Chứng minh BĐT bằng ĐHàm

Chứng minh Bất đẳng thức bằng đạo hàm 1- Sử dụng bất đẳng thức cơ bản Sin x< x và tan x > x nếu 0< x< 90 Bài 1: Chứng minh rằng 6 3 x x < xx < sin với 0 > x Giải Ta hớng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức chứng minh < > xx x xx sin 6 sin 3 với 0 > x Ta chứng minh xx < sin với 0 > x Xét ( ) xf = xsin - x , ( ) 00 = f ( ) xf , = 1cos x <0 ( ) xf nghịch biến ( ) xf < ( ) 0f với 0 > x xsin - x <o xx < sin (1) Ta chứng minh 6 3 x x < xsin Xét ( ) 6 sin 3 x xxxf += ( ) xf , = 2 1cos 2 x x + = ( ) xg ( ) 0sin , >+= xxxg với mọi x >0 ( ) xg đồng biến ( ) xg > ( ) 0g =0 với 0 > x hay ( ) xf , >0 với 0 > x ( ) xf đồng biến ( ) xf > ( ) 0f =0 với 0 > x 0 6 sin 3 >+ x xx 6 3 x x < xsin với 0 > x (2) Từ (1),(2) 6 3 x x < xx < sin với 0 > x đpcm. Bài 2: Chứng minh rằng sin x > x2 với 2 0 << x Giải Hớng dẫn : Xét hàm số f(x) = x xsin với 2 0 << x Bài 3 : CM : xxx 2tansin + 2 0 << x Cm : 0 2 3 tan 2 1 sin + x xx 2 ;0 x CM : x sinx + cos x > 1 với 2 0 << x Bài 4 Cho 4 3 0 < , Chứng minh rằng 3 1 .2 2 >+ Giải HD: Xét hàm số ( ) 2 1 2 x xxf += trên 4 3 ;0 , Bài 5: Chứng minh rằng với 10 3 +<<< aba thì ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ba baa b ba baa ++ +++ << + + 3 3 3 3 3 1.2 .211 .2 .2. . Giải Xét hàm số ( ) ( ) bx bxx xf + + = 3 3 .2 .2 với 10 +<<< axa Ta có ( ) 33 bbf = và ( ) ( ) ( ) 0 .2 .2 2 3 2 3 , + = bx bx xf ( ) xf đồng biến ( ) ( ) ( ) 1 3 +<< afbfaf với 10 +<<< axa ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ba baa b ba baa ++ +++ << + + 3 3 3 3 3 1.2 .211 .2 .2. . đpcm. Bài 6: ( Đề thi thử ĐH Quảng Xơng I) Cho 2 0 <<< ba Chứng minh rằng bbaa sin.sin. > ( ) ab coscos.2 Giải Yêu cầu bài toán aaa cos2sin. + > bbb cos.2sin. + Xét hàm số ( ) xf = xxx cos.2sin. + với 0< 2 < x Bài 7: Chứng minh rằng 0000 10tan.6tan.39tan.5tan.4 < Giải Xét hàm số ( ) x x xf tan = với 4 0 << x Ta có ( ) 0 2cos.2 2sin.2 22 , > = xx xx xf ( vì ta đã có tansin << nếu 2 0 << ) hàm số ( ) xf là đồng biến trên 2 0 << x với 5<6 thì ( ) 5f < ( ) 6f < 180 6 180 5 ff , tức là 180 6 180 6 tan 180 5 180 5 tan < 00 6tan.55tan.6 < ( 2) chứng minh tơng tự ta cũng có 00 10tan.99tan.10 < (3) Nhân từng vế (2) và (3) ta suy ra 0000 10tan.6tan.39tan.5tan.4 < đpcm. Bài 8 Chứng minh rằng x x xx x < + < 1 2 2 với 0 > x Giải Do 0 > x nên x x xx x < + < 1 2 2 1 1 1 2 1 < + < x x , 0 > x Hớng dẫn học sinh đa về chứng minh < + > + 1 1 1 2 1 1 1 x x x Đặt ( ) 1 2 1 1 + + = x x xg 