skkn phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này để giải các dạng toán khác như thế nào

Vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn đề cậpđến một vấn đề mà không ít chúng ta - những người thầy đang trăn trở và băn khoăn, đó là “Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương p

MỤC LỤC

A Đặt vấn đề 2

1 Lí do chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Đối tượng nghiên cứu 4

4 Phạm vi và kế hoạch thực hiện 4

5 Phương pháp nghiên cứu 4

B Nội dung 5

I Cở sở lý luận 5

II Cở sở thực tiễn 5

III Một số kiến thức cơ bản về phương pháp chứng minh quy nạp 6

1 Phép quy nạp hoàn toàn và phép quy nạp không hoàn toàn 6

2 Nội dung của phương pháp quy nạp toán học 9

3 Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học 9

4.Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào chứng minh 13

4.1 Dạng1: Chứng minh quan hệ chia hết: 13

4.2 Dạng2: Chứng minh đẳng thức và tính tổng: 17

4.3 Dạng 3: Chứng minh bất đẳng thức và tìm số 23

4.4 Dạng 4: Quy nạp toán học trong hình học 26

IV.Một số giải pháp khi vận dụng phương pháp quy nạp để giải toán 30

1, Đối với giáo viên: 30

2, Đối với học sinh 30

V Kết quả thu được: 31

C Phần Kết luận 32

Sáng kiến kinh nghiệm Môn toán

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn đề tài

Đổi mới phương pháp dạy học là một yêu cầu tất yếu, đảm bảo cho sự pháttriển của giáo dục Ngày nay nền kinh tế trí thức cùng với sự bùng nổ thông tin,giáo dục đã và đang thay đổi để phù hợp với sự phát triển của khoa học kỹ thuật,

sự phát triển của xã hội Nội dung tri thức khoa học cùng với sự đồ sộ về lượngthông tin yêu cầu chúng ta phải đổi mới phương pháp dạy học Trong giai đoạn hiệnnay giáo dục không chỉ tạo ra những con người có tài, có đức mà giáo dục còn cómột thiên chức cao quý hơn đó là giáo dục cái thẩm mỹ, nhân văn, đào tạo ra nhữngcon người có kỹ năng sống và học tập trong thời đại mới Mục tiêu giáo dục thayđổi kéo theo yêu cầu phải đổi mới phương pháp dạy học một cách phù hợp Nhằmgiúp cho giáo viên tháo gỡ những khó khăn trong quá trình đổi mới phương phápdạy học

Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương phápdạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chứchướng dẫn của giáo viên Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyếtnhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã họcvào bài tập và thực tiễn Trong đó có đổi mới dạy học môn toán, Trong trường phổthông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giảitoán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Quá trình giải toán là quá trìnhrèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vàothực tế Thông qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiếnthức rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn toán Từ đó rút ra được nhiềuphương pháp dạy học hay, những tiết lên lớp có hiệu quả nhằm phát huy hứng thúhọc tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện

Trong chương trình toán phổ thông cấp THCS có nhiều mảng kiến thứctrong sách giáo khoa đề cập đến rất ít nhưng trong quá trình học lại gặp rất nhiều,ngay những học sinh nắm rất vững kiến thức sách giáo khoa nhưng khi gặp nhữngdạng toán này vẫn còn lúng túng Vì vậy với phạm vi đề tài này tôi muốn đề cậpđến một vấn đề mà không ít chúng ta - những người thầy đang trăn trở và băn

khoăn, đó là “Phương pháp chứng minh quy nạp và vận dụng phương pháp này

để giải các dạng toán khác như thế nào” Thật vậy trong chương trình toán phổ

thông phương pháp chứng minh quy nạp là một trong những mảng kiến thức khó

mà ứng dụng của nó lại khá rộng rãi, nó không những có mặt trong phân môn sốhọc mà còn đóng góp một vai trò quan trọng trong phân môn đại số, nó không chỉdừng lại ở chương trình THCS mà còn là một phần quan trọng trong chương trìnhTHPT Vì vậy phương pháp chứng minh quy nạp là phần gây cho học sinh, ngay cảhọc sinh giỏi nhiều khó khăn bối rối, tuy nhiên đây cũng là phần quyến rũ học sinhsay mê môn toán và học giỏi toán vì nó đòi hỏi phải tư duy lôgic, tìm tòi sáng tạo Giúp học sinh thêm một phương pháp nghiên cứu học tập và giải toán trongcác môn số học, đại số và hình học

