23 chuyen de boi duong hoc sinh gioi toan 8 9 đầy đủ kiến thức luyện thi học sinh giỏi và luyện thi vào trường chuyên nhé các em tài liệu khá hay và bổ ích................................................................................
www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai 23 CHUYấN BI DNG TON 8-9 CHUYấN - PHN TCH A THC THNH NHN T A MC TIấU: * H thng li cỏc dng toỏn v cỏc phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t * Gii mt s bi v phõn tớch a thc thnh nhõn t * Nõng cao trỡnh v k nng v phõn tớch a thc thnh nhõn t B CC PHNG PHP V BI TP I TCH MT HNG T THNH NHIU HNG T: nh lớ b sung: + a thc f(x) cú nghim hu t thỡ cú dng p/q ú p l c ca h s t do, q l c dng ca h s cao nht + Nu f(x) cú tng cỏc h s bng thỡ f(x) cú mt nhõn t l x + Nu f(x) cú tng cỏc h s ca cỏc hng t bc chn bng tng cỏc h s ca cỏc hng t bc l thỡ f(x) cú mt nhõn t l x + + Nu a l nghim nguyờn ca f(x) v f(1); f(- 1) khỏc thỡ f(1) f(-1) v u l s nguyờn a-1 a+1 nhanh chúng loi tr nghim l c ca h s t Vớ d 1: 3x2 8x + Cỏch 1: Tỏch hng t th 3x2 8x + = 3x2 6x 2x + = 3x(x 2) 2(x 2) = (x 2)(3x 2) Cỏch 2: Tỏch hng t th nht: 3x2 8x + = (4x2 8x + 4) - x2 = (2x 2)2 x2 = (2x + x)(2x x) = (x 2)(3x 2) Vớ d 2: x3 x2 - Ta nhõn thy nghim ca f(x) nu cú thỡ x = 1; 2; , ch cú f(2) = nờn x = l nghim ca f(x) nờn f(x) cú mt nhõn t l x Do ú ta tỏch f(x) thnh cỏc nhúm cú xut hin mt nhõn t l x www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai Cỏch 1: x3 x2 = x3 x2 x2 x x x2 x x( x 2) 2( x 2) = x x2 x Cỏch 2: x3 x2 x3 x2 x3 x2 ( x 2)( x2 x 4) ( x 2)( x 2) = x x2 x ( x 2) ( x 2)( x x 2) Vớ d 3: f(x) = 3x3 7x2 + 17x Nhn xột: 1, khụng l nghim ca f(x), nh vy f(x) khụng cú nghim nguyờn Nờn f(x) nu cú nghim thỡ l nghim hu t Ta nhn thy x = l nghim ca f(x) ú f(x) cú mt nhõn t l 3x Nờn f(x) = 3x3 7x2 + 17x = 3x3 x2 x2 x 15x 3x3 x x x 15x = x2 (3x 1) x(3x 1) 5(3x 1) (3x 1)( x2 x 5) Vỡ x2 2x ( x2 2x 1) ( x 1)2 vi mi x nờn khụng phõn tớch c thnh nhõn t na Vớ d 4: x3 + 5x2 + 8x + Nhn xột: Tng cỏc h s ca cỏc hng t bc chn bng tng cỏc h s ca cỏc hng t bc l nờn a thc cú mt nhõn t l x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Vớ d 5: f(x) = x5 2x4 + 3x3 4x2 + Tng cỏc h s bng thỡ nờn a thc cú mt nhõn t l x 1, chia f(x) cho (x 1) ta cú: x5 2x4 + 3x3 4x2 + = (x 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vỡ x4 - x3 + x2 - x - khụng cú nghim nguyờn cng khụng cú nghim hu t nờn khụng phõn tớch c na Vớ d 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 = (x4 + x2 + 1) + (1996x2 + 1996x + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) + 1996(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 - x + + 1996) = (x2 + x + 1)(x2 - x + 1997) Vớ d 7: x2 - x - 2001.2002 = x2 - x - 2001.(2001 + 1) www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai = x2 - x 20012 - 2001 = (x2 20012) (x + 2001) = (x + 2001)(x 2002) II THấM , BT CNG MT HNG T: Thờm, bt cựng mt s hng t xut hin hiu hai bỡnh phng: Vớ d 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 = (2x2 + 9)2 36x2 = (2x2 + 9)2 (6x)2 = (2x2 + + 6x)(2x2 + 6x) = (2x2 + 6x + )(2x2 6x + 9) Vớ d 2: x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 = (x4 + + 8x2)2 16x2(x4 + 2x2) = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 1)2 = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 4x )2 = (x4 + 4x3 + 8x2 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Thờm, bt cựng mt s hng t xut hin nhõn t chung Vớ d 1: x7 + x2 + = (x7 x) + (x2 + x + ) = x(x6 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 x4 + x2 - x + 1) Vớ d 2: x7 + x5 + = (x7 x ) + (x5 x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 1)(x3 + 1) + x2(x3 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x 1)(x4 + x) + x2 (x 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 x4 + x2 x) + (x3 x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 x4 + x3 x + 1) Ghi nh: Cỏc a thc cú dng x3m + + x3n + + nh: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; u cú nhõn t chung l x2 + x + III T BIN PH: Vớ d 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 t x2 + 10x + 12 = y, a thc cú dng (y 12)(y + 12) + 128 = y2 144 + 128 = y2 16 = (y + 4)(y 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai Vớ d 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 6x + Gi s x ta vit x4 + 6x3 + 7x2 6x + = x2 ( x2 + 6x + t x - 1 2 )+7] + ) = x [(x + ) + 6(x x x x x 1 = y thỡ x2 + = y2 + 2, ú x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x 1)2 x Chỳ ý: Vớ d trờn cú th gii bng cỏch ỏp dng hng ng thc nh sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 6x + = x4 + (6x3 2x2 ) + (9x2 6x + ) = x4 + 2x2(3x 1) + (3x 1)2 = (x2 + 3x 1)2 Vớ d 3: A = ( x2 y z )( x y z)2 ( xy yz +zx)2 = ( x2 y z ) 2( xy yz +zx) ( x2 y z ) ( xy yz +zx)2 t x2 y z = a, xy + yz + zx = b ta cú A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x2 y z + xy + yz + zx)2 Vớ d 4: B = 2( x4 y z ) ( x2 y z )2 2( x2 y z )( x y z )2 ( x y z )4 t x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta cú: B = 2a b2 2bc2 + c4 = 2a 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a b2) + (b c2)2 Ta li cú: a b2 = - 2( x2 y y z z x2 ) v b c2 = - 2(xy + yz + zx) Do ú; B = - 4( x2 y y z z x2 ) + (xy + yz + zx)2 = x2 y y z 4z x2 4x2 y y z 4z x2 8x2 yz 8xy z 8xyz 8xyz ( x y z ) Vớ d 5: (a b c)3 4(a3 b3 c3 ) 12abc t a + b = m, a b = n thỡ 4ab = m2 n2 a3 + b3 = (a + b)[(a b)2 + ab] = m(n2 + C = (m + c)3 m2 - n ) Ta cú: m3 + 3mn 2 4c3 3c(m2 - n ) = 3( - c +mc mn + cn ) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) III PHNG PHP H S BT NH: www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai Vớ d 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhn xột: cỏc s 1, khụng l nghim ca a thc, a thc khụng cú nghim nguyờn cng khụng cú nghim hu t Nh vy nu a thc phõn tớch c thnh nhõn t thỡ phi cú dng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a c ac b d 12 ng nht a thc ny vi a thc ó cho ta cú: ad bc 14 bd Xột bd = vi b, d Z, b 1, vi b = thỡ d = h iu kin trờn tr thnh a c ac 2c c a a 3c 14 ac bd Vy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Vớ d 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhn xột: a thc cú nghim l x = nờn cú tha s l x - ú ta cú: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) a b 2a a = 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c b c 2b c 2c Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta li cú 2x3 + x2 - 5x - l a thc cú tng h s ca cỏc hng t bc l v bc chn bng nahu nờn cú nhõn t l x + nờn 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Vớ d 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai ac 12 bc ad 10 a c 3c a bd 12 b d 3d b 12 2 12x + 5x - 12y + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) BI TP: Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t: 1) x3 - 7x + 10) 64x4 + y4 2) x3 - 9x2 + 6x + 16 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 3) x3 - 6x2 - x + 30 12) x3 + 3xy + y3 - 4) 2x3 - x2 + 5x + 13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 5) 27x3 - 27x2 + 18x - 6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 8) 4x - 32x + 9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 14) x + x + 15) x8 + 3x4 + 16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 17) x4 - 8x + 63 CHUYấN - SLC V CH NH HP, CHUYấN 2: HON V, T HP A MC TIấU: * Bc u HS hiu v chnh hp, hoỏn v v t hp * Vn dng kin thc vo mt ssú bi toỏn c th v thc t * To hng thỳ v nõng cao k nng gii toỏn cho HS B KIN THC: I Chnh hp: www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai nh ngha: Cho mt hp X gm n phn t Mi cỏch sp xp k phn t ca hp X ( k n) theo mt th t nht nh gi l mt chnh hp chp k ca n phn t y S tt c cỏc chnh hp chp k ca n phn t c kớ hiu A k n Tớnh s chnh chp k ca n phn t A k n = n(n - 1)(n - 2)[n - (k - 1)] II Hoỏn v: nh ngha: Cho mt hp X gm n phn t Mi cỏch sp xp n phn t ca hp X theo mt th t nht nh gi l mt hoỏn v ca n phn t y S tt c cỏc hoỏn v ca n phn t c kớ hiu Pn Tớnh s hoỏn v ca n phn t Pn = ( n! : n giai tha) A n n = n(n - 1)(n - 2) = n! III T hp: nh ngha: Cho mt hp X gm n phn t Mi ca X gm k phn t n phn t ca hp X ( k n) gi l mt t hp chp k ca n phn t y S tt c cỏc t hp chp k ca n phn t c kớ hiu C k n Tớnh s t hp chp k ca n phn t C k n = A n n : k! = n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] k! C Vớ d: Vớ d 1: Cho ch s: 1, 2, 3, 4, a) cú bao nhiờu s t nhiờn cú ba ch s, cỏc ch s khỏc nhau, lp bi ba cỏc ch s trờn b) Cú bao nhiờu s t nhiờn cú ch s, cỏc ch s khỏc nhau, lp bi c ch s trờn c)Cú bao nhiờu cỏch chn ba ch s ch s trờn www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai Gii: a) s t nhiờn cú ba ch s, cỏc ch s khỏc nhau, lp bi ba cỏc ch s trờn l chnh hp chp ca phn t: A = 5.(5 - 1).(5 - 2) = = 60 s b) s t nhiờn cú ch s, cỏc ch s khỏc nhau, lp bi c ch s trờn l hoỏn v cua phn t (chnh hp chp ca phn t): A 5 = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = = 120 s c) cỏch chn ba ch s ch s trờn l t hp chp ca phn t: C = 5.(5 - 1).(5 - 2) 5.4.3 60 10 nhúm 3! 3.(3 - 1)(3 - 2) Vớ d 2: Cho ch s 1, 2, 3, 4, Dựng ch s ny: a) Lp c bao nhiờu s t nhiờn cú ch s ú khụng cú ch s no lp li? Tớnh tng cỏc s lp c b) lp c bao nhiờu s chn cú ch s khỏc nhau? c) Lp c bao nhiờu s t nhiờn cú ch s, ú hai ch s k phi khỏc d) Lp c bao nhiờu s t nhiờn cú ch s, cỏc ch s khỏc nhau, ú cú hai ch s l, hai ch s chn Gii a) s t nhiờn cú ch s, cỏc ch s khỏc nhau, lp bi cỏc ch s trờn l chnh hp chp ca phn t: A = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = = 120 s Trong mi hang (Nghỡn, trm, chc, n v), mi ch s cú mt: 120 : = 24 ln Tng cỏc ch s mi hang: (1 + + + + 5) 24 = 15 24 = 360 Tng cỏc s c lp: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960 b) ch s tn cựng cú cỏch chn (l hoc 4) bn ch s trc l hoỏn v ca ca ch s cũn li v cú P4 = 4! = = 24 cỏch chn Tt c cú 24 = 48 cỏch chn www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai c) Cỏc s phi lp cú dng abcde , ú : a cú cỏch chn, b cú cỏch chn (khỏc a), c cú cỏch chn (khỏc b), d cú cỏch chn (khỏc c), e cú cỏch chn (khỏc d) Tt c cú: = 1280 s d) Chn ch s chn, cú cỏch chn chn ch s l, cú cỏch chn Cỏc ch s cú th hoỏn v, ú cú: 4! =1 = 72 s 1800 Trờn Ax ly im khỏc A, trờn Ay ly im khỏc A 12 Bi 3: Cho xAy im núi trờn (k c im A), hai im no cng c ni vi bi mt on thng Cú bao nhiờu tam giỏc m cỏc nh l 12 im y Gii Cỏch 1: Tam giỏc phi m gm ba loi: + Loi 1: cỏc tam giỏc cú mt nh l A, nh th thuc Ax (cú cỏch chn), nh th thuc Ay (cú cỏch A B1 A1 chn), gm cú: = 30 tam giỏc B2 B3 A2 + Loi 2: Cỏc tam giỏc cú nh l im B1, A3 B4 A4 y B5 A5 A x B2, B3, B4, B5 (cú cỏch chn), hai nh l im A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Cú C 6.5 30 15 cỏch chn) 2! Gm 15 = 75 tam giỏc + Loi 3: Cỏc tam giỏc cú nh l im A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai nh l im B1, B2, B3, B4, B5 gm cú: C 5.4 20 60 tam giỏc 2! Tt c cú: 30 + 75 + 60 = 165 tam giỏc Cỏch 2: s cỏc tam giỏc chn 12 im y l C 12 12.11.10 1320 1320 220 3! 3.2 S b ba im thng hang im thuc tia Ax l: C S b ba im thng hang im thuc tia Ay l: C S tam giỏc to thnh: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giỏc 7.6.5 210 210 35 3! 3.2 6.5.4 120 120 20 3! 3.2 www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai D BI TP: Bi 1: cho s: 0, 1, 2, 3, t cỏc ch s trờn cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn: a) Cú ch s gm c ch s y? b) Cú ch s, cú cỏc ch s khỏc nhau? c) cú ch s, cỏc ch s khỏc nhau? d) cú ch s, cỏc ch s cú th ging nhau? Bi 2: Cú bao nhiờu s t nhiờn cú ch s lp bi cỏc ch s 1, 2, bit rng s ú chia ht cho Bi 3: Trờn trang v cú ng k thng ng v ng k nm ngang ụi mt ct Hi trờn trang v ú cú bao nhiờu hỡnh ch nht CHUYấN - LU THA BC N CA MT NH THC A MC TIấU: HS nm c cụng thc khai trin lu tha bc n ca mt nh thc: (a + b)n Vn dng kin thc vo cỏc bi v xỏc nh h s ca lu tha bc n ca mt nh thc, dng vo cỏc bi toỏn phõn tớch a thc thnh nhõn t B KIN THC V BI TP VN DNG: I Nh thc Niutn: Trong ú: C kn (a + b)n = an + C1n an - b + C2n an - b2 + + Cnn ab n - + bn n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] 1.2.3 k II Cỏch xỏc nh h s ca khai trin Niutn: Cỏch 1: Dựng cụng thc C kn n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] k! Chng hn h s ca hng t a4b3 khai trin ca (a + b)7 l C 74 7.6.5.4 7.6.5.4 35 4! 4.3.2.1 www.youtube.com/c/NTOFFICIAL => 1.2 = www.facebook.com/thaygiaodepzai 1.2.3 0.1.2 3 2.3.4 1.2.3 3 2.3 n(n 1) S= n(n 1)(n 2) (n 1)n(n 1) 3 1.2.0 (n 2)n(n 1) (n 1)n(n 2) 3 Ví dụ 15 : Chứng minh : k (k+1) (k+2) (k+3) (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) từ tính tổng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2) Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2) (k 3) (k 1) = k( k+1) ( k +2 ) Rút : k(k+1) (k+2) = k (k 1)(k 2)(k 3) (k 1)k (k 1)(k 2) 4 áp dụng : 1.2.3 = 1.2.3.4 0.1.2.3 4 2.3.4 = 2.3.4.5 1.2.3.4 4 n(n+1) (n+2) = n(n 1)(n 2)(n 3) (n 1)n(n 1)(n 2) 4 Cộng vế với vế ta đ-ợc S = n (n 1)(n 2)(n 3) * Bài tập đề nghị : Tính tổng sau 1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + b, S = + 52 + 53 + + 99 + 5100 c, C = + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169 4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai 5, S = 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 6, S = 4 5.7 7.9 59.61 7, A = 5 5 11.16 16.21 21.26 61.66 8, M = 1 1 2005 3 3 9, Sn = 1 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 10, Sn = 2 1.2.3 2.3.4 98.99.100 11, Sn = 1 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n 1)(n 2)(n 3) 12, M = + 99 + 999 + + 99 .9 50 chữ số 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 Tính S100 =? Trong trình bồi d-ỡng học sinh giỏi , kết hợp dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho em , chẳng hạn dạng toán tìm x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820 c, + 1 1989 10 x( x 1) 1991 Hay toán chứng minh chia hết liên quan 15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 + + 220 luỹ thừa b, B =2 + 22 + + + 60 ; 7; 15 c, C = + 33 +35 + + 31991 13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 Chuyờn 23: PHN S V LIấN PHN S I KHI NIM PHN S V TNH CHT C BN CA PHN S: www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai a) - Phõn s cú dng a , ú a,b Z, b 0, a gi l t, b l mu b - Mi s nguyờn a u cú th vit c di dng phõn s vi mu bng ( a ) b) - Cú 02 tớnh cht c bn ca phõn s: (b,m0, a,b,mZ) c) - Rỳt gn mt phõn s l chia t v mu ca phõn s cho C (khỏc v 1) ca chỳng - Phõn s ti gin l phõn s khụng th rỳt gn c na Mun rỳt gn mt phõn s n ti gin ta chia t v mu cho CLN ca chỳng a/b ti gin CLN (a;b)=1 d) Mun quy ng mu nhiu phõn s cú mu dng ta lm theo bc: Bc 1: Tỡm BC ca cỏc mu (thng l BCNN) lm mu chung Bc 2: Tỡm tha s ph ca mi mu bng cỏch ly mu chung chia cho tng mu Bc 3: Nhõn t v mu ca mi phn s vi tha s ph tng ng Nu mu ca cỏc phõn s l nguyn t cựng thỡ mu chung bng tớch ca cỏc mu Bi tp: Bi 1: Chng rng vi mi s t nhiờn n thỡ phõn s Gi d l CLN (21n + ; 14n + ) (d N; d 1) Khi ú ta cú: 2.(21n + 4) d v 3.(14n + 3) d Hay 42n + d v 42n + d Theo tớnh cht hiu chia ht ca tng (hiu) thỡ: (42n + 9) (42n + 8) = d Suy ra: d = Vy phõn s l phõn s ti gin l phõn s ti gin vi n N ti gin vi mi s t nhiờn n Bi 2: Chng minh rng phõn s Gi d l CLN ( Ta cú: ; v ) (d N ; d 1) www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai Khi ú (n4 + 3n2 +1 - n4 - 2n2) = n2 + d n.(n2 + 1) d Ta li cú: (n3 + 2n - n3 - n) = n d n.n = n2 d ú: n + - n2 = d Suy ra: d=1 Vy phõn s l phõn s ti gin Bi Tỡm tt c cỏc s t nhiờn n phõn s Gii l phn s ti gin Ta cú: Ta thy: v ; v 3n + ; 3n + v 6n + ụi mt nguyờn t cựng ti gin thỡ 6n + Suy n 7k + ( k N) Bi Tỡm cỏc s nguyờn x, y, z bit: Ta cú Khi x = thỡ Gii x = 12 = 36 = (-6)2 = (6)2 x = - hoc x = www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai Vy II SO SNH PHN S: Trong hai phõn s cú cựn mu dng phõn s no cú t ln hn thỡ ln hn - Mun so sỏnh hai phõn s khụng cựng mu ta vit chỳng di dng phõn s cú cựng mu dng ri so sỏnh t Phõn s no cú t ln hn thỡ ln hn - Trong hai phõn s cú cựng t, phõn s no cú mu nh hn thỡ ln hn - Nu t nh hn mu thỡ phõn s nh hn Nu t ln hn mu thỡ phõn s ln hn 2) Bi tp: Bi 1: So sỏnh hai phõn s: t a = 5555555557 ; b = 6666666669 a < b Hai phõn s ó cho c vit : hay Ta cn so sỏnh Ta cú : 5.a = 555555555557 > 55500000000 = 27500000000 4b = 46666666669 < 46700000000 = 26800000000 5a > 4b hay Vy: Bi 2: Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca phõn s: Ta cú : www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai K ln nht thỡ a/b nh nht b nhn giỏ tr nh nht, m b l ch s hng n v ca s nờn b = Khi ú a nhn giỏ tr n Giỏ tr ln nht ca K = 10 K t giỏ tr nh nht thỡ a/b ln nht, b nhn giỏ tr ln nht, a nhn giỏ tr nh nht khỏc a = 1, b = Giỏ tr nh nht ca K = 19/10 Bi 3: Ngi ta vit thờm nhng ch s vo gia hai ch s ca mt s cú hai ch s, sau ú lp t s gia s cú ba ch s v s ó cho Hi giỏ tr bng s s t nhiờn ln nht, nh nht ca t s ny l bao nhiờu? Gii Gi s ban u l ; a, b l ch s a Vit thờm ch s vo gia hai s ta c t Ta cú: K ln nht a nh nht, suy ra: b = 0, a ly giỏ tr tu ý t n b Giỏ tr ln nht ca K = 10 K nh nht a/b ln nht, b nhn giỏ tr ln nht, a nhn giỏ tr nh nht a = 1, b = m K N nờn K = Giỏ tr nh nht ca K = III PHẫP CNG V PHẫP TR: Kin thc: Tng ca hai phõn s cựng mu l mt phõn s cú t bng tng cỏc t v mu l mu chung Mun cng hai phõn s khụng cựng mu Ta vit chỳng di dng phõn s cú cựng mu dng ri cng t gi nguyờn mu Tớnh cht c bn ca phộp cng phõn s: + Tớnh cht giao hoỏn: www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai + Tớnh cht kt kp: + Cng vi s 0: Mun tr phõn s a/b cho phõn s c/d ta cng phõn s a/b vi s i ca phõn s c/d Bi tp: Bi 1: Chng minh rng: Tng ca mt phõn s ti gin vi cng l phõn s ti gin Gi a/b l phõn s ti gin Cn chng minh hay Gi s l phõn s ti gin khụng ti gin Gi CLN (a + b; b) = d > Khi ú: a+ b : d v b : d a + b d = a : d a/b khụng ti gin (trỏi vi gi thit) Vy ti gin Bi 2: Chng minh rng: Gii Ta cú: hay Vy: Bi 3: Chng minh rng: Gii www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai Ta cú: Do ú: Hay Bi 4: Tớnh tng: a) 3 2.5 5.8 17.20 b) 5 5.5 + ++ 1.6 6.11 26.31 Gii a) Ta cú: 2.5 5.8 1 1 1 17.20 17 20 3 1 1 1 1 10 + 2.5 5.8 17.20 5 17 20 20 20 20 5 5.5 5 150 26 b) + ++ =5( + ++ )=5(1- )= =4 1.6 6.11 1.6 6.11 31 31 31 26.31 26.31 Bi 5: Tỡm x: 11 11 11 11 ) x 12 12.23 23.34 89.100 a) ( www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai 2 221 )x4 11.13 13.15 19.21 231 b) ( Gii a) Tớnh tng: Do ú: 11 11 11 11 12 12.23 23.34 89.100 1 1 1 1 12 12 23 23 34 89 100 1 99 100 100 99 x 100 99 100 500 99.3 x 300 203 x 300 x Vy: x b) Ta cú: 203 300 2 1 1 1 11.13 13.15 19.21 11 13 13 15 19 21 1 21 11 10 11 21 11.21 231 10 221 x4 Do ú: 231 231 x x x Vy : x 3 IV PHẫP NHN V PHẫP CHIA: Kin thc: a) Quy tc phộp nhõn phõn s: www.youtube.com/c/NTOFFICIAL a c a.c b d b.d www.facebook.com/thaygiaodepzai (a, b, c, d Z; b, d 0) b) Quy tc phộp chia phõn s: a c a d a.c : b d b c b.d c d a.d a : a d c c a a :c b b.c (b, c 0) vi d c l nghch o ca c d Bi tp: Bi 1: Thc hin phộp tớnh: 1 4 27 : 49 343 : 91919191 a) 182 2 1 80808080 27 49 343 1 (0,3 ).1 (6 ) : 0,03 20 2 b) : 2 20 2,65).4 (1,88 ) 20 25 80 1 1,5 0,25 c) : 0,8 : 50 2,2.10 0,4 1: Gii 1 1 1 (1 ) 27 27 a) Ta cú: 2 1 2 2.(1 ) 27 27 4 1 4.(1 ) 49 343 49 343 1 1 1 (1 ) 49 343 49 343 91919191 1010101.91 91 80808080 1010101.80 80 Biu thc ó cho c vit li: 182.( : 4) : b) ỏp s: 10 c) ỏp s: 11 Bi 2: Tỡm x bit 91 80 182 20 80 91 www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai x (1,6 154,66 : 70,3) : 1,9 2,625 ỏp s a) 11 (5,2 1,4) : (2 1,3) : 4,3 (2,7 0,8).2 x 1 2 13.15 ).462 [2,04 : ( x 1,05)] : 0,12 19 ỏp s x=15,95 11.13 19.21 b) ( V CC BI TON C BN V PHN S: Kin thc c bn: a) Mun tỡm giỏ tr phõn s ca mt s cho trc ta nhõn s cho trc vi phõn s ú b) Mun tỡm mt s bit giỏ tr phõn s ca nú ta chia giỏ tr ny cho phõn s c) T s ca s a v b l thng phộp chia a cho b (b 0) i) Tỡm t s phn trm ca a v b a.100 % b ii) Mun tỡm t l xớch ca mt bn v bit khong cỏch a gia hai im trờn bn v v khong cỏch b gia hai im tng ng trờn thc t, ta tớnh T a b Bi tp: Dng Bi 1: Hin tng s tui ca anh em l 58 tui Hi tui ca mi ngi, bit rng ắ s tui ca ngi em ỳt bng s tui ca ngi th v bng ẵ s tui ca ngi anh c Gi a,b,c l s tui ca anh c, th hai, em ỳt Ta cú: a + b + c = ẵ a 9c = 8b = 6a Thay (2) vo (1) ta c : a+ ắ a + (2) a = 58 a = 24, b = 18, c= 16 Vy tui ca anh c l 24, anh th hai l 18, em ỳt l 16 Bi 2: Trong mt lp chuyờn toỏn ch gm hai loi hc sinh gii v khỏ Cui s hc sinh khỏ n cui nm hc cú hc sinh khỏ c xp vo loi gii nờn s hc sinh gii bng s hc sinh khỏ Tớnh s hc sinh ca hc kỡ I S hc sinh gii bng lp (ỏp s: 36 hs) Bi 3: Tỡm a) 2.5% ca (85 83 ).2 30 18 s: 11 24 0,04 www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai 3 (6 ).5 b) 5% ca 14 s: 0,125 (21 1,25) : 2,5 Dng 2: b a , bit : 3 : 0,09 : (0,15 : ) a= 0,32.6 0,03 (5,3 3,88) 0,67 Bi 4: Tỡm 12% ca b= (2,1 1,965) : (1,2.0,045) : 0,25 0,00325 : 0,013 1,6.0,625 ỏp s: 0,69 Bi 5: Ba t hc sinh phi trng mt s cõy xung quanh trng T th nht trng c ẳ s cõy, t th hai trng 40% s cõy cũn li, t th trng c 140 cõy, nh vy so vi quy nh c t trng nhiu hn 5cõy Hi c t trng c bao nhiờu cõy? ỏp s: 305 cõy Dng 3: Bi 6: Ba t hc sinh trng c 179 cõy xung quanh trng S cõy t I trng bng s cõy t II trng v bng s cõy t III ó trng Hi mi t trng 11 10 c bao nhiờu cõy ? ỏp s: i I trng 42 (cõy) i II trng 77 (cõy) i III trng 60 (cõy) Bi 7: Tng cỏc lu tha bc ba ca ba s t nhiờn l 1009 Bit rng t s gia s th nht v s th hai l , gia s th nht vi s th ba l Tỡm ba s ú? ỏp s: (4; 6; 9) Bi 8: Tỡm hai s bit t s ca chỳng l v tng bỡnh phng ca hai s y l 4736 ỏp s: (40; 56) VI LIấN PHN S: Kin thc cn nh: a) nh ngha: Mt liờn phn s hu hn cp n l mt biu thc cú dng qo + q1 + www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai q2 + q3 + + qn-1 + 1/ qn Trong ú qo l s nguyờn, cũn q1, q2, q3 qn l nhng s nguyờn dng v qn >1 - S qs vi S = 0,1, , n l s hng th ca liờn phõn s ó cho - Cỏch vit gn liờn phn s trờn l: [qo, q1, q2,, qn] b) Cỏch vit mt phõn s di dng mt liờn phõn s hu hn Gi s ta cú x= a b (a,b Z; b 1) Ta dựng thut toỏn Oclit trờn hai s a v b a = bqo + r1 ( < r1 < b ) b = r1q1 + r2 ( < r2 < r1) r1= r2 q2 + r3 ( < r3 < r2) r n = rn - qn - + rn < r n< r n1 r n 1= rn qn Suy ra: a r 1 q q q b r b b q r r = qo + q1 + q2 + + qn-1 + 1/ qn c) Cỏch vit mt liờn phõn s di dng mt phõn s: (gi l gin phõn cp s ) A = q V A1= q1 q0 + B0= B1= q1 As= qs As-1 + As Bs= qs Bs - + B s - r1= r2 q2 + r3 Vi s Phõn s tỡm c cú dng: a = As/ Bs b www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai Cỏch lp bng: s K-2 K-1 K qs q0 q1 q2 qk-2 qk-1 qk As q0 A1 A2= q2 A1 + A0 Ak-2 Ak-1 Ak= qk Ak-1 + Ak-2 Bs B1 B2= q2 B1 + B0 Bk-2 Bk-1 Bk= qk Bk-1 + Bk-2 Bi tp: Dng 1: Biu din cỏc s hu t thnh liờn phõn s: Dựng thut toỏn Oclit a) 47 48 = [-3; 2; 1; 1; 3] 1 1 b) 5544 [4;1;1;1;1;1;2;2] 1200 2)Hóy biu din cỏc s hu t sau thnh liờn phõn s: a) 127 52 b) 38 117 c) 258 175 d) 1657 367 e) 3,14 Dng 2:3) Tỡm phõn s biu din liờn phõn s sau: [4; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 2] s qs 1 As 14 23 37 97 231 Bs 1 21 50 Vy phõn s cn tỡm l 231 50 4) Tỡm phõn s biu din liờn phõn s sau: a) [3, 7,15,1, 292] b) [1; 2; 2; 2; 2] c) [-2; 1; 1; 2; 2] d) [a; a; a; a] www.youtube.com/c/NTOFFICIAL www.facebook.com/thaygiaodepzai ... kh¸c Hay CE DC - DE DC AD CE AE - DE DC AD 1 (V× AD = DC) 1 1 DE DE DE DE DE DE DE DE CE AE - DE AE AB AE AB 1 2 (v× = : Do DF // AB) DE DE DE DF DE DF Suy CE AK +... cho 25 c) Nếu n = 3k (k N) 5n – 2n = 53k – 23k chia hết cho 53 – 23 = 117 nên chia hết cho Nếu n = 3k + 5n – 2n = 5.53k – 2.23k = 5(53k – 23k) + 23k = BS + 8k = BS + 3(BS – 1)k = BS + BS + Tương... Giải Nếu n = 3k ( k N) 2n – = 23k – = 8k - chia hết cho Nếu n = 3k + ( k N) 2n – = 23k + – = 2(23k – 1) + = BS + Nếu n = 3k + ( k N) 2n – = 23k + – = 4(23k – 1) + = BS + V ậy: 2n – chia