Đang tải... (xem toàn văn)
a) Chøng minh r»ng nÕu tæng hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 9.... Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng n:.[r]
(1)phép quy nạp hoàn toàn phép quy nạp không hoàn toàn.
ví dụ Quan sát kết sau:
13 chia hÕt cho 23 – chia hÕt cho 3
33 – chia hÕt cho 43 – chia hÕt cho 3.
hãy đa dự đoán chứng minh dự đoán ú
Giải: Dự đoán: a3 a chia hết cho với số nguyên dơng a.
Chứng minh: Gäi A = a3 – a = a.(a - 1)(a + 1) Xét ba khả xảy
ra:
a) NÕu a = 3k (k N) th× A chia hÕt cho
b) Nếu a = 3k + 1(k N) a -1 chia hết cho 3, A chia hết cho c) Nếu a = 3k +2 (k N) a + chia hết cho 3, A chia hết cho
VËy a3 – a chia hÕt cho víi mäi số nguyên dơng a.
Ví dụ 2.
Quan sát kết sau:
23 chia hết cho 3, 25 – chia hÕt cho 5.
27 – chia hết cho dự đoán sau hay sai?:
2n – chia hÕt cho n với số lẻ n?
Giải: Dự đoán sai Chẳng hạn 29 = 510 kh«ng chia hÕt cho 9.
Nhận xét: hai ví dụ trên, ta thực phép suy luận sau:
1) Xét giá trị a 1, 2, 3, 4, để kết luận a3 - a chia hết cho 3
víi mäi sè nguyên dơng a
2) Xột cỏc giỏ tr ca a 3k, 3k +1, 3k + (k N) để kết luận a3 - a
chia hết cho với số nguyên dơng a
3) Xét giá trị n 3, 5, để kết luận 2n – chia hết cho n
với số tự nhiên lẻ n
Ba phép suy luận đợc gọi phép quy nạp phép suy luận từ trờng hợp riêng biệt tới kết luận tổng quát
Phép quy nạp gọi hoàn toàn ta xét tất trờng hợp riêng, chẳng hạn phép suy luận ta xét khả xảy chia số tự nhiên a cho ( a= 3k, a = 3k + 1, a= 3k +2)
Phép quy nạp gọi khơng hồn tồn ta xét số trờng hợp riêng cha xét đầy đủ trờng hợp riêng Chẳng hạn phép suy luận ta xét a 1, 2, 3, để kết luận cho số nguyên dơng a, phép suy luận ta xét n 3, 5, để kết luận cho số tự nhiên lẻ n
Nhờ phép quy nạp khơng hồn tồn mà ta có dự đốn tính chất tốn học đó, sở để tới phát minh Phép quy nạp cho khẳng định đúng, kết luận đợc chứng minh phép quy nạp ( quy nạp hoàn toàn) Phép quy nạp cho kết luận sai, ta bác bỏ phản ví dụ
Nh “ phép quy nạp hồn tồn” phép chứng minh chặt chẽ, cịn “phép quy nạp khơng hồn tồn” dẫn tới sai lầm, nhà toán học cú tờn tui di õy:
Nhà toán học Pháp Fecma nhận xét công thức 2n + cho ta số
nguyên tố với n b»ng 20, 21, 22, 23, 24 (thËt vËy 21+ = 3; 22 + 1;
24 + = 17; 28 + = 257; 216 + = 65537; tất số nguyên tố )
Víi n = 25 = 32 th× 2n + = 232 + = 4294967297, Fecma kh«ng phân tích
(2)giả thuyết tổng quát công thức 2n + với n mét l thõa cđa cho ta
c¸c sè nguyên tố
Một kỉ sau, năm 1732 Ơle bác bỏ giả thuyết cách 232 + hợp số, chia hÕt cho 641.
Có thể kể thêm hai mệnh đề sai nhng lại với số lớn trờng hợp đầu tiên:
Nhµ toán học Gravơ đa dự đoán: Với số nguyªn tè p ta cã
2p- 1 – khơng chia hết cho p2 Dự đốn với số nguyên tố nhỏ
h¬n 1000, nhng chẳng sau ngời ta tồn số nguyên tố 1093 mà 21092 chia hết cho 10932
Một dự đoán khác: số 911n2+ không số phơng với sè nguyªn
dơng n Số n nhỏ để mệnh đề sai
n = 12055735790331359447442538767 (cã 29 ch÷ sè)
Có phơng pháp chứng minh hiệu nghiệm giúp ta khẳng định đắn số tự nhiên, phơng pháp quy nạp toỏn hc
Nội dung phơng pháp quy nạp Toán học
Trong toỏn hc, phộp quy np hoàn toàn đợc áp dụng hạn chế Nhiều mệnh đề Toán học đáng ý bao gồm số vô hạn trờng hợp riêng, nhng ngời kiểm tra đợc tất trờng hợp riêng
Phép quy nạp hồn tồn, nh biết thờng dẫn tới kết luận sai lầm Trong nhiều trờng hợp để tránh khó khăn nh ngời ta áp dụng phơng pháp suy luận “đặc biệt”, đợc gọi phơng pháp quy nạp Toán học Nội dung phơng pháp (hay tiền đề) quy nạp Tốn học đợc trình bày nh sau:
Một mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dơng n đợc xem đợc chứng minh hai điều kiện sau đợc thỏa mãn:
1, Mệnh đề với n =
2, Từ giả thiết mệnh đề với n = k (k Є N) suy đợc mệnh đề
đúng với n = k +
Nh để chứng minh mệnh đề với số nguyên dơng n phơng pháp quy nạp Toán học, ta phải tiến hành ba bớc sau:
Bớc 1: Kiểm tra mệnh đề với n =
Bớc 2: Giả sử mệnh đề với n = k ≥ (Ta gọi giả thiết quy nạp),
rồi chứng minh mệnh đề với n = k +1
Bớc 3: Kết luận mệnh đề với số nguyờn dng n
III Vận dụng phơng pháp quy nạp Toán học vào chứng minh
1 Chứng minh quan hƯ chia hÕt:
Bµi 1:Chøng minh r»ng tỉng lập phơng ba số nguyên dơng liên tiếp chia hết cho
Giải:
Gi ba số nguyên dơng liên tiếp là: n; n +1 n + Ta phải chứng minh: [n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3] (1).
+ Víi n =1, ta cã: 13 + 23 + 33 = + + 27 = 36 9.
Vậy (1) với n =
+ Giả sử (1) với n = k (k Є N) tức là: [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3] 9.
Ta phải chứng minh (1) với n = k + 1, tức phải chứng minh: [(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3] 9.
(3)(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = (k + 1)3 + (k + 2)3 + k3 + 9k2 +27k + 27.
= [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3] + 9(k3 + 3k + 3).
Theo giả thiết quy nạp: k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3 9.
cßn 9(k3 + 3k + 3) víi
k
Do [(k + 1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3] 9.
