Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 4 học tốt dạng toán về tìm số trung bình cộng

Đưa ra một số biện pháp nhằm giúp học sinh lớp 4 nắm được phương phápgiải các bài toán về tìm số khi biết mối quan hệ giữa số trung bình cộng với sốđó.3.. Việc dạy - học giải toán về "số

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Ở bậc Tiểu học, môn Toán là một trong những môn học chiếm vị trí quantrọng và được dành một thời lượng rất lớn trong chương trình dạy - học Với vaitrò là những người làm công tác giáo dục thì việc thực hiện tốt phương châm giáodục của Đảng: Đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài là hết sức cần thiết

Hiện nay, việc dạy - học lấy học sinh làm trung tâm đã được nhiều giáo viênvận dụng rất sáng tạo, linh hoạt nên đạt hiệu quả cao Song bên cạnh đó cũng cònkhông ít tồn tại, vướng mắc; việc dạy - học thụ động, đối phó vẫn xảy ra

Lên lớp 4, tư duy của các em đã phát triển Một số em học sinh yêu thích mônToán thích tìm tòi, khám phá những cái mới, cái hấp dẫn dễ nhàm chán với nhữngbài toán dễ và đơn giản mà thường dành sự quan tâm đặc biệt đến những bài toánkhó Như vậy, giáo viên phải không ngừng nâng cao chuyên môn, nghiệp vụ để cóthể đáp ứng kịp thời những tình huống có thể xảy ra trong quá trình đồng hànhcùng hoạt động học tập của học sinh Ngoài ra, cần tạo những sân chơi lành mạnhcho các em, giúp các em phát triển toàn diện, đặc biệt có thể giúp các em phát triểnnăng lực, sở trường của cá nhân và vận dụng tốt kiến thức đã học trong luyện tậpthực hành hay vận dụng vào thực tiễn cuộc sống Đó cũng chính là vấn đề được cảnhà trường, phụ huynh và xã hội quan tâm

Qua thực thế giảng dạy ở trường tôi thấy việc dạy - học dạng toán về số trungbình cộng ở lớp 4 có vị trí quan trọng Bởi vì thông qua bài học giúp học sinh hiểubiết, tìm tòi, vận dụng để giải toán Mặt khác giúp các em có kiến thức sơ giản vềgiải toán để học ở các lớp trên

Xuất phát từ thực tế trường tôi dạy, tôi thấy việc dạy - học dạng toán về sốtrung bình cộng còn nhiều hạn chế, chưa giúp cho học sinh phát triển tốt năng lực

tư duy, suy luận trong quá trình giải toán Khi học dạng toán này phần lớn các emnắm được phương pháp chung để giải các bài toán đơn giản Song việc học dạngtoán này ở chương trình Tiểu học mới chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinhbiết vận dụng công thức để tính Vì thế đối với những bài toán có thêm dữ kiện,phức tạp hơn một chút các em còn gặp nhiều khó khăn khi giải Bản thân tôi đãtham khảo rất nhiều tài liệu phục vụ cho công tác giảng dạy Đa số các tài liệu chỉcung cấp các đề bài đan xen trong các dạng bài khác, định hướng cách giải chưa rõràng, làm tắt bước, không gọi tên Chưa thấy tài liệu nào nghiên cứu sâu về vấn đềnày nên rất khó khăn cho giáo viên trong việc giúp học sinh học tốt, giúp các emmạnh dạn, tự tin khi tham gia câu lạc bộ Toán học hay tham gia giao lưu giải toántrên Internet

Với mong muốn tìm ra biện pháp góp phần nâng cao chất lượng dạy - học

dạng toán về số trung bình cộng ở lớp 4, tôi xin trình bày “Một số kinh nghiệm

giúp học sinh lớp 4 học tốt dạng toán về số trung bình cộng”.

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Đưa ra một số biện pháp nhằm giúp học sinh lớp 4 nắm được phương phápgiải các bài toán về tìm số khi biết mối quan hệ giữa số trung bình cộng với sốđó.

