Tóm tắt kiến thức toán học ôn thi đại học pot

Trang 1

C §1 SỐ PHUC > | A TOM TAT GIAO KHOA | I SO PHUC Định nghĩa I * Số phức z là một biểu thức có đạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và ¡ là số thoả mãn iŸ =-1 *¡ được gọi là đơn vị ảo, a là phần thực và b là phần ảo của số phức z * Tập hợp các số phức được kí hiệu là C Đặc biệt

* Số phức z = a + Ơi có phân ảo băng O0 được coi là sô thực và viết là

* Số phức Z2— 0 + bi có phần thực bằng 0 được gọi là SỐ ao (hay số thuần ao ) và viết là z=0+bi=bi *i=O0+1i=1li * Số 0= 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo Định nghĩa 2 Cho hai.sé phirc z = a + bi va z’ = a’ + b’i (a, b, a’, b’e R) Z=Z <> a=a’ vab=b’ | AY

Il BIEU DIEN HINH HOC SO PHUC TRONG |

MAT PHANG TOA DO OXY bẢ -~~~~~~- +

Mỗi số phức z = a + bi được biéu diễn bởi điểm 3

M (a; b) trong mat phang toa độ

Méi diém M(a ; b) biéu dién mét sé phirc

Trang 2

1) Phép cộng Định nghĩa 3 Với z = a + bị, z = a' + b1 ta định nghĩa : z+z°=a+a'+(b+b)}) 2) Tính chất e Tính chất kết hợp (z+z`)+†+z”=z+(z'+z”), Vz,z`,z”e(€C e Tỉnh chất giao hoán z+2=27 +2, Vz,z'e(€ e Cộng với 0 z+ 0=0+z, Vze(€C, 'Với mọi số phức z = a + bi, ta gọi số đối của z là -z, kí hiệu —z = -a — bi, thì ta có z + (—z) = (_—z) + z = 0 3) Phép trừ Định nghĩa 4

Với hai số phức z, z°, ta định nghĩa z-— z' = z + (—z')

Néu z=a+ bi vaz’ =a’ + b’i (a, b, a’, b’ e R) thì

Z-zZ =a-—a’+(b-b’)i

4) Biéu dién hinh hoc cia phép cộng và phép trừ

* Trong mặt phẳng phức, ta cũng coi vectơ ử= (a ; b) biểu điễn số phức

Z=art bi |

Như vậy số phức z được biểu điễn bởi điểm M cũng có nghĩa là được biểu

diễn bởi vectơ OM

* Nếu vectơ u, u' lân lượt biểu diễn các số phức z, z' thì :

u+ u' biêu diễn sô phức z + Z”;

"` ga tr eK OK ,

u —u' biêu diễn sô phức z - 2`

Trang 3

xỳ IV PHÉP NHÂN SÓ PHỨC 1) Tích của hai số phức Định nghĩa 5

Voi z=atbivaz’ =a’ + b’i (a, b, a’, b’e R), ta dinh nghia Zz’ = aa’ — bb’ + (ab’ + ba’)i 2) Chu y *Voike R vaz=at+tbi(a,b e R)thikz=ka+kbi *0z=0,VzeC | 3) Tính chất của phép nhân e Tính giao hoán : zz`=z”z, VzZ,zZ`c €C e Tính kết hợp: (zz)z”=z(2zz”), V z,z,Zz?)c C

e Nhân với Ì : lz=zl=z,VzeC

Trang 4

z = a+bi =a-bi Nhận xét: *z.z = (a+bi)\(a-bi) = z.z = a?+b? *z và z được biêu diễn bởi hai điểm đôi xứng nhau qua trục Ox 2) Môđun của số phức, Định nghĩa 7 Môđun của số phức z = a + bi (a,b e IR) là số thực không âm Va? +b? , kí hiệu là |z| Nhận xét :

e Nếuz=a+ bi (a,b e R) thì |z|= Vzz = Va? +b?

Trang 5

| B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: | le Vin | | _€ THỤC HIỆN CÁC PHÉP TOÁN TRÊN E_ I PHƯƠNG PHÁP Voi z=at bi vaz’ =a’ + b’i (a, b, a’, b’ e IR), vận dụng các định nghĩa, taco: z+z°=a+a'+(b+bi z—Zz`=a-a`+(b-b Zz’ = aa’ — bb’ + (ab’ + ba’)i

z' _ z'7z_(a+bl1)\(a-bi) a a+b b+(b'a-a b)i

z | ate a? +b?

Il VI DU

Ví dụ 1 Viết các số phức sau đây đưới đạng a + bỉ (a,b elR):

a) z= (2+i) —(1+2i) —@G-i(2-i ;

l+i 3-i 1+2i = + — ° l-i 2-i 1+i (2+i) (1+i) 2(1-i)-3(1+i) b) z C) Z= Giải a) z=(2+i} -(1+2i) -@-Ð@-Ð)

=2? +3.22i+ 3.2 +i—[1+ 3.2i+ 3.2) + (2Đ] —(6—3i— 2i +1?) =8+12i—6—i—(1 +6i— 12— 8i) - (6 — 5i—1)= 8 + 18i

l+i 3-i 112i _ (+iŸ „@-Ð@+j)_ đ+200-j)

1-i 2-i lI+i (l-0I+) (2-j2+) (+0d-j)