+ Kết luận: Mệnh đề (1) với số nguyên dơng n Vậy tổng lập phơng ba số nguyên dơng liên tiếp chia hết cho
Bµi 2: Chứng minh rằng: Với n nguyên dơng thì: A(n) = 7n + + 82n + 19
Giải:
Với n = A(1) = 73 + 83 = 343 + 512 = 19.45
A(1) 19
Vậy A(n) với n =
Giả sử A(n) với n = k
Ta cã: A(k) = 7k + + 82k + 19
Ta chứng minh A(n) với n = k +
A(k + 1) = 7k + + 82k + = 7.7k + + 82.82k +
= 7.7k + 2 + 64.82k +
= 7.7k + 2 + 7.82k + 1 + 57.82k +
= 7.( 7k + 2 + 82k + 1) + 19.3.82k +
= A(k) + 19.3.82k +
Vì A(k) 19 (Theo giả thiết quy n¹p) A(k) 19
19 19 19.3.82k + 19 A(k + 1) 19
Theo nguyên lí quy nạp A(n) 19 Với n nguyên dơng
Vậy A(n) = 7k + + 82k + 19 Với n nguyên dơng
+ Kt lun: Vậy A(n) với số nguyên dơng
Bµi 3:Chøng minh r»ng: 16n - 15n - 225; n N.
Giải: Đặt A(n) = 16n - 15n -
+ Víi n = 1, ta cã: A(1) = 16 - 15 - = 225 A(1) 225
+ Giả sử A(n) với n = k
Ta cã: A(k) = 16k - 15k - 225
Ta phải chứng minh A(n) với n = k +
Ta cã: A(k + 1) = 16k + - 15(k + 1) -
= 16.16k -15k - 16.
= (16k - 15k - 1) + 15.16k - 15.
= (16k - 15k - 1) + 15(16k - 1).
= A(k) + 15(16k - 1)
Theo giả thiết quy nạp có A(k) 225
Ta cã: 16k - 116 - 16k - 115 15(16k - 1) 15.15 15(16k - 1) 225.
A(k + 1) 225
Theo nguyên lí quy nạp A(n) 225 víi n Є N
+ KÕt luËn: VËy 16n - 15 - 225 víi n Є N.
Bµi 4:Chøng minh r»ng: A = (10n + 18n - 1) 27 víi n Є N.
Gi¶i:
(4)+ Giả sử với n = k (k Є N), tức : A(k) = 10k + 18k - 1 27
Ta phải chứng minh A với n = k + Tức là: A(k + 1) = 10 k + + 18(k + 1) -
= 10.10 k + 18 + 17.
= (10 k + 18k - 1) + 9.10 k + 18.
= A + 9(10k +2).
Theo giả thiết quy nạp ta cã: A 27
Ta cã: 10k +2 10 + = 12.
9(10k + 2) 12.9 = 4.27 27. 9(10k + 2) 27 VËy A
(k + 1) 27
+ KÕt luËn: VËy A = 10n + 18n - 27 víi n Є N.
Bài 5:Chứng minh với n N sè sau chia hÕt cho a 10n - 1.
b 10n + 8.
Gi¶i: a Chøng minh 10n - 9.
+ Víi n = 10n - = 10 - = 9.
VËy 10n - víi n = 1.
Giả sử với n = k (k Є N) tức 10k -
Ta phải chứng minh A = 10n - với n = k + 1, tức là:
A(k + 1) = 10 k + - = 10.10k - = (10k - 1) + 9.10k
Theo giả thiết quy nạp ta cã: A = 10k - 9.
Mà 9.10k Do [(10k - 1) + 9.10k]
Vậy A với n = k + (k Є N)
+ KÕt ln: Víi n Є N th× 10n - chia hÕt cho 9.
b Chøng minh 10n + 9; Đặt B = 10n + 8.
+ Với n = 10n + = 10 + = 18 Vậy B với n = 1.
+ Giả sử B với n = k (k Є N) tức 10n + 9.
Ta phải chứng minh B = 10n + chia hết cho với với
n = k +
ThËt vËy: B(k + 1) = 10k + + = 10.10k + = (10k + 8) + 9.10k
Theo giả thiết quy nạp: 10k + (k Є N).
Lại có 9.10k Do (10k + 8) + 9.10k
Vậy B với n = k +1
+ KÕt luËn: VËy víi n Є N th× 10n + chia hÕt cho 9.
Bµi 6:
Chøng minh r»ng víi số nguyên dơng n thì: a) Sn = (n + 1).(n + 2).(n + 3) (n + n) chia hÕt cho 2n
b) 33n + 2 + 5.23n + 1 chia hÕt cho 19.
c) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hÕt 24.
Giải:
a) Với n = S1 = (1 + 1).(1 + 2) … (1 + n) = 2.3 … (1 + 1) 2n
Vậy Sn với n =
Giả sử Sn với n = k, tức là: Sk = (k + 1).(k + 2) … (k + k) 2n
Ta phải chứng minh Sn với n = k +
(5)= (k + 2).(k + 3) … (2k + 2) 2n
ThËt vËy:
Sk + = (k + 2).(k + 3).(k + 4) … (k + k + 2)
= (k + 1).(k + 2).(k + 3) … (k + k)2 (2k + 1) = Sk.2.(2k + 1)
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p cã Sk 2n
Do đó: Sk.2.(2k + 1) 2n Sk + 2n
Vậy Sn 2n với n = k +
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyên dơng n Sn 2n
b) Với n = th× A(n) = 33n + + 5.23n + = 35 +5.24 =243 + 80 = 323 chia hÕt cho
19
A(n) với n =
Giả sử A(n) 19 với n = k
Tøc lµ: A(k) = 33k + + 5.23k + 19
Ta phải chứng minh A(n) 19 với n = k +
Tøc lµ: A(k + 1) = 33(k + 1) + + 5.23(k + 1) +
A(k + 1) = 33k + + 5.23k + 19
ThËt vËy:
A(k + 1) = 33k + + 5.23k + = 33k + 2.33 + 5.23k + 1.23
= 27(33k + 2 + 5.23k + 1) - 19.33k + 1.
= 27.Ak - 19.33k +
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p cã: Ak 19 27Ak 19
Lại có: 19 19 19.33k + 1 19 Do A(k + 1) = 27.Ak - 19.33k + 19
Vậy A(n) 19 với n = k +
+ KÕt luận: Vậy với số nguyên dơng n A(n) 19
c) Chøng minh:
n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24.
Víi n = th× A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = + + 11 + = 24 24
vậy A 24 với n =
Giả sử A 24 với n = k
Tøc lµ: A(k) = k4 + 6k3 + 11k2 + 6k 24
Ta phải chứng minh A(n) 24 với n = k +
Tøc lµ: A(k + 1) = (k+1)4 + 6(k + 1)3 + 11(k + 1)2 + 6(k + 1) 24
ThËt vËy:
A(k + 1) = k4 + 4k3 + 6k2 + 4k + + 6k3 + 18k2 + 18k + + 11k2 + 22k + 11 + 6k +
A(k + 1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 + 11k)
DÔ thÊy: k4 + 6k3 + 11k2 + 6k 24 (Theo gi¶ thiÕt quy nạp).
Và 24(k2 + 1) 24 Lại cã (k3 + 11k) víi k Є N.
Thật vậy: với k = k3 + 11k = 12 (đúng)
Giả sử với k = m m3 + 11m (m Є N)
Ta phải chứng minh k3 + 11k với k = m +1.
ThËt vËy: (m + 1)3 + 11(m + 1) = m3 + 3m2 + 3m + + 11m + 11
= (m3 + 11m) + (3m2 + 3m + 12) 6.
Do k3 + 11k 6 4(k3 + 11k) 24
VËy A(k + 1) = (k4 + 6k3 + 11k2 + 6k) + 24(k2 + 1) + 4(k3 + 11k) 24
Vậy A(n) 24 với n = k +
+ KÕt luận: Với số nguyên dơng n có: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24.
(6)Gi¶i:
+ Mệnh đề (1) với a = 15 – chia hết cho 5.
