Đang tải... (xem toàn văn)
tuyệt kĩ công phá đề thi vào lớp 10... tài liệu khá hay và chắc nhé.. lượng bài tập khá nhiều đầy đủ 7 chủ đề và hơn 30 chuyên đề...đạt điểm 9 trở lên nhé............................................................................................................................................................................
www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn Menu Skill Ch 1: Cn Thc v Cỏc Bi Toỏn Liờn Quan Ch 2: Hm S Ch 3: H Phng Trỡnh Bc Nht n Ch 4: Phng Trỡnh Bc Ch 5:Gii Bi Toỏn Bng Cỏch Lp Phng Trỡnh V H Phng Trỡnh Ch 6: Hỡnh Hc Ch 7: Bt ng Thc www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn CH 1: CN THC V CC BI TON LIấN QUAN www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn Các phép biến đổi thức Hằng đẳng thức đáng nhớ a b a2 2ab b2 a b a2 2ab b2 a b a b a2 b2 a b a3 3a2b 3ab2 b3 a3 b3 a b a2 ab b2 a3 b3 a b a2 ab b2 a b c a2 b2 c 2ab 2bc 2ca 2 Một số phép biến đổi thức bậc hai - Đều kiện để thức có nghĩa A có nghĩa A - Các công thức biến đổi thức A2 A A A B B (A 0;B 0) AB A B (A 0;B 0) A 2B A B (B 0) A B A 2B (A 0;B 0) A B B C A B C A B AB (AB 0;B 0) C( A B) (A 0;A B2 ) A B2 C( A B) (A 0;B 0;A B) A B A B A 2B (A 0;B 0) A B A B (B 0) B www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn Dng 1: Tỡm KX ca cỏc biu thc sau Phng phỏp: Nu biu thc cú Cha mu s KX: mu s khỏc Cha cn bc chn KX: biu thc di du cn Cha cn thc bc chn di mu KX: biu thc di du cn Cha cn thc bc l di mu KX: biu thc di du cn 1 x x x x 4x x5 x2 2008 x4 -5x 10 11 x x2 3x 12 13 x2 2x 7x 14 2x x 7x 15 16 17 18 19 20 21 x 3x 3x 12 24 25 3x 5x 26 27 x2 3x 30 x 7x 3x 3x 29 14 23 28 x x 7x 6x x 2008 x 22 31 x 32 33 8x 21x 34 2 x x x 6x 36 x 3 5x 35 37 x x2 38 7 2x 2x 5x 39 3x x 5x 3x x x 40 3x 41 2x2 x x 2x x x2 www.youtube.com/c/NTOFFICIAL 42 3x x x 43 x Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn 22 44 x Dng 2: Tớnh giỏ tr biu thc Phng phỏp: Thc hin theo cỏc bc sau B-ớc 1: Trục thức mẫu (nếu có) B-ớc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có) B-ớc 3: Đ-a biểu thức dấu B-ớc 4: Rút gọn biểu thức Dng toỏn ny rt phong phỳ vớ th hc sinh cn rốn luyn nhiu nm c mch bi toỏn v tớm hng i ỳng n, trỏnh cỏc phộp tỡnh quỏ phc 18 32 50 50 18 200 162 5 20 45 48 27 75 108 48 75 33 1 11 12 27 48 12 48 32 18 20 45 10 24 54 150 11 18 162 12 18 32 50 13 125 20 80 45 14 28 63 175 112 15 50 32 16 50 12 18 75 17 75 12 27 18 12 75 27 19 27 12 75 147 20 48 75 243 32 18 14 21 25 49 22 16 27 75 23 50 32 24 12 35 25 26 16 27 31 12 28 27 10 29 14 30 17 12 31 74 32 33 28 34 18 65 35 94 36 42 37 24 38 39 52 40 80 41 17 12 24 8 42 2 43 15 - 15 www.youtube.com/c/NTOFFICIAL 44 17 32 17 32 62 62 45 46 11 11 47 15 6 33 12 48 62 62 49 15 23 15 50 31 15 24 15 51 49 96 49 96 2 52 53 10 10 Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn 3 3 72 73 2 74 ( 75 12 )( ) 71 75 5 5 76 5 5 77 54 17 78 2 55 40 57 40 57 56 57 10 10 58 35 12 