Góp phần xây dựng năng lực tư duy lôgíc, diễn đạt suy nghĩ mạch lạc, suyluận có lí

Gây hứng thú cho học sinh tìm tòi, phát hiện, tranh luận và phê phán đúng saicùng bạn bè khi lĩnh hội hoặc khi vận dụng kiến thức toán học

Phương pháp chứng minh quy nạp giúp học sinh dễ dàng giải quyết một sốbài toán khó

Qua nghiên cứu kỹ nội dung kiến thức, đọc nhiều tài liệu và qua thực tế bồidưỡng học sinh giỏi môn toán ở trường THCS, tôi đã rút ra được một vài kinh

nghiệm Tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phương pháp quy

nạp toán học trong giải toán”

2 Mục đích nghiên cứu:

Đối với giáoviên:

- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy

- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức

b Đối với học sinh:

Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về áp dụngphương pháp chứng minh quy nạp nói riêng Trang bị cho học sinh một số kiến thứcmới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủđộng, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan

Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa, sáchtham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập

Sáng kiến kinh nghiệm Môn toán

Thông qua việc giải các bài toán áp dụng quy nạp (để chứng minh chia hết,

để tính tổng dãy số ) giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán

- Giúp cho học sinh rèn luyện kỹ năng chứng minh các bài toán chia hết vàtính tổng dãy số viết theo quy luật Nhằm tìm ra những biện pháp hay giúp cho côngtác dạy học nói chung và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng đạt kết quả cao

3 Đối tượng nghiên cứu

Áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp vào bài toán chứng minh chia hết

và tính tổng dãy số, chứng minh đẳng thức và áp dụng vào hình học

4 Phạm vi và kế hoạch thực hiện

Nghiên cứu áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp để giải các bài toánchứng minh chia hết và tính tổng của dãy số viết theo quy luật, chứng minh đẳngthức, hình học cho học sinh khá và giỏi từ lớp 6 đến lớp 9

Thời gian thực hiện: 12 tiết

5 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh vàgiáo viên

- Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp.

B – NỘI DUNG

I Cở sở lý luận:

Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp họcsinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động Muốn vậy giáo viêncần chỉ cho học sinh cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại những điều đãquên, biết cách tìm tòi để phát hiện kiến thức mới Các phương pháp thường lànhững quy tắc, quy trình nói chung là các phương pháp có tính chất thuật toán.Tuy nhiên cũng cần coi trọng các phương pháp có tính chất tìm đoán Học sinh cầnđược rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quáthoá, tương tự, quy lạ về quen Việc nắm vững các phương pháp nói trên tạo điềukiện cho học sinh có thể đọc hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững vàhiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của bảnthân và từ đó học sinh thấy được niềm vui trong học tập

Trong quá trình dạy học, người giáo viên phải bám sát chương trình vàsách giáo khoa, xem đây như là định hướng cho cả quá trình dạy học Tuy nhiênviệc truyền thụ kiến thức cho học sinh không chỉ dừng lại ở sách giáo khoa màngười giáo viên còn phải có phương pháp để từ những kiến thức cơ bản ấy pháttriển và tìm ra những kiến thức mới giúp học sinh lĩnh hội một cách chủ động và

có hệ thống

Trong việc dạy học toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giảibài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúngphương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh.Đồng thời qua việc học toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chấtđạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập toán trong đó có các bài tập vềchứng minh quy nạp cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huycao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh, phát hiện những quy luật đẹp trong Toánhọc

Sáng kiến kinh nghiệm Môn toán

nạp toán học” góp một phần vào việc thực hiện chương trình dạy học theo phương

pháp mới hiện nay “lấy học sinh làm trung tâm” Đồng thời giúp mỗi giáo viên nângcao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, tạo cơ sở vững chắc để phục vụ cho công tácbồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả tốt, góp phần vào mục tiêu “đào tạo và bồidưỡng nhân tài”

Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài với 15 học sinh tôithấy kết quả tiếp thu về phương pháp chứng minh quy nạp như sau:

Điểm dưới 5 Điểm 5 - 6 Điểm 7 - 8 Điểm 9 - 10

Nguyên nhân của thực tế trên:

Đây là dạng toán tương đối mới lạ và khó với học sinh, học sinh chưa đượctrang bị các phương pháp giải, nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khi không

có lối thoát dẫn đến kết quả rất thấp và đặc biệt đối với học sinh trung bình các emcàng khó giải quyết