+ Giả sử (1) với a =k (k N), tức ta có k5 – k chia hết cho 5.
Ta cần chứng minh (1) với a = k + 1, tức phải chứng minh (k + 1)5 – (k + 1) chia hết cho 5.
Ta cã: (k + 1)5 – (k + 1) = k5 + 5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k + – k – 1
= (k5 – k ) + [5k4 + 10k3+ 10k2 + 5k]
Ta thÊy k5 – k chia hÕt cho giả thiết quy nạp, biểu thức trong
dấu móc hiển nhiên chia hết cho 5, (k + 1)5 – (k + 1) chia hết cho 5.
+ Kết luận: Mệnh đề (1) với số nguyên dơng a
* Chó ý:
1) §Ĩ chøng minh (k + 1)5 – (k + 1) chia hÕt cho 5, ta còng cã thĨ xÐt hiƯu
[(k + 1)5 – (k + 1)] - (k5 – k ).
HiƯu nµy b»ng: 5k4 + 10k3 + 10k2 + 5k, chia hÕt cho 5, mµ (k5 – k ) chia hÕt
cho theo giả thiết quy nạp, (k + 1)5 – (k + 1) chia hết cho 5.
Bài 8.(Ta chứng minh đợc mệnh đề tổng quát ví dụ trên) Nếu p số nguyên tố a số nguyên ap – a chia hết cho p (2)
( Đây nội dung định lý nhỏ Fecma)
Chøng minh:
Cố định p, ta chứng minh phơng pháp quy nạp theo a + Mệnh đề (2) với a = 0p – chia hết cho p.
+ Giả sử (2) với a = k tức ta có Ak = kp – k chia hết cho p Ta
cÇn chøng minh r»ng Ak+1 = (k +1)p – (k + 1) còng chia hÕt cho p
XÐt hiÖu:
k k k pk k p p k p p p k p p pk k A
A p p p p p
k
k
1.2 1
) ( ) )( ( )
(
1
1
(3)
2 ) ( ) )( ( )
(
1 p p k p p p k p p k pk
pkp p p
Xét dạng chung hệ số biểu thức (3), số ngun có
d¹ng p(p-1)(p-2)…(p-k+1): 1.2.3…k (4) Chú ý số nguyên tố p lớn
hơn k nên p không rút gọn đợc với thừa số mẫu (4) chia hết cho p, Ak- Ak +1 chia hết cho p Ta lại có Ak chia hết cho p theo giả thiết quy
n¹p VËy Ak +1 chia hÕt cho p
Chøng minh t¬ng tù ta cịng cã Ak- = (k - 1)p - (k - 1) chia hÕt cho p
+ Kết luận: Mệnh đề ( ) với số nguyên a
*Các tập giải t ơng tự :
Bài 1: Chứng minh với số nguyên a: a) a2 – a chia hÕt cho 2.
b) a3 – a chia hÕt cho 3.
c) a5 – a chia hÕt cho 5.
d) a7 – a chia hÕt cho 7.
Bµi 2:Chøng minh với số nguyên dơng n thì: a) 32n + 1 + 40n - 67 chia hÕt cho 64.
b) 2n + 2.3n + 5n - chia hÕt cho 25.
Bµi 3:Chøng minh r»ng víi số nguyên dơng n thì: a) 7n + 2 + 82n + chia hÕt cho 57.
(7)Bµi 4:Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên dơng n gồm 3n chữ số chia
hÕt cho 3n:
a) 7n + 2 + 82n + chia hÕt cho 57.
b) 10n + 72n - chia hÕt cho 81.
HD: Mệnh đề với n = Vì số 111
Gi¶ sư sè 11 1k
3 chia hÕt cho 3, ta cã sè:
k
11
3 = k
11
3 k
11
3 k
11
3 = k
11
3 k
100
3 k
100 01
3 chia hÕt cho
Vậy với số nguyên dơng n gồm 3n chữ số chia hết cho 3n.
Bài 5:Chứng minh với số nguyên dơng n: a) 74n - chia hÕt cho 5.
b) 34n +1 + chia hÕt cho 5.
c) 24n +1 + chia hÕt cho 5.
d) 24n +1 + chia hÕt cho 5.
e) 92n +1 + chia hÕt cho 10
Bµi 6: Chøng minh r»ng:
a) (n2 + n - 1)2 – chia hÕt cho 24 víi mäi sè nguyªn n.
b) (a2 + 3a + 1)2 – chia hÕt cho 24 víi a số tự nhiên.
c) n3 + 6n2 +8n chia hÕt cho 48 víi mäi sè ch½n n.
d) n4 – 10n2 + chia hÕt cho 384 với số lẻ n.
Bài 7: Chứng minh r»ng A chia hÕt cho B víi: a) A = 13 + 23 + 33 +…+ 993 + 1003
B = 1+ + + … + 99 + 100 b) A = 13 + 23 + 33 +…+ 993
B = 1+ + + … + 99
Bài 8: Chứng minh n lập phơng số tự nhiên (n - 1).n.(n + 1) chia hÕt cho 504
Bµi 9: Chøng minh r»ng 2n – chia hÕt cho 13 víi số tự nhiên n.
Bài 10: Chứng minh r»ng sè 224
n
chia hÕt cho 11 víi mäi sè tù nhiên n
Bài 11: Chứng minh với số nguyên dơng n: a) 62n + 3n+ 2 + 3n chia hÕt cho 11.
b) 10n – 9n – chia hÕt cho 27.
Bµi 12 Chứng minh số gồm 3n chữ số chia hÕt cho 3n
Bµi 13 Chøng minh r»ng biÓu thøc 10n +18n- 1 chia hÕt cho 27 với n số
tự nhiên
Bài 14 Chøng minh r»ng : 25n4 + 50n3 – n2 - 2n chia hÕt cho 24 nÕu n lµ
số nguyên dơng tuỳ ý
Bài 15. Chứng minh r»ng 20 + 21+ 22+ 23 +…+ 25n - 3+ 25n - 2 + 25n - 1 chia hÕt
cho 31 n số nguyên dơng
Bµi 16 Chøng minh r»ng NÕu a vµ b không chia hết cho a6 b6 chia
hÕt cho
Bµi 17. Chøng minh r»ng 4a2 + 3a + chia hÕt cho nÕu a số
nguyên
Bài 18. Chứng minh r»ng n2 + 3n + 39 vµ n2 + n + 37 chia hÕt cho 49 víi mäi
sè tù nhiªn n
(8)b) Chứng minh hiệu bình phơng hai số lẻ chia hết cho
Bi 20 Cho tổng năm số nguyên Chứng minh tổng luỹ thừa bậc năm năm số ngun chia hết cho 25
Bµi 21. a) Chøng minh r»ng 4n + 6n – chia hÕt cho víi mäi sè tù nhiªn
n
b) Chøng minh r»ng 10n – 9n – chia hÕt cho 27 víi n lµ số tự
nhiên, n
Bài 22 Chứng minh với số n nguyên dơng: a) (n + 1) (n + 2) (n + 3) …(2n) chia hÕt cho 2n
b) (n + 1) (n + 2) (n + 3) … (3n) chia hÕt cho 3n.
Bµi 23 Chøng minh r»ng:
a) 2n3 + 3n2 + n chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n.
b) n5 - 5n3 + 4n chia hÕt cho 120 víi mäi sè nguyªn n.
c) n3 – 3n2 – n + chia hÕt cho 48 víi mäi sè lỴ n.
d) n4 + 4n3 – 4n2 - 16n chia hÕt cho 348 víi số chẵn n.