0 > x , ( ) 00 = g ( ) ( ) 0 1 1 1 2 1 3 , > + = x xg , với 0 > x hàm số đồng biến với Bài 9: Chứng minh rằng : ( ) 2 2 2 4 1sin + xx với 2 0 << x Giải Yêu cầu bài toán ( ) 2 2 2 4 1sin xx Xét hàm số ( ) xf = ( ) 2 2 sin xx với 2 0 << x . Ta có ( ) xf , =-2 ( ) 0.2cos.sin 3 3 >+ xxx với 2 0 << x ( ) xxx cos.sin.2.2 3 3 > x x x 33 sin cos1 > do các vế đều dơng 3 cos sin x x x < 0 cos sin 3 > x x x ( ) 0cos.sin 3 1 > xxx đặt ( ) xg = ( ) xxx 3 1 cos.sin , ( ) ( ) ( ) 1sin.cos 3 1 cos 2 3 4 3 2 , += xxxxg , ( ) 00 , = g ( ) ( ) xxxg 2 3 2 ,, sin.cos 9 4 = với 2 0 << x ( ) ( ) 0 ,,,, gxg > = 0 với 2 0 << x ( ) xg , đồng biến 2 ;0 ( ) xg , > ( ) 0 , g ( ) xg đồng biến 2 ;0 . ( ) xg > ( ) 0g ( ) xf đồng biến 2 ;0 ( ) xf 2 2 4 1 2 1 2 = = f với 2 ;0 x Do đó ( ) 2 2 sin xx 2 4 1 Hay ( ) 2 2 2 4 1sin + xx 2 ;0 x đpcm. Bài 10: Cho a,b,c>0 và 1 222 =++ cba chứng minh rằng 2 3.3 222222 + + + + + ba c ac b cb a (1) Giải Từ giả thiết 222 1 acb =+ , 222 1 bac =+ và 222 1 cba =+ 1123cos2cos6cos4cos17 22 +++++ thay vào (1) ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 222222222 111111 cc c bb b aa a c c b b a a ba c ac b cb a + + = + + = + + + + + 2 3.3 ( do a, b ,c đều dơng ) Xét hàm số ( ) ( ) xxxxxf +== 3 1 , ( ) 1;0 x ( ) 1.3 2, += xxf ( ) xf , >0 3 1 ;0x và ( ) xf , <0 1; 3 1 x 0< ( ) xf 3.3 2 3 1 = f ( ) 2 3.31 xf Do đó 0< ( ) 33 2 1 2 aa ( ) 2 33 1 1 2 aa ( ) 2 2 2 . 2 33 1 a aa a Tơng tự ( ) 2 2 2 . 2 3.3 1 b bb b ( ) 2 2 2 . 2 33 1 c cc c Do đó 2 33 222222 + + + + + ba c ac b cb a đpcm. .Bài 11: Cho 3;8;6 . Chứng minh rằng với mọi x 1 ta có ++ xxx 24 Bài 12: Cho 60 <<< . Chứng minh rằng : 6 6 sin sin 3 3 > HD: Xét hàm số x x x xf sin 6 )( 3 = với 0< x < 2- Sử dụng bảng biến thiên Bài 13 : Cho a và b không âm và a + b = 1. Chứng minh với mọi số nguyên d- ơng n ta có : 1 2 1 + n nn ba HD : Xét hàm số f(x) = nn xx )1( + với 10 x Bài 14 : Chứng minh với mọi ta có Bài 15: Cho p, q là hai số tự nhiên khác 0 . Chứng minh rằng với mọi : 2 0 ta có : qp qp qp qp qp + + )( cossin Bài 16 : Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 2 . Chứng minh rằng )1(22 )1()2( > nnn nnn Bài 17 : Cm tan 55 o > 1,4 và 20 7 20sin 3 1 0 << . Giải Ta hớng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức chứng minh < > xx x xx sin 6 sin 3 với 0 > x Ta chứng minh xx < sin với 0 > x. Chứng minh Bất đẳng thức bằng đạo hàm 1- Sử dụng bất đẳng thức cơ bản Sin x< x và tan x > x nếu 0< x< 90 Bài 1: Chứng minh rằng 6