Tóm tắt kiến thức toán học ôn thi đại học pot

4 Biéu dién hinh hoc cia phép cộng và phép trừ * Trong mặt phẳng phức, ta cũng coi vectơ ử= a ; b biểu điễn số phức Như vậy số phức z được biểu điễn bởi điểm M cũng có nghĩa là được biể

Trang 1

* Số phức z = a + Ơi có phân ảo băng O0 được coi là sô thực và viết là

* Số phức Z2— 0 + bi có phần thực bằng 0 được gọi là SỐ ao (hay số thuần ao )

Il BIEU DIEN HINH HOC SO PHUC TRONG |

Mỗi số phức z = a + bi được biéu diễn bởi điểm 3

M (a; b) trong mat phang toa độ

Méi diém M(a ; b) biéu dién mét sé phirc

z=a + bi, ta ki higu la M(z) Mat phẳng toạ độ với ' >

việc biểu diễn số phức còn gọi là mặt phăng phức O a x

Trang 2

Với hai số phức z, z°, ta định nghĩa z-— z' = z + (—z')

Néu z=a+ bi vaz’ =a’ + b’i (a, b, a’, b’ e R) thì

Z-zZ =a-—a’+(b-b’)i

4) Biéu dién hinh hoc cia phép cộng và phép trừ

* Trong mặt phẳng phức, ta cũng coi vectơ ử= (a ; b) biểu điễn số phức

Như vậy số phức z được biểu điễn bởi điểm M cũng có nghĩa là được biểu

diễn bởi vectơ OM

* Nếu vectơ u, u' lân lượt biểu diễn các số phức z, z' thì :

u+ u' biêu diễn sô phức z + Z”;

"` ga tr eK OK ,

u —u' biêu diễn sô phức z - 2`

http://toancapba.com hoc toan va on thi dai hoc mien phi !

Trang 3

Voi z=atbivaz’ =a’ + b’i (a, b, a’, b’e R), ta dinh nghia

Zz’ = aa’ — bb’ + (ab’ + ba’)i

Như vậy ta có thể thực hiện các phép tính cộng, nhân các số phức như phép cộng, nhân các số thực Đặc biệt là các hằng đăng thức vẫn đúng trong trường hợp

Trang 4

e Nếuz=a+ bi (a,b e R) thì |z|= Vzz = Va? +b?

e Nếu z là số thực thì môđun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó

Trang 5

Zz’ = aa’ — bb’ + (ab’ + ba’)i

z' _ z'7z_(a+bl1)\(a-bi) a a+b b+(b'a-a b)i

Il VI DU

Ví dụ 1 Viết các số phức sau đây đưới đạng a + bỉ (a,b elR):

a) z= (2+i) —(1+2i) —@G-i(2-i ;

l+i 3-i 1+2i

= + — °

l-i 2-i 1+i (2+i) (1+i) 2(1-i)-3(1+i)

=2? +3.22i+ 3.2 +i—[1+ 3.2i+ 3.2) + (2Đ] —(6—3i— 2i +1?)

=8+12i—6—i—(1 +6i— 12— 8i) - (6 — 5i—1)= 8 + 18i

l+i 3-i 112i _ (+iŸ „@-Ð@+j)_ đ+200-j)

_1+2i+i 6+i-Í Iti-2Í _ 21 7+i 3+i_ l 7,

Trang 6

= 1 (e004) gyi = 124) asi 3Z \U-1U +1) ) IL \ 4)

=! js *“11+i)= -Lid+i)= ——+—i

Ill BAI TAP

1 Viét cac s6 phirc sau day dudi dang a + bi (a, b € R)

Trang 7

(3+i)* -3-i)* © (1—2i)" „

°) (2-31) B-2i" a | 2-30 6-4Ð |

3 Cho z¡ =l — 31, z¿ =2 +1, Z4: =3 —4I Tinh:

5 Cho số phức z thoả mãn là số thực Chứng minh rằng z là số thực

ALA baw ata vw wht FA:

agicu Kien Cua x Va y Gc:

Trang 8

Giải

a)(2+1)z =z+2i—1 ©z(2+i— 1) =-1 +2i ©z(1 +0) =—1 + 2i

-l+?2i _ C1+20-)_ -1-2Í+i+2i _ lz3i

a) 1-i Il+i SPURT I THF tu -

©Sx+l+(x+1)i=y—- l-(y— l)I

Trang 11

10 Giải các phương trình sau trong :

2) Biểu diễn hình học của z, —z, Z

M(z) và M(~z) đối xứng với nhau qua gốc toa dé

M(z) và M(Z) đối xứng với nhau qua trục Ox

3) Biéu dién hinh hoc cua z+ 2’, z—z’, kz(k © R)

Gọi M, ử lần lượt biểu dién sé phitc z ; M’, V biéu dién s6 phirc z’ Ta co:

OM+OM' và ủ + ¥ biéu dién sé phitc z+ 2’;

OM —OM' = M'M va ii — ¥ biéu dian sé phức z — 2’;

kOM và ku biểu diễn số phức kz |

4) Véi M, A, B lan luot biéu dién sé phite z, a, b thi:

OM = |z| ;AB=|b—al

Trang 12

II VÍ DỤ

Ví dụ I Trong mặt phăng phức, cho ba điểm A, B, C không thắng hàng biểu

diễn các số phức a, b, c Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ABC và D là điểm đối xứng của A qua G Các điểm M, G,

D lần lượt biểu diễn các số phức m, ø, d

a) Tính các số phức m, g, d theo a, b, c

b) Nếu thêm giả thiết la| = [b| = |c|, chứng minh rằng tam giác ABC

là tam giác đều nếu và chỉ nếu a + b + c= 0

b) Giả thiết la| = |b] = |c| < OA = OB =OC <> O là tâm đường tròn ngoại

tiêp tam giác ABC

Như vậy tam giác ABC là tam giác đều |

Trang 13

a) Tính số phức d (biểu diễn điểm D) ;

b) Định m sao cho ABCD là hình chữ nhật

a) Vz€ €, tam giác OMA vuông tại M ;

b) Vz€ C€, tam giác MAB là tam giác vuông ;

c) Vz € €, tứ giác OMAB là hình chữ nhật

13 Gọi A, B, C là ba điểm lần lượt biểu diễn các số phức

=-l—li, b=i, c=l+ki &€ R)

a) Định k để ba điểm A, B, C thăng hàng ; |

b) Xét ham sé w = f(z) = z* Dat a’ = f(a), b’ = f(b), c’ = fc) Tinh a’, b°, c° ;

c) Gọi A’, B’, C’ lan lugt 1a cdc diém biểu diễn các số phức a’, b’, c’ Định k

dé A’, B’,C’ laba diém thăng hàng

nang 5

Trang 14

đ) Nếu ử, Ÿlần lượt biểu diễn các số phức z, z° Chứng minh rằng ủ 1 Ÿ

14 Cho ba điểm A, B, C lần lượt biểu

a) Xác định các số phức được biểu diễn bởi các vecơ AB, AC, BC ;

b) Xác định œ sao cho A, B, C là ba đỉnh của một tam giác ;

c) Với điều kiện ở câu b), chứng minh rằng ABC là tam giác vuông ;

d) Tìm số phức d biểu điễn bởi điểm D sao cho ABDC là hình chữ nhật

Cho ba điểm A, B, C biểu điễn các số phức a = 1 +i,b=aˆvàc=x_—i_

(xe R)

Tim x sao cho :

a) Tam giac ABC vuông tại B ;

b) Tam giác ABC cân tại C

1) Giả sử các điểm M, A, B lần lượt biểu diễn các số phức z, a, b

*lz—-al = |z— bị © MA = MB <> M thuộc đường trung trực của đoạn AB

# |z— a| + |Jz—b|=k(k € R,k>0,k>|a—b[|) MA + MB =k

<>M thuộc elip (E) nhận A, B làm hai tiêu điểm và có độ dài trục lớn bằng k 2) Giả sử M và M' lần lượt biểu diễn các số phức z và w = Ấ(z)

Đặt z = x + y vàw=u+vi (x,y,uv & R)

