ABB’ cân Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a Giải C' A' Ta tích V = B.h = S∆ABC BB ' Mà S ∆ABC = 1 a2 (đvdt) AC.BC.sin C = a.2a.sin 600 = 2 Lại có tam giác ABB’ vuông cân B nên AB = BB’ Trong tam giác ABC có AB = AC + BC − AC.BC.cos C ⇔ AB = a + ( 2a ) − 2.a.2a.cos 600 = 3a ⇔ AB = a Vậy V = S ∆ABC BB ' = B' A a 600 ( 2a - a2 3.a (đvtt) a = 2 C B Bài tập tương tự Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, góc đường chéo B’C với mặt bên (ABB’A’) 450 Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a Dạng Biết hình chiếu đỉnh lên mặt đáy Ví dụ Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên đáy (ABC) trùng với trung điểm I AB , đáy ABC tam giác cạnh a, góc cạnh bên AA’ với đáy 300 Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a Giải A' Ta tích V = B.h = S∆ABC A ' I Mà S ∆ABC = 1 a2 AC.BC.sin C = a.a.sin 600 = 2 Góc AA’ với đáy (ABC) góc AA’ với AI (Vì AI hình chiếu vng góc AA’ lên đáy (ABC) Nên A ' AI = 300 Trong tam giác AA’I vng I ta có: A' I A' I a tan A = ⇔ tan 300 = ⇔ A ' I = tan 300 AB = a= AI AB 2 a a a3 Vậy V = S ∆ABC A ' I = (đvtt) = C' B' A )300 a C a I a B Bài tập tương tự Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có hình chiếu vng góc đỉnh A’ lên đáy (ABC) trùng với trung điểm I BC, cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A biết AB = a, AC = a Tính thể tích khối lăng trụ cho theo a www.MATHVN.com Trang 26 DeThiThuDaiHoc.com www.mathvn.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán GV: Bùi Văn Sơn III DIÊN TÍCH XUNG QUANH - THỂ TÍCH HÌNH NĨN Diện tích xung quanh hình nón: S xq = π r.l r bán kính đáy, l độ dài đường sinh Chú ý: Diện tích tồn phần Stp = S xq + S day = π r.l + π r Thể tích khối nón V = π r h r bán kính đáy ; h: chiều cao Ví dụ Cho hình nón đỉnh S, đường trịn đáy tâm O, bán kính r = a góc đỉnh hình nón 600 Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón S Giải Ta có S xq = π r.l = π a.SA Trong tam giác ASO vng O ta có 600 AO r a sin S = ⇔ sin 300 = SA = ⇔ SA = 2a SA SA h B Nên S xq = π r.l = π a.SA = 2a 2π Mà SO = SA2 − OA2 = 3 Vậy thể tích V = π r h = π r SO = ( 2a ) − a2 = a a3 (đvtt) r O M A Bài tập tương tự Cho hình nón đỉnh S, đáy hình tròn C(O, r) Trên đường tròn (O) lấy hai điểm A, B cho AOB = 600 , AB = a, đường sinh SA tạo với đáy góc 30 Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cho theo a IV DIÊN TÍCH XUNG QUANH - THỂ TÍCH HÌNH TRỤ Diện tích xung quanh hình trụ: S xq = 2π r.l r bán kính đáy, l độ dài đường sinh Chú ý: Diện tích tồn phần Stp = S xq + 2.Sday = 2π r.l + 2π r Thể tích khối trụ V = π r h r bán kính đáy ; h: chiều cao Ví dụ Cho hình trụ có bán kính đáy a khoảng cách hai đáy a Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ cho theo a Giải Gọi hình trụ có tâm hai đáy O, O’ (như hình bên) Theo giả thiết ta có OO’= a Khi diện tích xung quanh: S xq = 2π r.l = 2π r AB = 2π r.OO ' ⇔ S xq = 2π a.a = 3π a (đvdt) Thể tích khối trụ : V = π r h = π a OO ' = π a a = π a 2 3 (đvtt) O’ B h O A r M Bài tập tương tự Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ có hai hình trịn đáy hai đường tròn