Phương pháp quy nạp

Chµo mõng Chµo mõng Các thày cô giáo đến dự giờ thăm lớp Các thày cô giáo đến dự giờ thăm lớp DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 11 11 §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Chương III Trong chương này bài đầu tiên chúng ta sẽ làm quen với phương pháp qui nạp toán học, một trong những phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu dãy số trong toán học; tiếp đó chúng ta sẽ nghiên cứu về dãy số đồng thời tìm hiểu một số vấn đề xung quanh 2 dãy số đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân. Mục tiêu: Học sinh cần - Hiểu nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm 2 bước bắt buộc theo một trình tự qui định - Biết sử dụng phương pháp qui nạp toán học đẻ giải các bài toán một cách hợp lí Gv: Ngô Thị Vân Anh Xét 2 mệnh đề chứa biến a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b. Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai? ( ) :"3 3 1"& ( ) :"2 ", * n n P n n Q n n n> + > ∈ ¥ *n∈ ¥ Trả lời: a. P(n) Q(n) n ? 3n+1 1 2 3 4 5 3 n n ? n 1 2 3 4 5 2 n b. Với mọi P(n) sai; Q(n) chưa thể khẳng định chắc chắn. *n∈ ¥ 3 9 27 81 243 4 7 10 13 16 < > > > > 2 8 16 32 5 4 3 2 1 4 > > > > > Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC 1. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các bước sau: *n ∈ ¥ 1n k= ≥ B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1 B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1 2. Ví dụ áp dụng: Ví dụ1 Ví dụ1 : Chứng minh rằng với mọi n : Chứng minh rằng với mọi n ∈ ∈ N*, ta có: N*, ta có: ( 1) 1 2 3 . (1) 2 n n n + + + + + = Ví dụ1 Ví dụ1 : Chứng minh rằng với mọi n : Chứng minh rằng với mọi n ∈ ∈ N*, ta có: N*, ta có: ( 1) 1 2 3 . (1) 2 n n n + + + + + = Lời giải: +) Với n = 1, ta có ,đẳng thức (1) đúng. 1(1 1) VT(1) 1 VP(1) 2 + = = = +) Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là (GTQN) ( 1) 1 2 3 . 2 k k k + + + + + = Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh: ( 1)[( 1) 1] 1 2 3 . ( 1) (2) 2 k k k k + + + + + + + + + = Thật vậy: (2) (1 2 3 . ) ( 1)VT k k= + + + + + + ( 1) ( 1) 2 k k k + = + + [ ] ( 1) ( 1) 1 2 k k+ + + = (2)VP = Vậy với mọi n ∈N*, ta có: ( 1) 1 2 3 . (1) 2 n n n + + + + + = Xét 2 mệnh đề chứa biến a. Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai? b. Với mọi thì P(n), Q(n) đúng hay sai? *n∈ ¥ Trả lời: a. P(n) n ? 3n+1 1 2 3 4 5 3 n b. Với mọi P(n) sai; *n∈ ¥ 3 9 27 81 243 4 7 10 13 16 < > > > > c. ( ) :"3 3 1"& ( ) :"2 ", * n n P n n Q n n n > + > ∈ ¥ 2, : 3 3 1 n n n N n≥ ∀ ∈ > +cã c. Dự đoán kết quả tổng quát của P(n) §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC 1. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh mệnh đề đúng với mọi ta thực hiện theo các bước sau: *n∈ ¥ 1n k= ≥ B1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=1 B2: Giả sử mệnh đề đúng với (Giả thiết qui nạp-GTQN) Ta chứng minh mệnh đề cũng đúng với n=k+1 2. Ví dụ áp dụng: Chú ý: (SGK- 82) HOẠT ĐỘNG NHÓM HOẠT ĐỘNG NHÓM : 2, : 3 3 1 n n n N n≥ ∀ ∈ > +CMR cã 2 :1.4 2.7 . (3 1) ( 1)n n n n+ + + + = +CMR : * 13 1 6 n n n N u∀ ∈ = − MCMR cã ( ) * 2 : 1.4 2.7 . (3 1) ( 1) 1n n n n n ∀ ∈ + + + + = + ¥CMR  Với n = 1, ta có VT(1) = 1.(3.1+1) =4 = 1.(1+1) 2 =VP(1), đẳng thức đúng  Giả sử đẳng thức đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: 2 1.4 2.7 . (3 1) ( 1)k k k k+ + + + = + Ta phải chứng minh đúng với n = k+ 1, tức là : [ ] [ ] ( ) 2 1.4 2.7 . (3 1) ( 1) 3( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 2k k k k k k+ + + + + + + + = + + + Thật vậy: [ ] (2) [1.4 2.7 . (3 1)] ( 1) 3( 1) 1VT k k k k= + + + + + + + + [ ] 2 ( 1) ( 1) 3( 1) 1k k k k= + + + + + ( 1)[ ( 1) 3 4]k k k k= + + + + 2 ( 1)( 4 4)k k k= + + + 2 ( 1)( 2)k k= + + (2)VP= (GTQN) Vậy với mọi n ∈N*, ta có: ( ) 2 1.4 2.7 . (3 1) ( 1) 1n n n n + + + + = + 2 ( 1)( 2)k k= + + : * 13 1 6 (2) n n n N u∀ ∈ = − MCMR cã 1 1 13 1 12 6u = − = M 1 1 13 1 6 k k u + + = − M  Với n = 1 ta có: (Mệnh đề (2) đúng)  Giả sử mệnh đề (2) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k+ 1, tức là : Thật vậy: 13 1 6 k k u = − M 1 1 13 1 13.13 1 k k k u + + = − = − 13(13 1) 12 k = − + 13 12 6 k u = + M Vậy với mọi n ∈N*, ta có: 13 1 6 n n u = − M 3 3 1 k k > + ( ) : 2, : 3 3 1 3 n n n N n≥ ∀ ∈ > +CMR cã  Với n = 2, ta có VT(1) = 9 > 7 = VP(1), bất đẳng thức (3) đúng  Giả sử bất đẳng thức (3) đúng với n = k≥ 1, nghĩa là: Ta phải chứng minh bđt đúng với n = k+ 1, tức là : Thật vậy: theo giả thiết qui nạp có: 1 3 3( 1) 1 k k + > + + 1 3 3 1 3 3(3 1) k k k k + > + ⇔ > + 1 3 9 3 k k + ⇔ > + 1 3 3 4 6 1 k k k + ⇔ > + + − 1 6 1 0 : 3 3 4 k k k + − > > + V × nª n Vậy: 2, : 3 3 1 n n n N n≥ ∀ ∈ > +cã [...]...§1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC •Nêu phương pháp qui nạp toán học •Chú ý khi chứng minh mệnh đề đúng với số tự nhiên n ≥ p • Học thuộc và nắm chắc qui trình chứng minh bài toán bằng phương pháp qui nạp • Các bài tập 1,2,3,4 tự luyện tập • Bài 5: Đa giác lồi ít nhất mấy cạnh thì có đường chéo? • Đọc bài : Bạn có biết Suy luận qui nạp QUÝ THẦY CÔ CÙNG CÁC EM SỨC KHỎE . §1: PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC Chương III Trong chương này bài đầu tiên chúng ta sẽ làm quen với phương pháp qui nạp toán học, một trong những phương pháp. cần - Hiểu nội dung của phương pháp qui nạp toán học gồm 2 bước bắt buộc theo một trình tự qui định - Biết sử dụng phương pháp qui nạp toán học đẻ giải các