Đang tải... (xem toàn văn)
tóm tắt lý thuyết đại số 10×tóm tắt kiến thức đại số 9×các dạng toàn diện đại số 10×tóm tắt lý thuyết đại số tuyến tính×tóm tắt kiến thức đại số lớp 10×tóm tắt kiến thức đại số tuyến tính×...................................................................................
Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai Chƣơng 1: Mệnh đề-Tập hợp §1 Mệnh đề mệnh đề chứa biến Mệnh đề mệnh đề chứa biến a) Mệnh đề Mệnh đề lơgic (gọi tắt mệnh đề) câu khẳng định hoặc sai Một mệnh đề khơng thể vừa vừa sai Một câu khẳng định gọi mệnh đề Một câu khẳng định sai gọi mệnh đề sai Ví dụ 1: a) Góc vng có số đo 800 (là mệnh đề sai) b) Số số ngun tố (là mệnh đúng) c) Hơm trời đẹp q ! (khơng mệnh đề) d) Bạn có khỏe khơng ? (khơng mệnh đề) Ví dụ 2: Trong câu sau đậy câu mệnh đề? Nếu mệnh đề xác định xem mệnh đề hay sai a) Khơng lối này! b) Bây giờ? c) Chiến tranh giới lần thứ hai kết thúc năm 1946 d) 16 chia dư f) 2003 khơng số ngun tố e) số vơ tỉ Chú ý: + Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh khơng phải mệnh đề + Mệnh đề thường kí hiệu chữ in hoa Ví dụ: Q: “ 36 chia hết cho 12” + Một câu mà chưa thể nói hay sai chắn sai, khơng thể vừa vừa sai mệnh đề Ví dụ: “Có sống ngồi Trái Đất” mệnh đề b) Mệnh đề chứa biến Những câu khẳng định mà tính đúng-sai chúng tùy thuộc vào giá trị biến gọi mệnh đề chứa biến Ví dụ: Cho P(x): “x > x2 “ với x số thực Khi đó: P(2) mệnh đề sai, P(1/2) mệnh đề Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P Mệnh đề “Khơng phải P” gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P Mệnh đề P P sai P sai P Chú ý: Mệnh đề phủ định P diễn đạt theo nhiều cách khác Ví dụ: P: “ số vơ tỉ” Khi mệnh đề P phát biểu : “ khơng phải số vơ tỉ” “ số hữu tỉ” Mệnh đề kéo theo +Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” mệnh đề kéo theo +Kí hiệu PQ + Mệnh đề kéo theo sai P Q sai * PQ phát biểu “P kéo theo Q”, “P suy Q” hay “Vì P nên Q” Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -1- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai Ví dụ: Cho tứ giác ABCD Xét hai mệnh đề P : “ Tứ giác ABCD hình chữ nhật “ Q : “ Tứ giác ABCD hình bình hành “ PQ: “ Nếu tứ giác ABCD hình chữ nhật tứ giác ABCD hình bình hành “ QP “ Nếu tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD hình chữ nhật “ * Trong tốn học, định lí mệnh đề đúng, thường có dạng : PQ P gọi giả thiết, Q gọi kết luận Hoặc P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) điều kiện cần để có P(x) Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) P(x) điều kiện cần để có P(x) Q(x) Mệnh đề đảo-Mệnh đề tƣơng đƣơng a) Mệnh đề đảo: Cho mệnh đề PQ Mệnh đề QP gọi mệnh đề đảo PQ b) Mệnh đề tương đương + Mệnh đề “P Q” (P Q) gọi mệnh đề tương đương, + Kí hiệu PQ +Mệnh đề PQ PQ QP sai trường hợp lại ( hay PQ hai P Q sai) Các cách đọc khác: P tương đương Q P điều kiện cần đủ để có Q Điều kiện cần đủ để có P(x) có Q(x) Ví dụ 1: Xét mệnh đề A: “36 chia hết cho chia hết cho 3”; B: “36 chia hết 12” Khi đó: A đúng; B AB: “36 chia hết cho chia hết cho 36 chia hết 12” Ví dụ 2: Mệnh đề “Tam giác ABC tam giác có ba góc tam giác có ba cạnh nhau” mệnh đề gì? Mệnh đề hay sai? Giải thích Xét P:” Tam giác ABC tam giác có ba góc nhau” Q:” Tam giác có ba cạnh nhau” Khi P Q đúng; QP Vậy PQ Các kí hiệu Kí hiệu (với mọi): "x X , P( x) ” “ x X : P( x) ” Kí hiệu (tồn tại) :“ x X , P( x) ” “ x X : P( x) ” Phủ định mệnh đề “ x X, P(x) ” mệnh đề “xX, P(x) ” Phủ định mệnh đề “ x X, P(x) ” mệnh