Bài 24 Chứng minh víi mäi sè nguyªn n: a) Sè n2 + 11n + 39 kh«ng chia hÕt cho 49.
b) Sè n2 + n + kh«ng chia hÕt cho 9.
Bµi 25 a) Chøng minh r»ng 8.16n – chia hÕt cho 120.
b) Chøng minh r»ng 16n – chia hÕt cho 15, nhng kh«ng chia hết
cho 17 với n số lẻ
c) Chøng minh r»ng 2n3 + 3n2 + n chia hÕt cho víi mäi sè nguyªn n.
Bµi 26 Chøng minh r»ng A = n3 ( n2 - 7)2 – 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi
sè tù nhiªn n
2 Chứng minh đẳng thức:
Bµi 1:Chøng minh r»ng víi mäi số nguyên dơng n thì:í Sn = 13 + 23 + 33 + … + n3 = [n(n 1)
2
]2 (1).
Gi¶i : + Víi n = 1, vÕ tr¸i cđa (1) b»ng 13 = 1
vÕ tr¸i cđa (1) b»ng [1(1 1)
2
]2 = 1
VT = VP Vậy (1) với n =
+ Giả sử (1) với n = k (k Є N & k ≥ 1) Tức là: SK = 13 + 23 + 33 + … + k3 = [
(k 1)(k 2)
]2
Ta phải chứng minh (1) với n = k +1 Tức là: SK + =13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [
(k 1)(k 2)
]2
ThËt VËy: SK + = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3
= 13 + 23 + 33 + … + k3 + (k + 1)3.
= SK+ (k + 1)3
Theo giả thiết quy nạp Sk = [(K(K 1)
2
]2
Do đó: Sk + = [(k(k 1)
2
(9)= [k (k 1)2
4
]2 + (k + 1)3
=
2
(k 1) k 4(k 1)
=
2
(k 1) k 4k
=
2
(k 1) k
= (k 1).(k 1)
2
SK + =
2
(k 1).(k 1)
Vậy (1) với n = k +
+ Kết luận: Mệnh đề (1) với số nguyên dơng n
Bài 2 Chứng minh số nguyên dơng n thì: Sn = 12 + 22 + 32 + … + n2 = n(n 1).(2n 1)
6
(1) Gi¶i:
+ Víi n = 1, vÕ tr¸i cđa (1) b»ng 12 = 1.
vÕ ph¶i cđa (1) b»ng 1(1 1).(2.1 1)
6
= Vậy VT = VP Vậy (1) với n =
+ Giả sử (1) với n = k (k Є N & k ≥ 1), tức là: Sk = 12 + 22 + 32 + … + k2 =
k(k 1).(2k 1)
Ta phải chứng minh đẳng thức (1) với n = k +1, tức là: Sk + = 12 + 22 + 32 + … + (k + 1)2 =
(k 1).(k 2).(2k 3)
ThËt vËy: Sk + = 12 + 22 + 32 + … + k2 + (k + 1)2
= Sk + (k + 1)2
(Do giả thiết quy nạp Sn = 12 + 22 + 32 + … + k2)
Mặt khác Sk = k(k 1).(2k 1)
6
Sk + = k(k 1).(2k 1)
6
+ (k + 1)2
=
2
k(k 1).(2k 1) 6(k 1)
= (k 1).[k(2k 1) 6k 6]
6
= (k 1).[2k2 k 6k 6]
6
= (k 1).(2k2 7k 6)
6
Sk= (k 1).(k 2).(2k 3)
6
Sk + = (k 1).(k 2).(2k 3)
6
Vậy đẳng thức (1) với n = k +
+ KÕt luËn: VËy với số nguyên dơng n tổng bình phơng n số tự nhiên liên tiếp n(n 1).(2n 1)
6
(10)
Xét đẳng thức (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + Lần lợt thay x 1,
2, 3, …, n vào đẳng thức trên, ta đợc: 23 = 13 + 3.12 + 3.1 + 1
33 = 23 + 3.22 + 3.2 + 1
……… (n +1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1
Cộng đẳng thức rút gọn ta đợc:
(n +1)3 = 13 + 3(12 + 22 +…+ n2) + 3(1 + + … + n) + n.
Do 3(12 + 22 +…+ n2) = (n +1)3 -
) ( 3n n
- (n -1) = (n -1) [(n + 1)2
-2 3n
- 1] = (n - 1)(n2 +
n
) =
2
n(n + 1)(2n + 1) VËy (12 + 22 +…+ n2) = n(n 1).(2n 1)
6
Bµi 3: Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên dơng n thì:
1.4 + 2.7 + 3.10 + … + n(3n + 1) = n(n + 1)2 ()
Gi¶i: + Víi n = 1, vÕ tr¸i b»ng 1(3 + 1) =
vÕ ph¶i b»ng 1(1 + 1)2 = 22 = VT = VP.
Vậy đẳng thức với n =
+ Giả sử đẳng thức () với n = k (k Є N, k ≥ 1).
Tøc lµ: 1.4 + 2.7 + 3.10 + … + k(3k + 1) = k(k + 1)2.
Ta phải chứng minh đẳng thức () với n = k + (k Є N, k ≥ 1).
Tøc lµ: 1.4 + 2.7 + 3.10 + … + (3k + 4).(k + 1) = (k + 1).(k + 2)2.
ThËt vËy:
1.4 + 2.7 + 3.10 + … + (k + 1).(3k + 4)
= [1.4 + 2.7 + 3.10 + … + k(3k + 1)] + (k + 1).(3k + 4) ( )
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã:
1.4 + 2.7 + 3.10 + … + k(3k + 1) = k(k + 1)2.
Nªn ( ):
k(k + 1)2 + (k + 1).(3k + 4) = (k + 1).(k2 + k + 3k + 4) = (k + 1).(k + 2)2.
