Chứng minh BDT bằng phương pháp đổi biến hay

Phương pháp đổi biến số Chứng minh Bất đẳng thức phương pháp đổi biến số I Ví dụ: Dự đốn điều kiện đẳng thức xảy Ví dụ 1: Cho a  b  Chứng minh rằng: B = a5  b5   Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = Do ta đặt: a  1 x Từ giả thiết suy ra: b  1 x , ( x  R ) Ta có: B = a5  b5  (1 x)5  (1 x)5  10x4  20x2   Đẳng thức xảy  x = 0, hay a = b = Vậy B  Ví dụ 2: Cho a  b  3, a  Chứng minh rằng: C = b3  a3  6b2  a2  9b   Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = 1; b = Do ta đặt a  1 x , với x  Từ giả thiết suy b   x C = b3  a3  6b2  a2  9b = (2  x)3  (1 x)3  6(2  x)2  (1 x)2  9(2  x) Ta có: = x3  2x2  x = x( x  1)2  (vì x  0) Đẳng thức xảy  x = x = tức a = 1, b = a = 0, b = Vậy C  Ví dụ 3: Cho a  b  c  Chứng minh rằng: A = a2  b2  c2  ab  bc  ca   Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = c = Do ta đặt: a  1 x, b  1 y , ( x, y  R ) Từ giả thiết suy ra: c  1 x  y A = a2  b2  c2  ab  bc  ca Ta có: = (1 x)2  (1 y)2  (1 x  y)2  (1 x)(1 y)  (1 y)(1 x  y)  (1 x  y)(1 x)   = x  xy  y  =  x  y   y2     Đẳng thức xảy  y = x  y   x = y = hay a = b = c =1 Vậy A  2 Ví dụ 4: Cho a  b  c  d Chứng minh rằng: D = a2  b2  ab  3cd  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = c = d Do đặt: a  c  x , với x  R Từ giả thiết suy b  d  x Ta có: D = (c  x)2  (d  x)2  (c  x)(d  x) = c2  d  x2  cd  cx  dx     =  c2  d2  x2  2cd  cx  dx   3cd  x =  c  d  x   x2  3cd  3cd     Đẳng thức xảy  x = c  d  x   x = c = d hay a = b = c = d Vậy D  3cd a3  b3  a4  b4 Ví dụ 5: Cho a  b  Chứng minh rằng:  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = Do đặt a  1 x, b  1 y Từ giả thiết suy x  y  trang Phương pháp đổi biến số Ta có: a3  b3  a4  b4  (1 x)3  (1 y)3  (1 x)4  (1 y)4  (1 x)4  (1 y)4  (1 x)3  (1 y)3   x(1 x)3  y(1 y)3   x  y  3( x  y)( x2  xy  y2 )  3( x2  y2 )  x4  y4  ( Đúng x + y  0) Đẳng thức xảy  x = y = hay a = b = Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ 6: Cho a  Chứng minh rằng: E = a2 (2  a)  32   Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = Do đặt a   x Từ giả thiết suy x  Ta có: E = (4  x)2 (2   x)  x3  10x2  32x  x ( x  5)2  7  Đẳng thức xảy x = hay a = Vậy E  a2  b2  a  b Ví dụ 7: Cho ab  Chứng minh rằng:  Nhận xét: Dự đoán đẳng thức xảy a = b = Do đặt a  1 x; b  1 y Ta có: ab   (1 x)(1 y)   x  y  xy  Mặt khác: a2  b2  a  b  (1 x)2  (1 y)2  (1 x)  (1 y)  x2  y2  x  y  Lại có: x2  y2  2xy , với x, y nên ta có: x2  y2  x  y  ( x2  y2 )  xy  x  y  (Đúng xy + x + y  0) Đẳng thức xảy  x = y = hay a = b = Vậy BĐT chứng minh Dạng cho biết điều kiện tổng biến khơng ( khó) dự đốn điều kiện biến để đẳng thức xảy Đối với loại ta đổi biến 27 0  Đặt a = 1– x a + b = + y Từ giả thiết suy x, y  nên ta có: b = + x + y 27 25 Từ : F = 3(1– x)2  (2  x  y)2   3(1– x)(2  x  y) –  = x2  y2  5x  7y  xy  4 Ví dụ 8: Cho a  1; a + b  Chứng minh rằng: F = 3a2  b2  3ab   5 =  x  y    y2  y   2 Đẳng thức xảy  x = y = hay a =  b = 2 Vậy bất đẳng thức F  chứng minh Ví dụ 9: Cho a, b, c  [1; 3] a + b + c = Chứng minh rằng: a) a2  b2  c2   14 b) a3  b3  c3   36  Đặt a = x + 1; b = y + 1; c = z + Khi x, y, z  [0; 2] x + y + z = Giả sử x = max{x; y; z} suy ra: x + y+ z =  3x   x   (x –1)(x –2)  nên: x2  y2  z2   x2  ( y  z)2  x2  (3– x)2    2( x –1)( x –2)  5 Tức là: x2  y2  z2   (*) Tương tự ta chứng minh x3  y3  z3   9 (**) trang Phương pháp đổi biến số a) Ta có: a2  b2  c2  ( x  1)2  ( y  1)2  (z 1)2  x2  y2  z2  2( x  y  z)  (1) Thay (*) vào (1) ta có: a2  b2  c2   14 điều phải chứng minh b) Ta có: a3  b3  c3  ( x  1)3  ( y  1)3  (z 1)3  x3  y3  z3  3( x2  y2  z2 )  3( x  y  z)  (2) Thay (*) (**) vào (2) ta có: a3  b3  c3   36 điều phải chứng minh Ví dụ 10: Cho số thực a, b với a + b  Đặt c    Chứng minh:   ab  a2  b2      a b  1 ab Ta có: ab + bc + ca = –1 lúc BĐT cần chứng minh trở thành: a b a2  b2  c2   a2  b2  c2  2(ab  bc  ca)  (a  b  c)2  Vậy bất đẳng thức chứng minh (luôn đúng) Dạng bất đẳng thức với điều kiện cho ba số có tích x y z Cách1 : Đặt a  ; b  ; c  , với x, y, z  y z x Sau số ví dụ làm sáng tỏ điều Ví dụ 11: Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc = Chứng minh rằng: 1    a(b  1) b(c  1) c(a  1)  Nhận xét: a, b, c số thực dương abc = nên ta đặt: a x y z ; b  ; c  , với x, y, z số thực dương y z x 1 1        a(b  1) b(c  1) c(a  1) x y  y z  z x  1   1   1 y  z  z  x  x  y  yz zx xy     xy  zx yz  xy zx  yz Đây BĐT Néb–sít cho ba số dương xy, yz, zx, suy điều phải chứng minh Ta có: Ví dụ 12: (Ôlimpic quốc tế 2000) Cho a, b, c số thực dương thoả mãn abc =   1 1 Chứng minh rằng:  a     b     c     b  c  a   Nhận xét: a, b, c số thực dương thoả mãn abc = 1, nên ta đặt: x y z a  ; b  ; c  , với x, y, z số thực dương y z x  ( x  y  z)( y  z  x)( z  x  y)  1 1 1 Ta có:  a  1   b  1   c  1    b  c  a xyz   ( x  y  z)( y  z  x)(z  x  y)  xyz (*) Đặt x  m n; y  n  p; z  p  m Khi (*)  (m  n)(n  p)( p  m)  8mnp (**) Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số dương ta có: m  n  mn; n  p  np; p  m  pm trang Phương pháp đổi biến số Ba bất đẳng thức có hai vế dương nên nhân vế theo vế ta có bất đẳng thức cần chứng minh Chú ý: Ta chứng minh (*) theo cách sau đây: Do vai trò x, y, z có vai trò nhau, khơng tính tổng qt nên giả sử : x  y  z > Như x – y +z > y – z + x > + Nếu z – x + y  (*) hiển nhiên + Nếu z – x + y > 0, áp dụng BĐT Cơ–si cho hai số dương ta có: ( x  y  z)( y  z  x)  x ; ( y  z  x)(z  x  y)  y ; (z  x  y)( x  y  z)  z Nhân vế theo vế bất đẳng thức trên, suy (*) Vậy (*) cho x, y, z số thực dương, suy toán chứng minh Phát hiện: Việc đổi biến vận dụng (**) cách khéo léo giúp ta giải toán Ví dụ 13 sau đây: Ví dụ 13: (Ơlimpic quốc tế 2001) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: a b c    2 a  8bc b  8ca c  8ab  Đặt x  a ; y b ; z c a  8bc b  8ca c  8ab Ta thấy x, y, z dương BĐT cần chứng minh trở thành S = x  y  z  2 2   8bc a a2 1  Do x   x  =   2   x a a  bc a  8bc  a  8bc  8ca 8ab Tương tự ta có: ; 1  1  y2 b2 z2 c2     Suy ra: (1)   1  1  1  x  y   z Mặt khác S = x + y + z <  S2   S2   S2       1   1   1 thì: T =   1  1  1 >   