Tóm tắt kiến thức toán cấp ba – Trần Phú Hiếu.

Kiến thức toán 12 tương đối nhiều đối với học sinh, học sinh ghi chép thường không đầy đủ, cho nên việc ôn tập sẽ gặp nhiều khó khăn. Đây là tài liệu tóm tắt tương đối đầy đủ các kiến thức toán 12 rất tiện lợi cho các em chuẩn bị ôn thi HK, ôn thi THPT Quốc gia sắp tới. – Mời thầy cô và các em tham khảo

PHẦN I: GIẢI TÍCH

I) Bảng tóm tắc công thức đạo hàm :

Hàm số sơ cấp cơ bản Hàm hợp ( Hàm mở rộng)

1) (C)’ = 0 ( C: hằng số )

2) (x)’ = 1

3) x/  x  1 ; (  R)

( )

2

x

x



5)

/

2



 



 

 

6) (sinx)’ = cosx

7) ( cosx)’ = - sinx

2

1

1 tan cos x   x

2

1

sin

x



9) (ex)’ = ex

10) (ax)’ = axlna ; (a: hằng số; a> 0)

11) ln ' 1 ; (x 0 )

x

x

12)   ;1 0 ; 0

ln

1 '

a x

x

a

* Ghi Chú: Các hàm số đều cĩ nghĩa

* u/   u 1 u'

2

' ( ' 2

1 /





u

u u u u

* 1 21 ' ( 2') ; 0

/





















u

u u

u u

* ( sinu)’ = u’.cosu

* ( cosu)’ = - u’.sinu

* tan ' 12 '

cos

u



* cot / 21 '

sin

u





* (eu)’= eu.u’

* ( au)’ = aulna.u’

* (lnu)’= 1.u' ;u  0

u

* ( logau)’ = '

ln

1

u a u

( 1 a 0 ;u 0 )

II) Qui tắc tính đạo hàm:

1)  / ' ' '

w v

u w v

uvz/ u'vz v'uz z'uv







/

' '.

v

v u v u v













III) Đơn điệu – cực trị GTLN- GTNN Lồi – lõm – điểm uốn

A) Đơn điệu: Hàm số (C) : y = f(x) xác định trên D

 Hàm số tăng (đồng biến) trên D <=> y’ 0 ; x  D

 Hàm số giảm ( nghịch biến) trên D <=> y/  0 ; xD

B) Cực trị: Hàm số (C) : y = f(x)

 Hàm số có cực trị <=> y’ có nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua nghiệm đó

 Hàm số không có cực trị <=> y’ không đổi dấu

 Hàm số có 1 cực trị <=> y’ đổi dấu 1 lần

 Hàm số có n cực trị <=> y’ đổi dấu n lần

 Hàm số đạt cực trị x= x0 <=> f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x0

 Hàm số đạt cực đại tại x = x0 <=>  

 0 )

"

0 ) '

0

x f x f

 Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 <=>  

 0 ) 0 ) '

0

x f x f

* Chú ý: Đối với một hàm số bất kì , hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những mà tại

đó đạo hàm triệt tiêu hoặc dạo hàm không xác định.

C) GTLN-GTNN:

* Lập bảng biến thiên của hàm số trên D Từ đó xác định GTLN-GTNN

 Đặc biệt: Khi MXĐ D = [a;b] và hàm số liên tục trên D ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm y’ Giải y’ = 0 và chọn các nghiệm x1 ; x2 ; ;xi thuộc [a;b] Bước 2: Tính f(x1) ; f(x2) ; ; f(xi) ; f(a) ; f(b)

Bước 3: Số lớn nhất ( nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN (GTNN) cần tìm

IV) Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

A) Hàm đa thức : (Hàm bậc 3 và hàm trùng phương)

Bước 1 : MXĐ : D = R

Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’ = )

Bước 5 : Giới hạn – Bảng biến thiên (y’)

Bước 6 : Điểm đặc biệt

Bước 7 : Vẽ đồ thị và kết luận tính đối xứng

B) Hàm phân thức : ( Bâc1/Bậc1 )

Bước 1: MXĐ : D =

Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’= )

Bước 3 : Giới hạn và tiệm cận

Bước 4 : Bảng biến thiên

Bước 5 : Điểm đặc biệt

Bước 6 : Vẽ đồ thị và kết luận tính đối xứng

V) Sự tương giao ( Vị trí tương đối) : Cho (C) : y = f(x) và (D) : y = g(x)

 Toạ độ giao điểm của (C) và (D) là nghiệm của hệ :









 ) (

) (

x g y

x f y

 Biện luận sự tương giao của (C) và (D) :

Bước 1: Lập pt hoành độ giao điểm của (C) và (D) : f(x) = g(x)

Bước 2: Căn cứ vào số nghiệm của phương trình Số giao điểm của (C) và (D) ( Số nghiệm pt = số giao điểm của (C) và (D))

VI) Tiếp tuyến:

Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) có hệ số góc k là:

y – y0 = k(x – x0) với (x0 ; y0) là toạ độ tiếp điểm xác định bởi :









 ) (

) ( '

0 0

0

x f y

k x f

* Chú ý : Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng (-1)

VI) Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị Cho hàm số (C) : y = f(x)

Biện luận phương trình : F(x;m) = 0 ; ( ẩn x ; tham số m)

@ Phương pháp:

* Biến đổi phương trình F(x;m) = 0 về dạng : f(x) = g(m) ; ( g(m) là đường thẳng)

* Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị:

(C) : y = f(x) ( Đã được vẽ)

