Tóm tắt kiến thức toán 12 Hình học

hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn HèNH HC 12 CC KIN THC CN NH V HèNH HC GII TON HèNH HC 12 I T S GểC NHN TRONG TAM GIC VUễNG AB AC (I chia HUYN) cos = (K chia HUYN) BC BC A AB AC tan = (I chia K) cot = (K chia I) AC AB sin = II H THC LNG TRONG TAM GIC VUễNG BC2 = AB2 + AC2 (nh lớ Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2 AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH B H C 1 = + 2 AH AB AC2 III NH L CễSIN a2 = b2 + c2 2bccosA c2 = a2 + b2 2abcosC a b c = = = 2R sin A sin B sin C IV NH L SIN V NH L TALET a) b2 = a2 + c2 2accosB A MN // BC AM AN MN = = ; AB AC BC b) N M AM AN = MB NC B C VI DIN TCH TRONG HèNH PHNG Tam giỏc thng: a) S = ah b) S = p(p a)(p b)(p c) (Cụng thc Hờ-rụng) c) S = pr (r: bk .trũn ni tip tam giỏc) Tam giỏc u cnh a: a a) ng cao: h = ; a2 b) S = c) ng cao cng l ng trung tuyn, ng phõn giỏc, ng trung trc Tam giỏc vuụng: a) S = ab (a, b l cnh gúc vuụng) b) Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc l trung im ca cnh huyn Tam giỏc vuụng cõn (na hỡnh vuụng): a) S = a (2 cnh gúc vuụng bng nhau) b) Cnh huyn bng a Na tam giỏc u: a) L tam giỏc vuụng cú mt gúc bng 30o hoc 60o a2 a b) BC = 2AB c) AC = d) S = B Tam giỏc cõn: a) S = ah (h: ng cao; a: cnh ỏy) A 60 o 30 o C b) ng cao h t nh cng l ng trung tuyn, ng phõn giỏc, ng trung trc Hỡnh ch nht: S = ab (a, b l cỏc kớch thc) Hỡnh thoi: S= d1.d2 (d1, d2 l ng chộo) lvdoqt hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Hỡnh vuụng: a) S = a2 b) ng chộo bng a 10 Hỡnh bỡnh hnh: S = ah (h: ng cao; a: cnh ỏy) 11 ng trũn: a) C = R (R: bỏn kớnh ng trũn) b) S = R2 (R: bỏn kớnh ng trũn) VII CC NG TRONG TAM GIC ng trung tuyn: G: l trng tõm ca tam giỏc a) Giao im ca ng trung tuyn ca tam giỏc gi l trng tõm b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN 3 A N M G B C P ng cao: Giao im ca ca ng cao ca tam giỏc gi l trc tõm ng trung trc: Giao im ca ng trung trc ca tam giỏc l tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ng phõn giỏc: Giao im ca ng phõn giỏc ca tam giỏc l tõm ng trũn ni tip tam giỏc VIII HèNH HC KHễNG GIAN Hỡnh t din u: Cú mt l cỏc tam giỏc u bng Chõn ng cao trựng vi tõm ca ỏy (hay trựng vi trng tõm ca tam giỏc ỏy) Cỏc cnh bờn to vi mt ỏy cỏc gúc bng Hỡnh chúp u: Cú ỏy l a giỏc u Cú cỏc mt bờn l nhng tam giỏc cõn bng Chõn ng cao trựng vi tõm ca a giỏc ỏy Cỏc cnh bờn to vi mt ỏy cỏc gúc bng ng thng d vuụng gúc vi mp( ): d a; d b d ( ) a) t d vuụng gúc vi t ct cựng nm trờn mp( ) Tc l: a b a,b () () b) () () = a d ( ) d a d () A c) t d vuụng gúc vi mp( ) thỡ d vuụng gúc vi mi t nm mp( ) Gúc gia t d v mp( ): d ct ( ) ti O v A d O AH () d' = Nu thỡ gúc gia d v ( ) l hay AOH H H ( ) Gúc gia mp( ) v mp( ): () () = AB Nu FM AB;EM AB EM (),FM () = thỡ gúc gia ( ) v ( ) l hay EMF F E B M A Khong cỏch t im A n mp( ): Nu AH ( ) thỡ d(A, ( )) = AH (vi H ( )) IX KHI A DIN: Th tớch lng tr: V = Bh (B: din tớch ỏy; h: chiu cao) Th tớch chúp: V= Bh (din tớch ỏy l a giỏc) lvdoqt hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn T s th tớch ca chúp: Din tớch xq ca hỡnh nún trũn xoay: Th tớch ca nún trũn xoay: Din tớch xq ca hỡnh tr trũn xoay: Th tớch ca tr trũn xoay: Din tớch ca mt cu: Th tớch ca nún trũn xoay: VS.ABC SA SB SC = VS.ABC SA SB SC Sxq = Rl (R: bk ng trũn; l: ng sinh) V = Bh (din tớch ỏy l ng trũn) Sxq = Rl (R: bk ng trũn; l: ng sinh) V = Bh = R h ( h: chiu cao tr) S = R (R: bk mt cu ) V = R (R: bỏn kớnh mt cu) lvdoqt hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn PHN: HèNH HC TRONG KHễNG GIAN x A +x B +x C x G = y A +y B +yC y G = z A +zB +zC zG = I CễNG THC VECT: Trong khụng gian vi h trc Oxyz cho a = ( a1 ; a ; a3 ) b = ( b1 ; b2 ; b3 ) v k R Ta cú: 1) a b = ( a1 b1 ; a b2 ; a b3 ) 3) a.b = a1 b1 + a b2 + a b3 4) a = a12 + a 22 + a 32 2) ka = ( ka1 ; ka ; ka ) 4) G l trng tõm t din ABCD GA + GB + GC + GD = x A + x B + xC + X D x G = y + y + yC + y D B y G = A z A + z B + zC + z D zG = 5) im M chia on AB theo t s k Ta cú: 5) Tớch cú hng ca hai vect a v b l [a, b] = ab ba a a1 a1 a ; b3 b1 b1 b2 a, b = a b Sin a, b 6) ; [ ] ( ) a1 = b1 7) a = b a = b a = b 8) a cựng phng b a , b = 9) a a , b hay b a , b 10) a , b , c ng phng a , b c = 11) a b a1 b1 + a b + a b3 = x A kx B x M = k y A ky B y M = k z A kz B z M = k [ ] [ ] [ ] [ ] ng dng ca vect: [ AB, AC ] S ABC = VHoọpABCD A B C D = AB, AD AA / VTửựdieọnABCD = / / / / [ [ ] 6) I l trung im ca on AB thỡ: xA + xB x I = y A + yB y I = z A + z2 z I = III MT PHNG: 1) Gi s mp ( ) cú cp VTCP l : ] AB, AC AD a = ( a1 ; a ; a ) b = ( b1 ; b2 ; b3 ) II TO IM: Trog khụng gian Oxyz cho A( x A ; y A ; z A ) Nờn cú VTPT l: B( x B ; y B ; z B ) a a a a1 a1 a ; ; n = a, b = b2 b3 b3 b1 b1 b2 2) Phng trỡnh tng quỏt ca mp ( ) cú [ ] 1) AB = ( x B x A ; y B y A ; zB z A ) 2) x A ) + ( y B y A ) + ( zB z A ) 3) G l trng tõm ABC , ta cú: AB = ( xB 2 , k dng: Ax + By + Cz + D = Vi A + B + C ; ú n = ( A; B; C ) l VTPT ca mp ( ) 3) Phng trỡnh cỏc mt phng to : lvdoqt hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn (Oxy) : z = ; (Ozy) : x = (Oxz) : y = 4) Chựm mt phng:Cho hai mt phng ct nhau: ( ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( ) : A2 x + B2 y + C z + D = P.tr ca chựm mp xỏc nh bi ( ) v ( ) l: ( A1 x + B1 y + C1z + D1 ) + ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = vi + 5) Cỏc vit phng trỡnh mt phng: Vn 1: Vit phng trỡnh mt phng P.Phỏp: Tỡm VTPT n = ( A; B; C ) v im i qua M ( x0 ; y ; z ) ca (Q) l n Q A( x x ) + B ( y y ) + C ( z z ) = Vn 2: Vit phng trỡnh mt