Trang 6

*\N/t 9N iy’ (14 _ (4+ i? + 4i)(1+i) c) z _ (2 +1) (1+1) 2(—i)—3(1+i) si _ (3+4)đ+i) _ 34+4i°+7i_(-7id-Si) i+5i 1+5i (1+5i)(1—5Si) _ 14+35i*-12i _-34-12i_ 17 6, 1+25 26 13 13- Vị dụ 2 Thực hiện các phép tính sau đây và viết kết quả đưới dạng a + bi (a,be R) 2+i)° 1+i)° ) Ley (1-21) by et) (2 —21) Gidi (2+iP (2+iÝY ((2+i)(14+2i)) a) ¬ =| jer +i) = | | (44:7 +41) (1-21) 1-21 (1 —21)(1+ 21) 5 3 -[.#L _| (3+4i)= @ + 4Ù =-i@ + 4) =4— 31 \i+4) :\6 s\6 -\5 b) +i)" _ d+Ð - shã) đ+Ð (2-21) 2 (1-i)? 32 \1-i 5 ~\5

= 1 (e004) gyi = 124) asi 3Z \U-1U +1) ) IL \ 4)

=! js *“11+i)= -Lid+i)= ——+—i

32 32 32-

Ill BAI TAP

Trang 7

(3+i)* -3-i)* © (1—2i)" „ (2++(@-0' Ì 9) (2+0 ° ` °) (2-31) B-2i" a | 2-30 6-4Ð |

(3 +2i) (3+2i)’ (4+5i)

3 Cho z¡ =l — 31, z¿ =2 +1, Z4: =3 —4I Tinh: a)Z\ +2Z2T— Z, ; b) z,Z, +Z,%, ; C) Z,2,Z, +Z5Z; 4.Timme R dé: a) Số phức z= 1 + (1+ mi) + (1 + mi)” là số thuần ảo Loe m—i+2(m-])i b) Sô phức z = ` 2 là sô thực loa ¿£ l—mm 2z —]

5 Cho số phức z thoả mãn là số thực Chứng minh rằng z là số thực

Trang 8

Giải

a)(2+1)z =z+2i—1 ©z(2+i— 1) =-1 +2i ©z(1 +0) =—1 + 2i -l+?2i _ C1+20-)_ -1-2Í+i+2i _ lz3i li —— đ+0d-j) 1-1 1+1 > Z= 1 3 © z=_~+_—I 2 2 2+i b) (1 -iy(z-—21))=2+1<¢ Z—-21=— —] 2 ©œz-2i= CC TĐ cu ai (1-i)(i+i) T1 1-i 143i 1 7 © Z= — +212 z= —+-—1 2 2 2 Ví dụ 2 Tìm các số thực x, y trong các trường hợp sau : x+1l y-! ] V -=-—; b) ——+——- = 243i; 1-1 1+i x-i 3-31 c) (x +i)(1 + yi) = (G+ 2i)x + 1-41 Giải a\ x+l vy-] ey fy £11 49) = fy_ 171 — 3) a) 1-i Il+i SPURT I THF tu -

Trang 11

10 Giải các phương trình sau trong : a) z? =27; | b) z—lz +1=0; —2 ; c)Z2+IzI=0; | _—— đ ——*=i, z+l 11 Giải các hệ phương trình sau với hai ân x và w : 2z+w=4 : Z+W=WHi Z+w=l-w ay _ ; b) C 21Z+w=0 Z—-W=Zti 2;+W=2+i+w Sie Vin dS <_BIEU DIEN HINH HOC CAC SO PHUC_> I PHUONG PHAP 1) Trong mặt phăng phức, số phức z = x + yỉ (x, y ©€ ]R) được biểu diễn bằng : ~ diém M(x ; y) , ki higu M(z) ~ vecto OM = (x 3; y) — vecto U = (x; y)

2) Biểu diễn hình học của z, —z, Z

M(z) và M(~z) đối xứng với nhau qua gốc toa dé

M(z) và M(Z) đối xứng với nhau qua trục Ox

3) Biéu dién hinh hoc cua z+ 2’, z—z’, kz(k © R)

Gọi M, ử lần lượt biểu dién sé phitc z ; M’, V biéu dién s6 phirc z’ Ta co:

OM+OM' và ủ + ¥ biéu dién sé phitc z+ 2’;

OM —OM' = M'M va ii — ¥ biéu dian sé phức z — 2’; kOM và ku biểu diễn số phức kz |

Trang 12

II VÍ DỤ

Ví dụ I Trong mặt phăng phức, cho ba điểm A, B, C không thắng hàng biểu diễn các số phức a, b, c Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ABC và D là điểm đối xứng của A qua G Các điểm M, G,

D lần lượt biểu diễn các số phức m, ø, d

a) Tính các số phức m, g, d theo a, b, c

b) Nếu thêm giả thiết la| = [b| = |c|, chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều nếu và chỉ nếu a + b + c= 0 Giải a) M là trung điểm của AB <> OM = = (OA + OB) o m= = (a+b), G là trọng tâm tam giác ABC —— 1 › + > <> OG = =(OA + OB+ OC) og= s(a+b+©) D là điểm đối xứng của A qua G © G là trung điểm của AD © 20G = OA + OD 1 © 2g=a+d {6Š d=2g-a © d=2 s(arb+e)~a =e perc ta 3 3 3

b) Giả thiết la| = |b] = |c| < OA = OB =OC <> O là tâm đường tròn ngoại

tiêp tam giác ABC

Trang 13

a) Tính số phức d (biểu diễn điểm D) ;

b) Định m sao cho ABCD là hình chữ nhật Giải a) ABCD là hình bình hành & CD=BA © d-c=a-b | / 7 âd=a+c-b _âd=2~2i+5 +mi (C1 +j) ôâd=8+(m-3)i B C b) ABCD là hình chữ nhật © AC =BD ©|c—-a|=|d—b| © |5 + mi - 2 + 2i| = |8 + (m—3)i + 1—i| ©>|3 +(m+ 2) |=|9+(m-~ 4) © |3 + (m +2)i Í=|9+(m_—4)iŸ 3 +(m + 2) = 92+ (m-— ay <> 9+mˆ+4m +4=§1 +mˆ— 8m + l6 © 12m= 84 > Oo <> m=7 Ii ALT A Pp far et 2 12 Trong mặt phăng phức, cho ba điểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức z, Ƒ va —=Z 1 v3 chứng sắn rằng :

a) Vz€ €, tam giác OMA vuông tại M ; b) Vz€ C€, tam giác MAB là tam giác vuông ; c) Vz € €, tứ giác OMAB là hình chữ nhật