Vậy đẳng thức () với n = k +
+ Kết luận: Vậy với số nguyên dơng n đẳng thức () ln
Bµi 4: Chứng minh với số nguyên dơng n th×:
1 1 n
1.4 4.77.10 (3n 2).(3n 1) 3n 1
Gi¶i:
+ Với n = 1, đẳng thức VT = VP =
4
+ Giả sử đẳng thức với n = k (k Є N, k ≥ 1)
Tøc lµ: 1 k
1.44.7 7.10 (3k 2).(3k 1) 3k 1
Ta phải chứng minh đẳng thức với n = k +
Tøc lµ: 1 k
1.4 4.7 7.10 (3k 1).(3k 4) 3k
(11)ThËt vËy: Sk + =
1 1 1
1.4 4.77.10 (3k 2).(3k 1) (3k 1).(3k 4)
= Sk +
1
(3k 1).(3k 4)
Theo giả thiết quy nạp Sk = k
3k 1
Do đó: Sk + =
k
3k 1 (3k 1).(3k 4) =
2
3k 4k
(3k 1)
Sk + =
(3k 1).(k 1)
(3k 1).(3k 4)
=
k 3k
Vậy Sn với n = k +
+ Kết luận: Vậy với số nguyên dơng n đẳng thức (1) ln xảy
Bµi 5:Chøng minh r»ng víi mäi số nguyên dơng n thì: Sn =
2 2
1 n n(n 1)
1.3 3.5 5.7 (2n 1).(2n 1) 2(2n 1)
Gi¶i:
+ Với n = 1, vế phải đẳng thức
2
1
(2.1 1).(2.1 1) =
1
vế trái đẳng thức 1(1 1)
2(2.1 1)
=
1
VT = VP =
3 Vậy đẳng thức với n =
+ Giả sử Sn với n = k (k Є N, k ≥ 1)
Tøc lµ: Sk
2 2
1 k k(k 1)
1.3 3.5 5.7 (2k 1).(2k 1) 2(2k 1)
Ta phải chứng minh đẳng thức Sn với n = k +
Tøc lµ: Sk +
2 2
1 (k 1) (k 1).(k 2)
1.3 3.5 5.7 (2k 1).(2k 3) 2(2k 3)
ThËt VËy: Sk +
2 2 2
1 k (k 1)
1.3 3.5 5.7 (2k 1).(2k 1) (2k 1).(2k 3)
Theo giả thiết quy nạp:
2 2
1 k k(k 1)
1.3 3.5 5.7 (2k 1).(2k 1) (2k 1)2
Do đó: Sk +
2
k (k 1) k k k
2(2k 1) (2k 1).(2k 3) 2k 2k
2
k k(2k 3) 2(k 1) k 2k 5k
2k 2k(2k 3) 2k 2(2k 3)
k (2k 2).(2k 1) (k 1).(k 2)
2k 2(2k 3) 2(2k 3)
Sk +
(k 1).(k 2) 2(2k 3)
Vậy Sn với n = k + (k Є N, k ≥ 1)
(12)Bµi 6:
Chøng minh với số nguyên dơng n thì: Sn ( 1) ( 5) ( 9) ( 1) (2n 1) ( 1) nn (1)
Gi¶i:
+ Với n = 1, vế phải đẳng thức (1) -1
vế trái đẳng thức (1) (-1)1.(2-1) = -1.
VP = VT = -1 Sn với n =
+ Giả sử (1) với n = k (k Є Z+, k ≥ 1)
Tøc lµ: Sk = -1 + - + - + … + (-1)k.(2k - 1) = (-1)k.k
Ta phải chứng minh đẳng thức (1) với n = k +
Tøc lµ: Sk + = -1 + - + - + … + (-1)k + 1.(2k + 1) = (-1)k + 1.(k + 1)
ThËt vËy:
Sk + = -1 + - + - + … + (-1)k.(2k - 1) + (-1)k + 1.(2k + 1)
= Sk + (-1)k + 1.(2k + 1)
Theo giả thiết quy nạp: Sk = (-1)k k
Do đó: Sk + = (-1)k.k + (-1)k + 1.(2k + 1) = (-1)k.k - (-1)k.(2k + 1)
Sk + = (-1)k + 1.(k + 1) Vậy Sn với n = k +
+ Kết luận: Vậy với số nguyên dơng n đẳng thức Sn ln
Bµi 7:Chøng minh r»ng víi số nguyên dơng n thì: Sn = 1.1! + 2.2! + 3.3! + …+ n.n! = (n + 1)! -
Gi¶i:
+ Với n = VT = 1; VP = 2! - = VT = VP = Vậy Sn với n =
1
+ Giả sử Sn với n = k (k Є Z+, k ≥ 1)
Tøc lµ: Sk = 1.1! + 2.2! + 3.3! + …+ k.k! = (k + 1)! -
Ta phải chứng minh đẳng thức (1) với n = k +
Tøc lµ: Sk + = 1.1! + 2.2! + 3.3! + …+ (k + 1).(k + 1)! = (k + 2)! -
ThËt vËy:
Sk + = 1.1! + 2.2! + 3.3! + …+ k.k! + (k + 1).(k + 1) = Sk+(k + 1).(k + 1)!
Theo giả thiết quy nạp có Sn = (k + )! -
Do đó: Sk + = (k + )! - + (k + 1).(k + 1)! = (k + )!.(k + + 1) -
= (k + 1)!.(k + 2) -
Sk + = (k + 2).(k + 1)! - Vậy Sn với n = k +
+ KÕt luËn: VËy víi số nguyên dơng n ta có: 1.1! + 2.2! + 3.3! + …+ n.n! = (n + 1)! -
Bµi 8: Chøng minh r»ng víi số tự nhiên thì:
2
1 1 n 3n
S
1.2.3 2.3.4 n.(n 1).(n 2) 4(n 1).(n 2)
Gi¶i
+ Víi n = 1, VT =
6; VP =
4
4.6 6 VT = VP Vậy Sn với n =
+ Giả sử Sn với n = k
Tøc lµ:
2 n
1 1 k 3k
S
1.2.3 2.3.4 k.(k 1).(k 2) 4(k 1).(k 2)
(13)Tøc
2 k
1 1 (k 1) 3(k 1)
S
1.2.3 2.3.4 k.(k 1).(k 2) (k 1).(k 2).(k 3) 4(k 2).(k 3)
ThËt vËy: k k
1
S S
(k 1).(k 2).(k 3)
Theo giả thiết quy nạp
2 k
k 3k
S
4(k 1).(k 2)
Do đó: k
k 3k
S
4(k 1).(k 2) (k 1).(k 2).(k 3)
2 2
(k 3k).(k 3) k 6k 9k (k 4).(k 1)
4(k 1).(k 2).(k 3) 4(k 1).(k 2).(k 3) 4(k 1).(k 2).(k 3)
k
(k 4).(k 1) (k 1).(k 4)
S
4(k 2).(k 3) 4(k 2).(k 3)
Vậy Sn với n = k +
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè tự nhiên ta có:
2
1 1 n 3n
1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.(n 1).(n 2) 4(n 1).(n 2)
Bµi 9:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiên thì:
1 1 1
1
2 a a
(1)
Gi¶i:
+ Víi a = 1, VT = 1
2
; VP =
2 VT = VP =
1
Vậy (1) với a =
+ Giả sử a = k, (1) đúng, tức
1 1 1
1
2 k k
Ta phải chứng minh đẳng thức (1) với a = k + (k Є N, k ≥ 1)
Tøc lµ: 1 1 1 1 1
2 k k k
ThËt vËy: 1 1 1 1 1
2 k k
1 k 1
k k k k k
Vậy (1) với a = k +
+ KÕt ln: VËy víi mäi sè tù nhiªn th×:
1 1 1
1
2 a a
*Bài tập tơng tự:
Bài 1 Chứng minh với số nguyên dơng n thì: a, Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n + 1) = n(n 1).(n 2)
3
(14)b, Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(3n + 1) = n(n + 1)2
Bµi 2 Chøng minh r»ng víi số nguyên dơng n thì:
n
1 1 n
S
1.5 5.9 9.13 (4n 3).(4n 1) 4n
n
1 1 n
S
1.6 6.11 11.16 (5n 4).(5n 1) 5n
n
1 1 n
S
1.7 7.13 13.19 (n 5).(6n 1) 6n
n
1 1 n
S
1.8 8.15 15.22 (7n 6).(7n 1) 7n
Bµi 3. Chøng minh r»ng với số tự nhiên thì:
Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n + 1).(n+2) = n(n 1).(n 2).(n 3)
4
Bµi 4 Chøng minh r»ng víi số tự nhiên n N thì: Sn = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 +… + n(n + 3) =
n(n 1).(n 5)
Bài 5 Chứng minh tổng số hạng dãy số mà hai số hạng liên tiếp cách số đơn vị số đầu cộng số cuối nhân với số hạng chia hai:
Bµi 6. a, Chøng minh tổng n số lẻ liên tiếp lµ: S = + + + + … + (2n – 1) = n2
b, Chøng minh r»ng tỉng n c¸c sè chẵn liên tiếp là: S = + + + + … + 2n =n(2n 2) n(n 1)
2
c) Chøng minh tổng n số tự nhiên liên tiếp là: S = + + + +…+ n = n(n 1)
2
Bµi 7. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên dơng n thì:
Bài 8. Chứng minh với số nguyên dơng n thì:
1 1 n
1.2 2.3 3.4 n(n 1) n(n 1) víi n
Bµi 9 Chøng minh r»ng tỉng cđa n sè tù nhiªn bằng:S =n(n 1)
2
Bài 10 Chứng minh với số nguyên dơng n th×:
S= 1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n + 1).(n+2) = n(n 1).(n 2).(n 3)
4
Bµi 11 Chøng minh với số nguyên dơng n: 13 + 33 + 53 + … + (2n - 1)3 = n2(2n2 - 1).