z2  x2   y2  x2   y2   z2    – Ta thấy (S – x)(S – y)(S – z) =(x + y)(y + z)(z + x)  8xyz (theo (**) ví dụ 12) (2) – Với ba số dương x + y, y + z, z + x, ta lại có (S x)(S y)(S z)  64xyz (3) a – Nhân (2) (3) vế với vế, ta được: (S2 – x2 )(S2 – y2 )(S2 – z2 )  83 x2y2z2  S2  S2  S2   1  1  hay:   1   x2   y2   z2  Từ suy ra: T > mâu thuẩn với (1) Vậy S = x + y + z  1, tức toán chứng minh Ngược lại, số toán chứng minh bất đẳng thức mà biểu thức ( x y z biến đổi nó) có chứa biểu thức có dạng: ; ; , với x, y, z  Lúc việc y z x x y z đặt a  ; b  ; c  , với abc = phương pháp hữu hiệu, sau ví dụ y z x minh chứng điều này: trang Phương pháp đổi biến số Ví dụ 14: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: b c a a b c   1    1) 2) a  2b b  2c c  2a a  2b b  2c c  2a 1    1) BĐT  a b c 2 2 2 b c a a b c Đặt x  ; y  ; z  Ta có x, y, z số thực dương có tích xyz = b c a 1 1 1   1   1  Suy ra: a b c x  y  z 2 2 2 b c a  (x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2)(x + 2)  (x + 2)(y + 2)(z + 2)  (xy + yz + zx) + 4(x + y + z) + 12  xyz + 2(xy + yz + zx) + 4(x + y + z) +   xyz + xy + yz + zx   xy + yz + zx Đây bất đẳng thức áp dụng bất đẳng thức Cơ–si cho ba số dương ta có: xy  yz  zx  33 ( xyz)2  Suy điều phải chứng minh 2) Cách 1: Chứng minh tương tự câu 1)  b c a   a b c      Cách 2: Ta có:   3  a  2b b  2c c  2a   a  2b b  2c c  2a  Áp dụng kết toán 1), ta suy bất đẳng thức cần chứng minh Cách : Ngoài cách đặt a  x y z ; b  ; c  ta có cách đổi biến khác Cụ thể y z x ta xét ví dụ sau: Ví dụ 15: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = 1.Chứng minh: a b c     (a  1)2 (b  1)2 (c  1)2 (a  1)(b  1)(c  1) (*) 1 x 1 y 1 z 1 a 1 b 1 c ; b ; c ; y ; z  –1 thoả mãn a + b = Chứng minh:   14 ab a  b2 b) Cho a + b + c + d = Chứng minh: (a  c)(b  d)  2(ac  bd)  c) Cho a + b + c  Chứng minh: a4  b4  c4  a3  b3  c3 d) Cho a + b > b  Chứng minh: 27a2  10b3  945 1    Chứng minh: 8abc  Bài 2: Cho a, b, c số dương a1 b1 c 1 Bài 3: Cho ba số dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + a)  5(a + b + c) – Bài 4: Cho số dương a, b, c cho abc = Chứng minh: a b c3   3 (a  1)2 (b  1)2 (c  1)2 a b c Bài 5: Cho số dương a, b, c cho abc = Chứng minh:    (a  b  c  1) b c a Bài 6: Cho ba số a, b, c không âm thoả mãn: a + b + c = Chứng minh:  27(ab  bc  ca)  54abc  Bài 7: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh: 2(1 a2 )(1 b2 )(1 c2 )  (1 a)(1 b)(1 c)  2(1 abc) trang ... đúng, suy tốn chứng minh Đẳng thức xảy khi: a = b = c = trang Phương pháp đổi biến số II Các tập áp dụng : Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: a) Cho a, b > thoả mãn a + b = Chứng minh:   14... (1) xyz Tương tự ta biến đổi vế phải (*) biểu thức (1), suy đpcm = Đối với số toán chứng minh bất đẳng thức chứa ba biến a, b, c khơng âm có vai trò ta sử dụng phương pháp đổi biến sau: Đặt x ...  ; b  ; c  , với abc = phương pháp hữu hiệu, sau ví dụ y z x minh chứng điều này: trang Phương pháp đổi biến số Ví dụ 14: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: b c a a b c   1  