Để giúp học sinh nắm được phương pháp chứng minh quy nạp, tôi đã nghiêncứu xây dựng thành chuyên đề, trong đó trang bị cho học sinh nắm được thế nào làphương pháp chứng minh quy nạp, vận dụng phương pháp quy nạp để chứng minhquan hệ chia hết, tính tổng của dãy số viết theo quy luật Đồng thời nêu lên một số

ví dụ minh họa giúp học sinh hiểu và nắm chắc kiến thức, biết áp dụng vào giảitoán Từ đó yêu cầu học sinh giải các bài tập tương ứng từ dễ đến khó, học sinhđược rèn luyện và nắm chắc kiến thức, phương pháp giải, áp dụng thành thạo vàchất lượng giải toán được nâng cao

III Một số kiến thức cơ bản về phương pháp chứng minh quynạp:

1, phép quy nạp hoàn toàn và phép quy nạp không hoàn toàn:

Ví dụ 1 Quan sát các kết quả sau: 13 - 1 chia hết cho 3

23 - 2 chia hết cho 3

33 - 3 chia hết cho 3

43 - 4 chia hết cho 3Hãy đưa ra một dự đoán rồi chứng minh dự đoán đó?

Giải: Dự đoán: a3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a

Chứng minh: Gọi A = a3 - a = a.(a - 1)(a + 1)

Xét ba khả năng có thể xảy ra:

a) Nếu a =3k (k  N) thì A chia hết cho3

b) Nếu a = 3k+1 (k N) thì a - 1 chia hết cho 3, do đó A chia hết cho 3c) Nếu a = 3k+2 (kN) thì a+1chia hết cho3, do đó A chia hết cho 3Vậy a3 - a chia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a

Ví dụ 2 Quan sát kết quả sau: 23 - 2 chia hết cho 3

25 - 2 chia hết cho 5

27 - 2 chia hết cho 7

Dự đoán sau đúng hay sai? 2n - 2 chia hết cho n với mọi số lẻ n?Giải: Dự đoán trên là sai Chẳng hạn 29 - 2 = 510 không chia hết cho 9

Nhận xét: Trong hai ví dụ trên, ta đã thực hiện các phép suy luận sau:

(1) - Xét các giá trị của a bằng 1, 2, 3, 4, để kết luận rằng a3 - a chia hết cho 3với mọi số nguyên dương a

(2) - Xét các giá trị của a bằng 3k, 3k +1, 3k + 2 (k  N) để kết luận rằng a3 - achia hết cho 3 với mọi số nguyên dương a

(3) - Xét các giá trị của n bằng 3, 5, 7 để kết luận rằng 2n - 2 chia hết cho n vớimọi số tự nhiên lẻ n

Ba phép suy luận trên được gọi là phép quy nạp, đó là phép suy luận đi từ cáctrường hợp riêng biệt đi tới kết luận tổng quát

*Phép quy nạp gọi là hoàn toàn nếu ta xét tất cả các trường hợp riêng, chẳnghạn trong phép suy luận (2) ta đã xét mọi khả năng có thể xảy ra khi chia số tựnhiên a cho 3 (a = 3k, a = 3k + 1, a = 3k +2)

Sáng kiến kinh nghiệm Môn toán

*Phép quy nạp gọi là không hoàn toàn nếu ta xét một số trường hợp riêng chứ chưaxét đầy đủ mọi trường hợp riêng Chẳng hạn trong phép suy luận (1) ta mới xét abằng 1, 2, 3, 4 để kết luận cho mọi số nguyên dương a, trong phép suy luận (3) tamới xét n bằng 3, 5, 7 để kết luận cho mọi số tự nhiên lẻ n

Nhờ phép quy nạp không hoàn toàn mà ta có những dự đoán về một tính chấttoán học nào đó, đó là một cơ sở để đi tới các phát minh Phép quy nạp (1) cho mộtkhẳng định đúng, kết luận này đã được chứng minh bằng phép quy nạp (2) (quy nạphoàn toàn) Phép quy nạp (3) cho một kết luận sai, ta bác bỏ nó bằng một phản vídụ

Như vậy “phép quy nạp hoàn toàn” là một phép chứng minh chặt chẽ, còn

“phép quy nạp không hoàn toàn” có thể dẫn tới sai lầm, ngay cả đối với các nhàtoán học có tên tuổi dưới đây:

Nhà toán học Pháp Fecma nhận xét rằng công thức 2n + 1 cho ta các số nguyên

tố với n bằng 20, 21, 22, 23, 24 (thật vậy 21+ 1 = 3; 22 + 1 = 5; 24+1 = 17; 28 + 1 =257; 216 + 1 = 65537; tất cả đều là số nguyên tố )