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

- Nội dung chương trình sách giáo khoa Toán 4

- Một số bài toán về số trung bình cộng

- Một số biện pháp giúp học sinh lớp 4 học tốt dạng toán về số trung bìnhcộng

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận

- Phương pháp khảo sát, thống kê

- Phương pháp kiểm tra, đánh giá

PHẦN II: NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 C¬ së lÝ luËn

Trong toán học, dạng toán về số trung bình cộng là dạng toán điển hình, sẽrất đơn giản khi thực hiện những bài toán dễ trong sách giáo khoa song chỉ mộtthời gian ngắn sau là nhiều em quên ngay cách giải Mặt khác, với một số bàitoán, nhiều em vẫn còn nhầm lẫn giữa dạng này với dạng khác nên thực hiện saiyêu cầu Do đó, việc hướng dẫn học sinh nắm vững cách giải là rất cần thiết Việc dạy - học giải toán về "số trung bình cộng" ở lớp 4 nhằm giúp học sinhhiểu đó là lấy tổng nhiều số hạng rồi chia cho số các số hạng song đối với một số họcsinh thì các em không chỉ dừng ở mức ghi nhớ công thức để áp dụng vào làm các bàitoán đơn giản trong sách giáo khoa mà thích tìm tòi, khám phá những cái hay, cái mới

có ở trong sách báo, trong thực tế Song việc giải dạng này ở chương trình Tiểu họcmới chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học sinh biết vận dụng công thức để tính.Hướng dẫn học sinh tìm ra lời giải đúng và hay là rất khó Trong một lớp học lại cónhiều đối tượng học sinh nên khả năng học của các em cũng khác nhau Chính vì vậy,khi đang học dạng toán này trong sách giáo khoa, các em làm rất tốt Song chỉ mộtthời gian ngắn sau mà làm lại thì kết quả không cao, bởi lẽ các em chưa nắm được bảnchất của dạng toán Còn đối với một số học sinh có năng khiếu, khi tham gia tiết họctrên lớp, cùng các bạn hoàn thành một số lượng bài tập như nhau nên không thấyhứng thú trong giờ học vì các em giải quyết các bài tập đó quá dễ dàng Vậy làm thếnào để giúp học sinh hiểu, vận dụng làm tốt dạng toán trên? Giúp các em có hứngthú khi học dạng toán này? Đó là nỗi băn khoăn, trăn trở của không ít giáo viên.Trước những bất cập đó, bản thân tôi ngoài việc áp dụng công thức tính tôi đãtìm tòi, nghiên cứu đưa toán trung bình cộng về các dạng bài tương đồng nhau đểhọc sinh dễ hiểu và làm được bài khi gặp các bài toán dạng này Đồng thời còngiúp học sinh phát triển khả năng tư duy, biết tìm tòi sáng tạo trong học tập và vận

dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống Đó là lí do tôi chọn đề tài nghiên

cứu: “Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 4 học tốt dạng toán về số trung

bình cộng”.

2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

Qua thực tế nhiều năm trực tiếp giảng dạy lớp 4 ở trường Tiểu học, tôi thấy:

1 Về phía giáo viên:

Được Ban giám hiệu quan tâm chỉ đạo, chính quyền địa phương, cha mẹ họcsinh rất ủng hộ, tạo điều kiện tốt nhất cho việc dạy - học của giáo viên và học sinh.Đối với những bài toán dạng tìm số trung bình cộng, ở các tiết dạy trên lớp,giáo viên đã cố gắng khai thác bài dạy để học sinh hiểu bài, giúp học sinh phân tích

đề, nhận diện dạng toán, nắm vững cách giải dạng toán để vận dụng giải những bàitoán dạng đơn giản song chưa mở rộng kiến thức cho các em để các em nắm bắt vàvận dụng vào giải các bài toán có nhiều dữ kiện, các bài toán hay trong câu lạc bộToán học, trong các vòng thi Violympic

2 Về phía học sinh:

* Thuận lợi:

- Do đặc điểm của học sinh tiểu học nhanh nhớ nhưng cũng chóng quên nên khitập trung vào học một dạng toán thì các em dễ khắc sâu và rèn được kĩ năng tính toán

- Với phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm hiện nay giúp các em

có điều kiện hoạt động và chủ động nắm kiến thức

* Khó khăn:

Trong giờ học các em sôi nổi phát biểu ý kiến, tiếp thu bài nhanh, làm đượccác bài toán ở dạng cơ bản (bài toán mang tính chất “chìa khóa”) nhưng chưa hiểubản chất của dạng toán do đó dẫn đến chóng quên Đối với những bài toán mà đềbài có yếu tố “nhiễu”(Yếu tố gây khó khăn cho học sinh khi xác định yêu cầu của

đề bài) là các em gặp vướng mắc ngay Các em chưa tư duy để tìm ra cách giải màvẫn còn dựa vào sự hướng dẫn của giáo viên Để giải đúng bài toán còn đòi hỏi các

em phải tư duy, tìm ra cách giải song một số em vẫn còn nhầm lẫn những yếu tốkhông thuộc bản chất dẫn đến sự nhầm lẫn cách giải giữa dạng này với dạng khác.Bên cạnh đó vẫn còn một số học sinh chưa thực hiện đúng các bước giải toán,thường không đọc kĩ đề nên hiểu sai yêu cầu của đề dẫn đến giải sai hoặc một số

em có tố chất nhưng ý thức học tập không cao, cẩu thả khi trình bày nên thường đạt kết quả thấp

Từ thực tế trên cho thấy phần lớn các em học sinh đều có năng lực học toán

và nhanh nhẹn trong tính toán Song cũng còn một số vướng mắc cần khắc phục

3 Về tài liệu tham khảo:

Dạng toán trung bình cộng trong chương trình Toán lớp 4 gồm 3 tiết

Cụ thể: - Tiết 22: Cung cấp quy tắc và công thức tính trung bình cộng củanhiều số (Trang 26 - 27)

- Tiết 23: Luyện tập, áp dụng quy tắc vừa học (Trang 28)

- Tiết 169: Ôn tập về tìm số trung bình cộng (Trang 175)

Với thời lượng ít như vậy nên thực tế nhiều giáo viên chưa đầu tư nhiều vàodạng toán này hoặc nếu có cũng chỉ dừng ở mức vận dụng quy tắc trong sách giáo

khoa Như thế dẫn đến sự khó khăn cho học sinh khi gặp những bài toán có nhiều

dữ kiện hơn Đặc biệt là đối với những học sinh có năng khiếu trong việc vận dụngvào giải các bài toán ở các vòng Violympic Toán, các bài toán hay trong câu lạc bộToán học

Bên cạnh đó, hiện nay, tài liệu hướng dẫn học sinh học ở buổi thứ hai không cósách hướng dẫn chi tiết, từng buổi như trong chương trình chính khóa mà giáo viênphải tự tìm tài liệu tham khảo và soạn thảo thành chương trình riêng Về cơ bản, cácsách tham khảo có nhiều ưu điểm, song trong nhiều tài liệu còn một số hạn chế nhấtđịnh, chưa đáp ứng hết được sự đam mê, tìm tòi của học sinh và giáo viên

Qua nhiều năm trực tiếp dạy học sinh khối 4, tôi thấy việc giải toán về “Số

trung bình cộng” của các em học sinh còn nhiều hạn chế Nguyên nhân là các em

chưa hiểu được bản chất của dạng toán, trong giải toán còn làm một cách máy móc,dập khuôn nên học xong phần này một thời gian là quên ngay cách giải; các emthường lúng túng trong việc phân tích đề, chưa nắm được phương pháp giải,…Những lí do trên không thể hoàn toàn đổ lỗi cho học sinh mà một phần là do cáchhướng dẫn của giáo viên Chính vì thế, tôi đã nghiên cứu và rút kinh nghiệm dần khidạy đến phần này Sau khi học sinh đã được học các bài toán về số trung bình cộngcủa chương trình sách giáo khoa Toán 4, tôi cho các em học sinh lớp tôi dạy làmmột bài kiểm tra với nội dung bài tập như sau:

Bài 1:Tìm trung bình cộng của các số sau: 998, 999, 1000, 1001, 1002

Bài 2: Tìm 3 số lẻ liên tiếp có tổng là 99

Bài 3: Tìm 6 số lẻ liên tiếp biết trung bình cộng của chúng là 56

Kết quả khảo sát 30 học sinh lớp 4A cuối năm học 2014 – 2015, khi chưa ápdụng các giải pháp của sáng kiến:

Bài Số học sinh làm đúng Số học sinh làm sai Số học sinh không làm bài

Từ những thực trạng và nguyên nhân cơ bản đó đã làm cho nhiều giáo viên lúng túng trong cách dạy, nhiều học sinh lúng túng trong cách học Là giáo viêntrực tiếp giảng dạy khối 4, tôi đã dự giờ thăm lớp, tiếp thu các chuyên đề mới, tôi

mạnh dạn áp dụng một số biện pháp khi dạy dạng toán về “Số trung bình cộng”

cho học sinh lớp tôi dạy trong các tiết toán ở buổi 2 nhằm mục đích khắc phục nhữnghạn chế trong quá trình dạy - học như sau:

3 CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN.

Thứ nhất: Tự học, tự bồi dưỡng kiến thức.

Muốn nâng cao kết quả học tập của học sinh thì yếu tố quan trọng nhất và

có vai trò quyết định là giáo viên Ý thức được điều đó, tôi luôn có tinh thần tựhọc, tự bồi dưỡng để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, hoàn chỉnh các kĩnăng giải toán của mình để có thể chuyển tải đến học sinh cách giải hợp lí nhất.Tôi thường xuyên tự học tự bồi dưỡng, tham khảo các chuyên đề giải toán, các bộ

đề thi của các cấp trên trang Violet.vn, theo sát chương trình “Giải toán trên mạngViolimpic” của học sinh, thực hiện nghiêm túc các chuyên đề giải toán do nhàtrường tổ chức Từ đó tôi đã thống kê, phân loại, sắp xếp các dạng toán theo từngmạch kiến thức cần chuyển tải đến học sinh Tôi thường xuyên trao đổi với đồngnghiệp có kinh nghiệm về nội dung và phương pháp giảng dạy, luôn lắng nghe ýkiến chỉ đạo của Ban giám hiệu Qua đó, tôi hệ thống được nội dung kiến thức cầncung cấp, tiếp thu phương pháp dạy học tốt nhất Song song với việc làm đó, tôinghiên cứu nội dung chương trình, xây dựng kế hoạch và nội dung các bài toán về

số trung bình cộng cho học sinh lớp 4 Tôi xây dựng hệ thống bài tập theo từngdạng bài cụ thể, soạn giáo án chu đáo trước khi lên lớp

Thứ hai: Họp phụ huynh - Thống nhất biện pháp giáo dục.

Lên lớp 4, các em học sinh vẫn phần lớn phụ thuộc vào sự quan tâm, nhắcnhở của cha mẹ và thầy cô Các em vẫn chưa tự giác học tập Chính vì vậy, giáodục ý thức tích cực học tập cho các em là một yếu tố quan trọng giúp các em họctốt hơn Trong cuộc họp phụ huynh đầu năm, tôi đã giúp phụ huynh nắm đượcnhững yêu cầu cần thiết để các em học tập tốt như: mua sắm đầy đủ sách vở, đồdùng phục vụ cho việc học tập của các em Một số học sinh thiếu sách giáo khoa, tôigặp gỡ, trao đổi với phụ huynh, hướng dẫn phụ huynh đăng kí mượn sách tại thưviện của trường, tạo điều kiện cho các em học tập

Thứ ba: Xây dựng một số dạng bài toán về số trung bình cộng và cách giải.

Để học sinh dễ hiểu bài, nắm chắc chắn kiến thức và vận dụng tốt kiến thức đãhọc vào giải toán, tôi đã dành thời gian nghiên cứu nội dung chương trình của mônhọc, khối lớp mình dạy Đặc biệt kiến thức kĩ năng cần đạt của bài học cung cấp đếnhọc sinh về mục tiêu, vị trí tiết học để đưa ra hệ thống câu hỏi ngắn gọn nhất, dễ hiểunhất cho các em Chốt kiến thức cho học sinh chắc chắn sau mỗi dạng bài, linh hoạttrong việc lựa chọn phương pháp giảng dạy Trước tiên tôi hướng dẫn học sinh hệthống lại các kiến thức đã học về số trung bình cộng trong sách giáo khoa Sau đó, tôiphân các bài toán có cách giải tương đồng nhau về các dạng:

Dạng 1: Tìm số trung bình cộng của nhiều số.(dạng cơ bản)

Đây là dạng toán cơ bản nhất, làm tiền đề để các em học các dạng toán về số trung bình cộng khác Vì vậy, ngay từ bài học đầu tiên về tìm số trung bình cộng,tôi hướng dẫn các em nắm chắc cách làm qua ví dụ cụ thể ở sách giáo khoa

Ví dụ 1: Rót vào can thứ nhất 6l dầu, rót vào can thứ hai 4l dầu Hỏi nếu số lít

dầu đó được rót đều vào 2 can thì mỗi can có bao nhiêu lít dầu?

* Hướng dẫn học sinh phân tích đề:

+ Bài toán cho biết gì? Bài toán yêu cầu tìm gì?

(Giáo viên hướng dẫn học sinh tóm tắt đề toán bằng sơ đồ đoạn thẳng.)

+Can thứ nhất có mấy lít dầu?

+Can thứ hai có mấy lít dầu?

+ Cả hai can có mấy lít dầu?

+ Bài toán hỏi gì? (Số lít dầu đó được rót đều vào 2 can thì mỗi can có bao nhiêulít dầu?)

+ Em hiểu số lít dầu rót đều vào 2 can nghĩa là rót như thế nào? (Rót số lít dầuvào mỗi can bằng nhau)

+ Giáo viên chỉ vào sơ đồ và lưu ý học sinh: Biểu thị tổng số lít dầu của hai canbằng một đoạn thẳng Đoạn thẳng thứ nhất biểu thị tổng số lít dầu của hai cạn, đoạnthẳng thứ hai biểu thị tổng số lít dầu đó chia thành 2 phần bằng nhau và mỗi phầnchính là trung bình cộng số dầu của mỗi can

Cả hai can có bao nhiêu lít dầu? (Có 6 + 4 = 10 lít dầu)

+ Nếu rót đều số lít dầu ấy vào 2 can thì mỗi can có bao nhiêu lít dầu? (Mỗican có 10 : 2 = 5 lít dầu)

+ Nếu rót đều số dầu này vào 2 can thì mỗi can có 5 lít dầu Ta nói rằngtrung bình mỗi can có 5 lít dầu Số 5 gọi là số trung bình cộng của hai số 4 và 6

+ Để giải bài toán này, bước thứ nhất ta tính gì? (Tính tổng số dầu trong cảhai can)

+ Để tính số lít dầu rót đều vào mỗi can, chúng ta làm gì?(Thực hiện phépchia tổng số lít dầu cho 2 can.)

* Giáo viên nhắc học sinh: Để tìm số dầu trung bình có trong mỗi can ta đãlấy tổng số lít dầu chia cho số can

+ Dựa vào cách giải bài toán, nêu cách tìm số trung bình cộng của 4 và 6 (6 + 4) : 2 = 5

Qua ví dụ 1 tôi chốt lại cho học sinh: Để tìm số trung bình cộng của hai số 6 và 4

ta tính tổng của hai số rồi lấy tổng đó chia cho 2, 2 chính là số các số hạng của tổng 4 + 6.

* Giáo viên hướng dẫn tương tự với ví dụ 2 trong sách giáo khoa

Từ hai ví dụ, lưu ý học sinh hiểu rõ khái niệm trung bình cộng là lấy tổng củatất cả các số hạng rồi chia cho số các số hạng vừa tính tổng

+ Yêu cầu học sinh nêu quy tắc tìm số trung bình cộng của nhiều số:

Muốn tìm trung bình cộng của nhiều số ta tính tổng các số đó rồi chia tổng đócho số các số hạng

Từ quy tắc tìm số trung bình cộng của nhiều số, tôi hướng dẫn các em cáchtìm tổng của các số hạng khi biết số trung bình cộng: Muốn tìm tổng các số hạng talấy trung bình cộng nhân với số các số hạng.

Những kiến thức này các em đã nắm được ở các giờ học trên lớp và cũng đãthực hành vận dụng nhiều Để học sinh tiếp cận tốt các bài toán về trung bình cộngthì trước hết phải giúp các em nắm vững các quy tắc Bởi vì các quy tắc này phục

vụ rất nhiều trong quá trình làm bài mà nền tảng có vững chắc thì các em mới có

thể mở rộng vốn hiểu biết của mình Để giúp các em nắm được kiến thức, tôi hướng dẫn qua các bước sau:

Bước 1: Yêu cầu học sinh làm các bài tập đơn giản, cụ thể.

Bước 2: Qua các bài tập đó giúp học sinh rút ra các kết luận cần thiết.

Ví dụ 1: Tìm trung bình cộng của các số sau: 5,10, 15, 20, 25

Ở bài tập này học sinh dễ dàng tìm được trung bình cộng của các số trên dựavào quy tắc:

Tổng các số đó là: 5 + 10 + 15 + 20 + 25 = 75

Trung bình cộng của các số trên là: 75 : 5 = 15

Đáp số: 15Sau khi học sinh hoàn thành ví dụ 1, tôi yêu cầu các em nêu lại cách làm đểcủng cố kiến thức về áp dụng quy tắc

Ví dụ 2: Trung bình cộng của hai số là 100, một số là 79 Tìm số kia.

* Hướng dẫn tìm hiểu đề:

- Muốn tìm được số kia ta cần biết gì?(Cần biết tổng hai số đó và một số hạng.)

- Muốn biết tổng của hai số ta làm như thế nào?(Lấy trung bình cộng của hai

số nhân với 2)

- Khi biết tổng hai số và một số hạng, ta sẽ tìm được số hạng kia

* Như vậy, để giải dạng toán này ta làm qua các bước:

Bước 1: Tìm tổng hai số.

Bước 2: Lấy tổng đó trừ đi số hạng đã biết để tìm số hạng còn lại.

Qua các bài tập trên, các em học sinh đã có những kiến thức cơ bản để làm cácbài tập liên quan đến số trung bình cộng Khi làm các bài tập, các em có thể vậndụng vốn kiến thức này kết hợp với cách giải các dạng toán điển hình có liên quan.Ngoài ra, tôi đưa thêm một số bài toán để các em vận dụng quy tắc đã học đểrèn kĩ năng tính toán thành thạo hơn (Phụ lục 1)

Dạng 2: Bài toán về trung bình cộng của dãy số cách đều.(Đây là bài tập các

em hay gặp khi giao lưu giữa các Câu lạc bộ Toán học, đề thi Violympic Toán)

Ví dụ 1: Tìm trung bình cộng của các số sau: 10, 12, 14, 16, 18, 20.

* Hướng dẫn học sinh phân tích đề:

- Dãy số trên có đặc điểm gì? (Là dãy số cách đều 2 đơn vị)

- Tìm trung bình cộng của các số trên bằng cách nào?(Tính tổng các số hạngrồi lấy tổng đó chia cho số các số hạng)

- Đó là cách làm áp dụng quy tắc Để thuận tiện hơn ta có thể làm như sau:+ Đây là dãy số cách đều nhau 2 đơn vị Trung bình cộng của dãy số cách đềubằng số cuối cộng số đầu rồi chia cho 2

+ Yêu cầu học sinh áp dụng công thức này để làm bài

* Trình bày bài giải:

Dãy số trên cách đều nhau 2 đơn vị

Trung bình cộng của các số trên là:

Cách 1: Tôi hướng dẫn các em dùng sơ đồ đoạn thẳng.

* Hướng dẫn phân tích đề bài:

- Nêu những điều kiện đã cho của bài toán

Dựa vào sơ đồ ta sẽ tìm được các số theo yêu cầu của đề bài

Cách 2: Tìm số chính giữa của dãy số.

- Nhận xét số số hạng cần tìm là số chẵn hay số lẻ?(3 số, là số lẻ)

- Vì số số hạng phải tìm là số lẻ nên số trung bình cộng của dãy là số nằmchính giữa của dãy số

- Tìm số chính giữa của dãy số

- Dựa vào số chính giữa của dãy số để tìm các số còn lại

* Trình bày bài giải:

số ở chính giữa sẽ tìm được các số còn lại.