Z 1818

13 Gọi A, B, C là ba điểm lần lượt biểu diễn các số phức

=-l—li, b=i, c=l+ki &€ R)

a) Định k để ba điểm A, B, C thăng hàng ; |

b) Xét ham sé w = f(z) = z* Dat a’ = f(a), b’ = f(b), c’ = fc) Tinh a’, b°, c° ;

c) Gọi A’, B’, C’ lan lugt 1a cdc diém biểu diễn các số phức a’, b’, c’ Định k

Trang 14

đ) Nếu ử, Ÿlần lượt biểu diễn các số phức z, z° Chứng minh rằng ủ 1 Ÿ © — là số ảo z Ap dung : tinh k để tam giác A°B°C' vuông tại A" biểu di = lf Am + e < m - n cá bn

14 Cho ba điểm A, B, C lần lượt biểu

a) Xác định các số phức được biểu diễn bởi các vecơ AB, AC, BC ; b) Xác định œ sao cho A, B, C là ba đỉnh của một tam giác ;

c) Với điều kiện ở câu b), chứng minh rằng ABC là tam giác vuông ;

d) Tìm số phức d biểu điễn bởi điểm D sao cho ABDC là hình chữ nhật

Cho ba điểm A, B, C biểu điễn các số phức a = 1 +i,b=aˆvàc=x_—i_

(xe R) Tim x sao cho :

a) Tam giac ABC vuông tại B ; b) Tam giác ABC cân tại C jm, au le Von HY C— TÌM TẬP HỢP ĐIỂM > I PHƯƠNG PHÁP

1) Giả sử các điểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức z, a, b

*lz—-al = |z— bị © MA = MB <> M thuộc đường trung trực của đoạn AB

# |z— a| + |Jz—b|=k(k € R,k>0,k>|a—b[|) MA + MB =k

<>M thuộc elip (E) nhận A, B làm hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k 2) Giả sử M và M' lần lượt biểu diễn các số phức z và w = Ấ(z)

Đặt z = x + y vàw=u+vi (x,y,uv & R)

Hệ thức w = f (z} tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x, Y, uU, V

* Nếu biết một hệ thức giữa x, y, ta tìm được một hệ thức giữa u, v và suy ra

được tập hợp các điệm MÔ,

Trang 15

* Nếu biết một hệ thức giữa u, v, ta tìm được một hệ thức giữa x, y và suy ra được tập hợp các điểm M I Vi DU Vi du 1 Tim tap hop cac diém M biéu dién sé phức z trong các trường hợp sau : | a) lz +i|=le—il; ee Z—-1+i X1 ˆ^ˆ^_ '°I [- , ant +31 ft `, 4F A c) |z— 2 +I|= v5 ; đ) |z— 1|+|z + 1|=4; 2z+1 | +1 e) ““—ˆ z—1 là số ảo, z#1; _ fy 27" 1a sé thực, Z— 21 z # 2i; 8) Zz + Zz +1=0 VOi Zp = 1 —1 1) lần lượt biểu điễn các số phức a và b, suy ra LÝYAA.Z Ta có |z+i| =|z—1| < MA =MB <> M thuộc đường trung trực của AB, đó chính là trục Ôx Vậy tập hợp các điểm M là trục Ox AY bị |Z#1- 3i| _, ‘|z- i+i| <= |z+1-3i/=|z-1+]| (1)

_ Dat a=—-1 + 3i_ biéu dién bởi điểm A(-1 ; 3)

va b= 1 -i duoc biéu dién boi diém B(1 ; —1) YY ON

xV

srr

Ta có (1) © |z—a|=lz-b| cà MA=MB ⁄ Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực B(1 ; -1)

của đoạn AB

c) Đặt a = 2T—¡ biểu điển bởi điểm A2 ; —1) Ta có |Jz—2+i|= V5 xa

Trang 16

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A(2 ; ~1), bán kính R = V5 AY yoo~ \ - đ) Đặt a = 1 và b =-l, lần lượt được biểu điễn bởi các điểm A(I ; 0) và B(-I ; 0) Ta có |z— 1| + |z+ 1|=4 < |z-a|+|z-b|=4 c MA +MB =4 Vậy tập hợp các điểm M là elip (E) nhận A, B là hai tiêu điểm, có độ dài trục lớn là 4 e) Datz=x+yi (x,y © ]Ñ) Với z # Ï, ta có : O xy on 2Z+1 _ 2x+2yi+l _ (2x+l+2yi(x—l—yl)

z—-1 x+yi-1 (x -—1+ yi)(x -1-yi)

_ (2x+])(x—I)+2y” +i[2y(—1)— y(2x + D] (x— ĐỂ +y” 2z+] ¬ ka x 7 tAL uta là sô ảo <> phan thuc cha triét tiéu z—1 z—1 (2x + 1-1) + 29° =0 eo 2x?-x-1 429° =0 eo xT y?-=0 x 1 1 1 © (xÌ-—+—)+y ` =—+— Œ& 211g †Y =2*16 ⁄ +2 1 ơ 9 â|xX-| +y = 2) 16

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn (C), tâm lo ; 0), bán kính R = = bỏ