Bµi 12. Chøng minh với số nguyên dơng n:
1 1
S
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n.(n 1).(n 2).(n 3)
1 1
(15)
12 – 22 + 32 – 42 +… +(-1) n - n2 = (-1)n – 1 n(n 1)
2
Bµi 13 Chứng minh với số nguyên dơng n: a) 1.2 + 2.3 + … + (n - 1)n = 1(n 1)n(n 1)
3 Víi n
b) 1.2 + 2.5 + 3.8 + … + n.(3n - 1) = n2 (n + 1).
c) 1.4 + 2.7 + 3.10 + … + n.(3n + 1) = n (n + 1)2.
d) 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n -1).n.(n+ 1) = 1(n 1)n(n 1)(n 2)
4 víi n
e) 1.22 + 2.32 + … + (n - 1)n2 = (n 1)n(n 1)(3n 2)
12 víi n
Bµi 14 Chứng minh với số nguyên dơng n:
4.[1.2.3 + 2.3.4 + … + n (n + 1) (n + 2)] + lµ sè phơng
Bài 15. Chứng minh với số nguyên dơng n: 22 33 nn 2 n 2n
2 2 2
Bµi 16. Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên dơng n:
2 2
n
2 n n
3
2! 3! 4! n! víi n
Bµi 17 Chøng minh với số nguyên dơng n:
2 2
2 2
2 n n
2 n 2n
Bài 18 Chứng minh đẳng thức sau với n số tự nhiên (n 1.)
1 1 n
1.2 2.3 3.4 n(n 1) n
Bài 19 Chứng minh đẳng thức sau với n số tự nhiên:
a)
1 1 1
1.3 3.5 5.7 (2n 1)(2n 1) 2n víi n
b)
1 1 (n 1)n(n 1)
1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n 1) 4n(n 1) víi n
c)
1 1 (n 1)
2.5 5.8 8.11 (3n 1)(3n 5) 2(3n 5)
Bài 20 Chứng minh đẳng thức sau với n số tự nhiên:
a)
2
1 1 2(n 1)
(1 )(1 )(1 ) (1 )
3 15 n 2n n
b)
2
2 2 3(n 1)
(1 )(1 )(1 ) (1 )
4 10 18 n 3n n
3 Chứng minh bất đẳng thức:
Bµi 1:Chøng minh với số nguyên dơng n3 thì:
2n > 2n + (1)
Gi¶i:
+ Víi n = th× 23 = 8; 2n + = 2.3 + = VT > VP
(16)+ Giả sử (1) với n = k (k Є N, k ≥ 3), tức 2k > 2k +
Ta phải chứng minh (1) với n = k + Tức là: 2k + 1 > 2k + (2)
ThËt vËy: 2k + 1 = 2k.2 Theo giả thiết quy nạp 2k > 2k +
Do đó: 2k + 1 > 2(2k + 1) = (2k + 3).(2k - 1) > 2k +
(V× 2k - > víi k 3)
Vậy (2) với k 3
+ KÕt luËn: 2n > 2n + với số nguyên dơng n 3.
Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức côsi với n số không âm
1 n n
1 n
a a a
a a a n
víi a1, a2, , an ≥
CM:
+ Hiển nhiên mệnh đề với n = 2, tức n
1 a a a a
+ Giả sử mệnh đề với n = k, tức là: k k
1 k
a a a
a a a k
Ta chứng minh mệnh đề với n = k + Giả sử a1 a2 … ak ak + Thì ak + ≥
1 k
a a a
k
Đặt a1 a2 ak
k
= x th× x ≥
ak + = x + y víi y ≥ vµ xk ≥ a1, a2, , ak (Do giả thiết quy nạp)
Ta cã:
k k
1 k k
a a a a kx x y
k k
= k
k k k k k
1 k k
y
x x (k 1) .x x x y x (x y) a a a a
k k
k k k
1 k
a a a a
a a a a k
mệnh đề với số tự nhiên n ≥ Xảy đẳng thức khi: a1 = a2 = … = an
Bµi 3: Chứng minh với số nguyên dơng n ta cã:
n 1 n Giải: + Với n = đẳng thức ln vì: VT =
1 1 2;
VP =
+ VíÝ n = 2, theo khai triĨn Niu t¬n ta cã:
n
2 n
1 n(n 1) n(n 1).(n 2) n(n 1) (n 2)
1 n
n n 2! n 3!n n! n
1 1
1
2! 3! n!
(17)Do: 1 1 1 1 1
2! 3! n! 1.2 2.3 (n 1)n 2 n n
=
1 n
Do đó:
2
1
1 1
n
Víi mäi n sè nguyªn dơng
Bài 4. Chứng minh số cã d¹ng nn (n Є N, n ≥ 2) sè 3 3 có
giá trị lớn
CM:
+ Víi n = 2, ta chøng minh 33 > 2. (1)
Thật vậy, (1) 3 3 6 > 2 32> 23 đúng.
+ Víi n ≥ 3, ta chøng minh nn
> n 1 n 1
(2) ThËt vËy, n n(n 1)
n
< n n(n 1)
n (n + 1)n < nn +
n n (n 1)
n n
n
1 n
n
(3) Theo c©u a, ta cã
n
1 3,
n
mà n nên (3) đợc chứng minh
Do (2) đợc chứng minh
VËy c¸c số có dạng nn, số 3 có giá trị lín nhÊt
Bµi 5:Chøng minh r»ng víi ai, i = 1,n vµ n lµ sè tù nhiªn, ta cã:
(a1 + a2 + … + an)2 n(a12a22 a ) 2n (1)
CM:
+ Với n = 1, ta đợc đẳng thức 2
1
a a
+ Víi n = 2, ta cÇn chøng minh: (a1 + a2)2 2(a12a )22
Bất đẳng thức 2a1a2 a12 a22 Vậy mệnh đề với n =
+ Giả sử toán với n = k, tức ta có: (a1 + a2 + … + ak)2 k(a12a22 a ) k2
Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + Tức là: (a1 + a2 + … + ak + 1)2 (k + 1)(a12 a22 a k 1 )2
Đặt A1 = a1 + a2 + + ak
A2 = a12 a22 a 2k
Do đó: 2 2
1 k k 1 2 k k
a a a a (k 1).(a a a a a )
Do: (A1 + ak + 1)2 = A12+ ak + 1A1 + a2k 1
Từ bất đẳng thức: 2ak + 1ai a2i + a2k 1 i = 1,k
(18)(A1 + ak + 1)2 A12+ ( a12+ a2k 1 ) + ( a22+ a2k 1 ) + … + ( ak2+ a2k 1 ) + a2k 1
kA12+ A12+ (k + 1)a2k 1
= (k + 1).(A2 + a
2
k 1 ) = (k + 1)
2 2
1 k k
(a a a a ) Vậy mệnh đề với n = k +
+ n Є N, ta cã: (a1 + a2 + … + an)2 n 2
1 n
(a a a ) .