đề “xX, P(x) ” Ví dụ: Các biết tính đúng/sai mệnh đề sau? Nêu mệnh đề phủ định a) n *, n2-1 bội b) x , x2-x+1>0 c) x , x2=3 d) n , 2n + số ngun tố Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -2- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai e) n , 2n ≥ n+2 * Trong tốn học, định lí mệnh đề đúng, thường có dạng : PQ P gọi giả thiết, Q gọi kết luận Hoặc P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) điều kiện cần để có P(x) Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) P(x) điều kiện cần để có P(x) Q(x) Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -3- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai * Mệnh đề tương đương + Mệnh đề “P Q” (P Q) gọi mệnh đề tương đương Kí hiệu PQ +Mệnh đề PQ PQ QP sai trường hợp lại ( hay PQ hai P Q sai) Các cách đọc khác: P tương đương Q P điều kiện cần đủ để có Q Điều kiện cần đủ để có P(x) có Q(x) Bổ sung: Trong lơgic tốn, phân ngành lơgic học, sở ngành tốn học, mệnh đề, hay gọi đầy đủ mệnh đề lơgic khái niệm ngun thủy, khơng định nghĩa Chú ý:(mệnh đề) Trong thực tế có mệnh đề mà tính sai ln gắn với thời gian địa điểm cụ thể: thời gian địa điểm sai thời gian địa điểm khác Nhưng thời điểm nào, địa điểm ln có giá trị chân lí sai Ví dụ: Sáng bạn An học Trời mưa Học sinh tiểu học nghỉ hè Ta thừa nhận luật sau lơgic mệnh đề: Luật trùng: Mỗi mệnh đề phải đúng, sai; khơng có mệnh đề khơng khơng sai Luật mâu thuẫn: Khơng có mệnh đề vừa lại vừa sai Có mệnh đề mà ta khơng biết (hoặc chưa biết) sai biết "chắc chắc" nhận giá trị Ví dụ: Trên Hỏa có sống Chú ý:(mệnh đề kéo theo) Trong lơgic, xét giá trị chân lí mệnh đề a b người ta khơng quan tâm đến mối quan hệ nội dung hai mệnh đề a, b Khơng phân biệt trường hợp a có phải ngun nhân để có b hay khơng, mà quan tâm đến tính đúng, sai chúng Ví dụ: "Nếu mặt trời quay quanh trái đất Việt Nam nằm Châu Âu" ← mệnh đề Vì hai mệnh đề a = "mặt trời quay quanh trái đất" b = "Việt Nam nằm Châu Âu" sai "Nếu tháng 12 có 31 ngày năm có 13 tháng" ← mệnh đề sai Chú ý:(mệnh đề tương đương) Hai mệnh đề a, b tương đương với hồn tồn khơng có nghĩa nội dung chúng nhau, mà nói lên chúng có giá trị chân lí (cùng sai) Ví dụ: "Tháng 12 có 31 ngày trái đất quay quanh mặt trời" mệnh đề "12 trưa hơm Tuấn có mặt Hà Nội vào anh thành phố Hồ Chí Minh" mệnh đề sai "Hình vng có góc tù 100 số ngun tố" mệnh đề Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -4- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai Giải tốn suy luận Ví dụ:Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan Inđơnêxia Trước thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đốn sau: Dung: Singapor nhì, Thái Lan ba Quang: Việt Nam nhì, Thái Lan tư Trung: Singapor Inđơnêxia nhì Kết quả, bạn dự đốn đội sai đội Hỏi đội đạt giải mấy? Giải: Kí hiệu mệnh đề: d1, d2 hai dự đốn Dụng q1, q2 hai dự đốn Quang t1, t2 hai dự đốn Trung Vì Dung có dự đốn dự đốn sai, nên có hai khả năng: Nếu G(d1) = G(t1) = Suy G(t2) = Điều vơ lí hai đội Singapor Inđơnêxia đạt giải nhì Nếu G(d1) = G(d2) = Suy G(q2) = G(q1) = Suy G(t2) = G(t1) = Vậy Singapor nhất, Việt Nam nhì, Thái Lan ba Inđơnêxia đạt giải tư Số vơ tỉ Trong tốn học, số vơ tỉ số thực khơng phải số hữu tỷ, nghĩa khơng thể biểu diễn dạng tỉ số a/b , với a, b số ngun Ví dụ: Số thập phân vơ hạn có chu kỳ thay đổi: 0.1010010001000010000010000001 Số = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 Số pi = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 Số lơgarít tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536 Nếu số hữu tỉ có biểu diễn thập phân hữu hạn (số thập phân hữu hạn, ví dụ: 1/2=0,5) vơ hạn tuần hồn (số thập phân vơ hạn tuần hồn, ví dụ:1/11= 0.090909 ) số vơ tỉ có biểu biễn thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Căn bậc hai tất số ngun Ta chứng minh bậc hai số ngun phải số ngun số vơ tỉ Lấy số ngun r Thí dụ, r = Trong hệ nhị phân, = 102 Vậy, trên, = m/n thì, hệ nhị phân: 2 m = 102 n m, n số ngun Trường hợp n = khơng thể xảy ra, ta biết khơng phải số ngun Lập luận trên, vế trái có số chẵn số (trong hệ nhị phân) cuối, vế phải lại có số lẻ số cuối Vậy giả thiết số hữu tỉ phải sai Với số ngun r bất kỳ, chứng minh hệ r-phân: m2 = 10r n2 m, n số ngun Nếu n = m2 = 10r = r, số ngun Còn n ≠ thì, trên, số bình phương hệ r-phân phải có số chẵn số (trong hệ r-phân) cuối Do đẳng thức vế trái có số chẵn số cuối vế phải lại có số lẻ số cuối Vậy khơng thể số hữu tỉ Số phƣơng Số phƣơng hay gọi số hình vng số ngun có bậc số ngun, hay nói cách khác, số phương bình phương (lũy thừa bậc 2) số ngun khác Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -5- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai Ví dụ:4 = 2²; = 3²; 1.000.000 = 1.000² Số phương hiển thị diện tích hình vng có chiều dài cạnh số ngun Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -6- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai §1 MỆNH ĐỀ 1.1 Xét xem câu sau, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến? a) 7+x=3 b) 7+5=6 c) 4+x hai số a b phải dương 1.22 Phát biểu định lý sau, sử dụng khái niệm "điều kiện cần": a) Nếu hai tam giác chúngcó góc tươmg ứmg b) Nếu tứ giác T hình thoi có hai đường chéo vng góc c) Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho d) Nếu a=b a2=b2 1.23 Phát biểu định lí sau, sử dụng “điều kiện cần đủ” “Tam giác ABC tam giác tam giác ABC tam giác cân có góc 600” 1.24 Hãy sửa lại (nếu cần) mệnh đề sau để mệnh đề đúng: a) Để tứ giác T hình vng, điều kiện cần đủ có bốn cạnh Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -9- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai b) Để tổng hai số tự nhiên chia hết cho 7, điều kiện cần đủ số chia hết cho c) Để ab>0, điều kiện cần hai số a b điều dương d) Đề số ngun dương chia hết cho 3, điều kiện đủ chia hết cho 1.25 Các mệnh đề sau hay sai? Giải thích a) Hai tam giác chúng có diện tích b) Hai tam giác chúng đồng dạng c) Một tam giác tam giác vng có góc(trong) tổng hai góc lại d) Một tam giác tam giác có hai trung tuyến có góc 600 BÀI TẬP THÊM Xét (sai)của mệnh đề sau : a/ Hình thoi hình bình hành b/ Số khơng nghiệm phương trình : x2 5x + = c/ ( > ) (3 < ) e/ (5.12 > 4.6) (2 < 10) d/ ( 11 > ) (42 < 0) f) (1< ) số ngun tố Phủ định mệnh đề sau : b/ x 2 hay x a/ < x < c/ Có ABC vng cân d/ Mọi số tự nhiên khơng chia hết cho e/ Có học sinh lớp 10A học yếu hay f/ x< hay x=3 g/ x hay x>1 h/ Pt x2 + = vơ nghiệm pt x+3 =0 có nghiệm Xét (sai)mênh đề phủ định mệnh đề sau : a/ x R , x2 + > b/ x R , x2 3x + = c/ n N , n2 + chia hết cho d/ n Q, 2n + e/ a Q , a2 > a f) x R , x2 +x chia hết cho 4.Dùng bảng (sai)để chứng minh: a) A B = B A b) AB A B c) A B A B d) A (B C) ( A B) ( A C) B SUY LUẬN TỐN HỌC Phát biểu định lý sau dạng "điều kiện đủ" a/ Nếu hai tam giác chúng đồng dạng b/ Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với c/ Nếu a + b > a > hay b > d/ Nếu số tự nhiên có chữ số tận số chia hết cho e/ Nếu a + b < hai số phải