Đại số như một phân nhánh của toán họ

Đại số phân nhánh toán họ Mục lục Đại số 1.1 Từ nguyên 1.2 Đại số phân nhánh toán học 1.3 Lịch sử 1.3.1 Lịch sử ban đầu đại số 1.3.2 Lịch sử đại số 1.4 Các lĩnh vực toán học có tên gắn với đại số 1.5 Đại số sơ cấp 1.5.1 Đa thức 1.5.2 Giáo dục Đại số trừu tượng 1.6.1 Nhóm 1.7 Các chủ đề 1.8 Phương trình đại số 1.9 Biểu thức: 1.10 Linh tinh 1.11 Xem thêm 1.12 Sách tham khảo 1.13 am khảo 1.14 Liên kết 1.14.1 Tiếng Anh 1.6 Số Lucas 2.1 Số Lucas có số âm 2.2 Tính chất 2.2.1 Công thức tổng quát 2.2.2 Mối liên hệ với số Fibonacci 2.2.3 Khi số số nguyên tố 10 2.2.4 Tính chia hết số Lucas 10 2.2.5 Số nguyên tố Lucas 10 2.3 Đa thức Lucas 10 2.4 Xem thêm 10 2.5 Chú thích 10 i ii MỤC LỤC 2.6 Liên kết 10 2.7 Nguồn, người đóng góp, giấy phép cho văn hình ảnh 11 2.7.1 Văn 11 2.7.2 Hình ảnh 11 2.7.3 Giấy phép nội dung 11 Chương Đại số định Các phân ngành đối tượng toán học đại số trừu tượng gọi "đại số", từ sử dụng cụm từ đại số tuyến tính tô pô đại số 1.1 Từ nguyên Công thức giải phương trình bậc thể nghiệm phương trình bậc hai ax2 + bx + c = theo hệ số a, b, c , a ̸= "Đại số" từ Hán-Việt ( ), đến việc sử dụng ký hiệu để đại diện cho số Từ nhà toán học Đại số phân nhánh lớn toán học, với lý Trung ốc Lý iện Lan ( ) dịch từ khái niệm từ thuyết số, hình học giải tích eo nghĩa chung nhất, Tây phương Trong ngôn ngữ Tây phương, từ đại đại số việc nghiên cứu ký hiệu toán học quy số (algebra) phát nguồn từ tiếng Ả Rập ‫( الجـبر‬al-jabr, có tắc cho thao tác ký hiệu trên;[1] chủ đề nghĩa phục chế) Nó lấy từ tựa đề sách thống hầu hết tất lĩnh vực toán học.[2] Ilm al-jabr wa'l-muḳābala al-Khwarizmi Như vậy, đại số bao gồm tất thứ từ giải phương trình cấp tiểu học nghiên cứu trừu tượng nhóm, vành trường Phần đại 1.2 Đại số phân nhánh số gọi đại số sơ cấp, phần trừu tượng của toán học gọi đại số trừu tượng đại số đại Đại số sơ cấp thường coi cần thiết cho nghiên cứu toán học, khoa học, kỹ thuật nào, Đại số bắt đầu với tính toán tương tự số học, ứng dụng khác ngành y học kinh với chữ thay cho chữ số.[7] Điều cho phép chứng tế Đại số trừu tượng lĩnh vực quan trọng minh định lý hay công thức mà toán học tiên tiến, đối tượng nghiên cứu chủ yếu quan tâm đến số có liên quan Ví dụ, phương nhà toán học chuyên nghiệp Hầu hết thành trình bậc hai tựu môn đại số có nguồn gốc tiếng Ả Rập tên gợi ý, nhà toán học người Ba Tư nghiên cứu Trung Đông[3][4] ax2 + bx + c = 0, al-Khwārizmī (780–850)[5] and Omar Khayyam (1048– 1131).[6] a, b, c số (ngoại trừ a phải khác ), Đại số sơ cấp khác số học việc sử dụng khái công thức giải phương trình bậc hai sử niệm trừu tượng, chẳng hạn sử dụng chữ để dụng nhanh chóng dễ dàng tìm thấy giá trị thay cho số chưa biết cho phép có biến số x nhiều giá trị.[7] Ví dụ, phương trình x+2 = chữ x chưa biết, luật nghịch đảo sử dụng để tìm giá trị nó: x = Trong biểu thức E = mc , chữ E m biến số, chữ c số, tốc độ ánh sáng chân không Đại số tạo phương pháp để giải phương trình thể công thức dễ dàng (đối với người biết làm để sử dụng chúng) so với phương pháp cũ dùng ngôn ngữ viết tất thứ lời Trong trình phát triển, đại số mở rộng đến đối tượng số khác, chẳng hạn vectơ, ma trận đa thức Sau đó, thuộc tính cấu trúc đối tượng số tóm tắt để xác định cấu trúc đại số nhóm, vành trường Trước kỷ 16, toán học chia thành hai lĩnh vực số học hình học Mặc dù số phương pháp phát triển từ trước, coi đại số, xuất đại số, không lâu sau đó, phép vi phân tích phân lĩnh vực toán học Từ đại số sử dụng cách chuyên ngành CHƯƠNG ĐẠI SỐ có từ kỷ 16 17 Từ nửa sau kỷ 19 trở đi, nhiều lĩnh vực toán học xuất hiện, hầu hết số sử dụng số học hình học, gần tất số sử dụng đại số Ngày nay, đại số phát triển đến bao gồm nhiều ngành toán học, thấy Phân loại Chủ đề Toán học[8] nơi lĩnh vực số lĩnh vực mức độ (với hai chữ số) gọi đại số Ngày đại số bao gồm phần 08-Hệ thống đại số chung, 12-Lý thuyết trường đa thức, 13-Đại số giao hoán, 15-Đại số tuyến tính đại số đa tuyến; Lý thuyết ma trận, 16-Vành kết hợp đại số, 17-Vành không kết hợp đại số, 18-Lý thuyết thể loại; đại số đồng điều, 19-uyết K 20-Lý thuyết nhóm Đại số sử dụng rộng rãi 11-Lý thuyết số 14-Hình học đại số 1.3 Lịch sử 1.3.1 Lịch sử ban đầu đại số cách thuật toán Người Babylon phát triển công thức để tính toán lời giải cho toán mà ngày thường giải cách sử dụng phương trình tuyến tính, phương trình bậc hai, phương trình tuyến tính không xác định Ngược lại, hầu hết người Ai Cập thời đại này, nhà toán học Hy Lạp Trung ốc thiên niên kỷ TCN, thường giải phương trình phương pháp hình học, chẳng hạn mô tả sách toán viết giấy lau sậy Rhind, Cơ sở Euclid Cửu chương toán thuật Lời giải hình học người Hy Lạp, tiêu biểu Cơ sở, cung cấp khuôn khổ cho việc khái quát công thức không dành cho lời giải toán cụ thể mà đưa chúng vào hệ thống chung để mô tả giải phương trình, điều không thực toán học phát triển Hồi giáo thời kỳ Trung Cổ.[10] Đến thời Plato, toán học Hy Lạp trải qua thay đổi mạnh mẽ Người Hy Lạp cổ đại tạo dạng đại số hình học, từ ngữ đại diện bên đối tượng hình học, thường dòng kẻ với chữ liên kết bên cạnh.[7] Diophantus (thế kỷ 3) nhà toán học Hy Lạp Alexandria tác giả loạt sách có tên Arithmetica Những sách tập trung vào việc giải phương trình đại số,[11] đưa lý thuyết số đến với phương trình Diophantos Các phương pháp đại số hình học thảo luận có ảnh hưởng trực tiếp đến nhà toán học người Ba Tư Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (khoảng 780–850) Ông sau viết sách Cách tính toán dựa khôi phục cân Cuốn sách thức đưa đại số thành phân nhánh độc lập toán học, tách rời đại số khỏi hình học số học.[12] Một trang tác phẩm al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala Al-Khwārizmī Các nhà toán học thời Hellenistic Hero Alexandria Diophantus[13] nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta tiếp tục truyền thống Ai Cập Babylon, tác phẩm Arithmetica Diophantus tác phẩm Brāhmasphuṭasiddhānta Brahmagupta đẳng cấp cao hơn.[14] Ví dụ, giải pháp số học đầy đủ (bao gồm nghiệm số không số âm) phương trình bậc hai Brahmagupta mô tả sách Brahmasphutasiddhanta Sau đó, nhà toán học Ba Tư Ả Rập phát triển phương pháp đại số mức độ tinh tế cao nhiều Mặc dù Diophantus người Babylon sử dụng phương pháp chỗ đặc biệt để giải phương trình, đóng góp Al-Khwarizmi Ông giải phương trình tuyến tính phương trình bậc hai mà không dùng biểu tượng đại số, số âm số không, ông phải tách biệt phương trình bậc hai tổng quát thành số loại phương trình khác nhau.[15] Trong bối cảnh đại số xác định với lý thuyết phương trình, nhà toán học người Hy Lạp Cội nguồn đại số có nguồn gốc từ người Babylon Diophantus biết đến “cha đẻ đại số" cổ đại,[9] vốn phát triển hệ thống số học tiên thời gian gần có nhiều tranh tiến mà họ làm phép tính theo phong 1.4 CÁC LĨNH VỰC TOÁN HỌC CÓ TÊN GẮN VỚI ĐẠI SỐ luận việc liệu al-Khwarizmi, người sáng lập phép biến đổi al-jabr (khôi phục), xứng đáng với danh hiệu trên.[16] Những người ủng hộ Diophantus thực tế phép biến đổi đại số Al-Jabr có phần sơ cấp so sánh với phép biến đổi đại số Arithmetica Arithmetica ngắn gọn Al-Jabr hoàn toàn dùng ngôn ngữ thường.[17] Những người ủng hộ Al-Khwarizmi thực tế ông giới thiệu phương pháp “giảm” “cân bằng” (bỏ trừ hai vế phương trình cho số), từ có thuật ngữ al-jabr,[18] ông giải thích đầy đủ cách giải phương trình bậc hai,[19] kèm theo chứng minh hình học, coi đại số ngành độc lập riêng nó.[20] Đại số ông không liên quan “với loạt toán cần giải quyết, mà trở thành triển lãm bắt đầu với khái niệm nguyên thủy, trường hợp đưa phải bao gồm tất khả cho phương trình, điều rõ đối tượng thực việc nghiên cứu” Ông nghiên cứu phương trình không phụ thuộc vào toán “một cách chung chung, phương trình không đơn giản xuất trình giải toán, tạo để giải vô số toán loại”.[21] Một nhà toán học người Ba Tư khác Omar Khayyám ghi công với việc xác định tảng hình học đại số tìm thấy cách giải phương pháp hình học tổng quát phương trình bậc ba Tuy nhiên, nhà toán học người Ba Tư khác tên Sharaf al-Dīn al-Tusi, tìm thấy cách giải đại số số học cho hàng loạt trường hợp khác phương trình bậc ba.[22] Ông phát triển khái niệm hàm số.[23] Các nhà toán học Ấn Độ Mahavira Bhaskara II, nhà toán học Ba Tư Al-Karaji,[24] nhà toán học Trung ốc Chu ế Kiệt giải số phương trình bậc ba, bốn, năm bậc cao sử dụng phương pháp số Trong kỷ 13, cách giải phương trình bậc ba Fibonacci đại diện cho khởi đầu hồi sinh nghiên cứu đại số châu Âu Khi giới Hồi giáo dần suy tàn, giới châu Âu dần phát triển Và từ đại số phát triển 1.3.2 Lịch sử đại số François Viète người có nghiên cứu đại số vào cuối kỷ 16 Năm 1637, René Descartes xuất La Géométrie, phát kiến hình học giải tích giới thiệu ký hiệu đại số đại Các kiện quan trọng đánh dấu phát triển đại số giải pháp đại số chung phương trình bậc ba bậc bốn, phát triển vào kỷ 16 Ý tưởng định thức nhà toán học Nhật Seki Kōwa phát triển vào kỷ 17, với nghiên cứu độc lập Gofried Leibniz 10 năm sau nhằm giải hệ phương trình tuyến tính sử dụng ma trận Gabriel Cramer nghiên cứu ma trận định thức kỷ 18 Hoán vị Joseph-Louis Lagrange Nhà toán học người Ý Girolamo Cardano công bố lời giải phương trình bậc bậc vào năm 1545 sách Ars magna ông phân tích luận văn năm 1770 Réflexions sur la résolution algébrique des équations, tập trung vào lời giải phương trình đại số, ông giới thiệu đa thức giảm bậc Lagrange Paolo Ruffini người phát triển lý thuyết nhóm hoán vị, người trước, tập trung vào việc giải phương trình đại số Đại số trừu tượng phát triển kỷ 19, xuất phát từ quan tâm tới việc giải phương trình, ban đầu tập trung vào gọi lý thuyết Galois, vấn đề số có khả xây dựng.[25] George Peacock người sáng lập tư tiên đề số học đại số Augustus De Morgan phát kiến đại số quan hệ sách Syllabus of a Proposed System of Logic Josiah Willard Gibbs phát triển đại số vectơ không gian ba chiều, Arthur Cayley phát triển đại số ma trận (đây đại số không giao hoán).[26] 1.4 Các lĩnh vực toán học có tên gắn với đại số Một số lĩnh vực toán học thuộc đại số trừu tượng có tên gắn với đại số; đại số tuyến tính ví dụ Một số khác tên gắn với đại số, chẳng hạn lý thuyết nhóm, lý thuyết vành lý thuyết trường Trong phần liệt kê số lĩnh vực toán học với từ CHƯƠNG ĐẠI SỐ "đại số" tên • Đại số sơ cấp phần đại số thường dạy khóa học toán học • Đại số trừu tượng, cấu trúc đại số nhóm, vành trường định nghĩa tìm hiểu • Đại số tuyến tính nghiên cứu tính chất phương trình tuyến tính, không gian vectơ ma trận • Trong logic, • Đại số quan hệ: tập hợp quan hệ đóng với toán tử định • Đại số Boole, cấu trúc trừu tượng hóa tính toán với giá trị luân lý sai Các cấu trúc có tên • Đại số Heyting 1.5 Đại số sơ cấp • Đại số giao hoán, nghiên cứu vành giao hoán • Đại số máy tính, nghiên cứu cách thực phương pháp đại số thuật toán chương trình máy tính • Đại số đồng điều, nghiên cứu cấu trúc đại số mà tảng cho nghiên cứu không gian tôpô • Đại số phổ quát, nghiên cứu tính chất tất cấu trúc đại số • Lý thuyết số đại số, thuộc tính số nghiên cứu từ quan điểm đại số • Hình học đại số, chi nhánh hình học, dạng nguyên thuỷ xác định đường cong bề mặt lời giải phương trình đa thức • Tổ hợp đại số, phương pháp đại số sử dụng để nghiên cứu toán tổ hợp Nhiều cấu trúc toán gọi đại số: • Đại số trường đại số vành Nhiều nhóm đại số trường vành có tên cụ thể: • Đại số giao hoán • Đại số không giao hoán • Đại số Lie • Đại số Hopf • Đại số C* • Đại số đối xứng • Đại số • Đại số Tensor • Trong lý thuyết đo • Đại số sigma • Đại số tập hợp • Trong lý thuyết phân loại • Đại số F F-coalgebra • Đại số T Ký hiệu biểu thức đại số: – số mũ – hệ số – đơn thức – phép toán – số x y c – biến số/hằng số Đại số sơ cấp hình thức đại số Nó dạy cho học sinh kiến thức toán học nguyên tắc số học Trong số học, số phép toán số học (chẳng hạn +, -, ×, ÷) dùng Trong đại số, số thường biểu diễn ký hiệu gọi biến số (như a, n, x, y z) Điều hữu ích vì: • Nó cho phép viết định luật chung số học (như a + b = b + a cho a b), bước để khám phá cách hệ thống thuộc tính hệ thống số thực • Nó cho phép tham chiếu đến số “chưa biết”, xây dựng phương trình nghiên cứu làm để giải chúng (Ví dụ, “Tìm số x cho 3x + = 10” xa “Tìm số x cho ax + b = c" Bước trừu tượng dẫn đến kết luận việc giải phương trình không liên quan đến chất số cụ thể mà liên quan đến cách giải phương trình trên.) • Nó cho phép mô tả quan hệ hàm số (Ví dụ, “Nếu bạn bán x vé, lợi nhuận bạn 3x − 10 đồng, f (x) = 3x − 10, f hàm số, x số mà hàm số dùng để tính toán”.) 1.6 ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG 1.5.1 Đa thức cho việc giảng dạy đại số kết hợp thông tin phản hồi từ phần mềm máy tính chuyên ngành với phương pháp dạy thầy trò dạy kèm nhóm nhỏ, điều làm giảm chi phí tăng thành tích cho học sinh.