Bµi 6: Chứng minh với số nguyên dơng n thì:
1 1
n 1 n 2 n 3 3n 1 (1)
CM:
+ Với n = 1, vế trái bất đẳng thức là: 1 13
23 12
Vậy bất đẳng thức với n =
+ Giả sử bất đẳng thức với n = k, tức là:
1 1
k 1 k2 k3 3k 1
Ta phải chứng minh bất đẳng thức (1) với n = k + 1, tức là:
1 1
k2k3 k4 3k4
ThËt vËy: 1 1 1
k2k3 k4 3k4 k 1 k2 k3k4
1 1 1
3k 3k 3k 3k k
1 1
k k k 3k 3(k 1).(3k 2).(3k 4)
Do giả thiết quy nạp: 1 1
k 1 k2k3 3k 1
Vậy bất đẳng thức với n = k +
+ Kết luận: Với số ngun dơng n ta ln có bất đẳng thức:
1 1
n 1 n 2 n 3 3n 1 (1)
Bµi 7:Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên dơng n thì:
n
1 1 n
1
2 2
+ Víi n = 1, ta cã: VT = 1; VP =
2
VT > VP Vậy bất đẳng thức (1) với n =
+ Giả sử bđt với n = k, tức là:
k k
1 1 k
S
2 2
(k Є Z+ , k 1)
Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k +
Tøc lµ Sk 1 1 1 k1 k1 k
2 2
(19)ThËt vËy: k k k k k k k
1 1
S S S A
2 2 2
()
Víi A = 1k k1 k 11
2 2 1 2
Ta nhận thấy A tổng 22 phân thức mà phân thức lớn
k 1
Do đó: A > 1k 1
2 + k
1
2 + … + k
1
2 =
2 k
1
2 2 ( ) Tõ () vµ ( ) suy Sk + = Sk + A >
2 Sk + >
L¹i cã: k 1
2
(víi k Є Z+ , k 1)
Vậy bất đẳng thức với n = k +
+ Kết luận: Vậy với số nguyên dơng n bất đẳng thức sau ln
đúng: 1 1 n1 n
2 2
Bµi 8:
Cho S1 = 1.2.3; S2 = 2.3.4; … ; Sn = n(n + 1).(n + 2)
vµ Sn = S1 + S2 + S3 + … + Sn Chøng minh r»ng: 4s + số
ph-ơng?
CM: Trớc hÕt ta chøng minh:
S =1.2.3 + 2.3.4 + … + n(n + 1).(n + 2) = n(n 1).(n 2).(n 3)
(1)
Víi n = 1, ta cã VT = 1.2.3; VP = 1.2.3.4 1.2.3
4 VT = VP
Vậy (1) với n =
Giả sử (1) với n = k (với k Є N , k 1) Tức là:
Sk = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + k(k + 1).(k + 2) = k(k 1).(k 2).(k 3)
4
k(k 1).(k 2).(k 3) (k 1).(k 2).(k 3).(k 4)
(k 1).(k 2).(k 3)
4
Suy (1) với n 1
Theo đầu có 4S + = 4.n(n 1).(n 2).(n 3)
4
4s + = n(n + 1).(n + 2).(n + 3) + = (n2+ 3n).(n2+ 3n + 2) +
Đặt n2+ 3n = a
Ta cã: 4S + = a(a + 2) + = a2 + 2a + = (a + 1)2 = (n2 + 3n + 1)2
là số phơng
+ Kết luận: Vậy 4S + số phơng, với S =1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n(n + 1).(n + 2)
Bài 9: Tìm số nguyên dơng n cho: 2n > 5n.
Gi¶i:
(20)+ Với n = 25 = 32 > 25 = 5.5 Vậy bất đẳng thức n = 5.
+ Giả sử bất đẳng thức với n = k (Với k Є N , k 5).
Tøc lµ: 2k > 5k
Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + Tức là: 2k + 1 > 5(k + 1).
ThËt vËy:
2k + 1 = 2k.2 mµ 2k > 5k (Theo giả thiết quy nạp).
Nên 2k.2> 2.5k = 10k = 5k + 5k theo ®iỊu kiện k nên 5k > 5.
Vì vËy: 2k + 1 > 5k + = 5(k + 1).
+ KÕt luËn: VËy víi mäi sè nguyên dơng n, n ta có 2n > 5n
Bµi 10Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyên dơng n: n
1 n n
2
(1)
+ Với n = 1, mệnh đề 1 1
2
+ Giả sử, mệnh đề với n = k (k Є Z+ , k 0)
Tøc lµ k k k
2
Ta phải chứng minh mệnh đề với n = k +
Tøc lµ k k (k 1) k
2
ThËt vËy:
k
( k) k k k
2
DÔ thÊy: k k k (k 1) k
2
()
ThËt vËy: () k k k (k 1).(k 2)
2
(k 2)2 (k 1).(k 2)
2
k 2 2k k 2 3k
2k 2 3k Vậy ()
Do mệnh đề (1) với n = k + Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh
Bài 10: Chứng minh với a, ta có: dấu
2 2
a a a
a
n dÊu
(1)
CM:
Đặt 2
n
S a a a
Với n = 1, ta đợc
(21)Tøc lµ: 2
k
a a a
S a
k dấu
Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k +
Tøc lµ: a2 a2 a2 a 1
k dấu
ThËt vËy:
k k
S a S Theo giả thiết quy nạp, ta đợc:
2 k
S a a 1
2
k
S a 2 a 1 a 1 a 1
Vậy bất đẳng thức với n = k+
+ Kết luận: Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh
Bµi 11: Chøng minh r»ng nÕu n 2, n nguyên thì:
2 2
1 1
1 2 n n
CM:
Víi n = 2, ta cã: 12 12
1 2
Vậy bất đẳng thức với n =
Giả sử bất đẳng thức với n = k (k Є Z , k 2)
Tøc lµ: 12 12 12 12
1 2 3 k k
Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k +
Tøc lµ: 2 2
1 1 1
1 2 3 k (k 1) k 1 (1)
Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp thì:
12 12 12 12 2 1 2
1 k (k 1) k (k 1)
(2)
Vậy (1) đợc chứng minh, vế phải (2) nhỏ
k
Tøc lµ: 1 2
k (k 1) k
Hay : 1 2
k (k 1) k
Hay :
2
k
k(k 2) (k 1)
(k 1) k
Vậy bất đẳng thức với n = k +
+ KÕt luËn: n Є Z , n th× 12 12 12
(22)Bài 12. Cho dãy số Fibônaxi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … số hạng, kể từ số hạng thứ ba, tổng hai số hạng liền trớc (an = an -2 + an – 1, n
3) Chøng minh r»ng :
a) Sè h¹ng thø 3n chia hÕt cho 2, sè h¹ng thø 4n chia hÕt cho 3, sè h¹ng thø 5n chia hÕt cho
b) Bình phơng số hạng dÃy, kể từ số hạng thứ hai, tích hai số hạng liền trớc liền sau
c) Là phân số tối giản với mäi n
d) Tỉng cđa ba số hạng liên tiếp dÃy số không thuéc d·y
e) Mọi số nguyên dơng A số hạng tổng số hạng khác dãy (định lý Hogatt)
Híng dÉn:
a) Chøng minh a3n chia hÕt cho
Mệnh đề với n =
Giả sử a3n chẵn Xét a3(k+1) = a3k+2 + a3k + = a3k+ + a3k + a3k + = 2a3k +1+ a3k cịng
lµ sè ch½n
(Chøng minh a4n chia hÕt cho 3, a5n chia hÕt cho t¬ng tù)
b) Ta cÇn chøng minh: an2 – an – an + = (-1)n – víi mäi n
Mệnh đề với n = 12 – 1.2 = -1.