Như vậy, bài toán ở ví dụ này khó hơn bài toán ở ví dụ 1 vì phải tìm 3 số lẻ

là những số nào khi biết tổng Tôi hướng dẫn học sinh rút ra nhận xét khi gặp

những bài toán dạng này: Trong dãy số cách đều số các số hạng là một số lẻ thì

số trung bình cộng của dãy chính là số nằm chính giữa của dãy số.

Ví dụ 3: Tìm số trung bình cộng của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 99.

* Hướng dẫn học sinh cách giải:

Cách 1: Áp dụng theo quy tắc: Tính tổng của dãy; lấy tổng tìm được chiacho số số hạng để tìm số trung bình cộng

Tương tự như thế, học sinh sẽ dễ dàng vận dụng những bài toán cùng dạng

Ví dụ 4: Tìm 4 số chẵn liên tiếp biết trung bình cộng của chúng bằng 55.

* Hướng dẫn phân tích đề:

- Bài toán cho biết gì? (Bốn số chẵn liên tiếp có trung bình cộng bằng 55)

- Bài toán yêu cầu tìm gì?(Tìm 4 số chẵn đó)

* Định hướng cách giải:

- Các số hạng là số chẵn, số số hạng là số chẵn thì số trung bình cộng củadãy bằng số trung bình cộng của hai số cách đều hai đầu dãy số

- Với bài toán này ta tìm tổng của số thứ hai và số thứ ba(cặp số ở giữa) sẽthuận tiện hơn vì ta biết ngay được hiệu hai số (hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau

2 đơn vị) sẽ dễ dàng cho việc tính toán

- Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị (hiệu của số thứ ba và số thứhai là 2)

- Tìm số thứ hai và số thứ ba dựa vào tổng và hiệu

- Tìm các số còn lại khi biết số thứ hai và số thứ ba

* Trình bày bài giải:

Hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị Có 4 số chẵn liên tiếp, trungbình cộng của 4 số đó chính là trung bình cộng của hai số ở cách đều hai đầu dãy

số Trung bình cộng của số thứ hai và số thứ ba là 55

Vậy 4 số chẵn liên tiếp đó là: 52; 54; 56; 58

Qua bốn ví dụ trên, tôi gọi học sinh nêu lại cách làm từng bài, nêu nhận xét

và rút ra kiến thức cần nhớ liên quan đến số trung bình cộng của dãy số cách đều:

Kiến thức cần nhớ: Đối với dãy số cách đều thì:

- Số trung bình cộng trong một dãy số cách đều chính là số trung bình cộng của hai số cách đều hai đầu dãy số

- Nếu số các số hạng là một số lẻ thì số hạng ở chính giữa của dãy số chính là số trung bình cộng của các số hạng.

- Nếu số số hạng là một số chẵn thì số trung bình cộng của dãy số đã cho đúng bằng nửa tổng của số đầu và số cuối của dãy số; hoặc đúng bằng nửa tổng của hai số cách đều hai đầu dãy số đã cho.

Tôi đưa thêm một số bài toán để các em vận dụng quy tắc đã học để rèn kĩnăng tính toán (Phụ lục 2)

Dạng 3: Dạng liên quan đến bản chất của số trung bình cộng trong một dãy (Đây là dạng bài tập mà các em hay gặp trong các buổi giao lưu ở Câu lạc bộ Toán học, đề thi Violympic Toán).

Dạng 3.1: Tìm một số bằng trung bình cộng của tất cả các số đã cho.

Ví dụ: An, Bình, Loan đi trồng cây An trồng được 5 cây, Bình trồng được 7cây Tìm số cây Loan trồng được, biết rằng số cây Loan trồng được bằng trungbình cộng số cây của ba bạn

* Hướng dẫn phân tích đề bài:

- Bài toán cho biết gì?