đi điểm A(I ; 0) | Oo

Trang 17

f) Đặt z = x + vi (x, y C R) Với z # 21, ta có : z+l _ x+l+yi _ (x +1+4 yi)(x —(y —2)i)

Z—-2i =xt+(y—-2)i (x+(y—2)I)(K-(y—-2)i) _ x&+1)+y(y~2)+i[xyT~(+ ĐÓ -2)] x°+(y—2Ÿ z+1 ` A A 2 ` cA : 2i là sô thực <© phân ảo triệt tiêu <> xy — (x + 1)(y - 2) = 0 Z—2i | ©Sxy-(xy-2x+y—2)=0 <>2x_-y†+2=0 © y=2x+†2 A A ae ee AK

Vậy tập hợp các điểm M là đường thả điểm A(0 ; 2) vì z # 2i

Ø8) Với zo = ÌT—1, đặt z = x + vị (x, y C RÑ), ta có :

Z.Z=(1-i)(x t+ y) =x+y+(yT-X)i;

ZZ =xty—(y—x)i

Như vậy zgz + z¿z +1=0 ©>2(x+y)+1=0 © 2x+2y+1=0

Tập hợp các điểm M là đường thắng có phương trình 2x + 2y + 1 = 0 P * ` 9 ` , * a na ° A ° , A , ` 1 Ví dụ 2 Gọi M và M' là các điểm lân lượt biểu diễn các sô phức z và z° = — Z (z #0) Datz=x+yivaz’=x’+y'i (x, y,x’,y © R) a) Tinh x’, y’ theo x, y va tinh x, y theo x’, y’ ;

Trang 18

si X®iyi x+y âxTVy1=-; X +y 1 Ơ y= 2 X°+y 2 Tương tự, ta có : , 1 _ | l z' Zz’ Z =—=<€© Z—=— < 25> 82> 5 Zz z Z' zz Iz'l x+y'i _¬ = x + t2 t2 x+y y' x? +y” b) Đường tròn (C) tâm A(-I ; 1), bán kính R = 42 có phương trình : (C):(x+1Ẻ+(y-1)=2 © x’? +y'+2x-2y=0 Điểm M € (C) © toạ độ M (x ; y) thoả mãn phương trình : x*+y +2x—2y=0 2 2 ep MY + 2X = 2 _09(yix2+y#0dozz0) x+y’ © l+ xˆ.+y/ ˆ x“.+y 2 =0 © 2x'-2y'+1=0 (vì —c=X' và ———— =y' theo kết quả của câu a)) X +y X +y

Suy ra toạ độ của điểm M'(x' ; y') thoa man phuong trinh 2x’ — 2y’ + 1 =0

Vậy tập hợp các điểm M? là đường thắng có phương trình 2x — 2y + 1 =0

c) Điểm M di động trên đường thẳng d : y = x + 1 nên toạ độ của M(x ; y)

thoả mãn y = x + Ï |

x! ` A £ `

c© — z =~zz†Il (vì theo câu a ta có y=— va

x+y x+y x+y

x= x”+y” x |

=> y=x'tx2+y? x? ty? +x? -y’ =0,

Suy ra toạ độ của M°(x'; y') thoả mãn phương trình : x'Ý + y'” + x° — y' =0 |

Trang 19

Vậy tập hợp các điểm M? là đường tròn (C°) có phương trình : x+y t+x-y =0 HI BÀI TẬP 16 Goi M và P lần lượt là các điểm biểu điễn các số phức z = x + yi (x, y © R) 17 - Ẻ OO 19

và w = z7 Tìm tập hợp các điểm P trong các trường hợp sau đây : a) M thudc dudng thang d: y=2x;

b) M thuộc đường thăng d : y= x + 1; c) Chứng minh rằng V z,z* © €, ta có |z z'| = |z|.|z'| Từ đó suy ra | Z” |= | z ƒ Tim tập các điểm P khi M thuộc đường tròn (C) : x + y =1; d) M thuộc hypebol (C) : y= + (x#0) | X Tìm tập hợp các điểm M(z) biết z thoả mãn hệ thức sau : a) |z—=(2+19)|=1; b) |z+1-I|=|z-=@G-0|; -|3—i 4 a , 4x 1 Z4 “ at a DANES d)| (i -1)z-4|=2; z e) |z—4|—-|z+4|=4423 # 1 S Aa Tim tap hgp cac diém M(z) biet : 2 2 a) w= la so thuc ; b) w= - là sô thuân ảo ; z—l Z—1 Z+2+i 4 ¿ Z+24+1 gy og , c)w= — là sô thực ; đ) w= — là sô thuân ảo Z—i Z—1

Cho điểm M biểu diễn số phức z = x + yi (x, y e R) và điểm P biểu diễn số

phức w = zˆ Tìm tập hợp các điểm P trong các trường hợp sau :

a) M di động trên đường thăng d: y= x-— l ;

Trang 20

§2 CAN BAC HAI CUA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI | A TOM TAT GIAO KHOA | I CAN BAC HAI CUA SO PHUC Dinh nghia Cho số phức w Mỗi sỐ phức z thoả mãn Z = w được gọi là một căn bậc hai cua w | Mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình zˆ - w = 0 1) Trường hợp w là số thực — Căn bậc hai của 0 là 0 — Xét sô thực w =a#0 Khi a > 0, ta có z?— a= (z— xa )(z + Va)

Phương trình z2 — a= 0 <> z= Va hoặc z=-—a Vậy số thực a đương có hai căn bậc hai là va va —Va

Khi a< 0, ta có z2—a= z?—(—ai2) =(z—-a 1)(z+ A~a ¡) Phương trình z?—a=0 © z= V-ai hoicz=-V-ai