Giả sử mệnh đề với n = k tức ta có: ak2 – ak – ak + = (-1)k –
Ta cã: ak+ 12 – ak ak + = ak+12 – ak (ak + ak + ) = ak+12 – ak - ak ak +
= ak + 1.(ak + - ak) – a2k = ak + 1.ak - – a2k
= -(ak2 – ak – 1.ak + 1) = -(-1)k - = (-1)k –
c) Mệnh đề với n =
1
2
a a
a a
Giả sử mệnh đề với n = k, tức là:
k k
k k
a a
a a phân số tối giản Cần chứng minh r»ng
k k
k k
a a
a a phân
số tối giản
Gäi d lµ íc chung cđa ak + ak+1 + ak+ + ak +
(ak+ + a k+ 3) – (ak + ak + 2) chia hÕt cho d (ak+ - a k) + (ak + - ak + 2) chia
hÕt cho d ak - + ak + chia hÕt cho d Nh vËy d lµ íc chung cđa ak + ak+2 + vµ
ak- + ak + 1, d =
d) Ta chứng minh ak 3 ak ak 1 ak 2 ak 4 Bất đẳng thức tơng đơng với:
ak 2 ak 1 ak ak 1 ak 2 ak 3 ak 2
ak 2 ak 1 ak ak 1 ak 2 ak 3 ak 1 ak
ak 2 ak ak 2 ak 3 ak
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên
e) Gäi an lµ mét só hạng dÃy Ta chứng minh r»ng mäi sè nguyªn
dơng A khơng vợt q an số hạng tngr bình phơng
(23)Mệnh đề với n 1, 2, 3, (chẳng hạn với n = ta có an = a4 = 3; rõ
ràng số 1, 2, 3, có mặt dãy)
Giả sử mệnh đề với k 4, tức số nguyên dơng A không vợt q
ak có tính chất Ta chứng minh mệnh đề với k+ 1, tc l
mọi số nguyên dơng A không vợt qu¸ ak+ cịng cã tÝnh chÊt XÐt hai
khoảng giá trị A:
- NÕu A ak th× A cã tÝnh chÊt theo giả thiết quy nạp
- Nếu ak < A ak + th× < A – ak ak + – ak Theo quy luật dÃy
ak + ak Đặt A – ak = d th× A = ak + d vµ < d ak – Do d a k-1 nªn
d < ak, theo giả thiết quy nạp, d có tính chất , A có tính chất
*Bài tập tơng tự:
Bài 1 Chứng minh với số nguyên dơng n thì:
1 1 13
n n 2 n 3 2n 24 (n 2)
Bµi 2 Chøng minh r»ng: n2 > n + (n Є Z , n 3).
Bµi 3 Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiên n > thì: a 12 12 12 12
2 3 4 n
b 1
2 n n 2 n n 4
Bµi 4. Chøng minh r»ng víi mäi n lµ sè tự nhiên n tổng:
2 2
1 1
S
1 n
Không phải số tự nhiên
Bµi 5 Chøng minh r»ng: 12 12 12 n
2 n n
Bµi 6. Cho n sè d¬ng a1, a2, … , an Chøng minh r»ng:
n
1 n
1 n
1
a a a
1 1
a a a
Bµi 7 Chøng minh r»ng víi n số dơng a1, a2, , an thì:
2 2
1 n n
a a a a a a
n n
Bµi 8 Chøng minh r»ng:
Nếu a1, a2, , an dơng a1a2…an = th×: a1 + a2 + … + an n
Bµi 9. Cho a Chøng minh r»ng:
n
1 n n
1 1 n
1 a 1 a 1 a 1 a a a
Bµi 10 Cho S víi n Є N* vµ: S 3
1.4 4.7 7.10 n(n 3)
Chøng minh r»ng S <
(24)a 1 1
2 1 2 3 22 4 3 (n 1) n n n 1
b 1
2 13 4 (n 1) n
Bài 12. Chứng minh với số tự nhiên n 2 có:
1 1 1
n n
1 n
Bµi 13 Cho
n n
A
6
1
(n Є Z , n 2) Chøng minh r»ng:
a A
2n
b A
3n
Bài 14 Chứng minh với x > ta có: 2x > x.
Bài 15 Chứng minh bất đẳng thức:
a 1 n n
1 n
b 1 1
n n 2 2n
c 2n 1
2 2n
2 n 2n
Bài 16 Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 2n > n2 với số tự nhiên n 5.
b)
1 1 n 13
n n n 2n 24 víi mäi sè tù nhiªn n
Bài 17 Chứng minh bất đẳng thức sau: a) a12 + a22 + a32 + … + an2
1
n víi a1+ a2 + a3 + … + an=
1.
b) a12 + a22 + a32 + … + an2
2 k
n víi a1+ a2 + a3 + … + an=
k.
Bài 18 Chứng minh bất đẳng thức sau: a) 12 12 12 12 1
2 n víi mäi sè tù nhiªn n
b) 12 12 12 2
2 (2n) víi mäi sè tù nhiªn n
Bài 19 Chứng minh bất đẳng thức (n!)2 > nn với số tự nhiên n 3.
Bài 20 Chứng minh bất đẳng thức: a) n 1 1
(25)b)
2
3 2n
4 36 144 n (n 1) ( n nguyên dơng)
c)
2
1 11 n n
2! 3! 4! (n 1)! (n nguyên dơng)
d)
1 1
1
n n n (3n 1) (n nguyên dơng)
e)
n
1 1 n
1
2 2 (n nguyên dơng)
Bµi 21 Cho an = 33 (n sè 3), bn – 1= 44 (n – sè 4) Chøng minh r»ng
an > 6.bn – với số tự nhiên n
Bài 22 Chứng minh với n số tự nhiên ta lu«n cã:
2
1 1 1
5 13 25 n (n 1)
4 Chøng minh quy n¹p h×nh häc
Bài 1:Chứng minh a, b, c cạnh tam giác vuông với C cạnh huyền, với n nguyên dơng ta có:
a2n + b2n c2n (1)
CM:
Víi n = 1, (1) cã d¹ng a2 + b2 c2
Bất đẳng thức, theo định lý Pitago a2 + b2 = c2
Giả sử (1) với n = k (k Є N , k 1).
Tøc lµ: a2k + b2k c2k
Ta phải chứng minh (1) với n = k + Tức là: a2(k + 1) + b2(k + 1) c2(k + 1)
ThËt vËy, ta cã: a2(k + 1) + b2(k + 1) = a2k.a2 + b2k.b2 < a2k.c2 + b2k.c2
= c2(a2k + b2k) c2.c2k = c2(k + 1).
Vậy (1) với n = k +
+ KÕt ln: Víi mäi n Є Z+ , th× a2n + b2n c2n víi a, b, c lµ ba c¹nh cđa mét