Hệ thức w = f (z} tương đương với hai hệ thức liên hệ giữa x, Y, uU, V

* Nếu biết một hệ thức giữa x, y, ta tìm được một hệ thức giữa u, v và suy ra

được tập hợp các điệm MÔ,

Trang 15

* Nếu biết một hệ thức giữa u, v, ta tìm được một hệ thức giữa x, y và suy ra được tập hợp các điểm M

_ Dat a=—-1 + 3i_ biéu dién bởi điểm A(-1 ; 3)

va b= 1 -i duoc biéu dién boi diém B(1 ; —1) YY ON

srr

Ta có (1) © |z—a|=lz-b| cà MA=MB ⁄ Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực B(1 ; -1)

của đoạn AB

c) Đặt a = 2T—¡ biểu điển bởi điểm A2 ; —1)

Ta có |Jz—2+i|= V5 xa

Trang 16

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A(2 ; ~1), bán kính R = V5

z—-1 x+yi-1 (x -—1+ yi)(x -1-yi)

_ (2x+])(x—I)+2y” +i[2y(—1)— y(2x + D]

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn (C), tâm lo ; 0), bán kính R = = bỏ

Trang 17

f) Đặt z = x + vi (x, y C R) Với z # 21, ta có :

z+l _ x+l+yi _ (x +1+4 yi)(x —(y —2)i)

Z—-2i =xt+(y—-2)i (x+(y—2)I)(K-(y—-2)i)

Vậy tập hợp các điểm M là đường thả

điểm A(0 ; 2) vì z # 2i

Ø8) Với zo = ÌT—1, đặt z = x + vị (x, y C RÑ), ta có :

Z.Z=(1-i)(x t+ y) =x+y+(yT-X)i;

ZZ =xty—(y—x)i

Như vậy zgz + z¿z +1=0 ©>2(x+y)+1=0 © 2x+2y+1=0

Tập hợp các điểm M là đường thắng có phương trình 2x + 2y + 1 = 0

_ b) Cho M di động trên đường tròn (C) tâm A(-—I ; 1), bán kính

Trang 18

x+y’

Suy ra toạ độ của điểm M'(x' ; y') thoa man phuong trinh 2x’ — 2y’ + 1 =0

Vậy tập hợp các điểm M? là đường thắng có phương trình 2x — 2y + 1 =0

c) Điểm M di động trên đường thẳng d : y = x + 1 nên toạ độ của M(x ; y)

c© — z =~zz†Il (vì theo câu a ta có y=— va

=> y=x'tx2+y? x? ty? +x? -y’ =0,

Suy ra toạ độ của M°(x'; y') thoả mãn phương trình : x'Ý + y'” + x° — y' =0 |

Trang 19

Vậy tập hợp các điểm M? là đường tròn (C°) có phương trình :

và w = z7 Tìm tập hợp các điểm P trong các trường hợp sau đây :

a) M thudc dudng thang d: y=2x;

b) M thuộc đường thăng d : y= x + 1;

Cho điểm M biểu diễn số phức z = x + yi (x, y e R) và điểm P biểu diễn số

phức w = zˆ Tìm tập hợp các điểm P trong các trường hợp sau :

a) M di động trên đường thăng d: y= x-— l ;

b) M đi động trên đường tròn tâm O, bán kính R = 2 ;

c)|z +2—-1|=|z—2 +1|

Trang 20

Phương trình z2 — a= 0 <> z= Va hoặc z=-—a

Vậy số thực a đương có hai căn bậc hai là va va —Va

Khi a< 0, ta có z2—a= z?—(—ai2) =(z—-a 1)(z+ A~a ¡)

Phương trình z?—a=0 © z= V-ai hoicz=-V-ai

Vậy số thực a âm có hai căn bậc hai là \-a ¡ và — —a 1

Vidu: -—1 = = -1 có hai căn bậc hai lài và —i

-a’ =a’i? = -a có hai căn bậc hai là ai và -ai

2) Trường hợp w = a + bỉ (a,b C R,bz0)

Đặt z = x + vI (x, y C R)

z là căn bậc hai của w © z=w © (x+yi)“=a+bi

<> mo Giải hệ phương trình này, ta luôn tính được 2 nghiém (x ; y)