Vậy số thực a âm có hai căn bậc hai là \-a ¡ và — —a 1

Vidu: -—1 = = -1 có hai căn bậc hai lài và —i

-a’ =a’i? = -a có hai căn bậc hai là ai và -ai

2) Trường hợp w = a + bỉ (a,b C R,bz0) Đặt z = x + vI (x, y C R)

z là căn bậc hai của w © z=w © (x+yi)“=a+bi © x”-y +2xyi= a+bi

xi -y `=a _ „ ae aoe LA

<> mo Giải hệ phương trình này, ta luôn tính được 2 nghiém (x ; y) Mỗi nghiệm (x ; y) của hệ phương trình trên cho ta một căn bac hai z =x + yi của số phức w = a + bi

Trang 21

e Mỗi số phức khác 0 có đúng 2 căn bậc hai đối nhau

Đặc biệt, số thực a dương có 2 căn bậc hai là Va và _Ja ;

A 44 A 7,” v aa + san 92 {[~_ * ` ƒT °

SỐ thực a âm có 2 can DạC hai là là xa 1 Và —YN—a 1

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Xét phương trình : Az” + Bz + C =0 (A, B, C là số phức và A # 0) (1 Ta có :A = B—4AC Nếu A #0, A có 2 căn bậc hai là ö và —õ, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt là | —-B+6 , —-B-5 = Va Z| = Z2” 2A | Nếu A =0, phương trình (1) có nghiệm kép ZI— Z2 — _ 2A II ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA DAI SO Định lí Mọi phương trình bậc n (n > 1) luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt) | B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN C— TÍNH CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BỐN CỦA MỘT SỐ PHỨC w_> I PHƯƠNG PHAP

* Để tính căn bậc hai z = x + yi của số phức w = a + bị, ta giải phương trình :

z”=w œ (x + yi)’ =a + bi => x? y’ + 2xyi = a+ bi

Trang 22

= h “Tinh x va y, suy Tả Z

* Để tính căn bậc bốn của số phức w, trước hết ta tính căn bậc hai z của w

Sau đó ta lại tính căn bậc hai của z

Il Vi DU

Vi du 1 Tinh căn bậc hai của các sô phức sau :

a\_Q- hì 3+ 4ị- ce) 1 —a/2 3 ay aj F935 UJJ oti, } 1 - 1 » Uj 4i Giải a) Gọi z là căn bậc hai của —9, ta có : ƠI z?= —9 © z2=9 = z=3ihoặcz=-3i

Vậy —9 có hai căn bậc hai là 31 và — 31

b) Gọi z = x † yi (x, y C_]Ñ) là căn bậc hai của 3 + 41, ta có :

Trang 26

II BÀI TẬP 1 Tính căn bậc hai của các số phức sau : 1£ b)1+4 2 iJ a\ Q:

a)—Ì35—ưI1; D)l r4 4431; œ Nee” b Qu Nee Í th + — t2 —

2 a) Tính căn bậc hai của số phức —23 -ÁN6i ; b) Tinh căn bậc bến của số phức -23—4V6 i 3 a) Tìm số phức z thoả mãn z' = ~I ; z-1Y b) Tìm số phức z thoả mãn ] =—], | z+1 4 Giải phoong trình : (2-1) 1 và Í Ì _, oer ; b) L J =l Z+1 z—1 ie Vin ded C—_ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI — I PHƯƠNG PHÁP

i) Dung hang đăng thức đưa phương trình về dang (Az + By - C =0 và biến đổi tương đương thành phương trình tích

(Az+B+C)(Az+B-—C) =0

2) Với phương trình Az” + Bz +C=0:

Ta tinh A = B’ ~ 4AC và tính căn bậc hai của A

Gọi ồ là một căn bậc hai của A, suy ra nghiệm của phương trình là

-B+ồ |

2A 3) Chú ý

a) Ta chứng minh được với mọi phương trình bậc hai hệ số thực, nêu z = x + yi

(x, y C R và y #0) là một nghiệm thì z = x - yi cũng là nghiệm của phương trình

đó |

Trang 27

b) Do tính chất của phép nhân số phức, định lí Vi-ét vẫn đúng cho phương trình bậc hai với ân z © C Do đó các cách tính nhằm nghiệm của phương trình bậc hai vẫn áp dụng được , Chang han: A+B+C=0 > z=1,z= >ỊO A-B+C=0 > z=-12=- 5, II VÍ DỤ Vi du 1 Giải các phương trình bậc hai sau đây : a) zZ2+4z—-5=0; b) (2z— 1+9=0; 2 ro) 25 c)zˆ—8z + 16—-2i=0; | d) zi + 32+ ~- = 0 Giải a) Phương trình : 22 + 4z — 5 = 0 có các phương trình có hai nghiệm là z¡ = Ì va z2 = b) Phương trình (2z - 1 + 9=0 © (2z-— ĐỀ= =9 <> (2z-1)=(i) A 4 at hee ae 4 ne, 1+31, 1-31 «©2z-— Ì =3! hoặc 2z-— Ì = -31 © z= hoặc Z = —

c) Phương trình z2 — 8z + 16—2i=0 <= (z—4)°=2i

A =3? ~4, 2 =-16 = (4Ý Phương trình có hai nghiệm là z = 3241 Vi du 2 Giai cac phuong trinh bac hai hệ số phức sau đây :

a) Z7 —7z+11+31=0;

b) z? + 2(1 —2i)z-(7 + 41) = 0;