âm Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -10- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai a) sinx.sin(/3x).sin(/3+x) = VT = sin3x 1 1 sin x[cos 2x ] sin x ( sin x ) sin x sin x 2 2 4 b) cosx.cos(/3x).cos(/3+x) = cos3x 1 1 cos x (2 sin x ) cos 3x cos x 2 2 c) cos5x.cos3x+sin7x.sinx = cos2x.cos4x 1 VT = [cos 2x cos8x ] [cos 6x cos8x ] [cos 2x cos 6x ] cos 4x cos 2x 2 d) sin5x2sinx(cos2x+cos4x) = sinx VT = cos x[cos 2x ] VT = sin5x2sinx[2cos3x.cosx] = sin5x4cos3x.sinx.cosx=sin5x2sin2x.cos3x = sin(3x+2x) 2sin2x.cos3x = sin3x.cos2x+cos3x.sin2x2sin2x.cos3x = sin3x.cos2xcos3x.sin2x = sin(3x2x) = sinx Bài 14 : Chứng minh a) cos cos cos (cos 5 7 cos 0 9 5 7 2 2 cos ) cos (2 cos cos ) cos (1 cos ) cos (1 ) 9 9 9 b) sin200.sin400.sin800 = /8 1 1 VT sin 20 [cos 40 cos120 ] sin 20 [cos 40 ] sin 20 [1 sin 20 ] 2 2 1 sin 20 [ sin 20 ] [3 sin 20 sin 20 ] sin 3.20 sin 60 2 4 Bài 15 : Chứng minh tam giác ABC ta có : a) sinA + sinB + sinC = cos A B C cos cos 2 AB AB C C C AB AB cos sin cos cos [cos cos ] … 2 2 2 C AB AB ( ta có cos cos[ ( ) )] sin 2 2 VT sin b) cosA + cosB + cosC = + sin A B C sin sin 2 AB AB C C AB C cos sin sin cos sin 2 2 2 C AB C sin [cos sin ] 2 VT cos c) sin2A +sin2B+sin2C = 4sinA.sinB.sinC VT sin(A B) cos(A B) sin C cos C sin C[cos(A B) cos(A B)] 2sinC.2cosA.cosB 4cosAcosBcosC d) cos A+cos2B+cos2C = 12cosA.cosB.cosC ta có : cos(A) = cos(B+C) cosA = cosBcosC sinBsinC bình phương hai vế ta : cos2 A = cos2B.cos2C2cosB.cosC.sinB.sinC +sin2B.sin2C thay sin2B = 1cos2B , sin2C = 1cos2C cos2B.cos2C2cosB.cosC.sinB.sinC+1cos2Bcos2C = cos2A 1+cosB.cosC(cosB.cosCsinB.sinC) = cos2A +cos2B+cos2C 1+cosB.cosC.cos(B+C) = cos2A +cos2B+cos2C ta có cos(B+C) =cosA … Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -165- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai Bài 16 : Chứng minh a) sin x cos2 x cos4 x cos x sin x sin x 2 VT tg x cos2 x cos4 x sin x sin x (1 cos2 x ) (1 sin x ) 2 tg x b) sin(2x+ /3)cos(x/6)cos(2x+/3)cos(2/3 x) = cosx Ta có : cos(2/3x) = cos[/2/6x]=sin(x/6) VT = sin(2x+ /3)cos(x/6)cos(2x+/3) sin(x/6) = sin[(2x+/3)(x/6)] = sin(x+/3+/6) = sin(x+/2) = cosx c) (tg2xtgx)(sin2xtgx) = tg2x VT ( sin 2x sin x sin x sin 2x cos x sin x cos 2x sin x cos2 x sin x )(sin 2x ) cos 2x cos x cos x cos x cos 2x cos x sin(2x - x) sin x (2 cos2 x 1) sin x cos 2x tg x cos x cos 2x cos x cos2 x cos 2x d) tg2x + cotg2x = VT cos 4x cos 4x sin x cos4 x sin x cos2 x sin x cos2 x sin x cos2 x 1 sin 2x sin 2x sin 2x sin 2x 4 (1 cos 4x ) 2(3 cos 4x ) cos 4x cos 4x Bài 17 : Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào x A = 3(sin4x+cos4x) 2(sin6x+cos6x) = 3(12cos2x.sin2x)2(13sin2x.cos2x) = B = cos6x + 2sin4xcos2x + 3sin2x.cos4x + sin4x Biến đổi sinx theo cosx A = C = cos(x/3).cos(x+/4) + cos(x+/6).cos(x+3/4) cos(x+/6) = sin[/2(x+/6)]= sin(/3x)=sin(x/3) cos(x+3/4) = cos[/2+(x+/4)] = sin(x+/4) C = cos(x/3).cos(x+/4)+ sin(x/3) sin(x+/4) =cos(x/3x/4) = cos(7/12) D = cos2x + cos2(2/3+x)+cos2(2/3x) Sử dụng cơng thức hạ bậc ta : D = (1+cos2x)/2 + [1+cos(2x+4/3)]/2 +[1+cos(4/32x)]/2 cos 2x 4 4 [cos( 2x ) cos( 2x )] 2 3 cos 2x 4 cos 2x cos cos 2x cos( ) cos 2x 2 2 Bài 18 : Rút gọn biểu thức sau A= sin (1 cot g ) cos2 (1 tg ) Biến đổi tg cotg A = | sin + cos | B= sin(a b) sin(a b) cos a cos b B sin ab ab ab ab cos sin cos 2 2 sin a b sin a b cos b cos a ab ab 2 cos cos 2 Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -166- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai cos 2a cos 4a sin 4a