Kiến thức cơ bản giải tích 12 cả năm

PHẦN I HÀM SỐ SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 1.1 Định nghĩa Kí hiệu định K K khoảng đoạn nửa khoảng Giả sử hàm số ta có: ( ) y=f x • ( ) y=f x Hàm số gọi đồng biến (tăng) ( ) K xác nếu: ( ) ∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f x1 < f x2 ( ) y=f x • Hàm số gọi nghịch biến (giảm) ( ) ( ) K nếu: ∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f x1 > f x2 Hàm số đồng biến nghịch biến * Nhận xét: • • • • gọi chung đơn điệu ⇔ ( ) f x • K x2 − x1 ( ) ( ) ( ) Nếu ( ) > 0  ∀x1, x2 ∈ K ,  x1 ≠ x2 f ′ ( x) < 0, ∀x ∈ ( a; b) ⇒ ( ) ( ) f ′ x = 0, ∀x ∈ a;b ⇒ Nếu ( ) Nếu ( ) Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) f x hàm số ( ) nghịch biến khoảng f x hàm số đồng biến khoảng không đổi khoảng ( a;b) ⇒ f ′ ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ( a;b) f x • ( ) Hàm số đồng biến K Khi đồ thị hàm số lên từ trái sang phải f x2 − f x1 ⇔ < 0  ∀x1, x2 ∈ K ,  x1 ≠ x2 f x x2 − x1 Hàm số nghịch biến K Khi đồ thị hàm số xuống từ trái sang phải f ′ x > 0, ∀x ∈ a;b ⇒ f x a;b Nếu hàm số đồng biến khoảng f x • ( ) f x2 − f x1 K nghịch biến khoảng ( a;b) ⇒ f ′ ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ( a;b) Trang ( a;b) ( a;b) • Nếu thay đởi khoảng ( a;b) mợt đoạn nửa khoảng phải ( ) f x bở sung thêm giả thiết “hàm số khoảng đó” 1.2 Quy tắc cơng thức tính đạo hàm ( ) liên tục đoạn hoặc nửa ( ) u = u x ; v = v x ;C : Quy tắc tính đạo hàm: Cho ′ u ± v = u′ ± v′ • Tổng, hiệu: ′ ′ uv = u′.v + v′.u ⇒ C u = C u′ • Tích: ( ) ( ) ( )  u  u′.v − v′.u  C ′ C u′ , v≠ ⇒  ÷ = −  ÷= v u v u ( • Thương: số ) ( ) ( ) y = f u , u = u x ⇒ yx′ = yu′ ux′ • Đạo hàm hàm hợp: Nếu 1.3 Bảng cơng thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm sơ Đạo hàm hàm hợp cấp ′ ′ C =0 xα = α xα −1 (C số) ′ ′ xα = α xα −1 uα = α uα −1.u′ ( ) ( ) ( ) ( )  ′  ÷ = − (x ≠ 0) x x  ′ u′  ÷ =− u ≠ u u ( ) ( u ) ′ = 2u′u ( u > 0) x ′ = x ( x > 0) ( ) ( sinx) ′ = cosx ( sinu) ′ = u′.cosu ( cosx) ′ = − sin x ( cosu) ′ = −u′.sinu ( tan x) ′ = cos1 x ( tanu) ′ = cosu u ( cot x) ′ = − sin1 x ( cot u) ′ = − sinu u ( e ) ′ =e ( e ) ′ = u′.e 2 x x ′ ′ u u Trang ( a ) ′ = a lna ( a ) ′ = u′.a lna ( ln x ) ′ = x1 ( ln u ) ′ = uu′ ( log x ) ′ = xln1 a u′ ( log u ) ′ = u.ln a x x u a u a 1.4 Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức  ax + b ′ ad − bc  ÷ =  cx + d  cx + d ( • )  ax2 + bx + c ′  ÷ = dx + ex + f   a   b a   c b   c x +2 x+ d   e d   f e   f ( dx • ) + ex + f 2 1.5 Đạo hàm cấp 1.5.1 Định nghĩa ′ f ′′ ( x) =  f ′ ( x)  1.5.2 Ý nghĩa học () s=f t Gia tốc tức thời chuyển động 1.5.3 Đạo hàm cấp cao f * Một số ý: ( n) ( ) n −1 Nếu hàm số ( ) ( ) ( ) là: gx ( ) đồng biến (nghịch biến) f x +g x số ( ) a t0 = f ′′ t0 ′ ( x) =  f ( ) ( x)  , ( n Ơ , n 2) f x ã thời điểm t0 đồng biến (nghịch biến) ( ) K