CHUNG MINH QUY NAP

ĐINH QUÝ THỌ - THCS ÂU CƠ NHA TRANG PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức sau: 1. Chứng minh rằng: a) a 5 - a chia hết cho 5 với mọi số nguyên dương a. b) 7 n + 2 + 8 2n + 1 chia hết cho 19 c) 6 2n + 3 n + 2 + 3 n chia hết cho 11 d) 10 n - 9n - 1 chia hết cho 27 2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: a) 1 + 2 + 3 + … + n = ( 1) 2 n n  b) S n = 1 2 + 2 2 + 3 2 +. . .+ n 2 = 6 1 n(n + 1)(2n + 1) c) S n = 1 3 + 2 3 + 3 3 +. . .+ n 3 = 4 )1( 22 nn d) S n = 1 3 + 3 3 + 5 3 +. . .+ (2n – 1) 3 = n 2 (2n 2 – 1) 3. Chứng minh rằng : 3 3 3 1 2 1 2 3 n n         4. Chứng minh rằng: 2 n > n 3 với mọi số tự nhiên n  10 5. Chứng minh rằng: n 2 > n + 5 với mọi số tự nhiên n  3 6. Tìm mọi số tự nhiên n sao cho : a) 2 n > n 2 b) 5 n  5n 3 + 2 7. So sánh hai số 2003 2002 và 2002 2003 ( Thi HSG TP Nha Trang năm 2003 – 2004) 8. Chứng minh rằng : a) 1.2 + 2.3 + .+ (n – 1)n = 1 3 (n – 1)n(n + 1) với n ≥ 2 b) 1.2.3 + 2.3.4 +…+ (n – 1)n(n + 1) = 1 4 (n – 1)n(n + 1)(n +2) với n ≥ 2 c ) 1.2 2 + 2.3 2 +…+(n – 1)n 2 = 1 12 (n – 1)n(n + 1)(3n +2) với n ≥ 2 9 . Chứng minh rằng : 4[1.2.3 + 2.3.4 +…+ n(n + 1)(n + 2)] + 1 là số chính phương 10. Chứng minh rằng : 1.1! + 2.2! + 3.3 ! + …+ n.n! = (n +1)! – 1 ĐINH QUÝ THỌ - THCS ÂU CƠ NHA TRANG 11. Chứng minh rằng : 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 n n n n        12 . Chứng minh rằng : 2 2 2 1 2 ( 1) 1.3 3.5 (2 1)(2 1) 2(2 1) n n n n n n         HƯỚNG DẪN CÁC BÀI KHÓ Bài 1 : Chứng minh rằng: d) 10 n - 9n - 1 chia hết cho 27 Giả sử 10 k – 9k - 1 chia hết cho 27 Cần chứng minh 10 k + 1 – 9(k + 1) - 1 chia hết cho 27 Ta có 10 k + 1 – 9(k + 1) – 1 = 10.10 k – 9k -9 - 1= 10(10 k – 9k - 1) + 81k ∶ 27 Bài 3 : Chứng minh rằng : 3 3 3 1 2 1 2 3 n n         Giả sử đẳng thức đúng với n = k thì 2 2 2 3 3 3 2 ( 1) ( 1) 1 2 (1 2 3 ) 2 4 k k k k k k                   Với n = k + 1 ta có : 2 2 2 3 3 3 3 2 2 ( 1) 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 4 4 k k k k k k k k                    2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1)( 2) 4 2 k k k k            4. Chứng minh rằng: 2 n > n 3 với mọi số tự nhiên n  10 Giả sử 2 k > k 3 với mọi số tự nhiên k  10 Cần chứng minh: 2 k + 1 > (k + 1) 3 Xét 2 k + 1 - (k + 1) 3 = 2.2 k – k 3 – 3k 2 – 3k – 1 = 2(2 k – k 3 ) + k 3 – 3k 2 – 3k – 1 Dễ thấy 2(2 k – k 3 ) > 0 ( Do 2 k > k 3 ) Xét k 3 – 3k 2 – 3k – 1 = k(k 2 – 3k -3) – = k[k(k – 3) – 1] ≥ 10[10(10 – 3) – 1] = 670 > 0 Nên 2 k + 1 - (k + 1) 3 > 0 hay 2 k + 1 > (k + 1) 3 5. Chứng minh rằng: n 2 > n + 5 với mọi số tự nhiên n  3 (Giải tương tự như bài 4) ĐINH QUÝ THỌ - THCS ÂU CƠ NHA TRANG 6. Tìm mọi số tự nhiên n sao cho : a) 2 n > n 2 b) 5 n  5n 3 + 2 HD : a) n = 0; 1 và mọi n ≥ 5 ( dùng quy nạp để chứng minh với n ≥ 5 thì 2 n > n 2 ) b) n ≥ 4 Bài 7 : So sánh hai số 2003 2002 và 2002 2003 HD : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau : (n + 1) n < n n + 1  ( 1) 1 1 n n n n n n n n            Chứng minh qui nạp như sau : Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ta có 1 1 k k k         Với n = k + 1, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k k k k                                           1 1 1 1 1 k k k k k k               Áp dụng (1) ta có 2003 2002 < 2002 2003 9 . Chứng minh rằng : 4[1.2.3 + 2.3.4 +…+ n(n + 1)(n + 2)] + 1 là số chính phương Theo bài 8b 4[1.2.3 + 2.3.4 +…+(n – 1)n(n + 1) + n(n + 1)(n + 2)] + 1 = 4[ 1 4 (n – 1)n(n + 1)(n +2) + n(n + 1)(n + 2)] + 1 = 4 n(n + 1)(n + 2) [ 1 4 (n – 1) +1] + 1 = 4 n(n + 1)(n + 2) 3 4 n  + 1 = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n 2 + 3n)(n 2 + 3n + 2) + 1 = (n 2 + 3n) 2 + 2(n 2 + 3) + 1 = (n 2 + 3n + 1) 2 . - THCS ÂU CƠ NHA TRANG PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Dùng phương pháp qui nạp để chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức sau: 1. Chứng minh rằng: a) a 5 - a chia hết cho 5 với. 1) 3 = n 2 (2n 2 – 1) 3. Chứng minh rằng : 3 3 3 1 2 1 2 3 n n         4. Chứng minh rằng: 2 n > n 3 với mọi số tự nhiên n  10 5. Chứng minh rằng: n 2 > n + 5 với. Chứng minh rằng : 4[1.2.3 + 2.3.4 +…+ n(n + 1)(n + 2)] + 1 là số chính phương 10. Chứng minh rằng : 1.1! + 2.2! + 3.3 ! + …+ n.n! = (n +1)! – 1 ĐINH QUÝ THỌ - THCS ÂU CƠ NHA TRANG 11. Chứng minh