Tóm tắt lí thuyết Đại số 10

* Tập xác định của hàm số: Ta qui ước rằng: Khi cho hàm số bằng biểu thức y = fx, nếu không nói gì thêm thì tập xác định của hàm số y = fx là tập hợp tất cả các giá trị của x để biểu thứ[r]

TÓM TẮT LÍ THUYẾT GV: PHẠM MINH TỨ (Bổ sung, sửa chữa năm 2012) Lop10.com ĐẠI SỐ 10  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 Trên đường thành công không có dấu chân kẻ lười biếng : 0989.685.982 2 Lop10.com  GV: PHẠM MINH TỨ  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 Chương I: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP MỆNH ĐỀ & MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Mệnh đề: Mệnh đề là khẳng định đúng sai Mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai Ví dụ: i) + = là mệnh đề đúng ii) “ là số hữu tỉ” là mệnh đề sai iii) “Mệt quá !” không phải là mệnh đề Mệnh đề chứa biến: Ví dụ: Cho mệnh đề + n = với giá trị n thì ta đề đúng sai Mệnh đề trên gọi là mệnh đề chứa biến Phủ định mệnh đề: Phủ định mệnh đề P kí hiệu là P Nếu mệnh đề P đúng thì P sai, P sai thì P đúng Ví dụ: P: “3 là số nguyên tố” P : “3 không là số nguyên tố” Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề “nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo Kí hiệu P  Q Mệnh đề P  Q sai P đúng và Q sai Ví dụ: Mệnh đề “ 3  2  (3)2  (2)2 ” sai    ” đúng Trong mệnh đề P  Q thì: Mệnh đề “ P: giả thiết (điều kiện đủ để có Q) Q: kết luận (điều kiện cần để có P) Ví dụ: Cho hai mệnh đề: P: “Tam giác ABC có hai góc 600” Q: “Tam giác ABC là tam giác đều” Hãy phát biểu mệnh đề PQ dạng điều kiện cần, điều kiện đủ i) Điều kiện cần: “Để tam giác ABC có hai góc 600 thì điều kiện cần là tam giác ABC là tam giác đều”  GV: PHẠM MINH TỨ 3 Lop10.com : 0989 685.982 ĐẠI SỐ 10  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 ii) Điều kiện đủ: “Để tam giác ABC là tam giác thì điều kiện đủ là tam giác ABC có hai góc 600” Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương Mệnh đề đảo mệnh đề P  Q là mệnh đề Q  P Chú ý: Mệnh đề P  Q đúng mệnh đề đảo Q  P chưa đúng Nếu hai mệnh đề P  Q và Q  P đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương Kí hiệu P  Q Kí hiệu ,  :  : Đọc là với (tất cả)  : Đọc là tồn (có hay có ít một) Phủ đỉnh  và  :   * Mệnh đề phủ định mệnh đề “ x  X , P x ” là “ x  X , P x ” * Mệnh đề phủ định mệnh đề “ x  X , P x ” là “ x  X , P x ” Ghi nhớ: - Phủ định  là  - Phủ định  là  - Phủ định = là  - Phủ định > là  - Phủ định < là  Ví dụ: P: “ n  Z : n  ” P : " n  Z : n  0" : 0989.685.982 4 Lop10.com  GV: PHẠM MINH TỨ  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC Định lí và chứng minh định lí: - Trong toán học, định lí là mệnh đề đúng Nhiều định lí phát biểu   Trong đó P x , Q x  là mệnh đề chứa biến, X là tập hợp dạng x  X , P x  Q x (1) nào đó - Chứng minh định lí dạng (1) là dùng suy luận và kiến thức đúng đã biết để khẳng định mệnh đề (1) là đúng, tức là cần chứng tỏ với x thuộc X mà P(x) đúng thì Q(x) đúng Có thể chứng minh định lí dạng (1) cách trực tiếp gián tiếp * Phép chứng minh trực tiếp gồm các bước: - Lấy x thùy ý thuộc X mà P(x) đúng; - Dùng suy luận và kiến thức toán học đúng đã biết để Q(x) đúng * Phép chứng minh phản chứng gồm các bước: - Giả sử tồn x0  X cho P x0 đúng và Q x0 sai, tức là mệnh đề (1) là mệnh đề sai - Dùng suy luận và kiến thức toán học đúng đã biết để điều mâu thuẫn Điều kiện cần, điều kiện đủ:   Cho định lí dạng: " x  X , P x  Q x " (1) - P(x) gọi là giả thiết và Q(x) gọi là kết luận định lí - Định lí (1) còn phát biểu dạng: + P(x) là điều kiện đủ để có Q(x), + Q(x) là điều kiện cần để có P(x) Định lí đảo, điều kiện cần và đủ:   Xét mệnh đề đảo định lí dạng (1) là x  X , Q x  P x (2) Mệnh đề (2) có thể đúng, có thể sai Nếu mệnh đề (2) đúng thì nó gọi là định lí đảo định lí (1), lúc đó (1) gọi là định lí thuận Định lí thuận và đảo có thể viết gộp lại thành định lí dạng: x  X , P x   Q x  (3)  GV: PHẠM MINH TỨ 5 Lop10.com : 0989 685.982 ĐẠI SỐ 10  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 Khi đó ta nói: P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x) (hoặc ngược lại) Ngoài ta có thể nói “P(x) và (nếu và nếu) Q(x)” : 0989.685.982 6 Lop10.com  GV: PHẠM MINH TỨ  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 TẬP HỢP I TẬP HỢP: - Tập hợp là khái niệm toán học - Cho tập hợp A Phần tử a thuộc tập A ta viết a  A Phần tử a không thuộc tập A ta viết a  A Cách xác định tập hợp: a) Cách liệt kê: Là ta liệt kê tất các phần tử tập hợp Ví dụ: A  1,2,3,4,5 b) Cách nêu tính chất đặc trưng: Chỉ tính chất đặc trưng các phần tử tập đó   Ví dụ: A  x  R : x  x   Ta thường minh hoạ tập hợp đường cong khép kín gọi là biểu đồ Ven Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào Kí hiệu  A    x : x  A Tập con: A  B  x ( x  A  x  B ) Vậy: B A Chú ý: i) A  A, A ii)   A, A iii) A  B, B  C  A  C Hai tập hợp nhau: A  B  x ( x  A  x  B) II CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP   Phép giao: A  B  x / x  A vaøx  B x  A Ngược lại: x  A  B   x  B  GV: PHẠM MINH TỨ 7 Lop10.com : 0989 685.982 ĐẠI SỐ 10  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 B A   Phép hợp: A  B  x / x  A x  B x  A Ngược lại: x  A  B   x  B   Hiệu hai tập hợp: A \ B  x / x  A vaøx  B x  A Ngược lại: x  A \ B   x  B Phần bù: Khi A  E thì E\A gọi là phần bù A E Kí hiệu: C A B Vậy: CE A = E\A A  E III CÁC TẬP HỢP SỐ: : 0989.685.982 8 Lop10.com  GV: PHẠM MINH TỨ  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10    Tập số nguyên: Z   , 2, 1,0,1,2,   Tập số tự nhiên: N  0,1,2,3,4, ; N *  1,2,3,4,  Tập các số hữu tỉ: Q   x    m / m, n  Z , n   n  Tập số thực: kí hiệu R, gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ Tập số thực biểu diễn trục số Quan hệ các tập số: A  A  A  A -  + Các tập thường dùng R: Chú ý: Cách biểu diễn phép hợp, giao, hiệu tập hợp trên trục số: Vẽ trục số, biểu diễn các số là biên tất các tập hợp lên trục số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Sau đó biểu diễn tập hợp theo qui tắc sau:  GV: PHẠM MINH TỨ 9 Lop10.com : 0989 685.982 ĐẠI SỐ 10     GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 Phép hợp: Muốn lấy hợp hai tập hợp A và B Tô đậm bên hai tập hợp, phần tô đậm đó chính là hợp hai tập hợp Phép giao: Muốn lấy giao hai tập hợp A và B Gạch bỏ phần bên ngoài tập A, tiếp tục gạch bỏ bên ngoài tập B phần không gạch bỏ đó chính là giao hai tập hợp A và B Cách tìm hiệu (a;b) \ (c;d): Tô đậm tập (a;b) và gạch bỏ tập (c;d) Phần tô đậm không bị gạch bỏ là kết cần tìm : 0989.685.982  10  Lop10.com  GV: PHẠM MINH TỨ  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Số gần đúng: Trong đo đạc, tính toán ta thường không biết giá trị đúng các đại lượng ta quan tâm mà biết giá trị gần đúng nó Sai số tuyệt đối và sai số tương đối: a) Sai số tuyệt đối: Giả sử a là giá trị đúng đại lượng và a là giá trị gần đúng a Giá trị a  a phản ánh mức độ sai lệch a và a Ta gọi a  a là sai số tuyệt đối số gần đúng a và kí hiệu là a , tức là: a  a  a Trên thực tế nhiều ta không biết a nên không thể tính chính xác a Tuy nhiên, ta có thể đánh giá a không vượt quá số dương nào đó * Nếu a  d thì: a  a  d   d  a  a  d  a  d  a  a  d Khi đó ta qui ước viết: a  a  d Như viết: a  a  d ta hiểu số đúng a nằm đoạn  a  d; a  d  Vì vậy, d càng nhỏ thì độ sai lệch càng ít b) Sai số tương đối: Sai số tương đối số gần đúng a, kí hiệu là  a , là tỉ số a  a a a a Tức là: Nếu a  a  d thì a  d đó:  a   GV: PHẠM MINH TỨ  11  Lop10.com d a : 0989 685.982 ĐẠI SỐ 10  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 d càng nhỏ thì chất lượng phép đo đạc hay tính toán càng a Nếu cao Người ta thường viết sai số tương đối dạng phần trăm Số qui tròn: Nguyên tắc qui tròn số: * Nếu chữ số sau hàng qui tròn nhỏ thì ta việc thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó số * Nếu chữ số sau hàng qui tròn lớn hay thì ta thay chữ số đó và các chữ số bên phải nó và cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng qui tròn Chú ý: Khi qui tròn số đúng chính xác đến hàng đó a đến hàng nào thì ta nói số gần đúng a nhận là Nếu kết cuối cùng bài toán yêu cầu chính xác đến hàng 10 thì quá trình tính toán, kết các phép tính trung gian ta cần lấy chính xác ít đến n hàng  n 1 10   Cho số gần đúng a có độ chính xác d (tức là a  a  d ) Khi yêu cầu qui tròn số a mà không nói rõ qui tròn đến hàng nào thì ta qui tròn số a đến hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng đó Chữ số và cách viết chuẩn số gần đúng: a) Chữ số chắc: Cho số gần đúng a số a với độ chính xác d số a, chữ số gọi là chữ số (hay đáng tin) d không vượt quá đơn vị hàng có chữ số đó * Nhận xét: Tất các chữ số đứng bên trái chữ số là chữ số tất các chữ số đứng bên phải chữ số không là chữ số không b) Dạng chuẩn số gần đúng: Trong cách viết a  a  d , ta biết độ chính xác d số gần đúng a Ngoài cách viết trên, người ta còn qui ước dạng viết chuẩn số gần đúng và cho số gần đúng dạng chuẩn, ta biết độ chính xác nó : 0989.685.982  12  Lop10.com  GV: PHẠM MINH TỨ  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 * Nếu số gần đúng là số thập phân không nguyên thì dạng chuẩn là dạng mà chữ số nó là chữ số * Nếu số gần đúng là số nguyên thì dạng chuẩn nó là A.10 k ,  đó A là số nguyên, k là hàng thấp có chữ số k  N  Chú ý: Với qui ước dạng chuẩn số gần đúng thì hai số gần đúng 0,14 và 0,140 viết dạng chuẩn có ý nghĩa khác Số gần đúng 0,14 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,005 còn số 0,140 có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,0005 Kí hiệu khoa học số: Mỗi số thập phân khác viết dạng  10 n , đó:    10,n  Z Dạng gọi là kí hiệu khoa học số đó Người ta thường dùng kí hiệu khoa học để ghi số lớn số bé  GV: PHẠM MINH TỨ  13  Lop10.com : 0989 685.982 ĐẠI SỐ 10  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 Chương II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ Khái niệm hàm số: a) Hàm số: Cho tập hợp khác rỗng D  A Hàm số f xác định trên D là qui tắc đặt tương ứng số x thuộc D với và số, kí hiệu là f(x); số f(x) đó gọi là giá trị hàm số f x Tập D còn gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số hàm số f  Để rõ kí hiệu biến số, hàm số f còn viết là y  f x b) Hàm số cho biểu thức: Cho hàm số y  f x , đó ta nói hàm số cho biểu thức f(x) * Tập xác định hàm số: Ta qui ước rằng: Khi cho hàm số biểu thức y = f(x), không nói gì thêm thì tập xác định hàm số y = f(x) là tập hợp tất các giá trị x để biểu thức y = f(x) có nghĩa (hay là giá trị biểu thức f(x) xác định) Kí hiệu là: D   Vậy: Tập xác định D  x  R / y  f ( x ) coù nghóa * Tập xác định các hàm số thường gặp:  y P( x ) có nghĩa  Q( x )  Q( x )  y  P( x ) có nghĩa  P( x )   y P( x ) : 0989.685.982 Q( x ) có nghĩa  Q( x )   14  Lop10.com  GV: PHẠM MINH TỨ  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10  P( x )   y  P( x )  Q( x ) có nghĩa   Q( x )   Các hàm đa thức như: y = ax2 + bx + c, y = ax + b, có tập xác định là A c) Đồ thị hàm số: Cho hàm số y=f(x) có TXĐ là D   trên mặt phẳng tọa độ Oxy với x  D Vậy C   M x , f x  y  f x , x  D Đồ thị (C) hàm số là tập hợp các điểm M x , f x Lưu ý giải toán: Điểm thuộc đồ thị  tọa độ điểm phải thỏa mãn phương trình đồ thị Sự biến thiên hàm số: Ta kí hiệu K là khoảng, nửa khoảng hay đoạn Ta có: * Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu: x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) * Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu: x1 , x2  K : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Nhận xét: - Nếu hàm số đồng biến trên K thì trên đó đồ thị nó lên từ trái sang phải - Nếu hàm số nghịch biến trên K thì trên đó đồ thị nó xuống từ trái sang phải * Phương pháp khảo sát biến thiên hàm số B1: Lấy x1 , x2  K , x1  x2 B2: Lập tỉ số: T  f ( x2 )  f ( x1 ) x2  x1 B3: Nếu tỉ số T > thì hàm số tăng trên K Nếu tỉ số T < thì hàm số giảm trên K Tính chẵn lẻ hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định trên D x  D   x  D  f ( x )  f ( x ) * Hàm số y = f(x) gọi là hàm số chẵn   GV: PHẠM MINH TỨ  15  Lop10.com : 0989 685.982 ĐẠI SỐ 10  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 x  D   x  D  f ( x )   f ( x ) * Hàm số y = f(x) gọi là hàm số lẻ  * Phương pháp chứng minh hàm số chẵn, hàm số lẻ B1: Tìm tập xác định D hàm số B2: Chứng minh tập D là tập đối xứng (cần c/m: x  D   x  D ) B3:Tính f(-x) Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số là hàm số chẵn Nếu f(-x) = - f(x) thì hàm số là hàm số lẻ * Lưu ý: Hàm số có thể không chẵn không lẻ Đồ thị hàm số chẵn và hàm số lẻ: * Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung * Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ : 0989.685.982  16  Lop10.com  GV: PHẠM MINH TỨ  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 HÀM SỐ y = ax + b  Hàm số bậc nhất: y  ax  b a   a Tập xác định D = A b Sự biến thiên: - Nếu a > hàm số đồng biến trên A - Nếu a < hàm số nghịch biến trên A c Đồ thị: Đồ thị là đường thẳng không song song, không trùng với hai  b  a  trục toạ độ và cắt trục Ox A   ;  , Oy B(0; b)  * Chú ý: - a gọi là hệ số góc đường thẳng - Nếu gọi  là góc tạo đường thẳng y=ax+b và chiều dương trục Ox thì - Nếu a>0 thì đường thẳng y=ax+b nghiêng bên phải - Nếu a< thì đường thẳng y=ax+b nghiêng bên trái - Cho hai đường thẳng a  tan  d : y  ax  b, d ': y  a ' x  b ' Ta có:    a  a '    a  a ' + d / / d'   b  b ' + d  d'   b  b ' d cắt d ' a  a ' + d   d '   a.a '  1 + Hàm số y = b - Tập xác định D = A - Hàm số là hàm số chẵn - Đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung điểm (0; b) Hàm số y  x - Tập xác định D = A  GV: PHẠM MINH TỨ  17  Lop10.com : 0989 685.982 ĐẠI SỐ 10  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 - Hàm số y  x là hàm số chẵn Đồ thị đối xứng qua trục tung   - Hàm số đồng biến trên khoảng 0;  và nghịch biến trên khoảng ;  Bảng biến thiên: x  y    0 Đồ thị: y : 0989.685.982  18  Lop10.com x  GV: PHẠM MINH TỨ  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 HÀM SỐ BẬC HAI Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số cho biểu thức có dạng y  ax  bx  c , đó a, b, c là số thực và a  Đồ thị hàm số bậc hai: - Tập xác định D = A b  ;   , nhận đường thẳng  2a 4a   - Đồ thị là đường parabol có đỉnh I   x b làm trục đối xứng, có bề lõm quay lên a > 0, quay xuống 2a a < Sự biến thiên hàm số:  Nếu a > thì hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   b   và đồng 2a   b ;    2a   biến trên khoảng    Nếu a < thì hàm số đồng biến trên khoảng  ;   b   và nghịch biến trên 2a   b ;    2a  Bảng biến thiên:  khoảng   x a>0 y   b 2a     GV: PHẠM MINH TỨ   4a  19  Lop10.com : 0989 685.982 ĐẠI SỐ 10 a<0  GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 10 x  b  y   2a  4a - - Dạng toán: Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai: - Các bước vẽ đồ thị hàm số bậc hai: b  ;   2a 4a   + Xác định đỉnh parabol: I   + Xác định trục đối xứng và hướng bề lõm parabol + Xác định số điểm cụ thể parabol, chẳng hạn: giao điểm parabol với hai trục tọa độ và các điểm đối xứng với chung qua trục đối xứng + Căn vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để “nối” các điểm đó lại Dạng 2: Lập phương trình parabol (P) thỏa điều kiện K: Bước 1: Giả sử parabol (P) có phương trình (P): y  ax  bx  c a   Bước 2: Dựa vào điều kiện K để xác định a, b, c Trong bước này ta thường có các điều kiện thường gặp sau:    * Điểm A x0 ; y0  P  y0  ax02  bx0  c  b  x0  2a * (P) có đỉnh I x0 ; y0     y     f x   4a * (P) có giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) y0 : 0989.685.982  20  Lop10.com  GV: PHẠM MINH TỨ