sin 2a C= sin 3a.sin(a ) tga sin 3a cos a C D= sin a sin 3a sin 5a cos a cos3a cos5a D sin 3a cos a sin 3a sin 3a (1 cos 2a ) tg3a cos3a cos a cos3a cos3a (1 cos a ) sin8x Bài 19 : Chứng minh sinx.cosx.cos2x.cos4x = 1 VT sin 2x cos 2x cos 4x sin 4x cos 4x sin 8x Ap dụng : tính giá trịc biểu thức sau a) sin60.sin420.sin660.sin780 A sin cos sin(90 48 ) sin(90 24 ) sin(90 12 ) cos sin 48 cos 48 sin 96 16 cos 16 cos sin cos cos12 cos 24 cos 48 cos b) cos /7 cos 3/7 cos 5/7 3 3 4 cos cos( ) cos 7 5 5 2 cos cos( ) cos 7 2 4 B cos cos cos 7 Bài 20 : a) Biết tg sin 2 4 cos cos cos sin sin( ) 7 7 8 sin sin sin 7 a tga sin a = m , tính tga sin a tga sin a tga(1 cos a ) cos a tga sin a tga(1 cos a ) cos a a tg a m a 2 cos2 2 sin b) Biết tg a + cotga = m , < a < /2, tính sin2a , sin4a Tham số m phải thỏa mãn điều kiện ? Vì < a < /2 tga,cotga > Ap dụng BĐT cơsi tga+cotga m Ta có tga + cotga = 2/sin2a sin2a = 2/m cos22a =14/m2 Nếu ( tg3 a - 3tga) = (3tg2 a - 1) tg2 3a Với kết đưa V dạng = ( tg3 π π π π π π - 3tg2 ) - 3(3tg2 - 1) = (3tg2 - 1) tg2 - 3(3tg2 - 1) = 9 9 BÀI : Xác định dấu biểu thức sau A = sin400.cos(2900) ; Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -170- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai B = sin2550.tg3900.cotg(1750) ; C = cos1950.tg2690.cotg(900) ; D = sin(+).cos(1,5 + ).tg( ) với < < /2 ; E = sin(14410).cos10800.tg9080.cotg(19720) ; sin100 cos 300 F= ; tg200 cot g150 (A >0;B>0;C ;D ;E ;F ) BÀI : Đơn giản biểu thức A= tgx sinx sin x cotgx sin x sinx - sin x cos x = = cosx = cosx sin x cosx sin x sin x + cos3 x B= sin x + cos x = C= = D= (sin x + cos x )(sin x - sinx.cosx + cos2 x = - sinx.cosx sin x + cos x cos2 x - sin x cotg2 x - tg x cos x - sin x 2 cos x sin x sin x cos x = sin x cos x + cos x - cosx = - cos2 x =| sin x | π E = tg( + x ) + tg( x + 3π 5π π ) - tg( x - ) - tg(x - ) 2 π π π 2 π π = cotgx + tg ( + x ) - tg(x - ) + cotgx = cotgx cotgx + cotgx +cotgx = 2 = cotgx + tg( + x + π) - tg(x - - 2π) - tg[-( - x)] F= = - cos2 (90 + x ) - sin (90 - x) - sin x - cos x - cotg(900 - x).tg(90 + x) tgx(cotgx) = - sin x - cos x +1 = cos2 x sin x +1= sin x G = cos10 + cos30 + +cos150 + cos170 = (cos10 + cos170)+(cos30 + cos150)+(cos50 + cos130)+(cos70+cos110) + cos90 = (cos10cos10)+(cos30cos30)+(cos50cos50)+(cos70cos70) = H = sin2100 + sin2200 + + sin2900 = ( sin210 + sin280)+(sin220+sin270)+(sin230+sin260)+(sin240+sin250)+sin290 = (sin210+cos210)+(sin220+cos220)+(sin230+cos230)+(sin240+cos240)+1 = Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -171- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl K= Facebook.com\thaygiaodepzai cos 2a - cos4a sin4a - sin2a 2a + 4a 2a - 4a sin - sin3a.sin(-a) 2 = = = tg3a 4a + 2a 4a - 2a cos 3a sin a 2.cos sin 2 - 2.sin L = sin2a.cotga cos2a = sin2a cos a sin2a.cosa - cos2a.sina sin(2a - a) - cos2a = = =1 sin a sin a sin a M = tga + tg(a+ π 2π ) + tg(a + ) 3 π 2π tga + tg tga + tga - 8tga 3 + = tga + + = tga + = tga + π 2π - 3.tga + 3tga - 3tg2 a - tga.tg - tga.tg 3 tga + tg 3(3tga - tg3 a) = 3tg3a - 3tg2a a (1 + cosa).tg2 sin a + cos a N= - cosa a a a tg2 sin a tg2 sin a tg2 sin a 2 + cos a = + cos a = + cos a = sin a + cos a = = - cosa a 2 a sin tg + cosa 2 a cos 2 = P= cotga + tga cot ga - tga 1 + tga tga + tg a cos a = = = = 2 cos 2a cos a - sin a - tga - tg a tga cos a Q = (1 + 2cos2a + 2cos4a + 2cos6a).sina = sina + 2sina.cos2a + 2sina.cos4a + 2sinacos6a = sina +sin(a) + sin3a + sin(3a) + sin5a + sin(5a) + sin7a = sin7a S= = sin a + sin 3a + sin 5a cos a + cos 3a + cos 5a sin a + sin 5a + sin 3a sin 3a cos 2a + sin 3a sin 3a (1 + cos 2a ) = = = tg3a cos a + cos 5a + cos 3a cos 3a cos 2a + cos 3a cos 3a (1 + cos 2a ) R = cos10x + 2cos24x + 6cos3x.coxcosx8cosx.cos33x = cos10x + (1 + cos8x) cosx 2cosx(4cos33x3cosx) = cos10x + cos8x + cosx 2cosx.cos9x = 2cos9x.cosx+1cosx2cos9x.cosx = 1 cosx BÀI : Chứng minh đẳng thức luợng giác a) (tg + cotg)2 (tg cotg)2 = VT = tg2 + cotg2+2.tg.cotg(tg2+tg22tg.cotg) = Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -172- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl b) tg α + tg α VT = + cotg2 α cotg2 α tg2 α ( 1 + tg α cot g α = Facebook.com\thaygiaodepzai + tg α tg α + cot g α + 1) = tg2 α c) sin4 cos4 = 2sin2 1 VT = (sin2)2(cos2)2 = (sin2+cos2)(sin2cos2) = sin2cos2 =2sin2 1 d) sin cos6 = 13sin2 cos2 VT = (sin2+cos2)(sin4sin2.cos2+cos4) = sin4sin2.cos2+cos4 = (sin2+cos2)2sin2.cos2sin2.cos2 e) (1 + tgx)(1 + cotgx ).sinx.cosx = + 2sinx.cosx VT = (1 + cot gx + tgx + tgx cot gx ).sin x cos x = (2 + = 2sinx.cosx + cos2x + sin2x = + 2cosx.sinx f) g) cos x sin x + ) sin x cos x sin x cos x sin x - cosx = + cos x sinx sin2x = cos2x tg 2a - tg a - tg 2a.tg a VT = = tg3a.tga ( tg2a + tga)(tg2a - tga) tg2a + tga tg2a - tga = tg3a.tga = (1 - tg2a.tga)(1 + tg2a.tga) - tg2a.tga + tg2atga h) sin(a+b+c) =sina.cosb.cosc + cosa.sinb.cosc + cosa.cosb.sinc sina.sinb.sinc VT = sin[(a+b)+c] = sin(a+b).cosc + cos(a+b).sinc = (sina.cosb+cosa.sinb)cosc + ( cosa.cosb sina.sina)sinc = sina.cosb.cosc + cosa.sinb.cosc + cosa.cosb.sinc sina.sinb.sinc i) 8cos4a4cos2acos4a = VT = 8(cos2a)2 4cos2a cos4a = 2(1 + cos2a)2 4cos2a cos4a = + 4cos2a + 2cos22a 4cos2a cos4a = + + cos4a cos4a = j) cos a - sina = - tg2a cos a + sin a cos 2a VT = k) (cosa - sina) - 2.cosa.sina - sin2a = = = tg2a 2 (cosa + sina)(cosa - sina) cos a - sin a cos2a cos 2a + sin 2a π = cot g (a - ) - sin2a π π π + sin 2a sin(a + ) cos( - a ) π π 4 = = tg(a + ).ctog( - a ) VT = π π π 4 sin - sin2a cos(a + ).sin( - a ) 4 π π π π = tg( + a - ).[- cotg(a - )] = cot g (a - ) 4 sin a b l) sina + sinb +sinc = cos cos sin c , biết a + b = c Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -173- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai a+b a-b c c c a-b c c cos + sin cos = sin cos + sin cos 2 2 2 2 c a-b a+b c a b + cos ) = sin cos cos = sin (cos 2 2 2 VT = sin m) cotgx + tgx = VT = sin 2x cos x sin x 2 + = = = sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin 2x n) cotgx cotg2x = VT = sin 2x cos x cos2x sin 2x cos x - cos2x.sinx sin(2x - x ) = = = sin x sin2x sin x sin 2x sin x sin 2x sin 2x o) 4cos2x + cos4x = 8sin4x VP = 8sin4x = 2(1cos2x)2 = 24cos2x + 2cos22x = 24cos2x + + cos4x = 4cos2x + cos4x p) sin4x + cos4x = cos 4x + 4 - cos2x + cos 2x ) +( ) 2 1 1 + cos 4x = + cos 4x = + cos2 2x = + 2 2 4 VT = (sin2x)2 + (cos2x)2 = ( cos 4x + 8 2 VT = (sin x+cos x) 3sin xcos2x(sin2x+cos2x) q) sin6x + cos6x = - cos4x = cos 4x + 8 = 3sin2x.cos2x = - sin 2x = - r) cos3x.sin3x + sin3x.cos3x = sin 4x VT = sin2x.sinx.cos3x + cos2x.cosx.sin3x = (1cos2x)sinx.cos3x + (1sin2x).cosx.sin3x = sinx.cos3x cos2xsinx.cos3x + cosx.sin3x sin2x.cosx.sin3x = sinx.cos3x + cosx.sin3x sinx.cosx(cosx.cos3x + sinx.sin3x) = sin(x+3x) sinx.cosx.cos(x3x) = sin4x = sin4x sin2x.cos2x sin4x = sin4x 4 s) Sin5x 2sinx(cos4x + cos2x ) = sinx VT = sin5x 2sinx.cos4x 2sinx.cos2x = sin5x [sin(3x) +sin5x][sin(x)+sin3x] = sin5x + sin3x sin5x + sinx sin3x = sinx t) cos 5x 3x 7x x cos + sin sin = cos 2x cos x 2 2 5x 3x 5x 3x 7x x 7x x [cos( - ) + cos( + )] + [cos( - ) - cos( + )] 2 2 2 2 2 1 = (cos x + cos 4x ) + (cos3x - cos 4x) = (cos x + cos 3x) = cos 2x cos x 2 VT = Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -174- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl π u) sin x.sin( - x).sin( Facebook.com\thaygiaodepzai π π 7π 13π + x ) = sin 3x Ap dụng tính A = sin sin sin 18 18 18 π π VT = sin x sin( + x ) sin( - x) = sinx .