35 12 59 20 40 60 15 10 79 80 81 15 2 34 1 43 43 3 10 15 14 21 2 10 2 2 82 2 2 61 13 48 30 24 62 13 48 83 63 48 10 84 64 13 30 85 65 30 16 11 4 86 40 12 66 13 30 67 68 69 70 21 2 17 12 2 17 12 2 3 3 10 15 10 84 75 48 87 20 125 45 15 88 12 20 : 18 27 45 : 89 2 2 12 15 90 2 91 3 12 11 www.youtube.com/c/NTOFFICIAL 92 35 14 45 243 28 1 94 24 24 1 95 3 3 8 96 2 5 Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn 116 52 6 117 5 5 93 97 2 2 26 15 3 80 80 26 15 26 15 3 20 14 20 14 3; 101 26 15 26 15 102 103 104 15 50 200 450 : 10 15 105 3 5 5 106 10 5 5 1 107 108 14 15 ): 216 110 109 111 112 113 114 115 24 3 1 18 2 15 120 5 5 5 121 122 3 100 24 3 3 27 119 98 99 118 14 28 123 ( 2) 2 1 124 5 1 125 52 52 2 126 43 43 2 127 128 ( 28 14 7) 129 ( 14 ) 28 130 ( ) 120 131 (2 ) 24 132 (1 ) ( 3) 133 ( 2) ( 1) 134 ( 3) ( 2) 135 ( 19 3)( 19 3) 136 7 5 137 32 138 3 2 3 www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn 139 140 2 141 3 3 143 1100 44 176 1331 10 164 ( 3) 2(3) (1) 13 165 3 13 166 3 142 2 57 40 144 15 163 2002 2003 2002 167 125 80 605 145 72 4,5 27 10 10 3 168 146 62 12 169 15 216 33 12 3 12 27 170 18 48 30 162 147 15 15 3 148 171 3 149 60 45 12 16 172 150 27 75 151 72 20 2 173 27 75 152 14 12 153 174 50 24 75 154 5 155 12 20 18 27 45 156 52 157 13 48 159 21 35 18 32 50 160 1 161 5 162 27 48 : 10 175 25 12 176 192 177 178 10 10 179 49 20 180 182 183 64 52 64 181 10 158 64 2 64 2 5 1 184 (2 ) 24 185 3132 312 17 186 13 30 www.youtube.com/c/NTOFFICIAL 12 11 187 Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn 3 22 11 196 7 : 28 15 1.1 188 189 190 191 192 193 3 32 50 27 2 6 : 200 6 1 24 24 15 199 3 194 ( 14 ) 28 195 198 2 : 3 197 14 24 12 32 3 27 50 32 Dng 3: Rỳt gn biu thc Phng phỏp: Thc hin theo cỏc bc sau Bc 1: Tỡm KX nu bi cha cho Bc 2: Phõn tớch cỏc a thc t thc v mu thc thnh nhõn t Bc 3: Quy ng mu thc Bc 4: Rỳt gn x2 x x : A x x x x 1 x x x x x : (1 x ) B x x x x x x x : B x x x x x 1 A : x x x x x x x 3x x x x x x x : x2 x x x x A x A x B x x4 A x x A A Q = A x A x x x x a a a 4a a a a > ; a x3 x x A x x A x a 2 www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn 1 A= : 1- x x x x x x2 x x x 2( x 1) 10 A x x x x x x x : 11 A x x x x x x x x 12 A x : x x x x x A x (1 x ) A x x A x A x x 13 A 15 x 11 x 2 x x x x x A 25 x x 14 A x x x x x A x x 15 x2 x A : x x x A x x 16 A A x 17 x 1 x x A : x x 9x x 18 Q 19 20 21 22 23 24 25 26 27 x x 3x x x x x x 10 x x x x x x x A : x x x x x x x x x x x E x x x x x x x x x x x : x A x x x x x x A x : x x x x x x x x : A x x x x x A A Q x A x x 2( x x 1) x A x x A x x A x x2 2x A : x x 1 x x x x2 x x 1 A : x x x x x x 3 x x x : A x 2 x x x x 2 x x x : P x2 x x x x 3x 13 x x A A x x x x x A x x A 4x x www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn a b c bc ca ab VD 4.2: Cho x, y l s thc tho : x2 + y2 = x y y x Chng minh rng: 3x + 4y (1) Gii : iu kin: x ; y Bớnh phng hai v ca (1) v ỏp dng bt ng thc Bunhiacụpxki ta cú : (x2 + y2)2 = ( x y y x )2 (x2 + y2)(1 - y2 + - x2) < => x2 + y2 Ta li cú : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) Kt hp vi (2) suy : (3x + 4y)2 25 => 3x + 4y x2 y x ng thc xy x 0; y x y y VD 3: Cho a, b, c ; a + b + c = Chng minh rng : a, ab bc ca b, a b c 3,5 (2) Gii a, p dng bt dng thc Bunhiacụpxki ta cú : a b b c c a ab bc ca Gii p dng BT Cụsi cho hai s dng a v b+c, ta cú : a 2a a + (b + c) a(b c) Du = xy a = b+c bc abc Tng t ta thu c : b 2b Du = xy b = c+a ca abc c 2c Du = xy c = a+b ab abc Du = ca ba bt ng thc trờn khụng th ng thi xy ra, vớ ú nu cú a = b+c; b = c+a; c = a+b thớ suy a+b+c = ( trỏi vi gi thit a, b, c u l s dng ) Cng tng v ca ba bt ng thc trờn ta c: a b c bc ca ab VD 4.2: www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn Cho x, y l s thc tho : x2 + y2 = x y y x Chng minh rng: 3x + 4y (1) Gii : iu kin: x ; y Bớnh phng hai v ca (1) v ỏp dng bt ng thc Bunhiacụpxki ta cú : (x2 + y2)2 = ( x y y x )2 (x2 + y2)(1 - y2 + - x2) < => x2 + y2 Ta li cú : (3x + 4y)2 (32 + 42)(x2 + y2) Kt hp vi (2) suy : (3x + 4y)2 25 => 3x + 4y x2 y x ng thc xy x 0; y x y y VD 3: Cho a, b, c ; a + b + c = Chng minh rng : a, ab bc ca b, a b c 3,5 (2) Gii a, p dng bt dng thc Bunhiacụpxki ta cú : a b b c c a => => ab bc ca ab bc 3.(2a 2b ac) vỡ a+b+c = ab bc ca Du '' = '' xy : a = b = c = b, p dng bt ng thc Cụsi cho hai s dng a+1 v 1, ta cú: (a 1) a (a+1)+1 a+1 a 2 b c c Tng t : b ; 2 Cng tng v ca bt ng thc trờn ta c : a b c abc 3,5 Du ng thc xy a = b = c = trỏi vi gi thit : a + b + c = Vy : a b c 3,5 VD 4.4 Cho x, y > Chng minh rng : 1 x y x y ca www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn Gii: p dng bt ng thc Cụsi cho tng b hai s dng x v y; 1 v ta cú: x y x y xy 1 x y xy 1 => (x + y) x y 1 x y x y Du = xy x = y VD 4.5 => Cho a, b ,c > Chng minh rng a b c + + b c a Gii p dng bt ng thc Cụsi cho b ba s dng a b c ; v ta c: b c a a b c bca a b c a b c suy + + b c a b c a Du = xy a = b = c Phng phỏp 5: Chng minh phn chng - Phng phỏp: Gi s phi chng minh bt ng thc no ú ỳng, ta gi s bt dng thc ú sai, ri dng cỏc kin thc ó bit v gi thit ca bi suy iu vụ lý iu vụ lý cú th l trỏi vi gi thit hoc l nhng iu trỏi ngc hoc l trỏi vi cỏc iu ó c chng minh l ỳng T ú suy bt ng thc cn chng minh l ỳng Mt s hớnh thc chng minh phn chng: + Ph nh ri suy iu trỏi vi gi thit + Ph nh ri suy trỏi vi iu ỳng + Ph nh ri suy hai iu trỏi ngc - Cỏc vỡ d : VD 1: Cho < a, b, c < Chng minh rng: cú ỡt nht mt ba bt ng thc sau l sai : a(1 - b) > ; 3b(1 - c) > 2;12c(1 - a) > Gii: Gi s c ba bt ng thc trờn u ỳng Nhõn tng v ta cú: 36abc (1 - a)(1- b)(1 - c) > a(1 a)b(1 b) c(1 c) 64 (1) www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn p dng bt ng thc Cụsi cho tng cp s dng a v 1- a; b v 1- b; c v 1- c ta cú : a a 1 a(1 a) => a(1 - a) 2 4 c(1 - c) Tng t : b(1 - b) Nhõn tng v cỏc bt ng thc c (2) 64 Ta thy (1) v (2) mõu thun suy iu gi s l sai iu ny chng t ỡt nht mt ba bt ng thc cho u bi l sai VD 5.2 : Chng minh rng khụng cú s dng a, b, c no tho c ba bt ng thc a(1 a)b(1 b)c(1 c) a 1 ; b ; c c a b Gii Gi s tn ti s dng a, b, c tho c bt ng thc : a 1 ; b ; c b c a Cng theo tng v ca bt ng thc trờn ta c : 1 a b c b c a 1 (a ) (b ) (c ) (1) a b c Vớ a, b, c > nờn ỏp dng bt ng thc Cụsi ta cú: 1 (a ) ; (b ) ; (c ) c b a 1 => (a ) (b ) (c ) iu ny mõu thun vi (1) a b c Vy khụng tn ti s dng a, b, c tho c bt ng thc núi trờn VD 5.3 : Cho a3 + b3 = Chng minh rng: a + b Gii : Gi s : a + b > => (a + b )3 > => a3 + b3 + 3ab(a + b) > => + 3ab(a + b) > ( Vỡ : a3 + b3 = ) => ab(a + b) > => ab(a + b) > a3 + b3 ( Vỡ a3 + b3 = ) Chia c hai v cho s dng a+b ta c : ab > a2 - ab + b2 => (a - b)2 < iu ny l vụ lý Vy iu gi s l sai, ú a + b Bi ngh : Bi a) Chng minh rng khụng cú s dng a, b, c no tho c ba bt ng thc 1 a ; b ; c c a b www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn b) Chng minh rng khụng cú s a, b, c no tho c ba bt ng thc sau : |a-b| > |c| ; |b-c| > |a| ; |c-a| > |b| Hng dn : Gi s tn ti s a, b, c tho c bt ng thc => (a - b)2 > c2 => (a-b-c)(a-b+c) > Tng t : (b-c-a)(b-c+a) > (c-a-b)(c-a+b) > Nhõn tng v ca cỏc bt ng thc s dn n mõu thun Phng phỏp Phng phỏp xột cỏc khong giỏ tr ca bin - Phng phỏp: Chia cỏc giỏ tr ca bin thnh nhiu khong thỡch hp v chng minh trng hp no bt ng thc cng c tha Vy bt ng thc ỳng vi mi giỏ tr ca bin - Cỏc vỡ d : VD 6.1 : Cho M = x14 - x11 + x4 - x3 + Chng minh rng M > vi mi x Gii * Xột trng hp x 1, ta cú M = x11 (x3 - 1) + x3(x - 1) + Vỡ x nờn x3 => x3 - v x - 0, cũn x11 > ú M > * Xột trng hp x < 1, ta cú M = x14 + x4 (1 - x7) + (1 - x3) Vỡ x < nờn > x7 v > x3 => - x7 > v - x3, cũn x14 > ; x4 > Do ú M > * Vy M > vi mi x VD 6.2 : Cho A = x8 - x7 + x4 - x + Chng minh rng A > vi mi x Hng dn: * Xột trng hp x 1, ta cú A = x7 (x - 1) + x(x3 - 1) + > * Xột trng hp x < 1, ta cú A = x8 + x4( - x3) + (1 - x) > Vy A > vi mi x Bi ngh : Bi Chng minh rng: A = 31x4 - 6x + 17 > mi x B = x8 - x5 + x2 - x + > mi x * Chỳ ý: Ngoi phng phỏp trờn ta cú th chng minh bt ng thc bng cỏch a biu thc v dng tng ca cỏc bỡnh phng vi mt s dng VD: B = x8 - x5 + x2 - x + => 2B = 2x8 - 2x5 - 2x2 - 2x + = (x4 - x)2 + (x - 1)2 + x8 + > Phng phỏp : i bin s - Phng phỏp: Thc hin phng phỏp i bin s nhm a bi toỏn ó cho v dng n gin hn, gn hn hoc dng nhng bi toỏn ó bit cỏch gii - Cỏc vỡ d : VD : a b c Chng minh rng : Nu a, b, c > thớ : bc ca ba Hng dn: t : b + c = x , c + a = y , a + b = z www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn x yz yzx zx y x yz v a = , b= , c= 2 => a + b + c = Khi ú : a b c yzx zx y x yz = bc ca ba 2x 2y 2z y x z x z y 3 = ( ) ( ) ( ) 111 x y x z y z 2 Du = xy v ch x = y = z VD 7.2 : Cho a, b, c > 0; a + b + c Chng minh rng : 1 a 2bc b 2ca c 2ab Hng dn: t : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi ú : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 Bi toỏn tr thnh: Cho x, y, z > 0; x + y + z 1 Chng minh rng : x y z VT = Ta chng minh c : (x + y + z)( 1 ) vi x ; y ; z > (VD 4.4) x y z M x + y + z nờn suy 1 => iu cn chng minh x y z Phng phỏp 8: Phng phỏp quy np toỏn hc - Phng phỏp: chng minh mt bt ng thc ỳng vi n (n n0 ) bng phng phỏp quy np toỏn hc, ta tin hnh : + Kim tra bt ng thc ỳng vi n = (n = n0) + Gi s bt ng thc ỳng vi n = k > (k > n0) + Chng minh bt ng thc ỳng vi n = k + + Kt lun bt ng thc ỳng vi mi n (n n0) - Cỏc vỡ d : VD 8.1 : Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n thỡ 2n > 2n + (*) Gii : + Vi n = , ta cú : 2n = 23 = 8; 2n + = 2.3 + = ; > Vy ng thc (*) ỳng vi n = + Gi s (*) ỳng vi n = k (k N ; k 4), tc l ta cú 2k > 2k + ta phi chng minh: 2k+1 > 2(k + 1) + hay 2k+1 > 2k + (**) + Tht vy : 2k+1 = 2.2k , m 2k > 2k + ( theo gi thit quy np ) ú : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + (vỡ 2k - > vi k N ; k ) Vy (**) ỳng vi mi k + Kt lun: 2n > 2n + vi mi s nguyờn dng n VD 8.2 : www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn Chng minh rng : 2n 2n 3n (*) (n l s nguyờn dng ) Gii : Vy (*) ỳng vi n = 1 2k + Gi s (*) ỳng vi n = k ta cú : 2k 3k 2k 1 k 2k 1 => (1) 2k 2(k 1) 3k 2(k 1) + Vi n = , ta cú : VT = VP = Ta cn chng minh (*) ỳng vi n = k + 1, tc l cn chng minh: 2k 1 2(k 1) 3(k 1) (2) T (1) v (2), ỏp dng tỡnh cht bc cu ta cn chng minh c 2k 3k 2(k 1) 1 3(k 1) (3) Dựng phộp bin i tng ng, ta cú : (3) (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2 12k3 + 28k2 + 19k + 12k3 + 28k2 + 20k +4 k Bt ng thc ny ỳng vớ k => (3) ỳng => (*) ỳng vi mi k Vy (*) ỳng vi mi s nguyờn dng n Bi ngh: Chng minh rng: 2n > n2 vi mi s t nhiờn n 9, Phơng pháp 9: Dựng tớnh cht ca t s - Phng phỏp: Dựng cỏc tỡnh cht ca t l thc, ca dóy t s bng mt cỏch hp lỡ suy bt ng thc cn chng minh a a ac Nhc li: * Cho a,b,c số dơng: a, Nếu b b bc a a ac b, Nếu b b bc a c a ac c * Nếu a, b, c, d > b d b bd d - Các ví dụ VD 9.1: Cho a, b, c, d > 0, chứng minh Giải: a b c d abc bcd cd a d ab Vi a, b, c, d > theo tính chất tỉ lệ thức ta có a a ad abc abc abcd a a Mặt khác abc abcd (1) (2) www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn a a ad abcd abc abcd b b ba Tơng tự ta có bcd a bcd bcd a c c cb abcd cd a abcd d d d c abcd d ab abcd Cộng vế với vế (3), (4), (5),(6) ta có a b c d abc bcd cd a d ab VD 2: a ab cd c a c Cho b, d > Chứng minh b b2 d d b d Giải: Từ (1) (2) => (3) (4) (5) (6) a c ab cd ab ab cd cd b b d2 d2 b d b d a ab cd c Hay Đó điều cần chứng minh b b2 d d Từ Ngoi phng phỏp va nờu trờn cũn mt s phng phỏp khỏc cú th chng minh bt ng thc nh: phng phỏp lm tri, phng phỏp dựng tam thc bc hai nhng phm vi nh ca ti, tụi khụng nờu nhng phng phỏp ú III : NG DNG CA BT NG THC : 1- ng dng 1: Gii bi toỏn tỡm cc tr : - Phng phỏp: Nu f(x) m thớ f(x) cú giỏ tr nh nht l m Nu f(x) M thỡ f(x) cú giỏ tr ln nht l M Khi tớm cc tr ca mt biu thc cú cha du giỏ tr tuyt i, ta dng cỏc bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i Nhc li mt s tỡnh cht: + |A| = |-A| vi mi A + A vi mi A Du ''= '' xy A = + A B A B Du '' = '' xy AB - Cỏc bi tp: Bi 1.1: Tớm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = |x-2| + |x-3| Gii p dng tỡnh cht ca bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i, ta cú: P = |x-2| + |3-x| |x-2+3-x| = Du = xy (x - 2)(3 - x) x Vy P = x www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn Bi 1.2 : Cho a < b < c < d, tỡm f(x) = x a + x b + x c + x d Hng dn: Tng t Bi tớm c f(x) = d + c - b - a b x c Bi 1.3 Tớm giỏ tr nh nht ca biu thc A = (x2 + x)(x2 + x - 4) Gii A = (x2 + x)(x2 + x - 4) t t = x2 + x - => A = (t - 2)(t + 2) = t2 - - Du = xy t = x2 + x - = (x - 1)(x + 2) = x = -2; x = Vy A = - x = -2 hoc x = ; Bi 1.4: Tớm giỏ tr nh nht ca biu thc: B = a3 + b3 + ab, bit a v b l hai s tho món: a + b = Gii B = (a + b)(a2 - ab + b2) + ab = a2 - ab + b2 + ab = a2 + b2 vỡ a+b = Ta li cú: a2 + b 2ab => 2(a2 + b2) (a + b)2 = => a2 + b2 Vy B = a = b = Bi 1.5: Tớm giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca biu thc: A = x2-x+1 x2+x+1 Gii D thy x2+x+1 > vi mi x Ta cú 2(x - 1)2 => 2x2 - 4x + => 3(x2 - x + ) x2 + x + x2-x+1 => Du = xy x = x +x+1 Ta cú 2(x + 1)2 => 2x2 + 4x + => 3(x2 + x + ) x2 - x + x2-x+1 => Du = xy x = -1 x +x+1 1 Vy A Do ú A = x = 1; Max A = x = -1 3 Bi 1.6 : Cho ba s dng x, y, z tho : 1 + + x z y Tớm giỏ tr ln nht ca biu thc P = xyz Hng dn: T gi thit suy y 1 z )+( 1)= + (1 x z y y z Tng t : y zx (1 x)(1 z ) xy z (1 x)(1 y ) Nhõn tng v ca cỏc bt ng thc c P = xyz => Max P = 1 x = y = z = 8 yz (1 y )(1 z ) www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn Bi 1.7 : Cho s dng a, b, c tho món: a + b + c = Tớm giỏ tr nh nht ca biu 1 thc: F = (a ) (b ) (c ) a b c Lc gii: Ta cú : F = (a2 + b2 + c2) + ( 1 2)+6 a b c Vn dng bt ng thc Bunhiacụpxki, ta cú : (a.1 + b.1 + c.2)2 3(a2 + b2 + c2) => a2 + b2 + c2 a b c 1 (1) 2) a b c 1 Mt khỏc ta chng minh c ( )(a + b + c) a b c 1 => a + b + c = a b c 1 => ( ) 81 (2) a b c 1 T (1) v (2) => ( ) 27 a b c 1 => F + 27 + = 33 3 Du '' = '' xy : a = b = c = 1 Vy Min F = 33 a = b = c = 3 Tng t : ( ) ( Bi 1.8 Tớm giỏ tr ln nht ca P = Gii TX : 2x + 2x x 2 p dng bt ng thc Bunhiacụpxki, ta cú: (1 x + x )2 2(2x - + - 2x) = x + x hay P Du = xy x = x = (tha TX) Vy Max P = x = 2x - ng dng 2: Gii phng trỡnh: - Phng phỏp: Bin i hai v ( VT, VP ) ca phng trớnh, sau ú suy lun ch nghim ca phng trớnh + Nu VT = VP ti mt hoc mt s giỏ tr no ú ca n (tho TX) => phng trớnh cú nghim l s ú hoc nhng s ú + Nu VT > VP hoc VT < VP ti mi giỏ tr ca n => phng trớnh vụ nghim - Cỏc vỡ d : Bi 2.1: Gii phng trớnh : x + x - x2 + 4x - = (*) www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn Gii : TX : x 2 (*) x + x = x2 - 4x + Ta cú VP = (x - 2)2 + 2, du '' = '' xy x = ( tho TX ) VT (Bi - ng dng 1) => VT = VP = x = Vy phng trớnh (*) cú nghim x = Bi 2.2 : Gii phng trớnh : x + x = x2 - 6x + 13 Hng dn: Vi cỏch gii tng t Bi 1, ỏp dng bt ng thc Bunhiacụpxki ta c: VP Du '' = '' xy x = VT Du '' = '' xy x = x2 x = => khụng cú giỏ tr no ca x VT = VP => Phng trớnh vụ nghim Bi 2.3: Gii cỏc phng trớnh sau bng phng phỏp dựng bt ng thc a, (x2 - 3x + 4)2 = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 5) (1) x x 12 b, = x2 - 4x + (2) x 4x Lc gii a, D nhn thy (x2 - 2x + 3) > v (x2 - 4x + 5) > p dng bt ng thc Cụsi cho hai s dng trờn ta cú: ( x x 3) ( x x 5) ( x x 3)( x x 5) Hay (x2 - 3x + 4)2 (x2 - 2x + 3) (x2 - 4x + 5) Du = xy x2 - 2x + = x2 - 4x + x = Vy phng trớnh (1) cú nghim x = ( x 2)2 ( x 2) Ta thy VT + = (du = xy x = 2) VP (du = xy x = 2) Vy VT = VP (= 4) x = hay phng trớnh cú nghim x = Bi 2.4 : b, (2) + Gii phng trớnh : Hng dn : 3x 12 x 16 + y y 13 = 3x 12 x 16 ; y y 13 => VT x x Du '' = '' xy : y y => phng trớnh cú nghim: (x = 2; y = 2) 3- ng dng 3: Gii h phng trỡnh - Phng phỏp: Dựng bt ng thc bin i tng phng trớnh ca h, suy lun v kt lun nghim www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn - Cỏc vỡ d : Bi 3.1 : x y y (1) 2 (2) Gii h phng trớnh x x y y Lc gii : x - (*) (1) x3 = - - 2(y - 1)2 x3 - 2y (vỡ 1+ y2 2y) -1 x (**) (2) x2 = y2 T (*) v (**) => x = -1 Thay x = -1 vo (2) ta cú : y = => H phng trớnh cú nghim nht : (x = -1; y = 1) Bi 3.2 : x y z Gii h phng trớnh : 4 x y z xyz Lc gii : p dng bt ng thc: A2 + B2 2AB du '' = '' xy A = B Ta cú : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2 => x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (*) Mt khỏc : x2y2 + y2z2 2xy2z y2z2 + z2x2 2xyz2 x2y2 + z2x2 2x2yz => 2(x2y2 + y2z2 + z2x2 ) 2xyz(x + y + z) = 2xyz => x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz (**) 4 T (*) v (**) => x + y + z xyz Du '' = '' xy : x = y = z m x + y + z = nờn : x = y = z = Vy h phng trớnh cú nghim : x = y = z = 3 ng dng 4: Gii phng trỡnh nghim nguyờn - Phng phỏp: S dng hp lỡ cỏc tỡnh cht ca bt ng thc v bi toỏn nghim nguyờn tớm nghim ca phng trớnh - Cỏc vỡ d : Bi 4.1 : Tớm nghim nguyờn dng ca phng trớnh : 1 =2 x y z Gii : Khụng mt tỡnh tng quỏt , ta gi s x y z => 2= 1 x y z z => 2z , m z nguyờn dng Vy z = Thay z = vo phng trớnh ta c : Theo gi s x y, nờn = 1 , ta cú : x y z 1 y x y y nguyờn dng nờn y = hoc y = Vi y = khụng thỡch hp Vi y = ta cú : x = 1 x y www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn Vy (2 ; ; 1) l mt nghim ca phng trớnh Hoỏn v cỏc s trờn, ta c nghim ca phng trớnh l : (x; y; z) = (2 ; ; 1) ; (2 ; ; 2) ; (1 ; ; 2) Bi 4.2 Tớm nghim nguyờn dng ca phng trớnh : 3(x + y) = xy (1) 1 Hng dn: (1) + = Gii tng t Bi x y Bi 4.3 Tỡm s nguyờn dng cho tng ca chỳng bng tỡch ca chỳng Gii Gi cỏc s nguyờn dng phi tớm l x, y, z Ta cú: x + y + z = xyz (1) Khụng mt tỡnh tng quỏt , ta gi s x y z => xyz = x + y + z 3z Chia hai v ca bt ng thc xyz 3z cho s dng z ta cú : xy Suy xy 1; 2;3 + Vi xy = thớ x = ; y = Thay vo (1) ta cú z = -2 (loi) + Vi xy = thớ x = ; y = Thay vo (1) ta cú z = + Vi xy = thớ x = ; y = Thay vo (1) ta cú z = (loi vớ trỏi vi gi s y z) Vy ba s cn tớm l 1; 2; ng dng 5: Chng minh cỏc bi toỏn cú ni dung hỡnh hc - Phng phỏp: p dng bt ng thc tam giỏc: vi a, b, c l di ba cnh ca mt tam giỏc thớ a 0), ta c: x y x+y 1 4 p a p b ( p a ) ( p b) c 1 Tng t : p b p c a 1 pa pc b 1 1 1 ) 4( ) => iu phi chng minh => 2( pa pc pc a b c www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn Du '' = '' xy : p - a = p - b = p - c a = b = c Khi ú tam giỏc ABC l tam giỏc u Bi 5.2: Cho a, b, c , l di ba cnh ca mt tam giỏc CMR: (a + b - c)(b + c - a)(c + a -b) abc Gii: Bt ng thc v ba cnh ca tam giỏc cho ta vit b c a a (b c)2 a c a b b2 (c a)2 b2 a b c c (a b)2 c T ú => a (b c)2 b2 (c a)2 c (a b)2 a 2b2c (a+b-c) (a-b+c) (b-c+a) (b+c-a) (c-a+b) (c+a-b) a 2b2c 2 2 (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b) a 2b2c (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (Vớ a, b, c, l ba cnh ca mt tam giỏc nờn a + b - c > 0; b + c a > 0; c + a - b > v abc > ) Vy bt ng thc c chng minh Bi 5.3 : CMR mt tam giỏc nhn, tng di cỏc ng trung tuyn luụn ln hn ln bỏn kỡnh ng trũn ngoi tip Gii: Gi ma , mb , mc l di ba ng trung tuyn v R l bỏn kỡnh ng trũn ngoi tip ABC, ta phi chng minh ma + mb +mc > 4R Vỡ ABC l mt tam giỏc nhn nờn tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc O nm tam giỏc ABC Gi G l trng tõm tam giỏc ABC thớ tõm O nm mt ba tam giỏc GAB, GAC, GBC Gi s tõm O nm GAB thỡ OA + OB = 2R v GA+ GB > 2R m 3 GA= ma , GB = mb (tỡnh cht ng trung tuyn) (ma + mb ) > 2R ma + mb > 3R Trong OCF cú CF > OC mc > R Nờn GA + GB > 2R Do ú ma + mb + mc > 3R + R = 4R IV:BI TP NGH: Bi 1: Cho hai s x v y m x + y = CMR : x4 + y4 www.youtube.com/c/NTOFFICIAL Chinh Phc im 10-Mụn Toỏn Bi 2: Cho hai s dng x,y v x3 + y3 = x - y CMR: x2 + y2 < Bi : Tớm giỏ tr nh nht ca biu thc a, C = x x b, E = x x x x Bi 4: Cho s x, y tho iu kin: x + y = Chng minh rng: x4 + y4 Bi Cho a 0, b 0, c CMR: a4 + b4 + c4 abc (a + b + c) Bi 6: Cho a, b, c > thoả mãn a + b + c = 1 1 Chứng minh a b c abc Bi 7: CMR: Nu a 1; b thỡ a b ab Bi 8: Chng minh bt ng thc Cụ si tng quỏt vi n s khụng õm bng phng phỏp quy np toỏn hc : ( a1 a2 an n ) a1a2 an n Bi 9: Cho a, b, c l di cỏc cnh ca mt tam giỏc CMR: a) a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc +ca) b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2) > a b c c) + + b+c-a c+a-b a+b-c Bi 10: Gii cỏc phng trớnh sau bng phng phỏp bt ng thc: a) 5x-2 + 7-5x = x2 - 10x + 35 x2 6x x2 x b) x 6x ... im 10- Mụn Toỏn 116 52 6 117 5 5 93 97 2 2 26 15 3 80 80 26 15 26 15 3 20 14 20 14 3; 101 26 15 26 15 102 103 104 15 50 200 450 : 10 15 105 3 5 5 106 10. .. 52 53 10 10 Chinh Phc im 10- Mụn Toỏn 3 3 72 73 2 74 ( 75 12 )( ) 71 75 5 5 76 5 5 77 54 17 78 2 55 40 57 40 57 56 57 10 10 58 35 12 35 12 59 20 40 60 15 10 79... 3 5 5 106 10 5 5 1 107 108 14 15 ): 216 110 109 111 112 113 114 115 24 3 1 18 2 15 120 5 5 5 121 122 3 100 24 3 3 27 119 98