Mỗi nghiệm (x ; y) của hệ phương trình trên cho ta một căn bac hai

z =x + yi của số phức w = a + bi

Trang 21

e Mỗi số phức khác 0 có đúng 2 căn bậc hai đối nhau

Đặc biệt, số thực a dương có 2 căn bậc hai là Va và _Ja ;

A 44 A 7,” v aa + san 92 {[~_ * ` ƒT °

SỐ thực a âm có 2 can DạC hai là là xa 1 Và —YN—a 1

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Xét phương trình : Az” + Bz + C =0 (A, B, C là số phức và A # 0) (1

* Để tính căn bậc hai z = x + yi của số phức w = a + bị, ta giải phương trình :

z”=w œ (x + yi)’ =a + bi => x? y’ + 2xyi = a+ bi

Trang 22

= h “Tinh x va y, suy Tả Z

* Để tính căn bậc bốn của số phức w, trước hết ta tính căn bậc hai z của w

Sau đó ta lại tính căn bậc hai của z

Il Vi DU

Vi du 1 Tinh căn bậc hai của các sô phức sau :

a\_Q- hì 3+ 4ị- ce) 1 —a/2 3 ay

Vậy —9 có hai căn bậc hai là 31 và — 31

b) Gọi z = x † yi (x, y C_]Ñ) là căn bậc hai của 3 + 41, ta có :

z2?=3+4i © (x+yj°=3 +4i © x”-y” + 2xyi =3 + 4i

Trang 25

345 (2) > x#0vay= —

Trang 26

a)—Ì35—öI1; D)l r4 4431; œ Nee” b Qu Nee Í th + — t2 —

2 a) Tính căn bậc hai của số phức —23 -ÁN6i ;

b) Tinh căn bậc bến của số phức -23—4V6 i

2) Với phương trình Az” + Bz +C=0:

Ta tinh A = B’ ~ 4AC và tính căn bậc hai của A

Gọi ồ là một căn bậc hai của A, suy ra nghiệm của phương trình là

2A

3) Chú ý

a) Ta chứng minh được với mọi phương trình bậc hai hệ số thực, nêu z = x + yi

(x, y C R và y #0) là một nghiệm thì z = x - yi cũng là nghiệm của phương trình

Trang 27

b) Do tính chất của phép nhân số phức, định lí Vi-ét vẫn đúng cho phương trình bậc hai với ân z © C Do đó các cách tính nhằm nghiệm của phương trình

c) Phương trình z2 — 8z + 16—2i=0 <= (z—4)°=2i

A =3? ~4, 2 =-16 = (4Ý Phương trình có hai nghiệm là z = 3241

Vi du 2 Giai cac phuong trinh bac hai hệ số phức sau đây :

a) Z7 —7z+11+31=0;

b) z? + 2(1 —2i)z-(7 + 41) = 0;

e) zˆ— 2(2T—1)z + 6— 8i =0;

đ)zˆ—(2+i)z+i+1=0

Trang 28

Phương trình có hai nghiệm là

Trang 29

4 qd) => x — — =~3 © xÏ+3x-4=0<© x’ = I hoặc x” = — 4 (loại) X

<© x=+Ì

Với x= l >y=2

Với x=—1 > y=-2

Vay A’=-3 + 4i=(1 + 2i)

