TÓM TẮT LÝ THUYÊT ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

TÓM TẮT KIẾN THỨC ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG (biên soạn theo Đại Số Đại Cương – Hoàng Xuân Sính) I/SỐ PHỨC: x    x  (a , b); a, b    x  a  bi Ký hiệu: |x| mô đun x, ta có: | x |  a  b *Dạng lượng giác số phức: z    z | z |(cos   i sin  ) *Công thức Moivre: (cos   i sin  ) n  cos n  i sin n *Căn bậc n số phức: z    z | z |(cos   i sin  ) Khi đó, bậc n z có n giá trị tính theo công thức sau:   k   k   zk  n | z |  cos  i sin  n n   với k  0, n  II/NỮA NHÓM – NHÓM: Giả sử có tập X phép toán T, kí hiệu (X,T) (T phép toán nhân, cộng hay phép toán định nghĩa đó) Phép toán hai ngôi: Phép toán tập hợp X ánh xạ f : XX  X ( x, y )  f ( x, y) (hay xfy hay xTy ) Nghĩa là: ( x, y ) X , x quan hệ với y qua phép toán T cho ta f ( x, y ) X Ánh xạ: Cho f: X  Y, f ánh xạ  x  X , y  Y : f ( x)  y -Toàn ánh: ánh xạ từ X vào Y ảnh X toàn tập hợp Y Khi người ta gọi f ánh xạ từ X lên Y f (X )  Y hay y  Y , x  X : f ( x)  y -Đơn ánh: ánh xạ phần tử khác X cho ảnh khác Y Đơn ánh gọi ánh xạ 1-1 tính chất x1 , x2  X : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hay x1 , x2  X : f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 -Song ánh: ánh xạ vừa đơn ánh, vừa toàn ánh Song ánh vừa ánh xạ 1-1 vừa ánh xạ "onto" (từ X lên Y) 1)Nữa nhóm: Một tập X   , xác định phép toán hai thỏa tiêu chuẩn sau gọi nhóm: (X, ) nhóm  x, y, z  X : x( yz )  ( xy ) z -Nữa nhóm phép toán có tính chất giao hoán gọi nhóm giao hoán -Nữa nhóm có phần tử đơn vị gọi vị nhóm E gọi phần tử đơn vị  e  X , x  X : ex  xe  x -Vị nhóm X có tính chất giao hoán X gọi vị nhóm giao hoán 2)Nhóm: Một tập X   , xác định phép toán hai thỏa tiêu chuẩn sau gọi nhóm: X   x, y, z  X : x( yz )  ( xy ) z  TC1: (X, ) nhóm   e  X , x  X : ex  x x  X , x '  X : x ' x  e X   x, y, z  X : x( yz )  ( xy ) z TC2: (X, ) nhóm   e  X , x  X : xe  x x  X , x '  X : xx '  e X    TC3: (X, ) nhóm  x, y, z  X : x( yz )  ( xy ) z a, b  X : pt : ax  b ya  b Luôn có nghiêm  Nói cách khác: Nhóm vị nhóm có phần tử nghịch đảo 3)Nhóm Aben: ( X , ) nhóm (X, ) nhóm Aben   x, y  X : xy  yx Lưu ý: nhóm có tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối phép toán, lũy thừa III/NHÓM CON: Cho ( X , ) nhóm (A, ) nhóm (X, ) ký hiệu: (A, ) " (X, ) (A, ) # (X, ) Ký hiệu thầy Huyên trường ĐHSP e  A    Tiêu chuẩn 1: (A, ) " (X, )  x, y  A : xy  A x  A : x 1  A  A    Tiêu chuẩn 2: (A, ) " (X, )  x, y  A : xy  A x  A : x 1  A  A   Tiêu chuẩn 3: (A, ) " (X, )   1 x, y  A : xy  A Định lý: Giao họ nhóm nhóm X nhóm X *Chu trình: Mỗi phần tử   S n gọi phép hoán vị hay phép bậc n biểu diễn ma trận loại  n : n     (1)  (2)  ( n)    Trong đó, dòng thứ phần tử tập X, xếp theo thứ tự đó, (thường 1,2,3,…,n) Dòng thứ ảnh của phần tử tương ứng dòng thứ qua song ánh  VD: nhóm hoán vị S7 , chu trình   (1,3, 4, 7) có chiều dài phép hoán vị: 1  3 1   Chú ý:  3,  4,  7, phần tử chu trình biến thành VD2: Trong nhóm hoán vị S5 cho: 1 5   (1, 2,5,3)      2 1 5 Ta có:      (1, 4, 2) 4 5 Giải thích: Tính ngược từ    :  4, bên  nên  4 23, 31 21 35, 53 33 41, 12 42 52, 25 55 Từ  ta có: số số biến thành nên phần tử chu trình nên: 14, 42, 21 suy chu trình (1,4,2) Tương tự tính  : 1 5 Và:      (1,3, 4)  5  1  (3,5, 2,1)  5  1     3 Để tính  1 ta ghi dòng (1,2,3,4,5) trước tìm ảnh ngược từ lên  : 14, 25, 32, 41, 53 IV/NHÓM CON SINH BỞI TẬP – NHÓM CYCLIC: Nhóm sinh tập: cho A tập X, Nhóm sinh A tập nhỏ G chứa A, ký hiệu A , tập A gọi tập sinh nhóm A , A hữu hạn A   x1 , , xn  ta nói A nhóm hữu hạn sinh x1 , , xn mà ta thường kí hiệu nhóm x1 , , xn Cho ( X , ) nhóm, A  X , U " X A  U V " X , A  V  U " V ĐN1: U nhóm sinh tập A   (U nhóm nhỏ chứa A) ĐN2: Cho ( X , ) nhóm A  a  X , nhóm sinh A gọi nhóm sinh a Kí hiệu a Định lý: Cho ( X , ) nhóm, a  X a  a n | n   Định lý: Cho (X,+) nhóm, a  X a  na | n   V/NHÓM CYCLIC: Định nghĩa: Nhóm X gọi nhóm Cyclic X sinh phần tử a  X Phần tử a gọi phần tử sinh X Vậy: X  a  a n : n   ĐL: Mọi nhóm nhóm Cyclic nhóm cyclic Hơn nữa, H  a H  e H  a n n số nguyên dương nhỏ cho a n  H ĐL: H nhóm cộng số nguyên  H có dạng n với n   , đó: n  nk | k   *Lưu ý: Với n nguyên dương, quan hệ đồng dư Module n  định bởi: x  y (mod n)  x  y  n Đây quan hệ tương đương  với lớp tương đương là: x   x  kn | k    Tập thương  theo quan hệ đồng dư module n định bởi:      n  x | x    1, 2,3, , n  Trên  n ta định nghĩa phép toán cộng sau: x  y  x  y VI/CẤP CỦA NHÓM: ĐN: Cho X nhóm Nếu X tập vô hạn ta nói X có cấp vô hạn (cấp  ); Số phần tử X n ta nói X có cấp n -Cấp a cấp sinh a -Cho ( X , ) nhóm, a  X ta có: i)a có cấp vô hạn k   : a k  e  k  ii)a có cấp hữu hạn k  *  a k  e iii)Nếu a có cấp hữu hạn cấp a số nguyên dương n nhó cho a n  e Hơn nữa, k  , a k  e  k bội số n (k chia hết cho n) VII/LỚP GHÉP TRÁI – LỚP GHÉP PHẢI: *Giả sử A nhóm nhóm X, ta định nghĩa quan hệ  tập X sau: x, y  A, x  y  x y  A 1  X quan hệ tương đương Quan hệ Với phần tử x  X , kí hiệu lớp tương đương chứa x x kí hiệu phận X gồm phần tử có dạng xa với a chạy khắp A xA , tức là: x  X , x  xA   xa | a  A Cho nhóm X, A " X x  X Khi đó: *Lớp ghép trái: xA   xa | a  A *Lớp ghép phải: Ax  ax | a  A -Nếu y  xA  yA  xA -Hai lớp ghép xA yA xA  yA    x 1 y  A xA  yA  x 1 y  A *Cấp phần tử tùy ý nhóm hữu hạn X ước cấp X VIII/NHÓM CON CHUẨN TẮC: A nhóm chuẩn tắc X kí hiệu: A  X A" X X x  X , a  A  xax 1  A (hoac : x 1ax  A) Cho X nhóm, A  X   Ta chứng minh nhóm chuẩn tắc dựa vào định nghĩa lớp ghép sau: A" X X x  X  xA  Ax Cho X nhóm, A  X   IX/NHÓM THƯƠNG: ĐN: Nếu A chóm chuẩn tắc nhóm X X / A  xA | x  A với phép toán xA yA  xyA nhóm, gọi nhóm thương X A Nếu A chóm chuẩn tắc nhóm X thì: i)Quy tắc cho tương ứng với cặp ( xA, yA) lớp trái xyA ánh xạ từ X / A  X / A đến X/A ii) X / A với phép toán hai ( xA, yA)  xyA nhóm, gọi nhóm thương X A X/ĐỒNG CẤU NHÓM: Một đồng cấu (nhóm) ánh xạ f từ nhóm X đến nhóm Y cho: f (ab)  f (a ) f (b) (a, b  X ) Nếu X=Y đồng cấu f tự đồng cấu X -Một đồng cấu mà đơn ánh gọi đơn cấu -Một đồng cấu toàn ánh gọi toàn cấu -Một đồng cấu song ánh gọi đẳng cấu Một tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Nếu f : X  Y đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y ta viết f : X Y -Giả sử A nhóm chuẩn tắc nhóm X Ánh xạ: h:X  X / A x  h( x)  xA Là đồng cấu từ nhóm X đến nhóm thương X/A Đồng cấu toàn cấu, gọi toàn cấu tắc (Thật vậy: h(xy) = xyA = xA.yA = h(x)h(y)) *Cho đồng cấu f : X  Y Im f  f ( X )   ker f  x  X | f ( x)  ey  f 1 (ey ) f (eX )  eY f ( x 1 )  [ f ( x)]1 ĐL: Giả sử f : X  Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A nhóm X B nhóm chuẩn tắc Y Thế thì: i) f ( A) nhóm Y ii) f 1 ( B ) nhóm chuẩn tắc X HQ: Giả sử f : X  Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, thì: Imf nhóm Y ker f nhóm chuẩn tắc X ĐL: Giả sử f : X  Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, thì: i) f toàn ánh Im f  Y ii) f đơn ánh ker f  ex  ĐL: Giả sử f : X  Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, p : X  X / ker f toàn cấu tắc từ nhóm X đến nhóm thương X hạt nhân f Thế thì: i)Có đồng cấu f : X / ker f  Y cho tam giác sau: f Y X p f X / ker f Là giao hoán, tức f  f p ii)Đồng cấu f đơn cấu Im f  f ( X ) HQ: Với đồng cấu f : X  Y từ nhóm X đến nhóm Y, ta có f ( X )  X / ker f XI/ĐỐI XỨNG HÓA: ĐN: Cho tập hợp X với phép toán hai X Một phần tử A  X gọi quy bên trái (bên phải) b, c  X cho ab  ac (ba  ca) b  c , a gọi quy quy bên trái bên phải BĐ: Giả sử X nhóm giao hoán có phần tử trung lập e X * gồm phần tử quy X Thế thì: (i) e  X * (ii) X * ổn định ĐL: Giả sử X vị nhóm giao hoán, X * phận X gồm phần tử quy X Có vị nhóm giao hoán X đơn cấu f : X  X có tính chất sau: -Các phần tử f ( X * ) có đối xứng X -Các phần tử X có dạng f (a) f (b 1 ) với a  X , b  X * HQ: Nếu tất phần tử X quy tất cấc phần tử X đối xứng, X nhóm ĐL: Nếu a, b  X , phương trình ax  b có nghiệm X, phương trình bx  a có nghiệm X  X  X  c 1 | c  X   XII/VÀNH: ĐN: Cho tập hợp X với phép toán cho X ( X , ,) vành thỏa điều kiện sau: (i) ( X ,  ) nhóm Aben (nhóm giao hoán) (ii) ( X ,) nhóm (  có tính kết hợp) (iii) "" phân phối phép " " Hay X         ( X , )  x, y, z  X : x  ( y  z )  ( x  y)  z e  X , x  X : e  x  x (hoac x  e  x)  la1nhom  ( X , )    nhom Aben   x  X ,  x '  X : x '  x  e   x, y  X : x  y  y  x  ( X , ,) vành   ( X ,) la x, y, z  X : x( yz )  ( xy) z   nua nhom   Phep nhan phan phoi x, y, z  X :  x( y  z )  xy  xz    voi phep cong ( y  z ) x  yx  zx    Lưu ý: Trong phép toán cộng e=0 x’=-x -Nếu "" giao hoán ta nói ( X , ,) vành giao hoán -Nếu "" có đơn vị ta nói ( X , ,) vành có đơn vị -Nếu "" có đơn vị giao hoán ta nói ( X , ,) vành giao hoán có đơn vị ĐL: Cho X vành, x, y, z  X , ta có: (i) x( y  z )  xy  xz; ( y  z ) x  yx  zx (ii) x  x0  (iii) x( y )  ( x) y   xy; ( x)( y )  xy 1)Ước 0, miền nguyên: ĐN: Giả sử X vành giao hoán Ta bảo phần tử a  X bội phần tử b  X hay a  b có c  X cho a  bc ta nói b ước a hay b chia hết a, kí hiệu b | a ĐN: Ta gọi ước phần tử a  cho có b  thỏa mãn ab  Lưu ý: Phần tử ước quy Trong vành ước phần tử khác quy 2)Miền nguyên: Miền nguyên vành có nhiều phần tử, giao hoán, có đơn vị, ước Hay X         ( X , )  x, y, z  X : x  ( y  z )  ( x  y)  z e  X , x  X : e  x  x (hoac x  e  x)  la1nhom  ( X , )    nhom Aben   x  X ,  x '  X : x '  x  e   x, y  X : x  y  y  x    ( X ,) la  x, y, z  X : x( yz )  ( xy) z nua nhom  ( X , ,) miền nguyên    Phep nhan phan phoi x, y, z  X :  x( y  z )  xy  xz    voi phep cong ( y  z ) x  yx  zx   (phep nhan giao hoan) x, y  X : xy  yx x  X , e  X : ex  x (phep nhan co don vi)  a, b  X , a  0, b  : ab  (X khong co uoc cua 0)  (X nhieu hon phan tu) Cord   XIII/VÀNH CON: ĐN: Giả sử X vành, A phận X ổn định với phép toán X x  y  A xy  A với x, y  A A vành X A với phép toán cảm sinh A vành Kí hiệu: A$ X Tiêu chuẩn vành con: A    x  y  A  TC1: A$ X    x, y  A :  xy  A  x  A    A    TC2: A$ X   x  y  A x, y  A :  xy  A   ĐL: Giao họ vành vành X vành X XIV/IĐÊAN: A Iđêan X, kí hiệu: A  X   A    Cho X vành, A  X  a, b  A : a  b  A  xa  A a  A, x  X   ax  A *Giao họ Iđêan vành X Iđêan X 1)Giả sử X vành giao hoán có đơn vị và: a1 , , an  X Bộ phận A X gồm phần tử có dạng x1a1   xn an với x1 , , xn  X Iđêan X sinh a1 , , an 2)Nếu X vành có đơn vị A Iđêan X chứa đơn vị X ta có A X 3)Vành thương: Nếu A Iđêan vành X thì: (i)Lớp xy  A phụ thuộc vào lớp x  A y  A mà không phụ thuộc vào lựa chọn phần tử x, y từ lớp (ii) X / A với hai phép toán ( x  A, y  A)  x  y  A ( x  A, y  A)  xy  A Là vành gọi vành thương X A (kí hiệu: X / A ) X / A  x  A : x  X  4)Đồng cấu (vành): ĐN: Một đồng cầu (vành) ánh xạ từ vành X đến vành Y cho:  f ( a  b )  f ( a )  f (b ) (a, b  X )   f (ab)  f (a ) f (b) Nếu X=Y đồng cấu f gọi tự đồng cấu X Ta có ĐN đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu tương tự nhóm ĐL: Giả sử X, Y, Z vành, f : X  Y g : Y  Z đồng cấu Thế tích ánh xạ gf : X  Z đồng cấu Đặc biệt tích hai đẳng cấu đẳng cấu ĐL: Giả sử f : X  Y đồng cấu từ vành X đến vành Y Thế thì: (i ) f (0)  (ii ) f ( x)   f ( x) , x  X ĐL: Giả sử f : X  Y đồng cấu từ vành X đến vành Y, A vành X B Iđêan Y Thế thì: (i ) f ( A) vành Y (ii ) f 1 ( B) Iđêan X HQ: Giả sử f : X  Y đồng cấu từ vành X đến vành Y Thế Im f vành Y ker f Iđêan X ĐL: Giả sử f : X  Y đồng cấu từ vành X đến vành Y Thế thì: (i) f toàn ánh Im f  Y (ii) f đơn ánh ker f  0 ĐL: Giả sử f : X  Y đồng cấu từ vành X đến vành Y, p : X  X / ker f toàn cấu tắc từ vành X đến vành thương X ker f Thế thì: i)Có đồng cấu f : X / ker f  Y cho tam giác sau: f Y X p f X / ker f Là giao hoán ii)Đồng cấu f đơn cấu Im f  f ( X ) HQ: Với đồng cấu f : X  Y từ vành X đến vành Y, ta có f ( X )  X / ker f Lưu ý: Giả sử A Iđêan vành X Ánh xạ: h: X  X / A x  x A Là đồng cấu từ vành X đến vành thương X/A Đồng cấu toàn cấu gọi toàn cấu tắc XV/TRƯỜNG: Cho ( X , ,) vành ( X , ,) trường  ( X , ,) miền nguyên a  X , a  : a 1  X Hay: X         ( X , )  x, y, z  X : x  ( y  z )  ( x  y)  z e  X , x  X : e  x  x (hoac x  e  x)  la1nhom  ( X , )    nhom Aben  x  X , x '  X : x ' x  e  x, y  X : x  y  y  x    ( X ,) la  x, y, z  X : x( yz )  ( xy) z nua nhom  ( X , ,) trường    Phep nhan phan phoi x, y, z  X :  x( y  z )  xy  xz   voi phep cong ( y  z ) x  yx  zx   (phep nhan giao hoan) x, y  X : xy  yx x  X , e  X : ex  x (phep nhan co don vi)  (X khong co uoc cua 0) a, b  X , a  0, b  : ab   (X nhieu hon phan tu) Cord   a  X , a  : a  X 1)Trường con: ĐN: Cho X trường, A phận X ổn định với phép toán X A trường X A với phép toán cảm sinh A trường Kí hiệu A% X Tiêu chuẩn trường con: Cord   x  y  A   TC1: A% X    xy  A x, y  A :   x  A    x 1  A ( x  0)  cord   TC2: A% X   x  y  A x, y  A :  xy 1  A ( y  0)   2)Trường thương: Giả sử X miền nguyên, X * phận phần tử khác X Có trường X đơn cấu (vành) f : X  X có tính chất sau: (i)Các phần tử X có dạng f (a) f (b)1 (a  X , b  X * ) (ii)Cặp ( X , f ) sai đẳng cấu, nghĩa có cặp (Y , g ) thỏa mãn điều kiện (i) có đẳng cấu  : X  Y cho tam giác: 10 f X X  g Y Là giao hoán XVI/VÀNH ĐA THỨC: 1)Vành đa thức ẩn: ĐN: Vành P gọi vành đa thức ẩn x lấy hệ tử A, gọi tắt vành đa thức ẩn x A kí hiệu A[x] Các phần tử vành gọi đa thức ẩn x lấy hệ tử A Trong đa thức: f ( x)  a0 x  a1 x   an x n Các , i  0,1, , n gọi hệ tử đa thức Các xi gọi hạng tử đa thức, đặc biệt a0 x  a0 gọi hạng tử tự 2)Phần tử đại số phần tử siêu việt: Giả sử A trường trường K, c  K f ( x)  a0 x  a1 x   an x n đa thức vành A[ x] Lúc đó, a0 , a1 , , an  A nên a0 , a1 , , an  K , ta coi f ( x ) đa thức lấy hệ tử K f (c) phần tử thuộc K f (c)  c gọi nghiệm đa thức lấy hệ tử A -ĐN: Giả sử A trường con trường K Một phần tử c  K gọi đại số A c nghiệp đa thức khác lấy hệ tử A; c gọi siêu việt trường hợp ngược lại VD: Trong trường số thực R, đại số trường số hữu tỉ Q,  siêu việt Q XVII/VÀNH ĐA THỨC NHIỀU ẨN: 1)Đa thức đối xứng: -Các đa thức đối xứng bản:   x1  x2   xn   x1 x2  x1 x3  x2 x3   xn 1 xn   x1 x2 x3  x1 x2 x4  x1 x3 x4  x2 x3 x4   xn xn 1 xn  n 1  x1 x2 xn 1   x2 x3 xn  n  x1 x2 xn 2)Sắp xếp đa thức theo lối từ điển: VD: Cho đa thức f ( x1 , x2 , x3 )  x1 x23 x35  x12 x2  3x39  x12  x1 x23 x32  x25 x3  Đa thức có bậc 9, x1 có bậc Các số mũ đa thức ta có: (1,3,5), (2,1,0), (0,0,9), (2,0,0), (1,3,2), (0,5,1), (0,0,0) Sắp xếp số mũ theo lối từ điển ta được: (2,1,0) > (2,0,0) > (1,3,5) > (1,3,2) > (0,5,1) > (0,0,9) > (0,0,0) Như đa thức xếp theo lối từ điển là: f ( x1 , x2 , x3 )   x12 x2  x12  x1 x23 x35  x1 x23 x32  x25 x3  3x39  Trong đa thức này, hạng tử:  x12 x2 gọi hạng tử cao 3)Đưa đa thức đối xứng đẳng cấp dạng đa thức đối xứng bản: Xét ví dụ sau: Biểu diễn đa thưc sau đa thức đối xứng bản: f ( x1 , x2 , x3 )  x13  x23  x33 B1: Ta ngầm nháp sau: -Hạng tử cao x13 x20 x30 với số mũ tương ứng (3,0,0) có hệ tử 11 B2: Liệt kê hệ thống số mũ: M  (3, 0, 0), (2,1, 0), (1,1,1) Cách liệt kê: Bậc hạng tử cao 3, ta liệt kê số mũ phải thỏa mãn điều: -Các số mũ phải có bậc - (3, 0, 0)  (2,1, 0)  (1,1,1) Liệt kê hết thỏa mãn điều dừng lại B3: Biểu diễn đa thức thành đa thức đối xứng bản: Sau có số mũ trên, ta có: f ( x1 , x2 , x3 )  1130 20 0 30  a12 1 210 30  b111 211 31  13  a1  b Lưu ý ghi: -Hạng tử cao h(1 ,  ,  ) 1130 20 0 30 , có hệ số với hệ số hạng tử cao f ( x1 , x2 , x3 ) ta ghi nhớ -Có số mũ nên h(1 ,  ,  ) có hạng tử, hạng tử có số mũ tính sau: Giả sử có số mũ (m, n, p) ta có hạng tử h(1 ,  ,  ) tương ứng với số mũ 1m  n 2n  p 3p -Ngoại trừ hệ tử hạng tử cao h(1 ,  ,  ) biết hạng tử khác ta đặt tham số tùy ý a,b,c,… tùy ý mà ta cần phải tìm phương pháp hệ số bất định B4: Tìm hạng tử a, b phương pháp hệ số bất định: Cho x1=1; x2 = 1; x3=0 ta có: f ( x1 , x2 , x3 )  1       x1 x2  x1 x3  x2 x3  1.1  1.0  1.0    x1 x2 x3  1.1.0  f ( x1 , x2 , x3 )  13  a1  b Vậy:   23  a.2.1  b.0   a  a  3 Tiếp tục cho: x1=1; x2=1; x3=  ta tìm b=3 Vậy: f ( x1 , x2 , x3 )  x13  x23  x33  13  31  3 4)Có thể áp dụng thêm định lý Viet: Cho đa thức bậc 3: f ( x)  ax3  bx  cx  d Giả sử x1, x2, x3 nghiệm đa thức, ta có: b   S  x1  x2  x3   a  c  ( I )  P  x1 x2  x1 x2  x2 x3  a  d  Q  x1 x2 x3   a  Ngược lại ta có hệ (I) x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình: X  SX  PX  Q  XVIII/VÀNH CHÍNH VÀ VÀNH ƠCLIT: I)Vành chính: Nhắc lại số khái niệm: 12 -Các ước đơn vị gọi phần tử khả ngịch VD vành Z số nguyên 1 phần tử khả nghịch -Hai phần tử gọi liên kết chúng ước VD hai số đối vành Z liên kết -Các phần tử liên kết với x phần tử khả nghịch ước không thực x: VD Trong Vành Z, 1 , 6 ước không thực Các ước khác ước thực -Giả sử x phần tử khác A; x ước thực x gọi bất khả quy A VD: Các số nguyên tố phần tử bất khả quy -Đa thức gọi bất khả quy vô nghiệm tập xét Ước thực đa thức nghiệm tập xét VD: đa thức x  bất khả quy R không bất khả quy trường số phức C VD: Trong Z, số nguyên tố số đối chúng phần tử bất khả quy vành Z 13 ... con trường K Một phần tử c  K gọi đại số A c nghiệp đa thức khác lấy hệ tử A; c gọi siêu việt trường hợp ngược lại VD: Trong trường số thực R, đại số trường số hữu tỉ Q,  siêu việt Q XVII/VÀNH... x1 , x2 , x3 ) ta ghi nhớ -Có số mũ nên h(1 ,  ,  ) có hạng tử, hạng tử có số mũ tính sau: Giả sử có số mũ (m, n, p) ta có hạng tử h(1 ,  ,  ) tương ứng với số mũ 1m  n 2n  p 3p -Ngoại... x30 với số mũ tương ứng (3,0,0) có hệ tử 11 B2: Liệt kê hệ thống số mũ: M  (3, 0, 0), (2,1, 0), (1,1,1) Cách liệt kê: Bậc hạng tử cao 3, ta liệt kê số mũ phải thỏa mãn điều: -Các số mũ phải