Chứng minh thẳng hàng trong các bài Toán Vector lớp 10

CHUYÊN MỤC : DIỄN ĐÀN DẠY HỌC TOÁN CHỨNG MINH THẲNG HÀNG TRONG CÁC BÀI TOÁN VECTƠ LỚP 10  Các bài toán chứng minh thẳng hàng và đồng quy thường làm khó học sinh, điều này càng dễ hiểu khi ta mới tiếp cận các dạng toán về Vectơ. Có một phương pháp nhất quán và hiệu quả để giải các dạng Toán này, tôi xin nêu lại sau đây:  Phương Pháp: Để chứng minh ba điểm , , A B C thẳng hàng trong các bài toán vectơ, ta chọn một điểm gốc (chẳng hạn A ) rồi chứng     ( 0). AB kAC k  Công thức ngọn trừ gốc :      BC AC AB (Chọn điểm A làm gốc).  Từ các hệ thức đã cho ta làm xuất hiện 2 vectơ AC, AB   và các vectơ 1 2 , , ,    n AM AM AM (theo cùng điểm gốc A ) bằng cách sử dụng công thức ngọn trừ gốc MN AN AM      .  Biểu diễn 1 1 2 2 n n AB AM AM AM            và 1 1 2 2 n n AC AM AM AM            với 1 2 1 2 n n k          . Khi đó ta có :    AB kAC . Baøi 1. Cho tam giác ABC , trên BC lấy điểm D sao cho 3 5 BD BC    . Gọi E là điểm thỏa điều kiện 10 2 3 0 EA EB EC        . Chứng minh ba điểm , , A E D thẳng hàng. Lời giải. Chọn điểm gốc là E . Ta có :   3 3 5 2 3 (1) 5 5 BD BC ED EB EC EB ED EB EC                 . 10 2 0 10 2 3 (2) EA EB EC EA EB EC              Từ (1)(2) suy ra : 5 10 ED EA     hay     2 ED EA . Vậy ba điểm , , A E D thẳng hàng. Baøi 2. Cho tam giác ABC và hai điểm , M N thỏa điều kiện 3 0; 2 3 0 MA MC NA NB NC             . Chứng minh rằng 3 điểm , , B M N thẳng hàng. Lời giải. Chọn điểm B làm điểm gốc. Ta có :   3 0 3 0 4 3 (1) MA MC BA BM BC BM BM BA BC                       .   2 3 0 2 3 0 6 3 (2) NA NB NC BA BN BN BC BN BN BA BC                         . Từ (1) và (2) suy ra : 4 6 BM BN    hay 3 2 BM BN    . Do đó 3 điểm , , B M N thẳng hàng. Baøi 3. Cho tam giác ABC có P là trung điểm của AB và hai điểm , M N thỏa các hệ thức 2 0 MB MC      và 2 0 NA NC      . Chứng minh ba điểm , , M N P thẳng hàng. Lời giải. Chọn điểm gốc là M . Ta có :   2 0 2 0 3 2 NA NC MA MN MC MN MN MA MC                       Mà 2 0 2 MB MC MC MB          nên 3 2 MN MA MB MP        (Do P là trung điểm của AB ) Hay    2 3 MN MP vì vậy ba điểm , , M N P thẳng hàng. Baøi 4. Cho hình bình hành ABCD . Gọi , H K lần lượt là hai điểm trên cạnh , BC BD sao cho 1 1 , 5 6 BH BC BK BD       . Chứng minh ba điểm , , A H K thẳng hàng. Lời giải. Chọn điểm gốc là A . Ta có :   1 1 5 5 5 4 (1) 5 5 BH BC AH AB AC AB AH AB AC AB AH AB AC                          .     1 1 6 6 6 4 6 6 BK BD AK AB AD AB AK AB AD AB AK AB AB AD                             . Tr ung tâm Thăng Long TP.HCM Địa chỉ: 766/36 -766/38 CMT8, P5, Q. Tân Bình. Giáo viên: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu (ĐT: 0907415107) Nguyễn Thị Duy An Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên ta có : AB AD AC      . Do đó : 6 4 (1) AK AB AC     . Suy ra : 5 6 AH AK    hay 6 5 AH AK    . Vậy ba điểm , , A H K thẳng hàng. Baøi 5. Cho tam giác ABC và hai điểm , I J thỏa điều kiện 2 ; 3 2 0. IA IB JA JC         Chứng minh IJ đi qua trọng tâm tam giác ABC . Lời giải. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , ta có : 0 GA GB GC        . Chứng minh IJ đi qua trọng tâm G nghĩa là chứng minh , , G I J thẳng hàng. Ta có :   2 2 2 (1) IA IB GA GI GB GI GI GA GB                  .     3 2 0 3 2 0 5 3 2 (2) JA JC GA GJ GC GJ GJ GA GC                     . Từ (1)(2) , ta có :   5 2 0 5 GI GJ GA GB GC GI GJ                 . Suy ra ba điểm , , G I J thẳng hàng hay IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC . Baøi 6. Cho tam giác ABC . Gọi , , O G H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC . Chứng minh rằng: , , O G H thẳng hàng. H G C B D O A Lời giải. Chọn điểm gốc là O . Ta có: 3       OA OB OC OG (Do G là trọng tâm tam giác ABC ) (1) Gọi D là điểm đối xứng với A qua O , ta được:  BH CD (cùng vuông góc với AC) và  CH BD (cùng vuông góc với AB)  Tứ giác BHCD là hình bình hành.       HB HC HD .             OB OH OC OH OD OH .                OH OD OB OC OA OB OC (O là trung điểm của AD) (2) Từ (1) và (2) suy ra: 3.    OH OG . Vậy 3 điểm , , O G H thẳng hàng. Bài Tập Baøi 1. Cho tam giác ABC . Gọi , D I thỏa điều kiện 3 2 0 DB DC      và 3 2 0 IA IB IC        . Chứng minh 3 điểm , , A D I thẳng hàng. Baøi 2. Cho tam giác ABC . Gọi , , M N P thỏa điều kiện 2 2 0 MB MC NA NC PA PB              . Chứng minh 3 điểm , , M N P thẳng hàng. Baøi 3. Cho tam giác ABC . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của , AB AC và các điểm , E F thỏa điều kiện 1 3    ME MN ; 1 3    BF BC . Chứng minh 3 điểm , , A E F thẳng hàng. Baøi 4. Cho tứ giác ABCD có AB CD  . Các đường thẳng , AC BD cắt nhau ở E và các đường thẳng , AD BC cắt nhau ở F . Gọi , M N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh , AB CD . Chứng minh rằng , , , E F M N cùng nằm trên một đường thẳng. Baøi 5. Trên các cạnh , , BC CA AB của tam giác ABC tương ứng lấy các điểm 1 1 1 , , A B C . Gọi , , a b c G G G theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác 1 1 1 1 1 1 , , AB C C A B A B C và 1 2 , , G G G theo thứ tự là trọng tâm các tam giác 1 1 1 , , a b c ABC A B C G G G . Chứng minh 3 điểm 1 2 , , G G G thẳng hàng. . HỌC TOÁN CHỨNG MINH THẲNG HÀNG TRONG CÁC BÀI TOÁN VECTƠ LỚP 10  Các bài toán chứng minh thẳng hàng và đồng quy thường làm khó học sinh, điều này càng dễ hiểu khi ta mới tiếp cận các. dạng toán về Vectơ. Có một phương pháp nhất quán và hiệu quả để giải các dạng Toán này, tôi xin nêu lại sau đây:  Phương Pháp: Để chứng minh ba điểm , , A B C thẳng hàng trong các bài toán. MN ; 1 3    BF BC . Chứng minh 3 điểm , , A E F thẳng hàng. Baøi 4. Cho tứ giác ABCD có AB CD  . Các đường thẳng , AC BD cắt nhau ở E và các đường thẳng , AD BC cắt nhau ở