Phương trình có hai nghiệm là z¡ = 2 —1 + 1 +21= 3 +i và

b) Cho hai số phức có tong Z¡ + Z¿ = S và tích z¡.z¿ = P Chứng minh

răng z¡ và Z¿ là hai nghiệm của phương trình bậc hai

Trang 30

Ap dung 1 : (1 —i)z’ + Bz + C=0 có hai nghiệm là z¡ = 2 và z¿ = 1 + 2i

(1) > B=(-1+i) + 2i) =-3 + 27° —21+ 3i= -S +i

(2) > C=(1-i)(2 + 4i) =2- 4É - 2i + 4i = 6 + 2i

Vậy B=-—5+i và C=6+ 2i

b) Hiên nhiên z¡ và z¿ là hai nghiệm của phương trình bậc hai

<> z=2+1-i =3-i hoic z=2-1+i=1 +i

Vay phuong trinh co hai nghiém 1a z}=3-—i vaz=1+i

Ví dụ 4 Cho phương trình bậc hai hệ s6 thuc Az* + Bz + C=0(1), voi A £0

a) Chimg minh rang néu phuong trinh (1) có 1 nghiệm thực z¡ thì

nghiệm còn lại zZ¿ cũng là sô thực

b) Chứng minh rang néu phuong trinh (1) có 1 nghiệm zo không là

Theo công thức Vi-ét ta có z¡ + Z2 = ae

Trang 31

` 2B ` ~ , ^

b) Ta có zo 1a nghiém của phương trình Az” + Bz + C = 0 nên :

Az + Bzo+ C= 0 => AZ¿+Bz¿+C=0 (vì liên hợp của số thực là chính

số thực đó

—2_ — Suy ra A(z, |] + Bz, +C=0)

Vậy z„ cũng là nghiệm của phương trình Az2 + Bz + C= 0

6 Tìm phương trình bậc hai hệ số thực biết một nghiệm là 3 — 2i

7 Gọi z¡ và Z¿ là hai nghiệm của phương trình : |

_a) Tính z¡, Z¿ ; b) Chứng minh Z2 = Za Và Z2 = Z4

8 Tìm các số phức a và b sao cho phương trình (2 + iz’ + az + b = 0 cé hai

3à z, =2 +rvà ZY! ~ ' 8 Y& 7a =1 _ 7ì “#2 V A Ghee

9, Giải các phương trình sau :

a) z? + 2|z|=0; | b) 2? + ilz| =0;

a\iet tIof 11 —N- A\e- a FT -N

Cyiz T J2 Ti =U; Qq)Z T 2”

Trang 32

1) Để giải Phuong trinh bac ba tong quat Az + BzZ + Cz+D=0

(A #0) (1), ta cân biệt một nghiệm zọ cua phương trình Khi đó phương trình (1)

được biến đôi thành phương trình tích :

Muốn xác định AzZ + bz + c, ta có thê dùng một trong hai cách sau :_

Cach 1: Ta, thực hiện phép chia đa thức Az” + Bz’ + Cz + D cho z — Zo,

ệ sô thứ haib = z.A+B (“nhân ngang, cộng chéo”)

Hệ số thứ ba c = zo.b+C_ (“nhân ngang, cộng chéo”)

Hệ số cuối d = z.c + D = 0 (đây là số dư trong phép chia, vì chia hết nên

2) Đôi khi ta có thể xác định zọ bằng cách nhằm nghiệm như sau :

Nếu A+B+C+D =0 thì phương trình có 1 nghiệm là zo = 1

_Nếu A—B+C—D=0 thì phương trình có 1 nghiệm là zạ = -1

Trang 33

_ 3) Việc biến đổi thành phương trình tích có thể thực hiện dé dang nếu ta có

thê đặt nhân tử chung

4) Ta biết rằng nếu một phương trình đa thức hệ số thực có 1 nghiệm phức

Zo = X † yl (x, y C ]R và y #0) thì z¿ =x— yi cũng là 1 nghiệm Như vậy :

* Mọi phương trình bậc 3 hệ số thực có ít nhất 1 nghiệm thực, nghĩa là

— hoặc có 3 nghiệm thực

— hoặc có Ì nghiệm thực và 2 nghiệm phức (không thực) liên hợp nhau

* Muốn giải phương trình bậc 3 hệ số thực, ta thường phải tìm nghiệm thực

của phương trình rôi biên đôi thành phương trình tích Nghiệm thực này có thê tính chính xác nhờ máy tính bỏ túi (nêu là nghiệm hữu tỉ) :

* Néu biết phương trình bậc 3 hệ số thực P(z) = 0 có 1 nghiệm không là số

thực zo thì z¿ cũng là nghiệm, nên phương trình phải có dạng

Vi du 1 Giải các phương trình sau :

a) z -(@+z +@+2i)z- 2i=0 biét 1 nghiém 1a z1 =i

b) z +4z?+(4+i)z+3+31=0 biết 1 nghiệm là Zj=—-1;

c)z —Zˆ+(2-2jz+2+4i=0 biết 1 nghiệm là z¡ = 1 — i

Trang 34

(l) ©Zz=I

(2) © z-2z+2=0

A'=1-2=-1=?