(D) : y = g(m) ( đường thẳng cùng phương Ox và cắt Oy tại g(m)

* Dựa vào đồ thị (C) ta kết luận số nghiệm của phương trình

VII) Nguyên hàm – Tích phân

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I) Bảng nguyên hàm :

1

1

dx x C

x

dx

x C x x











 









ln cos sin

x x

a

a









2 2

1

tan cos

1

cot sin

x

x





1

1

du u C

u

du

u C x u











 









ln cos sin

u u

a

a

 









2 2

1

tan cos

1

cot sin

u

u





ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN V

ấn đề 1 : Diện tích hình phẳng:

(H) :

( ) : ( ) ( ') : ( )

x a x b a b













Khi đó : Diện tích hình (H) là : ( ) ( )

b

a

S f x  g x dx

Vấn đề 2: Công thức thể tích khối tròn xoay :

Xoay quanh Ox :  













) (

; 0

) ( :

) ( :

b a b x a x

x f y C

b

a

dx x

f ( ) 2



VIII./ SỐ PHỨC

 Số i : i2 = -1

 Số phức dạng : z = a + bi Với : :  , 

:

a Phan thuc

a b R

b phan ao









 Môđun của số phức : z  a2 b2

 Số phức liên hợp của z = a + bi là z a bi 

 a+ bi = c + di  b d a c





 (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i

 (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i

 (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i

a bi c di

a bi





 Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : i a

 Xét phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ;a b c R, ,  )

Đặt 2

4

  

o Nếu  = 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x =

2

b a



o Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : 1,2

2

b x

a

  



o Nếu  < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức : 1,2

2

b i x

a

  



PHẦN II: HÌNH HỌC CHƯƠNG I: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

 Thể tích khối lăng trụ : V = Bh ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao)

 Thể tích khối hộp chữ nhật cĩ kích thước a,b,c là : V = abc

 Thể tích khối lập phương cạnh a là : V = a3

Chú ý :

* Trong các bài tốn ta thường sử dụng kết quả :Cho khối chĩp OABC,trên các đoạn thẳng OA,OB,OC lần lượt lấy ba điểm A’,B’,C’ khác O.Khi đĩ :

OC

OC OB

OB OA

OA V

V

ABC O

C B A

.

' '

.

' ' '

Cơng thức về hình nĩn:Gọi l là độ dài đường sinh của hình nĩn,h là đường cao,r là bán kính

đáy

a/ Diện tích xung quanh: Sxq = rl

b/ Diện tích tồn phần : S = S +tp xq Sđáy.

c/ Thể tích khối nĩn: V = 1 r h 2

3

Cơng thức về hình trụ: Gọi l là độ dài đường sinh của hình trụ,r là bán kính đáy.

a/ Diện tích xung quanh: S = 2 rlxq 

b/ Diện tích tồn phần : S = S +tp xq 2Sđáy.

c/ Thể tích khối trụ: 2

V = r h ; (h = l)

Cơng thức của hình cầu:

a/ Diện tích mặt cầu: S 4r2

c/ Thể tích khối cầu: 4 3

V =

3r

CHƯƠNG II : TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ ĐIỂM

Cho hai vectơ :  

; ;

; ;









a) 2 2

a b



  

 b) a b  a1b a1; 2b a2; 3b3

c) Tích vô hướng của hai vectơ:

a b a b  a b a b

d)kaka ka ka1; 2; 3 ;k R 

e) Góc giữa hai vectơ : Gọi  a; b.Khi đó : cos  a a..b b

f) a b  a b  0

 Cho hai điểm A(xA;yA; ZA) ; B(xB ; yB ; ZB )

o AB(x B x y A; B  y Z A; B  Z A)

o Độ dài : AB = AB  x B  x A2y B y A2Z B Z A2



o I là trung điểm AB.Ta có:

2 2

2 2

I

I

I

x

y

Z























o G là trọng tâm tam giác ABC <=>

3 3 3

G

G

G

x

y

z

























 Tích có hướng của a va b la  : 2 3 3 1 1 2

; a a ;a a a a;

a b

 

 

MẶT CẦU Ph

ương trình mặt cầu : Mặt cầu (S) cĩ tâm I(a,b,c),bán kính R dạng:

* (x-a)2 + (y – b)2 + (z-c)2 = R2 (1)

* x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (2)

 Chú ý :

 (2) là phương trình mặt cầu  a2 + b2 + c2 – d > 0

 (2) cĩ tâm I(a,b,c) ,bK R = a2b2c2 d > 0

KHOẢNG CÁCH

Khoảng cách từ M0(x0;y0;Z0) đến mp   : Ax + By + CZ + D = 0 là: d(M0;   ) = 0 0 0

MẶT PHẲNG 1) Phương trình tổng quát của mp   có dạng : Ax + By +

CZ + D = 0 (A2 + B2 + C2 > 0) có :

VTPT : nA B C; ; 

2) Qua M(x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT nA B C; ;  thì mp   có dạng :A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

1

a b c   ( Gọi là phương trình theo đoạn chắn)

(a b c ; ; 0) 4) Qua M(x0 ; y0 ; Z0 ) và có cặp VTCF a b ; thì VTPT là:na b;  A B C; ; 

 

  

là : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z

ĐƯỜNG THẲNG

Đường thẳng

( ; ; ) :

; ;

Qua M x y z



 





 PTTS của  :  

;

x x a t

z z a t







  



 PTCT của  : 0 0 0

  (a1,a2,a3  0)