ngoại tiếp hai đáy ABCD, A’B’C’A’ hình lập phương www.MATHVN.com Trang 27 DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn V DIÊN TÍCH XUNG QUANH - THỂ TÍCH MẶT CẦU Diện tích mặt cầu: S = 4π R R bán kính mặt cầu Thể tích khối cầu: V = π R Đường tròn giao tuyến S(O,r) mp(P) có tâm hình chiếu vng góc tâm O lên mp(P) bán kính r ' = R − d ( O, mp ( P) ) Mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) ⇔ d ( O, mp ( P) ) = R Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, SA = 2a, AC = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Chứng minh trung điểm I SC tâm mặt cầu (S) qua đỉnh hình chóp S.ABC Tính bán kính mặt cầu (S) thể tích khối cầu Xác định tâm tính bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu S (S) với mp(ABC) I 2a Giải Ta có tam giác SAC SBC vng A , B nên AI = BI = a C A SC = IS = IC Do I cách đỉnh S, A, B, C -B Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bán kính R= 1 a SC = SA2 + AC = 2 S Đường tròn giao tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do ABC tam giác vuông B nên tâm trung điểm AC bán kính r= a AC = 2 A *O B C Bài tập tương tự Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a a Xác định tâm tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp b Tính diện tích thể tích khối cầu (S) c Tính bán kính đường trịn giao tuyến (S) mp(ABCD) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’cạnh a mặt cầu (S) qua đỉnh hình lập phương a Xác định tâm tính bán kính mặt cầu (S) b Tính diện tích thể tích khối cầu (S) c Tính bán kính đường tròn giao tuyến (S) mp(ABCD) Hết chương I + II www.MATHVN.com Trang 28 DeThiThuDaiHoc.com Toá Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán Chương III www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa Tích vơ hướng Trong khơng gian Oxyz, cho a = (a1; a2 ; a3 ) , b = (b1; b2 ; b3 ) , A( x A ; y A ; z A ) , B( xB ; y B ; zB ) Ta có: a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 a ⊥ b ⇔ a.b = M ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk a = (a1; a2 ; a3 ) ⇔ a = a1 i + a2 j + a3 k 2 | a |= a12 + a2 + a3 | AB |= ( xB − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) Vectơ đơn vị: i =(1 ; ; 0) trục Ox j =(0 ; ; 0) trục Oy k =(0 ; ; 1) trục Oz Các phép tốn Trong khơng gian Oxyz, cho a = (a1; a2 ; a3 ) , cos(a;b)= a.b | a |.| b | Phương trình mặt cầu Phương trình: b = (b1 ; b2 ; b3 ) Ta có: a + b = (a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ) ( x − a ) + ( y − b) + ( z − c )2 = r a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ; a3 − b3 ) k a = k (a1 ; a2 ; a3 ) = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính r Hệ Trong khơng gian Oxyz, cho a = (a1 ; a2 ; a3 ) , Phương trình: b = (b1 ; b2 ; b3 ) , A( x A ; y A ; z A ) , B( xB ; y B ; zB ) Ta có: x + y + z + Ax + By + 2Cz + D = a a = b ⇔ a1 = b1 ; a2 = b2 ; a3 = b3 b a phương b , (b ≠ 0) ⇔ ∃k cho: a = k b ⇔ a1 = kb1; a2 = kb2 ; a2 = kb3 c AB = ( xB − x A ; yB − y A ; zB − z A ) với A2 + B + C − D > laø phương trình mặt cầu tâm I(-A ; -B ; -C), bán kính r = A2 + B + C − D d Toạ độ trung điểm M AB là:  x + xB y A + y B z A + z B  M A ; ;  2   e Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC là:  x + xB + xC y A + yB + yB z A + zB + zC  G A ; ;  3   www.MATHVN.com Trang 29 DeThiThuDaiHoc.com www.mathvn.