K hàm Tính chất có ( ) f x −g x • thể khơng hiệu f x gx Nếu hàm số hàm số dương đồng biến ( ) ( ) K ( ) ( ) f x g x (nghịch biến) hàm số K biến) Tính chất ( ) ( ) đồng biến (nghịch không hàm số f x ,g x không hàm số dương K Trang ( ) u=u x • Cho hàm số , xác định với ( ) f u( x)  ( ) Giả sử hàm số ( ) x ∈ a;b đồng biến với ( ) ( ) x ∈ a;b ⇔ f u đồng biến với ( ) đồng biến với u=u x Giả sử hàm số ( ) nghịch biến với x∈ ( a; b) ⇔ f ( u) f u x    nghịch biến với Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số f K Giả sử hàm số có đạo hàm ( ) f' x ≥0 với x∈K Khi đó, hàm số u∈ ( c; d) x ∈ ( a; b) Khi đó, hàm số ( ) u ∈ c;d nghịch biến với ( ) f' x =0 Nếu • f x∈ K K hạn điểm hàm số đồng biến f' x ≤0 f' x =0 x∈K Nếu với một số hữu ( ) một số hữu ( ) x∈K hàm số f nghịch biến K Chú ý: y= * Đối với hàm phân thức hữu tỉ y′ dấu đạo hàm không xảy ( ) ax + b  d x ≠ − ÷ cx + d  c dấu "= " xét ( ) y = f x = ax3 + bx2 + cx + d ⇒ f ′ x = 3ax2 + 2bx + c ¡ Hàm số đồng biến  a >   ∆ ≤ ⇔ f ′ x ≥ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔  a =   b =   c > ¡ Hàm số nghịch biến  a <   ∆ ≤ ⇔ f ′ x ≤ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔  a =   b =   c < ( ) c ( ) a =b=c = f u( x)  • hạn điểm Giả sử Hàm số u=u x • ( ) ( ) u x ∈ c;d x ∈ a;b xác định với Ta có nhận xét sau: • ( ) x ∈ a;b ( ) f x =d Trường hợp hệ số khác (Đường thẳng song song trùng với trục Ox khơng đơn điệu) * Với dạng tốn tìm tham số m để hàm số bậc ba đơn điệu chiều Trang khoảng có độ dài ( l ) ta giải sau: y′ = f ′ x;m = ax2 + bx + c Bước 1: Tính ( x ;x ) ⇔ y′ = Bước 2: Hàm số đơn điệu có nghiệm phân biệt  ∆ > ⇔ a ≠ ( *) Bước 3: Hàm số đơn điệu khoảng có đợ dài ( ⇔ x1 − x2 = l ⇔ x1 + x2 Bước 4: Giải ( *) giao với ) − 4x1x2 = l ⇔ S2 − 4P = l ( * *) l ( * *) để suy giá trị m cần tìm CỰC TRỊ HÀM SỐ 2.1 Định nghĩa Giả sử hàm số • x0 x0 f xác định tập K x0 ∈ K điểm cực tiểu hàm số cho ( a;b) ⊂ K ( ) f Ta nói: tồn mợt khoảng ( ) ( ) { } f x > f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0 Khi f gọi giá trị cực tiểu hàm số • x0 x0 • • • • • điểm cực đại hàm số cho ( a;b) ⊂ K ( ) f ( ) tồn một khoảng ( ) { } f x < f x0 , ∀x ∈ a;b \ x0 ( a; b) f ( x0 ) ( a;b) ( ) chứa chứa f x0 Khi f gọi giá trị cực đại hàm số Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị hàm số điểm cực trị phải một điểm tập hợp K Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung giá trị cực trị (hay cực trị) hàm số Nếu x0 ( x ;f ( x ) ) điểm cực trị hàm số điểm gọi điểm f cực trị đồ thị hàm số Trang * Nhận xét: ( ) f x0 • Giá trị cực đại (cực tiểu) (nhỏ nhất) hàm số nhất) hàm số x0 khác f f nói chung giá trị lớn ( ) f x0 tập D; một khoảng ( a;b) giá trị lớn (nhỏ chứa • ( ) ( ) Giả sử hàm số • • đạt cực trị điểm x0 ( ) y=f x Khi đó, có đạo hàm ( ) f ′ x0 = Chú ý: • giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số khoảng f K Hàm số đạt cực đại cực tiểu nhiều điểm tập Hàm số khơng có cực trị mợt tập cho trước y=f x điểm x0 ( a;b) f 2.