Bài tập phần đạo hàm I. dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại x 0 : 1. 75)( 2 += xxxf x 0 = -1 (-7) 2. xxf 2cos)( = x 0 R (-2sin2x) 3. 1 |1| )( + = x x xf x 0 = 1 ( ko ) 4. ( ) ( 1)( 2) ( 2008)( 2009)f x x x x x x = x 0 = 0 (-2009!) 5. 2 2 1 ( ) 4 5 1 x x x f x x x + = < x 0 = 1 (4) 6. 2 2 sin 0 ( ) 3 0 x x f x x x x x > = + x 0 = 0. (1) III. dùng công thức tính đạo hàm các hàm số sau: 1. dcx bax y + + = 2. 54 32 + + = x x y 3. nmx cbxax y + ++ = 2 4. 1 1 2 + = x xx y 5. ( ) = 2 1 x y x 6. xxy 2cos.3sin 32 = 7. = 2y cos x 8. 1 1 x y x + = 9. 2 3 1 x y x + = + 10. 2 4 3 x y x + = 11. ( ) 4 tany x= 12. ( ) = 3 sin 1y x 13. 2 1 cos y x = 14. sin cos sin cos x x y x x + = 15. = 20 (1 )y x 16. + = 1 1 x y x 17. = + ữ 2007 5 1 7y t t t 18. = + 2 2 2 x y x a 19. = + sin x y x cosx 20. = + 2 cot 1y x x 21. = 1 3 3 y cosx cos x 22. = tant y t 23. = sin(2 sin )y x 24. = 4 5y cos x 25. 4 sin 3 6 y x = ữ 26. 2 cos 2 3 y x = ữ 27. = 2 sin ( 3 )y cos x 28. 3 cot 5 4 y x = IV. Cho hai hàm số: = + = 4 4 1 ( ) sin ; ( ) 4 4 f x x cos x g x cos x . CMR: f(x) = g(x). Giải thích. V. Cho hàm số: = 2 ( ) 2 8f x x x . Giải bất phơng trình: '( ) 1f x . VI. Chứng minh hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc vào x: = + + + + + ữ ữ ữ ữ 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 3 3 3 3 y cos x cos x cos x cos x x . VII. Tính '( ); '( ) 6 3 f f biết = ( ) 2 cosx f x cos x . VIII. Cho hàm số: = + 3 2 ( ) (3 ) 2 3 2 mx mx f x m x 1) Tìm m để: a) > '( ) 0 f x x b) '( )f x có hai nghiệm phân biệt cùng dấu. 2) Chứng minh rằng trong trờng hợp '( )f x có hai nghiệm phân biệt thì các nghiệm này thoả mãn hệ thức độc lập với m. Ix. Chứng minh rằng: 1. Nếu 2 1 xy = thì: (1 - x 2 )y - xy' + y = 0 2. Nếu x x xf 2 2 sin1 cos )( + = thì: 3) 4 ('3) 4 ( = ff . x. tìm đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 1. 1 3 5 y x = 2. 252 1 2 + = xx y 3. 3 2 9 x y x = 4. sin 5y x= 5. 2 sin 2y x= 6. sin sin 5y x x= xI. dùng định nghĩa đạo hàm để tính các giới hạn sau: 1. x xx x sin 11 lim 3 0 ++ (1/6) 2. + x xxx x 2 2 cos2sin lim 2 (-1/2) xii. tiếp tuyến: 1. Cho hàm số: 23 32 xxy = (C) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết: a) Hoành độ tiếp điểm bằng -1 (y = 12x+7) b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = 12 (y = 12x+7, y = 12x - 20) c) Tiếp tuyến đi qua điểm )0; 2 3 (A (y = 0, y = 4 27 2 9 x ). 2. Cho hàm số: 1 23 = x x y (C) Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết: a) Tung độ của tiếp điểm bằng 2 5 ( 4 9 4 1 += xy ) b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng 3+= xy ( 6,2 +=+= xyxy ) c) Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng 44 += xy 4 9 4 1 += xy , 4 17 4 1 += xy d) Tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 0) ( 18,2 +=+= xyxy ) e) Tiếp tuyến tạo với trục hoành góc 45 0 ( 6,2 +=+= xyxy ). 3. Cho hàm số: x x y 1 2 + = (C) Chứng minh rằng qua điểm M(-2; 0) kẻ đợc 2 tiếp tuyến tới (C), đồng thời 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 4. Cho hàm số: 1 1 2 + = x xx y (C) a) Chứng minh rằng qua A(1; 1) không kẻ đợc tiếp tuyến nào tới (C). b) Tìm trên Oy các điểm từ đó kẻ đợc ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C) A(0; m), m 1 . 5. Cho hàm số: 23 23 += xxy (C) d) Chứng minh rằng: Trong tất cả các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến tại điểm U(1; 0) có hệ số góc nhỏ nhất. e) Tìm trên đờng thẳng y = 2 những điểm từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến tới (C) (A(a; 2), a < -1; a > 5/3; a 2) f) Tìm trên đờng thẳng y = 2 những điểm từ đó kẻ đợc 3 tiếp tuyến tới (C), sao cho có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. (A )2; 27 53 ( ). 6. Cho hàm số: 2 2 (3 4)y x x= . Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ. 7. Cho hàm số: 2 3 1 x y x = ( )C . Tiếp tuyến bất kì tại ( )M C cắt 2 đờng thẳng 1x = và 2y = tại ,A B . Chứng minh rằng M là trung điểm AB .