phng qua ba im A, B, C P.Phỏp: Tớnh AB, AC [ ] Mp (ABC) cú VTPT l n = AB, AC v qua A Kt lun Vn 3: Vit phng trỡnh mp ( ) i qua im A v vuụng gúc BC P.Phỏp: Mp ( ) BC Nờn cú VTPT l BC qua A Chỳ ý: Trc Ox cha i = ( 1;0;0 ) Trc Oy cha j = ( 0;1;0 ) Trc Oz cha k = ( 0;0;1) Vn 4: Vit phng tỡnh mp ( ) l mt phng trung trc ca AB P.Phỏp: Mp ( ) AB Nờn cú VTPT l AB i qua I l trung im ca AB M ( ) D / Kt lun Vn 6: Vit phng trỡnh mp (P) i qua hai im A, B v vuụng gúc vi mp (Q) P.Phỏp: Mp (P) cú cp VTCP l: AB v VTPT dng: Kt lun Vn 5: Vit phng tỡnh mp ( ) i qua im M ( x ; y ; z ) v song song vi mt phng ( ) : Ax + By + Cz + D = P.phỏp: ( ) // ( ) Nờn phng trỡnh ( ) cú dng: Ax + By + Cz + D / = [ ] Mp (P) cú VTPT l n = AB, n Q v qua A Kt lun Vn 7: Vit phng trỡnh mp ( ) i qua cỏc im l hỡnh chiu ca im M ( x ; y ; z ) trờn cỏc trc to P.Phỏp:* Gi M1, M2, M3 ln lt l hỡnh chiu ca im M trờn Ox, Oy, Oz Thỡ M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0) * Phng trỡnh mp ( ) l: y x z + + =1 x0 y z0 Vn 8: Vit phng trỡnh mp ( ) i qua im M0 v vuụng gúc vi hai mt phng (P) v (Q) P.Phỏp: (P) cú VTPT l n P (Q) cú VTPT l n Q [ nP , nQ ] v qua Mp ( ) cú VTPT l Mo Kt lun Vn 9:Vit phng trỡnh mt phng ( ) i qua giao tuyn ca hai mp ( ) v ( ) * i qua im M0 P.Phỏp: Mp ( ) i qua giao tuyn ca ( ) v ( ) cú dng: ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + à( A2 x + B y + C z + D ) = M ( ) k1 = k à Chn = Kt lun ( ) *Song song vi mt phng : A3x + B3y + C3z +D3 = lvdoqt hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Mp ( ) cú dng: ( A1 + A2 ) x + ( B1 + B ) y + ( C + C ) z + D1 + àD = ( ) Cú VTPT : n = ( A1 + àA2 ; B1 + àB ; C1 + àC ) ( ) Cú VTPT : n3 = ( A3 ; B3 ; C ) A1 + àA2 B1 + àB C + àC = = Vỡ ( ) // ( ) Nờn A3 B3 C3 Gii tỡm , * ( ) vuụng gúc vi ( ) : A3x + B3y + C3z +D3 = Ta cú : n n n n = Chn Kt lun Vn 10: Vit phng trỡnh mt phng tip din ca mt cu (S) ti tip im A P.Phỏp: Xỏc nh tõm I ca mt cu (S) Mt phng ( ) : Mp tip din cú VTPT : IA Vit phng trỡnh tng quỏt I Cn bit VTCP a = ( a1 ; a ; a ) v II NG THNG: im M ( x ; y ; z ) Phng trỡnh ng thng: Vit phng trỡnh tham s theo cụng 1) Phng trỡnh tng quỏt ca ng thng: thc (2) A1 x + B1 y + C z + D1 = Vit phng trỡnh chớnh tc theo cụng A x + B y + C z + D = thc (3) 2 2 Vit phng trỡnh tng quỏt thỡ t vi A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 phng trỡnh chớnh tc , ta cú phng trỡnh 2) Phng trỡnh tham s ca ng thng i tng quỏt: qua im M ( x ; y ; z ) cú VTCP 0 a ( a1 ; a ; a ) l: x = x + a1 t y = y + a t z = z + a t 0 ( t R) 3) Phng trỡnh chớnh tc ca ng thng i qua im M0 cú VTCP: a ( a1 ; a ; a ) l x x y y z z0 = = a1 a2 a3 Vi a12 + a 22 + a 32 Qui c: Nu = thỡ x x0 = Vn 11: Tỡm VTCP ca ng thng tng quỏt A1 x + B1 y + C z + D1 = : A2 x + B y + C z + D = P.Phỏp: B1C1 C1 A1 A1 B1 ; ; B