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán GV: Bùi Văn Sơn LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Ví dụ: Tìm tọa độ tâm bán kính mặt cầu sau: 2 a ( x − 1) + ( y + ) + z2 = ; Dạng 1: - Tìm toạ độ tâm bán kính mặt cầu (S): ( x − a) + ( y − b) + ( z − c) 2 = R2 Phương pháp: Tâm I(a ; b ; c) bán kính R b x + y + z2 − x + y − 6z − = - Tìm toạ độ tâm bán kính mặt cầu (S): Giải 2 x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = a Tâm I(1 ; - ; ), bán kính R = b Tâm I(1 ; - ; ) Phương pháp: Tâm I(a ; b ; c) bán kính Bán kính R = 12 + ( −2 ) + 32 − ( −2 ) = R = a2 + b2 + c2 − d Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b ; Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I(1 ; ; 0) qua điểm M(-2 ; ; 3) c) qua điểm A( x A ; y A ; z A ) Giải Phương pháp Ta có IM = (−3; −1;3) - Tâm I(a ; b ; c) - Bán kính R = IA =| IA | ⇒ R =| IM |= (−3) + (−1) + 32 = 19 Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: = ( x A − a ) + ( y A − b) + ( z A − c ) ( x − 1) + ( y − 2) + z = 19 Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu (S) nhận A( x A ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; z B ) làm đường kính Phương pháp - Toạ độ tâm I toạ độ trung điểm đoạn AB  x + xB y A + y B z A + z B  I A ; ;  2   - Bán kính R = Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) nhận A(1 ; -1 ; 4), B(-1 ; ; 2) làm đường kính Giải Ta có AB = (−2; 4; −2) Tâm I ( 0;1;3) trung điểm đoạn thẳng AB (−2) + 42 + (−2) | AB | 24 Bán kính R = = = 2 AB | AB | = 2 Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: x + ( y − 1) + ( z − 3) = 2 Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b ; Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) tâm I(2;2;-1) c) tiếp xúc với mặt phẳng (P): tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x + y – z -1 = Ax + By + Cz + D = Giải | 2.2 + − (−1) − 1| Phương pháp Bán kính R = d [ I ; ( P) ] = = - Tâm I(a ; b ; c) 22 + 12 + (−1)2 - Bán kính R = d[I ; (P)] = | A.a + B.b + C.c + D | A2 + B + C Dạng khác: - Có tâm qua điểm M thoả hệ thức vectơ - Mặt cầu qua điểm Vậy phương trình mặt cầu (S) cần tìm là: ( x − ) + ( y − ) + ( z + 1) 2 =6 Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(2 ; ; 0), B(0 ; -4 ;0), C(0 ; ; 6) Lập phương trình mặt cầu : a Tâm B độ dài đường kính độ dài AC b Tâm G trọng tâm tam giác ABC mặt cầu qua điểm M thoả mãn MA = MB c Mặt cầu qua điểm O, A, B, C HS tự giải www.MATHVN.com Trang 30 DeThiThuDaiHoc.com www.mathvn.