Trang 28

Giải a) Phương trình zZˆ — 7z + 11 + 3i = 0 có : A =49—44— 12i =5 - 12i Dat A =(x+yi) x,y R 2 (y — U aA n 2_« Ta có (x+yÙ“ =5—12i <© ’ 2xy=-12 (2) (2) > x#0vay= © X (j= 28 = 5 œ x'—5x2—36=0 © x” =~4 (loại) hoặc x” = 9 X <© x=+d3 Với x=3 > y=—-2 Với x=_—3 > y=2 Vậy A =@- 2UẺ Phương trình có hai nghiệm là : 74+3-2i 7-342i Z| = =5-i vaz= =2 2

b) Phuong trinh 2” + 2(1 — 2i)z 7 © X Ft — (7 + 41) = 0 cd 7

Trang 29

4 qd) => x — — =~3 © xÏ+3x-4=0<© x’ = I hoặc x” = — 4 (loại) X <© x=+Ì Với x= l >y=2 Với x=—1 > y=-2

Vay A’=-3 + 4i=(1 + 2i)

Phương trình có hai nghiệm là z¡ = 2 —1 + 1 +21= 3 +i và Za¿=2—1—Ì—21= l-3I1 d) Phương trình zˆ— (2 + ï)z +¡ + 1 =0 có các hệ số thoả mãn a+b+c=l-2-I+i+l =0, suy ra phương trình có hai nghiệm là Zr= lvàZ¿= 1+1 Vi du 3 | | a) Gọi z¡, Z¿ là hai nghiệm của phương trình bậc hai hệ số phức Az’ +Bz+C=0 (A#0) Chimg minh rang :Z¡ +Za= -B Và Z).Z2 = c A _ A | Ap dung 1 : Biét phuong trình bậc hai (1 — i)z7 + Bz +C=0 có hai nghiệm là z¡ = 2 và z¿ = l + 21 Tinh B va C

b) Cho hai số phức có tong Z¡ + Z¿ = S và tích z¡.z¿ = P Chứng minh

Trang 30

Ap dung 1 : (1 —i)z’ + Bz + C=0 có hai nghiệm là z¡ = 2 và z¿ = 1 + 2i Áp dụng kết quả trên, ta có : 2, +2, <-> 2+(+2i)=—P (1) A c 1-1 C ae ty 2y = 2.+2i)=—— (2)

(1) > B=(-1+i) + 2i) =-3 + 27° —21+ 3i= -S +i (2) > C=(1-i)(2 + 4i) =2- 4É - 2i + 4i = 6 + 2i Vậy B=-—5+i và C=6+ 2i

b) Hiên nhiên z¡ và z¿ là hai nghiệm của phương trình bậc hai @- Z¡)(z — Z2) = 0 Sz 2 _ (Zz, ¡† Z2)Zz † Z¡ Z2 = 0 © z?-Sz +P=0, Ap dung 2: Goi hai số phức phải tìm là z¡ và Z¿ Theo giả thiết ta có ŠS=z¡i†+Z2a=4 vaP=z;.z= 4+ 21 Do đó 2) va z¿ là hai nghiệm của phương trình bậc hai z?—Sz+ P=0 hay z —4z+4+ 2¡=0 Phương trình trên tương đương với (z — y= =—2i © (z-2/ =(1-i” < z-2=+ (1-i)

<> z=2+1-i =3-i hoic z=2-1+i=1 +i

Vay phuong trinh co hai nghiém 1a z}=3-—i vaz=1+i

Ví dụ 4 Cho phương trình bậc hai hệ s6 thuc Az* + Bz + C=0(1), voi A £0

a) Chimg minh rang néu phuong trinh (1) có 1 nghiệm thực z¡ thì

nghiệm còn lại zZ¿ cũng là sô thực

b) Chứng minh rang néu phuong trinh (1) có 1 nghiệm zo không là số thực thì Zo cting la 1 nghiém Ap dụng : Tìm phương trình bậc hai hệ số thực biết phương trình có l nghiệm là 2 +1 Giải _ a) Ta biết rằng phương trình bậc hai Azˆ + Bz+ C=0_ (1) có hai nghiệm là Z¡ Và Z2 , B

Theo công thức Vi-ét ta có z¡ + Z2 = ae

Trang 31

` 2B ` ~ , ^

b) Ta có zo 1a nghiém của phương trình Az” + Bz + C = 0 nên :

Az + Bzo+ C= 0 => AZ¿+Bz¿+C=0 (vì liên hợp của số thực là chính số thực đó —2_ — Suy ra A(z, |] + Bz, +C=0) Vậy z„ cũng là nghiệm của phương trình Az2 + Bz + C= 0 Ap dung : Theo chứng minh trên, phương trình bậc hai hệ số thực có 1 nghiệm là z¡=2 +1 thì nghiệm kia là z¿ = 2 — 1 Ta có S=z¡†Za2a=(2+1)) +(2-1)=4 và P=z¡.za= (2+i)2-0=4-i=4+1=5 Vay Z1, Z2 la hai nghiém của phương trình bậc hai : z—§Sz+P=0 hay “^ 2 ate Zˆ—4z+ 5 =0 II BÀI TẬP 5 Giải các phương trình sau : a) 2 —4z+13=0; b) zZˆ - (5 +21)z + 5 + 5¡ =0 6 Tìm phương trình bậc hai hệ số thực biết một nghiệm là 3 — 2i

7 Gọi z¡ và Z¿ là hai nghiệm của phương trình : |

2+zt+1=0 |

_a) Tính z¡, Z¿ ; b) Chứng minh Z2 = Za Và Z2 = Z4

8 Tìm các số phức a và b sao cho phương trình (2 + iz’ + az + b = 0 cé hai

3à z, =2 +rvà ZY! ~ ' 8 Y& 7a =1 _ 7ì “#2 V A Ghee

9, Giải các phương trình sau :

a) z? + 2|z|=0; | b) 2? + ilz| =0;