C C A A B 2 2 Vn 12: Vit phng trỡnh ng thng : P.Phỏp: cú VTCP l : a = x x0 y y0 = a a2 x x = z z0 a1 a3 Rỳt gn v dng (1) Chỳ ý: Vit phng trỡnh tng quỏt v phng trỡnh tham s Hoc chớnh tc Ta tỡm: - VTCP u = ( a1 ; a ; a ) bng 11 - Cho mt n bng Hoc bng mt giỏ tr no ú Gii h tỡm x, y => z - Cú im thuc ng thng - Kt lun Vn 13: Vit ptr ng thng i qua im M ( x ; y ; z ) v vuụng gúc vi mt phng ( ) : Ax + By + Cz + D = P.Phỏp: Mp ( ) cú VTPT l n = ( A; B; C ) ng thng i qua im M0 v cú VTCP l n Vit phng trỡnh chớnh tc => Ptr tng quỏt lvdoqt hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Vn 14: Vit phng trỡnh hỡnh chiu ca d trờn mp ( ) P.Phỏp: Gi d/ l hỡnh chiu ca d trờ mp ( ) Gi ( ) l mt phng cha d v ( ) ( ) Nờn ( ) cú cp VTCP l VTCP ca d l u d v n l VTPT ca mt phng ( ) Mp ( ) cú VTPT n = [ u d , n ] Mp ( ) i qua im M0 d Vit phng trỡnh tng quỏt ca Mp ( ) ( ) : ( ) : Vn 15: Vit phng trỡnh ng thng d qua im M ( x ; y ; z ) v vuụng gúc vi hai ng v P.Phỏp: cú VTCP u1 cú VTCP u d vuụng gúc vi v Nờn d cú VTCP l u d = [ u1 , u ] Vn 16: Vit phng trỡnh ng thng d i qua im A v ct c hai ng v P.Phỏp: Thay to A vo phng trỡnh v A , A Gi (P) l mt phng i qua im A v cha Gi (Q) l mt phng i qua im A v cha ( P ) : P.tr ng thng d: ( Q ) : Vn 17: Vit phng trỡnh ng thng d ( P ) ct c hai ng v P.Phỏp: Gi A = ( P ) Gi B = ( P ) ng thng chớnh l ng thng AB Vn 18: Vit phng trỡnh ng thng d // d1 v ct c hai ng v Phng trỡnh ng thng d/: P.Phỏp Gi (P) l mt phng cha v (P) // d1 Gi (Q) l mt phng cha v (Q) // d1 d = ( P) (Q) ( P ) : Phng trỡnh ng thng d ( Q ) : Vn 19: Vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca hai ng thng chộo v P.Phỏp: Gi u1 v u ln lt l VTCP ca v Gi v = [ u1 , u ] Gi (P) l mt phng cha v cú mt VTCP l v Nờn cú VTPT l n P = [ u1 , v ] phng trỡnh mt phng (P) Gi (Q) l mt phng cha v cú mt VTCP l v Nờn cú VTPT l n Q = [ u , v ] phng trỡnh mt phng (Q) Phng trỡnh ng vuụng gúc ( P ) : chung ca v : ( Q ) : Vn 30: Vit phng trỡnh ng thng d vuụng gúc (P) v ct hai ng thng v P.Phỏp: Gi ( ) l mt phng cha v cú mt VTCP l n P ( VTPT ca (P) ) Gi ( ) l mt phng cha v cú mt VTCP l n P ( VTPT ca (P) ) ng thng d = ( ) ( ) Vn 31: Vit phng trỡnh ng thng d i qua im M0 vuụng gúc vi ng thng v ct ng thng P.Phỏp: Gi ( ) l mt phng i qua M0 v vuụng gúc Gi ( ) l mt phng i qua im M0 v cha ng thng d = ( ) ( ) lvdoqt hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Vn 32: Vit phng trỡnh ng thng d i qua giao im ca ng thng v mt phng ( ) v d ( ) , d P.Phỏp: Gi { A} = ( ) Gi ( ) l mt phng i qua A v vuụng gúc vi Nờn ( ) cú VTPT l VTCP ca ng thng d = ( ) ( ) IV MT CU: Phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I (a;b;c) bỏn kớnh R l: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Mt cu (S) cú phngtrỡnh : x2 + y2 + z2 2ax - 2by -2cz + d = vi