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1: x0 hay nói cách điểm cực đại ( cực tiểu) tồn khoảng (a;b) chứa f x0 cho x0 Đạo hàm f ′ ( x) điểm x0 hàm số f không đạt x0 cực trị điểm Hàm số đạt cực trị mợt điểm mà hàm số khơng có đạo hàm Hàm số đạt cực trị mợt điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm 2.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị Định lí 2: x0 f f Giả sử hàm số đạt cực trị điểm Khi đó, hàm số có đạo hàm điểm x0 f '( x0 ) = ( ) f′ x > • Nếu x0 (x khoảng − h;x0 ) ( ) f′ x < khoảng ( ) f x một điểm cực đại hàm số ( x ;x Trang +h ) ( ) f′ x < • Nếu x0 (x khoảng − h;x0 ) ( ) f′ x > khoảng ( x ;x 0 + h) ( ) f x một điểm cực tiểu hàm số 2.4 Quy tắc tìm cực trị Quy tắc 1: ( ) f′ x • • • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm xi Bước 2: Tìm điểm mà đạo hàm hàm số hàm số liên tục khơng có đạo hàm f′ x f′ x Bước 3: Lập bảng biến thiên bảng xét dấu Nếu đổi ( ) dấu qua Định lí 3: ( i = 1;2; ) ( ) xi hàm số đạt cực trị y=f x Giả sử có đạo hàm cấp khoảng ( ) ( ) f ′ x0 = 0, f ′′ x0 < • Nếu (x ( ) xi − h;x0 + h ) với f hàm số ( ) đạt cực đại h > Khi đó: x0 f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ x0 > x0 f Nếu hàm số đạt cực tiểu Từ định lí trên, ta có quy tắc khác để tìm cực trị hàm số Quy tắc 2: • ( ) f′ x • Bước 1: Tìm tập xác định Tìm xi ( i = 1;2; ) Bước 2: Tìm nghiệm phương trình f ′′ x f ′′ xi • Bước 3: Tính tính f ′′ xi < xi f ∗ Nếu hàm số đạt cực đại điểm f ′′ xi > xi f ∗ Nếu hàm số đạt cực tiểu điểm • ( ) ( ) f ′ x = ( ) ( ) ( ) MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ HÀM SỐ y = ax3 + bx2 + cx + d 3.1 Cực trị hàm đa thức bậc ba 3.1.1 Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu thỏa mãn hoành độ cho trước Trang Bài toán tổng quát: ( ) y = f x;m = ax3 + bx2 + cx + d Cho hàm số Tìm tham số m để hàm số x1, x2 K có cực đại, cực tiểu thỏa mãn điều kiện cho trước? Phương pháp: • Bước 1: D =¡ ∗ Tập xác định: y′ = 3ax2 + 2bx + c = Ax2 + Bx + C ∗ Đạo hàm: • Bước 2: Hàm số có cực trị (hay có hai cực trị, hai cực trị phân biệt hay có cực đại cực tiểu) ⇔ y′ = y′ có hai nghiệm phân biệt đổi dấu qua nghiệm y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt A = 3a ≠ a ≠ ⇔ ⇔ ⇒ m ∈ D1  ∆ = B − 4AC = 4b2 − 12ac > b − 3ac >  y′  Bước 3: x1, x2 y′ = Gọi hai nghiệm phương trình  B 2b x1 + x2 = − = − A 3a  C c x x = =  A 3a Khi đó: Bước 4: K S P Biến đổi điều kiện dạng tởng tích Từ giải tìm • • m ∈ D2 được Bước 5: • Kết luận giá trị m thỏa mãn: m = D1 ∩ D2 ( ) y = ax3 + bx2 + cx + d a ≠ * Chú ý: Hàm số bậc ba: Ta có: y ' = 3ax2 + 2bx + c Điều kiện   b2 − 3ac ≤ Kết ḷn Hàm số khơng có cực trị b2 − 3ac > Hàm số có hai điểm cực trị Điều kiện để hàm