Với n = 25 = 32 thì 2n + 1 = 232 + 1 = 4294967297, Fecma không phân tíchđược ra thừa số nguyên tố, ông cho rằng đó cũng là một số nguyên tố và đưa ra giảthuyết tổng quát rằng công thức 2n + 1 với n là một luỹ thừa của 2 cho ta các sốnguyên tố

Một thế kỉ sau, năm1732,Ơle mới bác bỏ giả thuyết trên bằng cách chỉ rarằng 232 + 1 là một hợp số, nó chia hết cho 641

Có thể kể thêm hai mệnh đề sai nhưng lại đúng với một số rất lớn các trườnghợp đầu tiên:

- Nhà toán học Gravơ đưa ra dự đoán: Với mọi số nguyên tố p ta có: 2p-1 - 1không chia hết cho p2 Dự đoán này đúng với mọi số nguyên tố nhỏ hơn 1000,nhưng chẳng bao lâu sau người ta chỉ ra rằng tồn tại số nguyên tố 1093 mà 21093 - 1chia hết cho10932

- Một dự đoán khác: Số 911n2+ 1 không là số chính phương với mọi sốnguyên dương n Số n nhỏ nhất để mệnh đề trên sai là

n = 12055735790331359447442538767 (có 29 chữ số)Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn giúp các nhà toán học tìm ra một phươngpháp chứng minh hiệu nghiệm giúp chúng ta khẳng định sự đúng đắn của một số tự

nhiên, đó là phương pháp quy nạp toán học

2, Nội dung của phương pháp quy nạp Toán học:

Trong toán học, phép quy nạp hoàn toàn chỉ được áp dụng rất hạn chế.Nhiều mệnh đề Toán học đáng chú ý bao gồm một số vô hạn các trường hợp riêng,nhưng con người không thể kiểm tra được tất cả các trường hợp riêng đó

Phép quy nạp không hoàn toàn, như chúng ta đã biết thường dẫn tới kết luậnsai lầm Trong nhiều trường hợp để tránh những khó khăn như thế người ta áp dụngmột phương pháp suy luận “đặc biệt”, được gọi là phương pháp quy nạp Toán học

* Nội dung của phương pháp quy nạp Toán học được trình bày như sau:

Một mệnh đề phụ thuộc vào số nguyên dương n được xem là đã được chứngminh nếu cả hai điều kiện sau đây được thỏamãn:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với số tự nhiên n = n0

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k ≥n0) (ta gọi là giả thiết quynạp), rồi chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1

Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với mọi số nguyên dương n ≥n0

3, Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học

* Hai bước của nguyên lí quy nạp toán học

Nguyên lí quy nạp toán học gồm hai phần, việc kiểm tra cả hai phần cầnđược tôn trọng và thực hiện đầy đủ khi áp dụng nguyên lí Nếu bỏ đi một trong haiđiều kiện kiểm tra đó thì sẽ nhận được kết luận sai Ta lấy một vài phản ví dụ

Ví dụ 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n bất đẳng thức sau đúng:

Sáng kiến kinh nghiệm Môn toán

Ta có thể thử với n = 1 hoặc n = 2 bất đẳng thức (4) sai

Với n ≥ 3bất đẳng thức (4) mới đúng Giá trị số tự nhiên nhỏ nhất n = 3 bất đẳngthức (4) đúng và lặp lại cách chứng minh ở trên từ giả thiết (4) đúng với n = k suy

ra nó đúng với n = k + 1 Vì vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có kết luận: Bấtđẳng thức (4) đúng với mọi n ≥ 3 (chứ không với mọi số tự nhiên n)

Như vậy giá trị ban đầu của các bài toán chứng minh phụ thuộc vào từng bàitoán cụ thể và phải kiểm tra bước cơ sở Sau đây ta có một phản ví dụ khi khôngkiểm tra bước cơ sở thì hậu quả dẫn đến chứng minh sai

Ví dụ 2 Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên liền sau đó

k + 1 = (k + 1) + 1 = k + 2

Như vậy khẳng định đúng với n = k thì nó cũng đúng với n = k + 1, do đó theonguyên lí quy nạp toán học nó đúng với mọi số tự nhiên n