Trang 32

(Se Sle 224402 PHUONG TRINH BAC BA Az3 + Bzˆ + Cz + D =0(Az0) I PHƯƠNG PHÁP

Theo định lí cơ bản của đại số, phương trình bậc ba có đúng 3 nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt)

1) Để giải Phuong trinh bac ba tong quat Az + BzZ + Cz+D=0

(A #0) (1), ta cân biệt một nghiệm zọ cua phương trình Khi đó phương trình (1)

Muốn xác định AzZ + bz + c, ta có thê dùng một trong hai cách sau :_

Cach 1: Ta, thực hiện phép chia đa thức Az” + Bz’ + Cz + D cho z — Zo, thương sẽ là Azˆ + bz + c Cách 2: Dùng sơ đồ Horner sau đây để xác định các hệ số A, b, c của đa thức thương Az + bz + c [A B Cc D Zo | A b | C 0 Dòng thứ nhất ghi các hệ số của đa thức bị chia, theo thứ tự A, B, C, D Dòng thứ hai sẽ xác định các hệ số của đa thức thương theo công thức sau : Hệ sô thứ nhât là A TTA _& 41 Lo —- A » Mm /66, 14 A cm = _A 1 ¢ s3

ệ sô thứ haib = z.A+B (“nhân ngang, cộng chéo”)

Hệ số thứ ba c = zo.b+C_ (“nhân ngang, cộng chéo”)

Hệ số cuối d = z.c + D = 0 (đây là số dư trong phép chia, vì chia hết nên

đ luôn luôn là 0)

2) Đôi khi ta có thể xác định zọ bằng cách nhằm nghiệm như sau :

Nếu A+B+C+D =0 thì phương trình có 1 nghiệm là zo = 1 _Nếu A—B+C—D=0 thì phương trình có 1 nghiệm là zạ = -1

Trang 33

_ 3) Việc biến đổi thành phương trình tích có thể thực hiện dé dang nếu ta có

thê đặt nhân tử chung

4) Ta biết rằng nếu một phương trình đa thức hệ số thực có 1 nghiệm phức Zo = X † yl (x, y C ]R và y #0) thì z¿ =x— yi cũng là 1 nghiệm Như vậy :

* Mọi phương trình bậc 3 hệ số thực có ít nhất 1 nghiệm thực, nghĩa là

— hoặc có 3 nghiệm thực

— hoặc có Ì nghiệm thực và 2 nghiệm phức (không thực) liên hợp nhau

* Muốn giải phương trình bậc 3 hệ số thực, ta thường phải tìm nghiệm thực

của phương trình rôi biên đôi thành phương trình tích Nghiệm thực này có thê tính chính xác nhờ máy tính bỏ túi (nêu là nghiệm hữu tỉ) :

* Néu biết phương trình bậc 3 hệ số thực P(z) = 0 có 1 nghiệm không là số

thực zo thì z¿ cũng là nghiệm, nên phương trình phải có dạng P(z) = (z—zi)(z— zo)(z ~ 2) =0 Chia P(z) cho (z— zo)(z — Zo) = 7° —(z + Z4 )z + Zo Zo sẽ tìm được thừa số Z—ZiI | Như vậy phương trinh cé 3 nghiém 1a zo, z, va z1 IL Vi Du

Vi du 1 Giải các phương trình sau :

a) z -(@+z +@+2i)z- 2i=0 biét 1 nghiém 1a z1 =i

b) z +4z?+(4+i)z+3+31=0 biết 1 nghiệm là Zj=—-1;

Trang 34

(l) ©Zz=I

(2) © z-2z+2=0

A'=1-2=-1=?

Vậy phương trình có 3 nghiém : z; =i, 22 =1+iva z3=1-i

Trang 35

Vậy phương trình zỶ + 4z” + (4 +1)z + 3 + 3i=0 có 3 nghiệm là : Z} =—1, Z2=—-l1 +i vaz;=-3 c) Chia da thirc P(z) = 2-27 +(2- 21)z+2+4i cho z— (1 —1): I —l 2-2I 2+4i Za =1 —Í| ` i 1—3i- 0 Phuong trinh z’ — z* + (2—2i)z+2+4i=0 © øz-1+jŒ7-iz +1-3i)=0 z—-1+i=0 (1) > z”—iz+l-3i=0 (2) (1) ©z=1-—i (2) © Z—iz +1-3i=0 A =i—-4+12i=—5 + l2i Đặt -5 + 12i=(x+ vi” với x,y © R

Trang 36

Vĩ dụ 2 Giải các phương trình sau : a)Z`—(1+2jZ2+2(1+ij)z-2=0; b) zÌ— 2iz” +(2—1)z+3+i=0; L N2 ¬ VV 19 _ 1 ;—ñ CJL “(STIL T4—-L~1— Vv Giải | a) Các hệ số của phương trình z - (1 + 21)z + 2(1 +ï)z—2=0 thoả mãn : —— A+B+C+D=l-i-2i+2(1+1)_-2=0

Phương trình (2) có 2 nghiệm 1a z=it+iv3 =(1+ V3)i

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là

zr=1,Z2=(1+ 433i và za=(1- A3)i

b) Các hệ số của phương trình z” — 2iZ” + (2 — i)z + 3 + ¡ = 0 thoả mãn :

Trang 37

Vậy phương trình zÌ + 4z” + (4 + i)z + 3 + 3i=0 có 3 nghiệm là : Zp =—1, Z2=—-l1 +1 vaz3=-3 c) Chia đa thức P(z) = zÌ — z”+(2—2i)z+2+ 4i choz—(1—ïi): Il —Ì 2-21 2+4 Zp=1-—i | " 1—3i 0 Phương trình zỶ - z + (2— 2i)z+2+4i=0 © (z—1+j)(z2—iz +1-30)=0 z—1+i=0 (1) > z”—iz+1-3i=0 (2) (l) ©z=l_I (2) © 2-iz +1-3i1=0 A =Í—4+12i=-—5 + 12i Đặt —5 + 12i =(x+ vi)” với x,y © IR