[cos2x - cos 2π 1 ] = sin x (1 - 2sin x + ) 2 1 (3 - 4sin x).sinx = (3sinx4sin3x)= sin3x 4 π 7π 13π π π = sin = sin = Ap dung : sin sin sin 18 18 18 18 = v) sin(a+b)sin(ab) = cos2b cos2a w) cos(a+b)cos(ab) =cos2a + cos2b a+b b+c c+a sin sin 2 a+b b+c c+a y) cosa + cosb + cosc + cos(a+b+c) = cos cos cos 2 x) sina + sinb + sinc sin(a+b+c) = sin BÀI : Chứng biểu thức lượng giác độc lập với biến ( Khơng phụ thuộc vào biến) cotg2 x - cos2 x sinx.cosx A= ; + cot gx cot g x B= (1 - cotg2 α) cot g α - sin α.cos α ; C = sin x + cos2 x + cos4 x + sin x ; D = 3(sin8cos8) + 4(cos6 2sin6 ) + 6sin4 ; cos2 α - sin 2β - cotg2 α.cotg2β ; E= 2 sin α.sin β F= [1 - cotg2 (90 + α)] cot g (α - 90 ) - sin (180 - α).sin (90 - α) ; ( A=1; B =4; C= 3; D= 1; E=1; F =4 ) π π ) cos(x + ) ; 3 π π H = cos2 (x - ) + cos2 x + cos2 (x + ) ; 3 2π 2π ) + sin x + sin ( x + ) ; K = sin ( x 3 G = sin x + cos(x - ( G= 1/4; H= 3/2 ; K=3/2 ) BÀI : Tính giá trị hàm số lượng giác Biểu thức lượng giác a) Biết cos = 4/5 00 < < 900 + Tính sin , tg , cotg + Tính giá trị biểu thức A = cot gα + tgα cot gα - tgα ( sin = 3/5 ; A = 25/7 ) b) Biết tg = 2 , với góc tam giác + Tính cos, sin + Tính giá trị biểu thức B = sin α + cos α sinα - 2cosα ( cos = - ; B = 0) Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -175- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai c) Cho tg + cotg = ( 00 < < 900 ) + Tính sin, cos , tg, cotg + Tính giá trị biểu thức C = sin α cos α tg α + cotg2 α ( = 450 ; C = 1/4 ) d) Cho sin + cos = + Tính sin, cos, g, cotg + Tính giá trị biểu thức D = sin5 + cos5 ( cos = sin = 2 ; D = / ) 4 e) Cho 3sin cos = 1/2 + Tính biểu thức E = sin4 + 3cos4 (E=1) f) Biết tg750 = + , tính sin150, cos150 ; sin1050 , cos1050 ( cotg150 = + ; tg1050 = - - ) g) Tính sin π π π π ; tg ; cos ; cot g 12 12 12 12 6- 6+ ( sin = ) ; cos = 4 h) Cho cosa = 9/41 , với < a < 3/2 Tính F = tg( a /4) ( F = 31/49 ) i) Cho tgx = 1/2, tính giá trị biểu thức G = tg2x - sin2x tg2x + sin2x ( G = 1/4 ) a 2 ±1 ( H = 1/8 ; I = ) +2 + sin 2x + cos 2x k) Cho cotgx = 3/4 , tính giá trị biểu thức J = + sin 2x - cos2x j) Cho sina + cosa = , tính H = cos4a , I = tg ( A = 3/4 ) Bài : Biến đổi biểu thức lượng giác dạng a) Biến đổi dạng tổng A = sina.sin2a.sin3a 1 [cos(a2a)cos(a+2a)]sin3a = (cosa cos3a)sin3a 2 1 1 = (cosa.sin3a cos3a.sin3a) = [ (sin4asin(2a)) sin6a] 2 2 1 1 = [ (sin2a+sin4a) sin6a]= (sin2a+sin4asin6a) 2 5a B = 4cosa.cos2a.sin 5a 5a 5a = 2(cosa+cos3a).sin = 2cos3a.sin + 2cosa.sin 2 11a a 7a 3a - sin + sin + sin = sin 2 2 = b) Biến đổi tổng thành tích C = cos3a sina Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -176- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl = cos3a cos( Facebook.com\thaygiaodepzai π π π a) = sin(2a - ).sin(a + ) 4 D = 12cosa + cos2a a a = 2cosa + 2cos2a = 2(1cosa)cosa = 2.2.sin2 cosa = 4 sin2 cosa E = + cosa+cos2a + cos3a = 2cos2a + (cos3a+cosa) = 2cos2a + 2cos2a.cosa = 2(cos2a+cos3a).cosa = cos 5a a cos cos a 2 Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -177- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai BÀI TẬP * Dùng bảng giá trò giá trò lượng giác đặc biệt, hệ thức : Bài : Tíng giá trò biểu thức sau : a ) sin cos tan cot c) sin cot cos 3 b) cos sin tan a sin 90 b tan 45 sin 30 2ab cos b tan 45 2 d) 2a 0 0 2a cos b cot 2ab sin 0 3 4 e) 3 5a cos 2a sin 2b cos 2 Bài : Tính giá trò lượng giác khác biết : 5 3 a ) sin (0 90 ) b) cos ( ) 13 2 4 c) cot (0 ) d ) cos ( ) 8 3 e) sin ( ) f ) tan (0 ) 17 Bài : Chứng minh đẳng thức : a ) sin x cos x sin x cos x c) cot x cos x cos x cot x b) sin x cos x sin x cos x d ) tan x sin x tan x sin x cos x sin x sin x cos x sin x g) tan x sin x sin x cos x i) cos x sin x sin x tan x tan y k ) tan x tan y cot x cot y sin x cos x cos x cos x sin x cos x cos x h) tan x sin x cos x e) f) j )1 sin a cos a tan a (1 cos a)(1 tan a ) l) sin x tan x sin x cot x tan x Bài : Rút gọn biểu thức : A tan x cot x tan x cot x C cot x cos x sin x cos x cot x cot x B sin x cot x cot x D cos x tan x cot x cos x sin x * Dùng công thức cung liên kết : Bài : Rút gọn biểu thức sau : sin( 234 ) cos 216 tan 36 0 sin 144 cos 126 C cos 20 cos 40 cos 160 cos 180 A tan 226 cos 406 cot 72 cot 18 0 cos 316 D tan1 tan tan 30 tan 88 tan 89 B cot 44 * Dùng công thức cộng : Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -178- Kênh Youtube: NĐT OFFICIAl Facebook.com\thaygiaodepzai Bài : Tính giá trò lượng giác cung (góc) sau : 103 12 - 12 3 a Bài : Tính cos( ) biết sina 13 Bài : Chứng minh đẳng thức : a)15 b) 7 12 c) 285 d) a) cos(a b) cos(a b) cos b sin a cos(a b) cos(a b) tan a tan b cos a cos b sin 3x cos x sin x cos 3x e) tan x cos x c) b) sin a sin a sin a 4 4 sin( a b) sin( a b) d) cos a sin b tan a cot b f ) sin x cot 2s cos x * Dùng công thức nhân : Bài :Tính sin2a biết : a) sin a ( a ) b) cos a (0 a ) Bài 10 : Chứng minh đẳng thức : sin x cos x tan x a) cos x sin x sin x cos x b) sin x tan x sin x cos 3x cos x sin 3x cos x c) sin x d) cot x 2cox sin x d ) sin x cos x cos x 4 * Dùng công thức biến đổi : Bài 11 : Biến thành tích : ;1 cot x b) cos a cos 3a ; sin x sin y c)1 sin x cos x ;1 cos x cos x ;1 cos x cos x cos x a ) sin x sin x ; tan x d ) sin 70 sin 20 sin 50 ; cos 46 cos 22 cos 78 Bài 12 : Biến thành tổng : 2 ; sin( a 30 ) cos(a 30 ) ; sin( x ) sin( x ) cos x 5 6 b) sin x cos x cos x ; cos x cos x cos x ; sin x sin x sin x ; cos x sin x sin x a ) sin sin Bài 13 : Tính giá trò biểu thức sau : A cos75 cos 15 11 5 cos C sin 75 sin 15 12 12 E sin 20 sin 40 sin 80 F sin 10 sin 50 sin 70 B sin D cos 20 cos 40 cos 80 2 4 6 cos cos 7 Bài 14 : Cho ABC chứng minh : G cos H tan tan 27 tan 630 tan 810 a) tanA tanB tanC tanA.tanB tanC b) sin2A sin2B sin2C 4sinA.sinB sinC c) cos2A cos2B cos2C -1 - 4cosA.cosB cosC Tốn NĐT– Trao Tri Thức – Gửi Niềm Tin -179- ... tư Số vơ tỉ Trong tốn học, số vơ tỉ số thực khơng phải số hữu tỷ, nghĩa khơng thể biểu diễn dạng tỉ số a/b , với a, b số ngun Ví dụ: Số thập phân vơ hạn có chu kỳ thay đổi: 0 .101 0 0100 0100 0 0100 00 0100 00001... m, n số ngun Nếu n = m2 = 10r = r, số ngun Còn n ≠ thì, trên, số bình phương hệ r-phân phải có số chẵn số (trong hệ r-phân) cuối Do đẳng thức vế trái có số chẵn số cuối vế phải lại có số lẻ số. .. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §1 HÀM SỐ I Ơn tập hàm số Hàm số: Cho D Hàm số f xác định D quy tắc ứng với xD số y , kí hiệu y= f(x) Khi đó: + x gọi biến số (hay đối số) hàm số y gọi hàm số