Hệ quả của bài toán này là tất cả các số tự nhiên đều bằng nhau Điều này vô

lí, vậy cách chứng minh sai ở đâu? Dễ thấy rằng áp dụng nguyên lí quy nạp toánhọc nhưng bỏ qua kiểm tra trường hợp n = 1 Ta thấy rằng với n = 1 thì mệnh đềtrên đã sai vì 1 ≠ 2

Bước kiểm tra ban đầu có một ý nghĩa đặc biệt là tạo ra cơ sở để thực hiện quynạp Bước thứ hai đưa ra nguyên tắc cho việc mở rộng tự động vô hạn trên cơ sởđiều kiện ban đầu, đây là nguyên tắc đi từ trường hợp riêng này sang trường hợpriêng khác: từ k đến k + 1

Phản ví dụ trên khi chưa kiểm tra điều kiện ban đầu thì không có cơ sở để thực hiệnquy nạp, vì vậy không có nghĩa gì khi thực hiện kiểm tra phần quy nạp

Ngược lại, khi áp dụng phương pháp quy nạp mà chỉ chứng minh được một

số điều kiện ban đầu, mà bỏ qua phần quy nạp thì mới chỉ đưa ra được cơ sở chứchưa có nguyên tắc nào để mở rộng cơ sở đó Ta xét ví dụ

Ví dụ 3.Chứng minh rằng những giá trị của hàm số f(n) = n2 – n + 41 với n = 0, 1,

2, là những số nguyên tố

Lời giải.

Ta tính f(0) =1, f(1) = 41, f(2)=43, f(3) =47, f(4) = 53, f(5) = 61, f(6) = 71,f(7) = 83, f(8) = 97, f(9) = 113 Ta có thể tiếp tục tính f(n) cho đến giá trị n = 40, tất

cả giá trị này đề là số nguyên tố Nhưng với n = 41 ta có f(41)= 412 – 41 + 41 = 412.Kết quả f(41) không phải là số nguyên tố, nên kết luận của bài toán là không đúng Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học cần thiết thức hiện hai bướcnhư phân tích ở phần trên Nhưng khó khăn chủ yếu là trong bước quy nạp toán học

là khi mệnh đề giả sử đã đúng cho P(k) phải chứng minh cho P(k+1) Thường người

ta tìm mối liên hệ giữa P(k) và P(k+1) để suy ra kết quả phải chứng minh

Trong phần này ta xét khả năng biến đổi quy nạp trực tiếp từ khẳng định đúngP(k) sang khẳng định đúng P(k+1)

(k +1)(k +2 )[2(k +1)+1]

6

Do đó (8) đúng với n = k + 1 Theo nguyên lí quy nạp toán học (8) đúng với mọi n

Ví dụ 5 ( Phân số Ai Cập)

Sáng kiến kinh nghiệm Môn toán

Ta xét tập hợp những phân số có tử số là 1 và mẫu số là những số tự nhiên lớn hơn

Lời giải.

1 Bước cơ sở: Với n = 3 Mệnh đề đúng như ví dụ trên

2 Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề đúng với n – 1, nghĩa là với n – 1 phân

*Bước quy nạp được xây dựng trên P(k+1)

Bước quy nạp toán học cần khẳng định P(k+1) suy ra từ P(k) Nhưng nhiều khiviệc biến đổi trực tiếp từ P(k) sang P(k+1) gặp rất nhiều khó khăn hoặc không cóhướng chính xác để biến đổi Khi đó ta phải làm ngược lại để biểu diễn P(k+1)thành những mệnh đề P(k) và tiến hành quy nạp

Ví dụ 6 Chứng minh rằng số zn = 32n+1 + 40n – 67 chia hết cho 64 với mọi số n nguyên không âm.

Lời giải.

Bước cơ sở: z0 = 31 + 0 – 67 = - 64 chia hết cho 64, mệnh đề đúng

Bước quy nạp: Giả sử zn chia hết cho 64 Khi đó

zn+1 = 32n+3 + 40(n+1) – 67 = 9(32n+1 + 40n – 67) – 320n + 576 = 9.zn– 64(5n – 9)

Vế phải của đẳng thức sau cùng chia hết cho 64, vậy với n+1 mệnh đề vẫnđúng Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học bài toán đúng với mọi n không âm

Trong phạm vi nghiên cứu của mình, tôi chỉ đề cập đến việc vận dụngphương pháp chứng minh quy nạp Toán học để giải một số dạng toán đó là: Chứng

minh sự chia hết, tính tổng của dãy số viết theo quy luật, chứng minh bất đẳng thức

và một chút ứng dụng vào hình học Hy vọng với một số kinh nghiệm nhỏ này sẽgóp phần vào phương pháp dạy học, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi,giúp học sinh rèn luyện được kỹ năng giải toán và tư duy giải toán có hiệu quả hơn

4, Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào chứng minh:

Bài 1: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba số nguyên dương liên tiếp

Sáng kiến kinh nghiệm Môn toán

Vậy A(n) = 7k+2 + 82k+1 19 Với n nguyên dương

+ Kết luận: Vậy A(n)đúng với mọi số nguyêndương

Bài 3: Chứng minh rằng: 16n - 15n - 1 225; n N

Giải:

Đặt A(n) = 16n - 15n - 1

+ Với n = 1, tacó: A(1)= 16 - 15 - 1 = 0 225 A(1) 225

+ Giả sử A(n) đúng với n = k Ta có: A(k) = 16k - 15k - 1 225 Ta phảichứng minh A(n) đúng với n = k + 1

Thật vậy: A(k+1) = 16k+1 - 15(k + 1) - 1

= 16.16k - 15k - 16 = (16k - 15k - 1) + 15.16k -15

= (16k - 15k - 1) + 15(16k -1)

= A(k) + 15(16k - 1)Theo giả thiết quy nạp có A(k) 225

Tacó:16k-1 16-116k-1 15 15(16k-1) 15.15

15(16k

- 1) 225

A(k+1) 225Theo nguyên lí quy nạp thì A(n) 225 với n  N

+ Kết luận: Vậy 16n – 15k - 1 225 với n  N

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:

a) Sn = (n + 1).(n + 2).(n + 3) (n + n) chia hết cho2n

b) 33n+2 + 5.23n+1chia hết cho 19

Theo giả thiết quy nạp có Sk 2n

Dođó: Sk.2.(2k+1) 2n.Sk+1 2n Vậy Sn 2n đúng với n = k +1

+ Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dương n thì Sn 2n

b) Với n =1 thì A(n) = 33n+2 + 5.23n+1 = 35 +5.24 =243 + 80 = 323 chia hết cho 19

= 27(33k+2 + 5.23k+1) - 19.33k+1 = 27.Ak - 19.33k+1

Theo giả thiết quy nạp có: Ak 19 27Ak 19

Lại có: 19 19 19.33k+1 19 Do đó A(k+1) = 27.Ak - 19.33k+1 19Vậy A(n) 19 đúng với n = k + 1

+ Kết luận: Vậy với mọi số nguyên dương n thì A(n) 19

Sáng kiến kinh nghiệm Môn toán

Ta phải đi chứng minh A(n) 24 đúng với n = k + 1

+ Kết luận: Với mọi số nguyên dương n thì luôn có: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24

* Một số bài tập giải tương tự:

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a:

a) a2 - a chia hết cho 2 b) a3 - a chia hết cho 3

c) a5 - a chia hết cho5 d) a7 - a chia hết cho 7

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:

a) 32n+1 + 40n - 67 chia hết cho 64 b) 2n+2.3n + 5n - 4 chia hết cho 25

c) 7n+2 + 82n+2 chia hết cho5 7 d) 10n + 72n - 1 chia hết cho 81

Bài 3: Chứng minh rằng số A = 222 n+ 5 chia hết cho 7 với mọi số tự nhiên n

Bài 4: Chứng minh rằng A chia hết cho B với:

a) A=13+ 23+33+ +993+1003; B = 1 + 2 + 3 + +99 + 100b) A =13 + 23+ 33 + + 993; B = 1 + 2 + 3 + + 99

Bài 5: Chứng minh rằng nếu n là lập phương của một số tự nhiên thì

(n - 1).n.(n + 1) chia hết cho 504

Bài 6: Chứng minh rằng: Nếu a và b không chia hết cho 3 thì a6 - b6 chia hết cho 9

Bài 7: a) Chứng minh rằng nếu tổng hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập

phương của chúng chia hết cho 9

b) Chứng minh rằng hiệu các bình phương của hai số lẻ thì chia hết cho8

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương:

Kí hiệu Pn là tổng phải tìm, nghĩa là Pn = 1 + 2 + 3 + + n

Ta tính một số tổng tại những giá trị ban đầu:

Biểu thức trên được gọi là giả thiết quy nạp Muốn chắc chắn công

thức này đúng ta phải chứng minh bằng phương pháp quy nạp thông qua hai

bước:

1 Bước cơ sở: Với n = 1 công thức (1) đúng như cách

tính ở trên