Trang 38

Vi du 2 Giải các phương trình sau : a) 2° —(1 + 2i)z°+2(1+i)z—-2=0; b) 2° —2iz? +(2-i)z+3+i=0; c)z—(2+ iz +z-2-i=0 Gidi | | a) Các hệ số của phương trình zỶ - (1 + 2i)zˆ + 2(1 +ï)z— 2= 0 thoả mãn : A+B+C+D=1-1-2i1+2(1+i)-2=0

Vay phuong trinh nhan z= 1 langhiém -

Chia đa thức P(z) = zÌ - (1 + 21)z” +2(1+i)z—2 choz—1: - | |_| ~ 1-21 2+2i _2 Zo = 1 | 1 _ 2i 2 0 Phuong trinh z2=( +2j)2? + 2(1 +i)z—2=0 tương đương với @—1J@?~2iz+2)=0 @ |2 19 |z’-2iz+2=0 (2) (1) 1)© z=l Q) 2 2-2iz+2=0 A’ =(-i) -2=-1-2 =-3 =37

wong trinh (2) cé 2 nghiém 14 z=i+i

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là

z=1,Z2=(1+ V3) vàz¿=(1— A3)i

b) Các hệ số của phương trình z” — 2iZ” + (2 — i)z + 3 + ¡ = 0 thoả mãn :

Trang 39

(2) © zZ2-(1+2iz+3+i=0 A =(1+2Øÿ— 12-4i=1—4+ 4i— 12— 4i =-115 Phương trình (2) có 2 nghiệm là : z = —- 111 hoặc _1+2i-vl5i 1 1(2_ vĩs)¡ 5 Kết luận : Phương trình z — 2iz + (2 —ï)z + 3 + = 0 có 3 nghiệm là : ZI=—Ì, 2= 5+2(2+3)) vàn = 1á 2- vi5)i c) Phuong trinh z'~(2+ÖzZ+z—2—1= 0 tương đương với zZ?2(z—=2—1)+z—2—i=0 ©(z-2-1/2+1=0 ~ © z—-2-i=0 hoặc zˆ + l =0 <> zZ=2+1 hoac z” =-1 & z=2+1 node z= +1 Vậy phương trình z - (2 + i)z” +Z—2—1=0 có 3 nghiệm là Zr=2†1, Z2 =1 Và Z3 =T— 1 -_ 10 Giải các phương trình : a)z”—(1+ 0z” + az+b— 4i =0, a,b€ IR và biết phương trình có 1 nghiệm làz=1+i b)z + aiz’ + (— b)z— 2— 2i = 0, a,b € IR và biết phương trình có 1 nghiệm làz= 1—1 _ 11 Giải các phương trình : a) 2z” + 9z” + 14z + 5= 0; b) zÌ— 7z? + 17z— 15=0; c) z2 — (6+ V2)z? + (13+ 6A2 )z— 1342 =0 biết phương trình có 1 nghiệm là z¡ = 3 — 21 12 Giải các phương trình :

Trang 40

Nein di 4

PHUONG TRINH BAC BON

Az* + Bz? + Cz? +Dz+E =0(A#¢0)

I PHUONG PHAP

1) Voi dang phuong trinh tring phuong, ta dat w = z’, sé dua vé phuong trinh bậc hai theo w Giải phương trình này, tính w rồi lại giải phương trình w = zˆ để tính z

2) Nếu A+B+C+D+E= 0 thì phương trình AZ + Bz’ +Cz? + Dz+E=0 có

1 nghiém 1a z = 1 Chia P(z) = Az* + Bz? + Cz’ +Dz+E cho z — 1, phuong trinh P(z) = 0 tuong duong voi phuong trinh (z — 1)(Az’ + bz” + cz + d) =0

3) Nu A—-B+C-D+E = ~ 0 thì phương trình Az’ + Bz + Czˆ + Dz+ E=0

co 1 nghiém 1a z = —1 Chia P(z) = Az' + Bz’ + Cz? + Dz + E cho z + 1, phương trình P(z) = 0 tương đương với phương trình (z + 1)(Az” + bz” + cz + đ) = 0

Như vậy ta nên viết các hệ số của phương trình để xem phương trình có rơi

base Dron re Pa Ran re vào hai UUWUIiE hợp đặc biệt này không

4) Trường hợp phương trình ;ệ số /#ực, nếu biét 1 nghiệm z¿ (không là số thực) thì z„ cũng là nghiệm Do đó phương trình có dạng

(z—Zo)(z— Z¿)(Azˆ + bz + c) = 0

Khai triển phương trình này và đồng nhất với phương trình đã cho sẽ tìm

được hệ sô b và c

Giải phương trình : Az” + bz + e = 0 ta được hai nghiệm zZ¡, Z2

Như vậy phương trinh đã cho có 4 nghiệm là : Zọ, Zp , Z| Và Z2 II VÍ DỤ Vĩ dụ I Giải các phương trình : a) z+4z7-5=0; | b) z'—(8 + 8i)z?+ 63+ 16i=0; c) izt+2(1 + 2i)z7+8=0 Gidi

a) Phuong trình : z” + 4z, — 5 =0 ta coi là phương trình bậc hai theo : Z, phương trình có hai nghiệm là zˆ = 1 hoặc z?=—5 = 5i”

Định dạng
Số trang	102
Dung lượng	2,78 MB