k a2 + b2 + c2 d>0 thỡ (S) cú : Tõm I(a ; b ; c) Bỏn kớnh R = a + b + c d Vn 20: Vit phng trỡnh mt cu P.Phỏp: Cn: Xỏc nh tõm I(a ; b ; c) ca mt cu Bỏn kớnh R Vit phng trỡnh mt cu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Vn 21: Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh AB P.Phỏp: Gi I l trung im ca AB Tớnh to I => I l tõm mt cu Bỏn kớnh R = AB Vit phng trỡnh mt cu Vn 22: Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I(a ; b ; c) v tip xỳc vi ( ) : Ax + By + Cz + D = P.Phỏp: Mt cu (S) cú tõm I v tip xỳc vi ( ) Nờn cú bỏn kớnh R = d ( I , ( ) ) Ax I + By I + Cz I + D = A2 + B2 + C Vit phng trỡnh mt cu Vn 23: Vit phng trỡnh mt cu (S) ngoi tip t din ABCD P.Phỏp: Phng trỡnh mt cu (S) cú dng x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = A, B, C, D thuc (S) Ta cú h phng trỡnh Gii h phng trỡnh tỡm a, b, c, d Kt lun Vn 24: Lp phng trỡnh mt cu i qua ba im A, B, C cú tõm nm trờn mt phng Oxy P.Phỏp: Gi I(xI ; yI ; 0) l tõm ca mt cu, I ( Oxy ) Ta cú AI2 = BI2 = CI2 AI = BI Ta cú Hpt 2 AI = CI IA = R Gii Hpt I Kt lun Vn 25: Tỡm tõm, bỏn kớnh ca mt cu (S): x2 + y2 + z2 + mx + ny + pz + q = P.Phỏp 1: Phng trỡnh mt cu (S) cú dng: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = a = m a = b = n b = Suy ra: 2c = p c = d = q d = Vy (S) cú tõm l I(a ; b ; c) , Bỏn kớnh R = a + b + c d P.Phỏp 2: a v dng (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 V KHONG CCH: 1) Khong cỏch gia hai im AB AB = ( x B x A ) + ( y B y A ) + ( z B z A ) 2) Khong cỏch t im M0(x0 ; y0 ; z0) n mt phng ( ) : Ax + By + Cz + D = Ax + By + Cz + D d ( M , ( ) ) = A2 + B2 + C 3) Khong cỏch t im M1 n ng thng d 2 lvdoqt hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn Ly M0 d Tỡm VTCP ca ng thng d l u M M1 , u d ( M1 , d ) = u 4) Khong cỏch gia hai ng thng chộo v / Gi u v u / ln lt l VTCP ca v / / / i qua im M0 , M u , u / M M 0/ d ( , / ) = u, u / [ ] [ ] [ ] VI.GểC: Gúc gia hai vect a v b Gi l gúc gia hai vect a v b a1 b1 + a b2 + a b3 a.b Cos = = a.b a12 + a 22 + a 32 b12 + b22 + b32 Gúc gia hai ng thng (a) v (b) Gi l gúc gia hai ng thng (a) v (b) ( 90 ) ng thng (a) v (b) cú VTCP ln lt l : a = ( a1 , a , a ) b = ( b1 , b2 , b3 ) a.b a1 b1 + a b2 + a b3 Cos = = a.b a12 + a 22 + a 32 b12 + b22 + b32 c bit: ab a.b = (d): cú VTCP l u = (a, b, c) ( ) : Ax + By + Cz + D = Gi l gúc nhn gia (d) v ( ) Aa + Bb + Cc Sin = A2 + B2 + C a2 + b2 + c2 Vn 26: V trớ tng i V trớ tng i ca hai ng v / cú VTCP : a = ( a1 , a , a ) ; M / / / cú VTCP : a / = ( a1/ ; a 2/ ; a 3/ ) ; M a) v / ng phng a.a / M M 0/ = a.a / M M / = 0 / b) ct a1 : a : a a1/ : a 2/ : a 3/ / / / / c) a1 : a : a = a1 : a : a [ ] = ( x 0/ x ) : ( y 0/ y ) : ( z 0/ z ) d) chộo / a.a / M M 0/ V trớ tng i gia ng thng v mt phng ( ) [ ] Gi s: cú VTCP : a = ( a1 , a , a ) v i qua M0(x0 ; y0 ; z0) ( ) : Ax + By + Cz + D = P.Phỏp: Vit phng trỡnh tham s ca To d0 giao im ca ng thng v mp ( ) l nghim ca h phng trỡnh Gúc gia hai mt phng ( ) v ( / ) ( ) : Ax + By + Cz + D = ( / ) : A/x + B/y + C/z + D/ = Gi l gúc gia hai mt phng ( ) v ( / ) Cos = AA / + BB / + CC / A2 + B2 + C A/ + B/ + C / Gúc gia ng thng (d) v mt phng ( ) [ ] x = x + a1 t _ (1) y = y + a t _( 2) z = z + a t _ ( 3) Ax + By + Cz + D = _ ( ) Th (1), (2), (3) vo (4) ta c phng trỡnh () theo t Nu () vụ nghim // ( ) Nu () cú nghim tu ý thỡ ( ) Nu () cú mt nghim thỡ ct ( ) ti mt im th vo (1), (2), (3) tỡm to giao im V trớ tng i ca hai mt phng ( ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = lvdoqt hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn ( ) : A2 x + B y + C z + D P.Phỏp: =0 A1 B1 C D1 = = = A2 B C D A1 B1 ( ) ct ( ) hay A2 B B1 C A1 C hay B2 C A2 C ( ) // ( ) A1 B1 C D1 = = A2 B C D V trớ tng i gia mp ( ) v mt cu (S) cú tõm I, bỏn kớnh R P.Phỏp: Tớnh d(I, ( ) ) Nu d(I, ( ) ) > R => ( ) khụng ct (S) Nu d(I, ( ) ) = R => ( ) tip xỳc (S) Nu d(I, ( ) ) < R => ( ) ct (S) theo mt ng trũn giao tuyn cú bỏn kớnh r = R [ d( I , ( ) ) ] Gi d/ l ng thng i qua tõm I v d / ( ) Gi { H } = d / ( ) H l tõm ng trũn giao tuyn Ta giao im ca ng thng v mt cu (S) P.Phỏp: * Vit phng trỡnh ng v dng phng trỡnh tham s * Thay vo phng trỡnh mt cu (S) ta c phng trỡnh () theo t Nu ptr () vụ nghim => khụng ct mt cu (S) Nu ptr () cú nghim kộp => ct (S) ti mt im Nu ptr () cú hai nghim => ct (S) ti hai im Th t = vo phng trỡnh tham s ca => Ta giao im Vn 27: Tỡm giao im H ca v mp ( ) x = x + a1 t : y = y + a t z = z + a t v ( ) : Ax + By + Cz + D = P.Phỏp: Gi { H } = ( ) ( ) ( ) Ta im H l nghim ca h phng trỡnh x = x + a1 t _ (1) y = y + a t _( 2) z = z + a t _ ( 3) Ax + By + Cz + D = _ ( ) Th (1), (2), (3) vo (4) ta c phng trỡnh => t Th t = vo (1), (2), (3) ta c ta im H Vn 28: Ta im M/ i xng ca M qua mt phng ( ) P.Phỏp: Gi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) l im i xng ca M qua ( ) Gi d l ng thng i qua M v d( ) Nờn d cú VTCP l n Vit phng trỡnh tham s ca d Gi { H } = d ( ) Ta im H l nghim ca h phng trỡnh ( d ) : => Ta im H ( ) : Vỡ H l trung im ca MM/ => Ta im M/ Vn 29: Tỡm ta im M/ i xng ca M0 qua ng thng d P.Phỏp: Gi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) Gi (P) l mt phng i qua im M0 v ( P ) d Nờn (P) nhn VTCP ca d lm VTPT Gi { H } = d ( P ) M/ l im i xng ca M0 qua ng thng d Nờn H l trung im ca on M0M/ lvdoqt 10 hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn x0 + x / x H = y0 + y / Ta cú: y H = z0 + z / z H = => M/ lvdoqt 11 [...]...hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán  x0 + x / x H = 2  y0 + y /  Ta có:  y H = 2   z0 + z / z H = 2  => M/ lvdoqt 11