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán Bài GV: Bùi Văn Sơn PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α ) cặp vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) có giá song song nằm mp (α ) Khi VTPT mp (α ) là:  a a3 a a a n (α ) = a ∧ b =  ;− ; b1 b3 b1  b2 b3 PTTQ mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = a2   b2  Vị trí tương đối mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = có n (α ) = ( A1; B1; C1 ) ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = có n ( β ) = ( A2 ; B2 ; C2 ) Khi đó: (α ) cắt ( β ) ⇔ nα ≠ knβ ( A ; B ; C ) = k ( A2 ; B2 ; C2 ) ⇔ 1  D1 ≠ kD2  D1 ≠ kD2   nα = k nβ (α ) // ( β ) ⇔   ( A1; B1; C1 ) = k ( A2 ; B2 ; C2 ) nα = k nβ ⇔  D1 = kD2  D1 = kD2  (α ) ≡ ( β ) ⇔  Trong vectơ n (A ; B ; C) VTPT Phương trình mặt phẳng toạ độ (α ) ⊥ ( β ) ⇔ n(α ) n( β ) = - mp(Oxy) có phương trình: z = ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = - mp(Oxz) có phương trình: y = - mp(Oyz) có phương trình: x = - Mặt phẳng qua điểm M(a ; ; 0), N(0 ; b ; Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho M ( x0 ; y0 ; z0 ) mặt 0), P(0 ; 0; c) có phương trình là: phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = Ta có: x y z + + =1 | Ax0 + By0 + Cz0 + D | a b c d [ M ;(α ) ] = A2 + B + C LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Phương trình mp( α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n = ( A; B; C ) là: A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = Dạng toán Dạng 1: Mặt phẳng qua điểm A, B, C khơng thẳng hàng có toạ độ cho trước Phương pháp - Tìm cặp vectơ khơng phương thuộc mp(ABC), giả sử AB AC - VTPT mp(ABC) n( ABC ) = AB ∧ AC - Từ lập phương trình mp (α ) qua A có VTPT n( ABC ) Dạng 2: Mp( α ) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với mp ( β ) : Ax + By + Cz + D = Phương pháp - Vì (α ) // ( β ) nên (α ) có VTPT n = ( A; B; C ) - Biết toạ độ điểm M VTPT n ta lập www.MATHVN.com Ví dụ Ví dụ: Lập PTTQ mặt phẳng qua điểm A(1 ; -1 ; 0), B(-2 ; ; 1), C(0 ; ; 0) Giải Ta có AB (-3 ; ; 1), AC (-1 ; ; 0) nên vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC) là: n ( ABC ) = AB ∧ AC = (-3 ; -1 ; -8 ) Vập phương trình tổng quát mp(ABC) là: -3(x - 1) - 1(y + 1) - 8(z – 0) = Hay 3x + y + 8z - = Ví dụ: Viết phương trình tổng qt mp(P) qua điểm A(1 ; ; -3) và:  x = + 2t  a Vng góc với đường thẳng (d):  y = −t   z = −2 + 3t Trang 31 DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com phương trình mặt phẳng Dạng 3: Ptrình mp( α ) qua điểm A vng góc với đường thẳng d Phương pháp - VTCP d VTPT mp( α ) - Từ xác định phương trình mp (α ) Dạng 4: Ptrình mp( α ) qua điểm A, B vng góc với mp ( β ) : Ax + By + Cz + D = Phương pháp - Tìm toạ độ vectơ AB , n( β ) - Khi VTPT n(α ) = AB ∧ n( β ) - Từ xác định phương trình mp (α ) Dạng 5: Song song với mp(Q): Ax+By+Cz+D = tiếp xúc với mặt cầu (S): 2 ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R2 Phương pháp - Mp(P) có dạng : Ax + By + Cz + D = - Khi (P) tiếp xúc với (S) ⇔ d ( I , ( P)) = R ⇔ Aa + Bb + Cc + D A2 + B + C = R - Giải tìm d, thay vào phương trình mp(P) để phương trình mặt phẳng cần tìm GV: Bùi Văn Sơn b Song song với mp(Q): x – y – 3z = c Đi qua điểm A, B với A(0 ; ; 1), B(-1 ; ; 2) vng góc với mp (α ) : x – y + z – = Giải a Ta có VTCP u d = (2; −1;3) Vì mp(P) vng góc với đường thẳng (d) nên (P) có VTPT n( P ) = (2; −1;3) Vập phương trình tổng quát mp(P) là: 2(x -1) - 1(y - 2) + 3(z + 3) = Hay 2x – y + 3z + = b Ta có VTPT n(Q) = (1; −1; −3) Vì mp(P) song song