số có cực trị dấu, trái dấu Hàm số có cực trị trái dấu y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu Trang ⇔ AC = 3ac < ⇔ ac <  Hàm số có hai cực trị dấu y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu ∆y′ >  ⇔ C >0 P = x1.x2 =  A  Hàm số có hai cực trị dấu dương y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  ∆y′ >  B ⇔ S = x1 + x2 = − > A  C P = x x = >0  A  Hàm số có hai cực trị dấu âm y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm âm phân biệt  ∆y ' >  B ⇔ S = x1 + x2 = − < A  C P = x x = >0  A  Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1, x2 thỏa mãn: x1 < α < x2 x1 < x2 < α α < x1 < x2  Hai cực trị x1, x2 ( thỏa mãn )( x1 < α < x2 ) ( ) ⇔ x1 − α x2 − α < ⇔ x1.x2 − α x1 + x2 + α <  x1, x2 x1 < x2 < α Hai cực trị thỏa mãn  x − α x − α > x x − α x + x + α > 2 ⇔ ⇔ x + x2 < 2α x1 + x2 < 2α  ( )( ) ( ) α < x1 < x2 x1, x2  Hai cực trị thỏa mãn  x − α x − α > x x − α x + x + α > 2 ⇔ ⇔ x + x > α x + x > α 2    Phương trình bậc có nghiệm lập thành cấp số cộng ( )( ) ( ) Trang x= có nghiệm x = −3 −b 3a , có nghiệm lập thành cấp số nhân có d a nghiệm 3.1.2 Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía, khác phía so với đường thẳng Vị trí tương đối giữa điểm với đường thẳng: ( ) ( A xA ;yA , B xB ;yB Cho điểm ( ax A Nếu )( ) đường thẳng + byA + c axB + byB + c < hai phía so với đường thẳng ( ax A Nếu ) )( hai điểm ∆ : ax + by + c = A, B nằm về ∆ ) + byA + c axB + byB + c > hai điểm A, B nằm ∆ phía so với đường thẳng Một số trường hợp đặc biệt: • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy ⇔ hàm số có cực trị dấu y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt dấu • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Oy ⇔ hàm số có cực trị trái dấu y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm trái dấu • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox yC Đ yCT > y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt Đặc biệt: • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox yC Đ yCT >  yC Đ + yCT > y′ = phương trình có hai nghiệm phân biệt • Các điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox yC Đ yCT >  yC Đ + yCT < y′ = ⇔ phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ Trang 10 sin2a = 2sina.cosa = 2tana + tan2 a ; tan2a = ; cos3α = 4cos3 α − 3cosα 2tana − tan2 a sin3α = 3sin α − 4sin3 α 5.3.1.3 Công thức hạ bậc ; ; − cos2a + cos2a − cos2a 2 sin a = cos a = tan2 a = 2 + cos2a sin3 α = 3sinα − sin3α ; cos3 α = cos3α + 3cosα t 5.3.1.4 Cơng thức tính theo Với Thì ; ; 2t 2t a 1− t sina = tan a = t = tan cosa = 2 1+ t − t2 + t2 5.3.1.5 Cơng thức biến đởi tích thành tởng  cos(α + β ) + cos(α − β ) 2 sinα sin β = cos(α − β ) − cos(α + β ) sinα cos β = sin(α + β ) + sin(α − β ) cosα cos β = 5.3.1.6 Công thức biến đổi tởng thành tích α+β α −β cos 2 α+β α −β cosα − cos β = −2sin sin 2 α+β α −β sinα + sin β = 2sin cos 2 α+β α −β sinα − sin β = 2cos sin 2 sin(α + β ) tanα + tan β = cosα cos β sin(α − β ) tanα − tan β = cosα cos β Công thức thường dùng: + cos4α cos4 α + sin4 α = + 3cos4α 6 cos α + sin α = Hệ quả: cosα + cos β = 2cos Trang 50   π π cosα + sin α = 2cos α − ÷ = 2sin  α + ÷ 4 4     π π cosα − sin α = 2cos α + ÷ = − 2sin  α − ÷ 4 4   5.3.2 Một số dạng tích phân lượng giác • Nếu gặp ta đặt t = sin x b I = ∫ f ( sin x) cos xdx a • Nếu gặp dạng ta đặt b I = ∫ f ( cos x) sin xdx t = cos x a • Nếu gặp dạng • Nếu gặp dạng ta đặt b dx I = ∫ f ( tan x) cos2 x a b dx I = ∫ f ( cot x) sin2 x a ta đặt t = tan x t = cot x 5.3.2.1 Dạng I1 = ∫ ( sinx ) n dx ; I ∫ ( cosx ) dx n * Phương pháp n • Nếu chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc n =3 • Nếu sử dụng công thức hạ bậc biến đổi (n = p +1) 3n • Nếu lẻ thực biến đổi: I1 = 2p n 2p+1 ( ) ( ) ( ) sinx dx = sinx dx = sin x sin xdx = − ∫ ( − cos2 x ) d ( cosx ) ∫ ∫ ∫ p k p k p = − ∫ C p0 − C p1 cos2 x + + ( −1) C pk ( cos2 x ) + + ( −1) C pp ( cos2 x )  d ( cosx )   ( −1) k k ( −1) p p 2k+1 2p+1 1 ( )   +c = − C p cosx − C p cos x + + C p cosx + + C p ( cosx ) 2k + 2p +   I2 = n 2p+1 2p ∫ ( cosx ) dx = ∫ ( cosx ) dx = ∫ ( cosx) cosxdx = ∫ ( − sin x ) d ( sin x ) p k p k p = ∫ C p0 − C p1 sin2 x + + ( −1) C pk ( sin2 x ) + + ( −1) C pp ( sin2 x )  d ( sin x )   ( −1) k k ( −1) p p 2k+1 2p+1 1  +c = C p sin x − C p sin x + + C p ( sin x ) + + C p ( sin x ) 2k + 2p +   5.3.2.2 Dạng I = ò sin m x cos n xdx ( m, n ẻ N ) * Phng phỏp Trang 51 ã Trường hợp 1: a Nếu m số nguyên n chẵn sử dụng cơng thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng ( n = p +1) m n b Nếu chẵn, lẻ biến đổi: I= chẵn, m, n m 2p+1 m 2p m ∫ ( sinx ) ( cosx ) dx = ∫ ( sin x) ( cosx) cosxdx = ∫ ( sin x) ( − sin x) d ( sin x ) p k p k p = ∫ ( sin x ) C p0 − C p1 sin2 x + + ( −1) C pk ( sin2 x ) + + ( −1) C pp ( sin2 x )  d ( sin x ) = m+ 2k +1+m 2p+1+m  ( sin x ) m+1  ( ) ( sin x ) ( sin x ) k p sin x k p C p  +c −Cp + + ( −1) C p + + ( −1) C p m+1 m+ 2k + + m 2p + + m   c m m I= lẻ ( m = p +1) n , ∫ ( sinx ) 2p+1 chẳn biến đổi: n n 2p n ( cosx ) dx = ∫ ( cosx ) ( sin x ) sin xdx = − ∫ ( cosx ) ( − cos2 x ) d ( cosx ) p k p n k p = − ∫ ( cosx ) C p0 − C p1 cos2 x + + ( −1) C pk ( cos2 x ) + + ( −1) C pp ( cos2 x )  d ( cosx ) =  ( cosx ) n+1 ( ) n+ ( cosx ) 2k+1+n ( cosx ) 2p+1+n  k p cosx k p  +c − C p −Cp + + ( −1) C p + + ( −1) C p n+1 n+3 2k + + n 2p + + n   n lẻ, lẻ sử dụng biến đổi 1.2 1.3 cho số mũ lẻ bé m, n u = sinx • Nếu số hữu tỉ biến đổi đặt (*) d Nếu m B = ∫ sinm x cosn xdx = ∫ ( sin x ) m ( cos2 x ) Tích phân (*) tính ⇔ số n −1 cosxdx = ∫ um ( − u2 ) m+1 n −1 m+ k ; ; 2 n −1 du số nguyên 5.3.2.3 Dạng I1 = • ∫ ( tan x ) n dx ; I = ∫ ( cot x ) n dx ( n Ỵ N ) dx ∫ ( + tan x) dx = ∫ cos x = ∫ d ( tan x) = tan x + c 2 • dx ∫ ( + cot x) dx = ∫ sin x = −∫ d ( cot x) = − cot x + C 2 • ∫ tan xdx = sin x d ( cosx ) dx = − ∫ cosx ∫ cosx = − ln cosx + C Trang 52 Nếu cosx • ∫ cot xdx = ∫ sin x dx = ∫ d ( sin x ) = ln sin x + C sin x ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 6.1 Diện tích hình phẳng 6.1.