+ An trồng được 5 cây, Bình trồng được 7 cây

+ Số cây Loan trồng được bằng trung bình cộng số cây của cả 3 bạn

- Bài toán hỏi gì?(Tìm số cây bạn Loan trồng)

- Theo cách giải thông thường thì ta tìm trung bình cộng số cây của ba bạntrong đó có cả số cây của Loan trồng Số cây của Loan trồng chưa biết ta phải đitìm Do đó ta không tìm được số cây Loan trồng theo cách giải thông thường

- Đối với dạng bài này tôi hướng dẫn các em giải bằng sơ đồ đoạn thẳng:+ Trung bình cộng số cây của 3 bạn bằng tổng số cây của 3 bạn chia cho 3[(Số cây của An + Số cây của Bình + Số cây của Loan ): 3]

+ Để biểu diễn trung bình cộng số cây của ba bạn thì đoạn thẳng biểu thịtổng số cây của ba bạn được chia thành mấy phần bằng nhau? (3 phần bằng nhau)

Số cây của An + Số cây của Bình Số cây của Loan

TBC TBC TBC

Số cây của Loan trồng được bằng trung bình cộng số cây của 3 bạn

Vậy đoạn thẳng biểu thị số cây của Loan bằng đoạn thẳng biểu thị số trungbình cộng số cây của ba bạn, đoạn thẳng còn lại là tổng số cây của An và Bình

* Trình bày bài giải:

Bài giải

Theo bài ra ta có sơ đồ:

Số cây của An + Số cây của Bình Số cây của Loan

Bước 1: Tìm trung bình cộng số cây của cả 3 bạn

Bước 2: Tìm số cây của Loan đã trồng

Lưu ý học sinh cách vẽ sơ đồ biểu diễn các phần bằng nhau, giá trị của mỗiphần chính là một lần trung bình cộng

Ghi nhớ: Một số bằng trung bình cộng của tất cả các số đã cho thì số đó bằng trung bình cộng của các số còn lại.

* Hướng dẫn phân tích đề:

- Bài toán cho biết gì?(An gấp được 18 cái thuyền, Toàn gấp được 21 cáithuyền; Nga gấp được hơn mức trung bình cộng số thuyền của ba bạn là 3 cái.)

- Số thuyền Nga gấp được hơn mức trung bình cộng số thuyền của ba bạn là

3 cái nghĩa là thế nào? (Số thuyền của Nga không những bằng trung bình cộng sốthuyền của ba bạn mà còn hơn trung bình cộng số thuyền của ba bạn là 3 cái)

- Bài toán hỏi gì? (Nga gấp được bao nhiêu cái thuyền)

- Muốn biết số thuyền Nga gấp được ta phải biết gì trước? (biết trung bìnhcộng số thuyền của ba bạn)

- Vậy tìm trung bình cộng số thuyền của ba bạn như thế nào?

- Với những cách giải đã học ta không tìm được Vậy chúng ta sẽ dùng sơ đồđoạn thẳng để giải

* Hướng dẫn học sinh vẽ sơ đồ:

- Bài toán liên quan đến trung bình cộng số thuyền của 3 bạn thì đoạn thẳngbiểu thị tổng số thuyền của ba bạn được chia thành 3 phần bằng nhau Giá trị mỗi phần chính là trung bình cộng số thuyền của ba bạn

- Số thuyền Nga gấp được nhiều hơn trung bình cộng số thuyền của ba bạn.Vậy đoạn thẳng biểu thị số thuyền của Nga dài hơn đoạn thẳng biểu thị trung bìnhcộng số thuyền của ba bạn (biểu thị là 3 cái thuyền) Khi biểu diễn xong số thuyềncủa Nga thì phần còn lại chính là số thuyền của An và Bình Vậy điểm mấu chốtcủa bài toán chính là xác định số thuyền của Nga trên sơ đồ

- Yêu cầu học sinh chỉ trên sơ đồ, nêu lại đề toán

* Trình bày bài giải:

Theo bài ra ta có sơ đồ:

Sau khi giải xong bài này tôi lưu ý học sinh khi vẽ sơ đồ: Vì số thuyền Nga gấpđược nhiều hơn trung bình cộng số thuyền của ba bạn là 3 cái nên đoạn thẳng biểu thị

số thuyền của Nga dài hơn đoạn thẳng biểu thị trung bình cộng số thuyền của ba bạn

Ví dụ 2: Hà có 6 quyển vở, Liên có số vở gấp đôi số vở của Hà, Hoa có 14quyển vở Hằng có số vở hơn mức trung bình cộng số vở của 4 bạn là 4 quyển HỏiHằng có bao nhiêu quyển vở?

Giáo viên hướng dẫn học sinh làm bài qua các bước:

Số thuyền của Nga