Vậy phương trình có 3 nghiém : z; =i, 22 =1+iva z3=1-i

_b) Chia đa thức P(z) = zỶ + 4z” + (4+ i)z + 3 + 3i cho z + i

Trang 35

Vậy phương trình zỶ + 4z” + (4 +1)z + 3 + 3i=0 có 3 nghiệm là :

Trang 36

Vĩ dụ 2 Giải các phương trình sau :

Chia đa thức P(2) = z - (1 + 2z + 2(1 + i)z-2 choz-1:

Phương trình (2) có 2 nghiệm 1a z=it+iv3 =(1+ V3)i

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là

zr=1,Z2=(1+ 433i và za=(1- A3)i

b) Các hệ số của phương trình z” — 2iZ” + (2 — i)z + 3 + ¡ = 0 thoả mãn :

A~ -B+C- D=1+2i+2_—¡i —3 —i =0 nên phương trình nhận z = —1 là

Trang 37

Vậy phương trình zÌ + 4z” + (4 + i)z + 3 + 3i=0 có 3 nghiệm là :

Trang 38

Vi du 2 Giải các phương trình sau :

Vay phuong trinh nhan z= 1 langhiém -

Chia đa thức P(z) = zÌ - (1 + 21)z” +2(1+i)z—2 choz—1: -

wong trinh (2) cé 2 nghiém 14 z=i+i

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là

z=1,Z2=(1+ V3) vàz¿=(1— A3)i

b) Các hệ số của phương trình z” — 2iZ” + (2 — i)z + 3 + ¡ = 0 thoả mãn :

A—=B+C-D=l1+2i+2—i -3 —i =0 nên phương trình nhận z = —1 là

Trang 40

Nein di 4

PHUONG TRINH BAC BON

Az* + Bz? + Cz? +Dz+E =0(A#¢0)

I PHUONG PHAP

1) Voi dang phuong trinh tring phuong, ta dat w = z’, sé dua vé phuong trinh bậc hai theo w Giải phương trình này, tính w rồi lại giải phương trình w = zˆ để tính z

2) Nếu A+B+C+D+E= 0 thì phương trình AZ + Bz’ +Cz? + Dz+E=0 có

1 nghiém 1a z = 1 Chia P(z) = Az* + Bz? + Cz’ +Dz+E cho z — 1, phuong trinh P(z) = 0 tuong duong voi phuong trinh (z — 1)(Az’ + bz” + cz + d) =0

3) Nu A—-B+C-D+E = ~ 0 thì phương trình Az’ + Bz + Czˆ + Dz+ E=0

co 1 nghiém 1a z = —1 Chia P(z) = Az' + Bz’ + Cz? + Dz + E cho z + 1, phương trình P(z) = 0 tương đương với phương trình (z + 1)(Az” + bz” + cz + đ) = 0

Như vậy ta nên viết các hệ số của phương trình để xem phương trình có rơi

base Dron re Pa Ran re

vào hai UUWUIiE hợp đặc biệt này không

4) Trường hợp phương trình ;ệ số /#ực, nếu biét 1 nghiệm z¿ (không là số thực) thì z„ cũng là nghiệm Do đó phương trình có dạng

(z—Zo)(z— Z¿)(Azˆ + bz + c) = 0

Khai triển phương trình này và đồng nhất với phương trình đã cho sẽ tìm

được hệ sô b và c

Giải phương trình : Az” + bz + e = 0 ta được hai nghiệm zZ¡, Z2

Như vậy phương trinh đã cho có 4 nghiệm là : Zọ, Zp , Z| Và Z2

II VÍ DỤ

Vĩ dụ I Giải các phương trình :

a) z+4z7-5=0; | b) z'—(8 + 8i)z?+ 63+ 16i=0; c) izt+2(1 + 2i)z7+8=0

Định dạng
Số trang	102
Dung lượng	2,78 MB