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục đoạn y = f (x) a;b , trục hoành hai đường thẳng , xác định: x =a x =b S= b ∫ f (x) dx a Trang 53 y O Trang 54 6.1.2 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , liên tục y = f (x) y = g(x) đoạn a;b hai đường thẳng , xác định: x =a x =b S= b ∫ f (x) − g(x) dx a Trang 55 O - Nếu đoạn [a;b] , hàm số f (x) khơng đổi dấu thì: b b a a ∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường , x = g(y) Trang 56 x = h(y) hai đường thẳng , xác định: y=c y=d d S= ∫ g(y) − h(y) dy c 6.2 Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay 6.2.1 Thể tích vật thể Gọi phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox B điểm a b; S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm [a;b] x , (a ≤ x ≤ b) Giả sử S(x) hàm số liên tục đoạn Trang 57 O 6.2.2 Thể tích khối trịn xoay - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f (x) , trục hoành hai đường thẳng , quanh trục Ox: x =a x =b Trang 58 d O y c (C): x = g(y)  (Oy): x =  y = c  y = d x d V y = π ∫ [ g ( y )] dy c y O - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x = g(y) , trục hoành hai đường thẳng , quanh trục Oy: y=c y=d - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường , hai đường thẳng , quanh trục Ox: x =a x =b y = f (x) y = g(x) b V = π ∫ f 2(x) − g2(x) dx a Trang 59 PHẦN IV SỐ PHỨC SỐ PHỨC 1.1 Khái niệm số phức • Số phức (dạng đại số) : phần ảo, i ( z = a + bi ; a,b ∈ ¡ đơn vị ảo, • z z số thực ⇔ £ phần thực, phần ảo z ( ( ) b= ⇔ phần thực ( ) a=0 ) ( z2 = c + di c, d ∈ ¡ ) phần thực phần ảo chúng tương đương • Khi ta viết a = c z1 = z2 ⇔ a + bi = c + di ⇔  b = d 1.3 Biểu diễn hình học số phức Số phức biểu diễn điểm z = a + bi a, b ∈ ¡ ( ( ) độ Oxy ) hay r mặt phẳng phức với hệ tọa u = a;b ( ) 1.4 Số phức liên hợp Số phức liên hợp z =z; • vừa số thực vừa số ảo 1.2 Hai số phức • Hai số phức z1 = a + bi a, b ∈ ¡ M a;b b số ảo (hay gọi ảo) • Số a i = −1 • Tập hợp số phức kí hiệu: • ) Trong : ( z = a + bi a, b ∈ ¡ z ± z' = z ± z'; ) z = a − bi z  z z.z ' = z.z ';  ÷ = ; z ÷ z  2 z.z = a2 + b2 Trang 60 • z số thực ⇔z=z ; z số ảo z = −z 1.5 Môđun số phức Độ dài vectơ uuuu r gọi môđun số phức z kí hiệu Vậy z OM uuuu r hay uuuu r 2 z = OM z = a + bi = OM = a + b Một số tính chất: • uuuu r ; z = a + b = zz = OM • • z ≥ 0, ∀z ∈ £ ; z = ⇔ z = z1.z2 = z1 z2 ; ; z1 z2 • z = z = z1 − z2 ≤ z1 ± z2 ≤ z1 + z2 z1 z1 z2 z2 = z1z2 z2 PHÉP CỘNG TRỪ NHÂN CHIA SỐ PHỨC 2.1 Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức Khi đó: z1 = a + bi a, b ∈ ¡ z2 = c + di c, d ∈ ¡ ( ( ) ( ) ( ) ) z1 ± z2 = a + c ± b + d i • Số đối số phức z = a + bi −z = −a − bi • Tổng một số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số thực đó: z = a + bi, z + z = 2a 2.2 Phép nhân số phức • Cho hai số phức z1 = a + bi a, b ∈ ¡ ( Khi đó: ( )( ) ( ) ( ) ( z2 = c + di c, d ∈ ¡ ) ) z1z2 = a + bi c + di =   ac – bd + ad + bc i • Với số thực k số phức ( z = a + bi a, b ∈ ¡ ) , ta có Trang 61 ( Đặc biệt: ) k.z = k a + bi = ka + kbi • Lũy thừa i 4n = 1, i 4n+1 = i, : i i = 1, i 4n +2 = −1, 2.3 Chia hai số phức Số phức nghịch đảo Phép chia hai số phức z' z 0.z = i = i, i = −1, i 4n +3 = −i , khác z≠0 với số phức z−1 = i = i 2.i = −i ∀n ∈ ¥ ∗ số z z z z' z '.z z '.z = z 'z−1 = = z z.z z TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Một số tập hợp điểm biểu diễn số phức z thường gặp: • tập hợp điểm đường thẳng ax + by + c = ⇒ • • • • x = 0⇒ y = 0⇒ tập hợp điểm trục tung Oy tập hợp điểm trục hoành Ox ( x − a) + ( y − b) ( ) ( ) tập hợp điểm hình trịn tâm  x − a + y − b = R2  ⇒ x2 + y2 − 2ax − 2by + c =  ( ) bán kính I a;b , 0⇒ tập hơp điểm miền bên phải trục tung y < 0⇒ x < 0⇒ y > 0⇒ tập hợp điểm miền phía trục hồnh tập hợp điểm miền bên trái trục tung tập hợp điểm phía trục hoành y = ax + bx + c ⇒ ( ) I a;b , kính • R tập hợp điểm đường Parabol Trang 62 bán • • tập hợp điểm đường Elip x y + = 1⇒ a b x2 y2 − = 1⇒ a2 b2 tập hợp điểm đường Hyperbol PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC 4.1 Căn bậc hai số thực âm • Cho số , có số phức cho z z z ta nói z12 = z z1 mợt bậc hai • Mọi số phức z≠0 có hai bậc hai • Căn bậc hai số thực z âm ±i z Tổng quát, bậc hai số thực a âm ±i a 4.2 Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai Xét biệt số ax2 + bx + c = 0, ∀a,b,c ∈ ¡ ,a ≠ ∆ = b2 − 4ac phương trình Ta thấy: • Khi , phương trình có mợt nghiệm thực ∆=0 • Khi • Khi b x=− 2a , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt ∆>0 ∆ 0)  z r max z = + z1 z1   min z = z2 − r  z1 z1  • Cho số phức z thỏa mãn z1.z − z2 = r1,( r1 > 0) Trang 63 max P = • Cho số phức z z2 z1 − z3 + thỏa mãn r1 z1 P = z2 z1 r1 − z3 − ( z1 ) z1.z + z2 + z1.z − z2 = k, k > k max z = z1 z = k2 − z2 2 z1 MỤC LỤC Trang 64 ... số từ năm đến năm Xm m dân số năm Xn n dân số năm r % = m−n Xm Xn −1 Từ ta có cơng thức tính tỉ lệ tăng dân số 4.8 Lãi kép liên tục Gửi vào ngân hàng A (n ∈ ¥ ) đồng với lãi kép lãi sau n năm (... sau thay vào I TÍCH PHÂN 3.1 Cơng thức tính tích phân b b ∫ f (x)dx = F (x) a = F (b) − F (a) a b * Nhận xét: Tích phân hàm số f ∫ f (x)dx từ a đến b kí hiệu a hay b ∫ f (t)dt a Tích phân phụ... ) r% /năm số tiền nhận vốn lẫn n Giả sử ta chia năm thành r % m số tiền thu sau n m kì hạn năm là: m.n  r  Sn = A  + ÷ m  m → +∞ Khi tăng số kì hạn năm lên vơ cực, tức , gọi hình thức lãi