mp(Q) nên mp(P) có VTPT n ( P ) = (1; −1; −3) Vập phương trình tổng quát mp(P) là: 1(x -1) - 1(y - 2) - 3(z + 3) = Hay x – y - 3z - = c Ta có AB = (−1; −1;1) , VTPT n (α ) = (1; −1;1) nên VTPT mp(P) n ( P ) = AB ∧ n (α ) = (0; 2;2) Vập phương trình tổng quát mp(P) là: 0(x - 0) + 2(y - 1) + 2(z – 1) = Hay y + z – = Ví dụ : Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với mp(Q): 2x + 2y – z + = tiếp xúc với 2 mặt cầu (S): ( x − 1) + ( y + ) + ( z + 1) = Giải Mặt cầu (S) có tâm I(1 ; - 2; - 1), bán kính R = Do mp(P) song song mp(Q) nên mp(P) có phương trình dạng: 2x + 2y – z + D = Mà mp(P) tiếp xúc với (S) nên d ( I , ( P )) = R ⇔ 2.1 + ( −2 ) − ( −1) + D + + ( −1) 2 =2  D = −5 ⇔ D −1 = ⇔  D = Vậy mp(P): 2x + 2y – z - = Hoặc 2x + 2y – z + = www.MATHVN.com Trang 32 DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Bài Phương trình tham số đường thẳng PTTS đường thẳng (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a =( a1 ; a2 ; a3 ) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = đường thẳng  x = x0 + a1t   y = y0 + a t ; t ∈ ℝ z = z + a t   x = x0 + a1t  d:  y = y0 + a2t z = z + a t  VTCP a vectơ có giá song song trùng với (d) Phương trình tắc đường thẳng Đường thẳng (d) qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a =( a1 ; a2 ; a3 ) có phương trình là: x − x0 y − y0 z − z0 = = a1 a2 a3 Phương trình đoạn thẳng AB Cho A( xA ; y A ; z A ) , B( xB ; yB ; z B ) ta có phương trình đoạn thẳng AB là: x − xA y − yA z − zA = = xB − x A y B − y A z B − z A Xét phương trình: A( x0 + a1t ) + B ( y0 + a2t ) + C ( z0 + a3t ) + D = (1) • Nếu (1) vơ nghiệm ⇒ d // (α ) • Nếu (1) vô số nghiệm ⇒ d ≡ (α ) • Nếu (1) có nghiệm ⇒ d cắt (α ) điểm M( x0 + a1t; y0 + a2t ; z0 + a3t ) Điều kiện để đường thẳng (d) ⊥ (α ) Cho VTCP (d) a , VTPT (α ) n (d ) ⊥ (α ) ⇔  a; n  = = (0; 0; 0)   Góc đường thẳng (d1 ) (d ) Trên (d1 ) lấy VTCP a1 = (a1 ; a2 ; a3 ) Trên (d ) lấy VTCP a2 = (b1; b2 ; b3 ) Điều kiện để đường thẳng song song, cắt nhau, chéo ' ' Gọi a = (a1 ; a2 ; a3 ) a ' = (a1' ; a2 ; a3 ) VTCP d d’, lấy điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ d Khi đó:  a = ka '  a = ka '   ; d ≡d'⇔ d // d ' ⇔  M ∉ d ' M ∈ d '    x + ta = x' + t ' a' cos(d1; d ) = | a1b1 + a2b2 + a3b3 | 2 a + a2 + a3 b12 + b2 + b32 Góc đường thẳng (d) mp (α ) Trên (d ) lấy VTCP a = (a1 ; a2 ; a3 ) Trên (α ) lấy VTPT n = ( A; B; C ) 1   ' ' d cắt d’ ⇔  y0 + ta2 = y0 + t ' a2 có n0  ' '  z0 + ta3 = z0 + t ' a3  '  x0 + ta1 = x0 + t ' a1'  ' ' d chéo d’ ⇔ a ≠ ka '  y0 + ta2 = y0 + t ' a2  ' '  z0 + ta3 = z0 + t ' a3 sin(d ;α ) = | a1 A + a2 B + a3C | 2 a + a2 + a3 A2 + B + C 2 vô nghiệm www.MATHVN.com Trang 33 DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng toán Dạng 1: Đi qua điểm A(x A ; y A ; z A ); B(x B ; y B ; zB ) Phương pháp: VTCP u = AB = (x B − x A ; y B − y A ; z B − zA ) Ví dụ Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A(- ; 0; 2) ; B(1; -1 ; 1) Giải Ta có VTCP ud = AB = ( 2; −1; −1) Vậy phương trình tham số đường thẳng (d) là: d:  x = −1 + 2t   y = − t (t tham số) z = − t  Dạng 2: Đi qua điểm M ( x1 ; y1; z1 ) song song Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(2; -1; 0) song song với đường thẳng  x = x + at  với đường thẳng (d’):  y = y0 + bt  z = z + ct  d’: Phương pháp - Ta có VTCP (d’) ud ' = ( a; b; c ) - Hai đường thẳng song song nên chúng có VTCP Do VTCP (d) ud = ud ' = ( a; b; c ) x = 1+ t   y = −2t (t tham số) z =  Giải Đường thẳng (d’) có VTCP ud ' = (1; −2;0 ) Vì d // d’ nên (d) có VTCP ud = (1; −2; ) Vậy phương trình tham số đường thẳng (d) là:  x = x1 + at  Vậy phương trình đường thẳng (d):  y = y1 + bt  z = z + ct  d: x = + t   y = −1 − 2t (t tham số) z =  Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(1 ; ; -1) vng góc với mp(P): 2x + 3y – = Giải Mp(P) có VTPT nP = ( 2;3;0 ) Vì đường thẳng Dạng 3: Đi qua điểm M ( x1 ; y1; z1 ) vng góc với mp(P): Ax + By + Cz + D = Phương pháp - Ta có VTPT mp(P) n = ( A; B; C ) - Đường thẳng (d) vng góc với mp(P) nên có VTCP u = ( A; B; C )  x = x1 + At  - Vậy phương trình đường thẳng (d):  y = y1 + Bt  z = z + Ct  Dạng 4: Đường thẳng d’ hình chiếu vng góc (d) vng góc mp(P) nên có VTCP ud = ( 2;3;0 ) Vậy phương trình tham số đường thẳng (d) là: d:  x = + 2t   y = + 3t (t tham số)  z = −1  Ví dụ: Viết phương trình hình chiếu d’ đường  x = x0 + at  đường thẳng (d):  y = y0 + bt lên mp(P):  z = z + ct  x =  thẳng (d):  y = − t lên mp(P): x - y -2 = z = + t  Ax + By + Cz + D = Phương pháp - Đường thẳng d’ giao tuyến hai mặt phẳng (P) mặt phẳng (Q) chứa (d) vng góc với Giải Gọi mp(Q) chứa (d) vng góc với (P) Mà đường thẳng (d) qua M(2 ; 1; 3) có VTCP ud = ( 0; −1;1) www.MATHVN.com Trang 34 DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (P) Khi mp(Q) lập Dạng Giả sử có phương trình A’x + B’y + C’z + D’ = - Nên điểm nằm d’ thỏa hệ:  Ax + By + Cz + D = (*)  A' x + B ' y + C ' z + D ' = www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn Mặt phẳng (P) có VTPT nP = (1; −1; ) Do mp(Q) qua M(2 ; 1; 3), nhận n = ud ; nP  = (1;1;1)   làm VTPT có phương trình là: x + y + z - = Nên tọa độ điểm thuộc d’ thỏa mãn hệ: x + y + z − = - Cho x = t, (hoặc y = t, z = t), thay vào hệ  phương trình (*) giải hệ tìm y z theo t x − y − = (hoặc x, z theo t, x, y theo t) Cho x = t, suy y = -2 + t z = – 2t - Từ có x, y, z theo t phương trình hình x = t  chiếu Vậy phương trình hình chiếu (d’) là:  y = −2 + t  z = − 2t  TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG  x = x0 + at  Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d):  y = y0 + bt mp(P): Ax + By + Cz + D =  z = z + ct  Phương pháp: (1)  x = x0 + at  y = y + bt (2)  + Tọa độ giao điểm (x ; y ; z) nghiệm hệ phương trình:  (3)  z = z0 + ct  Ax + By + Cz + D = (4)  + Thay (1), (2), (3) vào phương trình (4) ta tìm t + Thay t vừa tìm vào (1), (2), (3) ta tọa độ giao điểm  x = 2t  Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng (d):  y = − t mp(P): x + y + z – 10 = z = + t  Giải (1)  x = 2t  y = − t (2)  Tọa độ giao điểm (x ; y ; z) nghiệm hệ phương trình:  (3) z = + t  x + y + z − 10 =  (4) Thay (1), (2), (3) vào phương trình (4), ta được: (2t) + (1 – t) + (3 + t) – 10 = ⇒ t = Thay t = vào (1), (2), (3) ta x = ; y = -2 ; z = Vậy tọa độ giao điểm M(6 ; - ; 6) www.MATHVN.com Trang 35 DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA MỘT ĐIỂM LÊN MẶT PHẲNG Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) lên mp(P): Ax + By + Cz + D = Phương pháp - Lập phương trình đường thẳng (d) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với mp(P) Khi phương  x = x0 + At  trình đường thẳng (d) là:  y = y0 + Bt  z = z + Ct  - Tọa độ hình chiếu tọa độ giao điểm đường thẳng (d) với mp(P) Ví dụ: Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M ( 2; −1; ) lên mp(P): x + 2y – z + = Hướng dẫn Đường thẳng (d) qua M ( 2; −1; ) vng góc với mp(P): x + 2y – z + = có phương trình là: x = + t   y = −1 + 2t Tọa độ hình chiếu H(x ; y ; z) nghiệm hệ:  z = −t  x = + t t = −1/  y = −1 + 2t x = /   ⇔   z = −t  y = −5 / x + y − z + =  z = 1/   Vậy toạ độ giao điểm H(5/3 ; -5/3 ; 1/3) TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU VNG GĨC CỦA MỘT ĐIỂM LÊN ĐƯỜNG THẲNG Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M ( xM ; yM ; zM )  x = x0 + at  lên đường thẳng (d):  y = y0 + bt  z = z + ct  Phương pháp - Lập phương trình mp(P) qua điểm M ( xM ; yM ; zM ) vuông góc với đường thẳng (d) Khi phương trình mp(P) là: a( x − xM ) + b( y − yM ) + c( z − z M ) = - Tọa độ hình chiếu tọa độ giao điểm đường thẳng (d) với mp(P)  x = −1 + 3t  Ví dụ: Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M (1; 2; −1) lên đường thẳng (d):  y = −2 − 2t  z = + 2t  Hướng dẫn Mp(P) qua M (1; 2; −1) vuông góc với (d) có phương trình là: 3x – 2y + 2z + =  x = −1 + 3t  y = −2 − t 13 22 14  Tọa độ hình chiếu H(x ; y ; z) nghiệm hệ:  KQ H  − ; − ;     15 15   z = + 2t 3 x − y + z + =  Hết chương III www.MATHVN.com Trang 36 DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn Lời Nhắn Để ơn tập có trọng tâm, em cần ôn tập bám sát theo dạng toán mà cấu trúc đề thi đưa Làm tập SGK tương tự dạng để khắc sâu phương pháp giải dạng toán Dành thời gian để giải số đề thi thử (theo cấu trúc Bộ GD&ĐT) để rèn luyện thêm Khi làm cần tập trung làm nghiêm túc theo thời gian quy định (150 phút) Sau lần giải đề cần tự đánh giá xem phần đạt yêu cầu, phần chưa đạt, yếu để lần sau cố gắng Trong q trình biên soạn khơng thể tránh thiếu sót Rất mong em học sinh thơng cảm, phát góp ý giúp thầy hồn thiện tài liệu để lưu hành cho năm sau Chúc em ôn tập toát ! www.MATHVN.com Trang 37 DeThiThuDaiHoc.com ...Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán www.mathvn.com GV: Bùi Văn Sơn MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC I BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG ĐẶC... + 12 y = − x + x − 13 y = x − x + x − x4 − x2 − 2 y = − x + x y = −2 x + x+2 2x +1 11 y = x−2 x+2 12 y = x +1 x +1 13 y = x−2 10 y = DeThiThuDaiHoc.com Tố Tài liệu ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán. .. SỐ BÀI TOÁN 1: Định giá trị m để hàm số đồng biến, nghịch biến TXĐ Định lí dấu tam thức bậc Cho tam thức bậc 2: f ( x) = ax + bx + c ( a ≠ ) có ∆ = b − 4ac Khi đó: - Nếu ∆ < f(x) dấu với hệ số

Ngày đăng: 25/01/2015, 05:00

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan