Trường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 1DÃY SỐ §1.. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1.. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta luôn có :... Chứng
Trang 1Trường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 1
DÃY SỐ
§1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
1) 1 2 3 ( 1)
2
n n
2) 1 4 7 (3 2) (3 1)
2
n n
3) 1 3 9 3 1 3 1
2
n
4) 1 2 32 4 8 2 2
2n 2n
5) 12 22 32 2 ( 1)(2 1)
6
6) 12 22 32 (2 1)2 (4 2 1)
3
n n
7) 22 42 62 (2 )2 2 ( 1)(2 1)
3
8) 13 23 33 3 2( 1)2
4
n n
Bài 2 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
1) 1 3 5 (2+ + + + n−1) =n2
2) 2 4 6 2+ + + + n n n= ( +1)
3) 1.2 2.5 3.8 + + + +n n(3 −1)= n n2( +1)
4) 1.4 2.7 3.10 + + + +n n(3 +1) =n n( +1)2
5) 1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)
4
6) 1.3.5 (2n−1).2n =(n+1)(n+2) 2n
Bài 3 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
1) 1.3 3.5 5.71 + 1 + 1 + + (2n 1).(21 n 1) = 2n n 1
1.4 4.7 7.10 (3 2).(3 1) 3 1
n
3) 1.2.3 2.3.41 + 1 + + n n.( 1).(1 n 2) = 4(n n n(1)(+n3) 2)
Bài 4 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n≥2, ta luôn có :
1) (1 14)(1 19) (1 12) n2n1
n
+
2) 12 22 32 ( 1) 1 2 ( 1) 1 ( 1)
2
n
n− n − + n n+
Bài 5 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
x n− =1 (x−1) (x n−1+x n−2 + + +x 1)
Bài 6 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta luôn có :
Trang 22 Chứng Minh Quy Nạp
1) 7n −1 6M
2) 11n−1 10M
3) (n3 +2 ) 3n M
4) (n5 −6 ) 5n M
5) (4n +15n−1) 9M
6) 62n+10.3n M11
Bài 7 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
1) 9n−1 8M
2) n3+11nM6
3) n7 −nM7
4) (7n+3n−1) 9M
5) 4n+1+52 1n− M21
6) 11n+1+122 1n− M133
7) n n( +1)(n+2)(n+3) 24M
8) n3+(n+1)3+(n+2)3 M9
Bài 8 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
Bài 9 Chứng minh rằng : |sinnx|≤ nsinx với x∈[0; ]π , n N∈ *
Bài 10 Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta luôn có :
1) 2n >2n+1, ∀ ≥n 3
2) 3n+1 >3n+4, ∀ ≥n 2
3) 2n > n2, ∀ ≥n 5
4) 3n−1 > n n( +2), ∀ ≥n 4
5) 2n−3 >3n−1, ∀ ≥n 8
6) n! 3> n, ∀ ≥n 7
7) n n ≥(n+1)n−1
8) ( !)n 2 ≥ n n
Bài 11 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
1) (1+ x)n ≥ +1 nx với x > −1.
n
a b+ ≤ a +b với a≥ 0, b≥0.
Bài 12 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
1) 1 1 1 1 1
2 3
n
+ + + + + >
n+ + n+ + + n >
3) 1 3 42 4 5 .22 1 1
2 1
n
n− < n
+
4) 1 1 1 1 2 1
n
Bài 13 Tìm công thức tính các tổng sau ( với n N∈ )
1) S n = + + +1 3 5 (2+ n−1)
2) S n =1.2 2.31 + 1 + + n n( 1 1)
+
Trang 3Trường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 3
3) S n =1.1! 2.2! 3.3! + + + +n n !
BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 14 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
sin sin2 sin 2sin sin( 1)
Bài 15 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
( 1) sin sin
sin sin 2 sin
sin 2
x
+ + + + = với x k≠ π (k Z∈ )
Bài 16 Chứng minh rằng với n vectơ bất kì a auur uur1, 2, ,auurn (n N n∈ , ≥2), ta có :
|auur1+auur2+ + auurn| | | | | |≤ auur1 + auur2 + + auurn|
Bài 17 Cho n số dương x x x1, 2, 3, ,x thỏa mãn n x x x1 2 3 .x n =1
Chứng minh : x1+ x2 +x3 + +x n ≥ n
Bài 18 Giả sử x x1, , ,2 x là các số dương thỏa mãn : n 1 2 3 1
2
n
x +x +x + + x ≤
Chứng minh rằng : (1 1)(1 2) (1 ) 1
2
n
Bài 19 Cho x là số thực và | | 1 x < Chứng minh rằng: (1−x)n + (1+ x)n < 2n với n≥2( n N∈ )
Bài 20 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có :
2 2 2 2 2 cos 1
2n
π +
Trong đó vế trái của đẳng thức có n dấu căn