[29] 1.6 Đại số trừu tượng Đại số trừu tượng mở rộng khái niệm quen thuộc đại số sơ cấp số học với số đến khái niệm tổng quát Dưới liệt kê khái niệm đại số trừu tượng Tập hợp: ay xem xét loại số khác nhau, đại số trừu tượng làm việc với khái niệm tổng quát - tập hợp: loạt tất đối tượng (gọi phần tử) lựa chọn theo đặc điểm Tất nhóm loại số quen thuộc tập hợp Ví dụ khác tập hợp bao gồm tập hợp tất ma trận hai-nhân-hai, tập hợp tất đa thức bậc hai (ax + Đồ thị hàm đa thức bậc bx + c), tập hợp tất vectơ hai chiều mặt phẳng, hàng loạt nhóm hữu hạn nhóm Một đa thức biểu thức gồm tổng số hữu cyclic, nhóm số nguyên đồng dư modulo n hạn đơn thức khác không, đơn thức bao gồm Lý thuyết tập hợp nhánh logic mặt lý tích số số hữu hạn biến số thuyết nhánh đại số với số mũ số nguyên Ví dụ, x + 2x − đa thức biến số x Một biểu thức đa thức biểu Phép toán hai ngôi: Dấu phép cộng (+) trừu thức viết lại đa thức, cách sử tượng hóa để dùng cho phép toán hai ngôi, chẳng hạn dụng phép giao hoán, kết hợp phân phối phép phép ∗ Các khái niệm phép toán hai vô nghĩa cộng phép nhân Ví dụ, (x − 1)(x + 3) biểu tập hợp mà phép toán định thức đa thức, nói cho nghĩa Đối với hai phần tử a b tập S, a ∗ đa thức Một hàm đa thức hàm định nghĩa b phần tử cúa S; điều kiện gọi đa thức biểu thức đa thức Hai ví tính đóng tập hợp phép toán Phép cộng (+), phép trừ (−), phép nhân (×), phép chia (÷) dụ định nghĩa hàm đa thức phép toán hai xác định tập hợp khác Hai vấn đề quan trọng có liên quan đại số nhau, phép cộng phép nhân ma trận, nhân tử đa thức, nghĩa thể đa thức vectơ đa thức tích đa thức khác mà giảm bậc nữa, việc tính toán ước chung lớn Phần tử đơn vị: Những số trừu tượng đa thức Ví dụ đa thức viết thành hóa để tạo khái niệm phần tử đơn vị cho nhân tử (x − 1)(x + 3) Một nhóm toán có phép toán phần tử đơn vị cho phép cộng liên quan tìm nghiệm số đa thức biến phần tử đơn vị cho phép nhân Đối với phép toán hai ∗ phần tử đơn vị e phải thỏa mãn a ∗ e = a e số thức ∗ a = a, tồn phải Điều với phép cộng a + = a + a = a phép nhân a × = a × a = a Không phải tất 1.5.2 Giáo dục tập hợp phép toán hai có phần tử đơn Môn đại số sơ cấp gợi ý cần phải dạy cho vị; Ví dụ, tập hợp số tự nhiên (1, 2, 3,…) phần học sinh độ tuổi mười một,[27] tử đơn vị cho phép cộng năm gần môn bắt đầu dạy cấp lớp tám Phần tử nghị đảo: Các số âm đưa khái niệm (≈ 13 tuổi) Mỹ.[28] phần tử nghịch đảo Đối với phép cộng, phần tử nghịch Tại Việt Nam, môn đại số dạy tích hợp với môn đảo a viết -a, cho phép nhân phần tử Toán ba lớp 7, 8, (12, 13, 14 tuổi), thức viết a−1 Một yếu tố đảo ngược tổng quát a−1 dạy môn độc lập từ năm lớp 10 (15 tuổi) thỏa mãn thuộc tính: a * a−1 = e a−1 * a = e, Kể từ năm 1997, Virginia Tech số trường đại học e phần tử đơn vị khác Mỹ bắt đầu sử dụng mô hình cá nhân Tính kết hợp: Phép cộng số nguyên có thuộc CHƯƠNG ĐẠI SỐ tính gọi kết hợp Nghĩa là, việc nhóm số thêm vào không ảnh hưởng đến tổng Ví dụ: (2 + 3) + = + (3 + 4) Nói chung, điều trở thành (a * b) * c = a * (b * c) uộc tính với hầu hết phép toán nhị phân, trừ phép trừ phép chia phép nhân octonon Tính giao hoán: Phép cộng phép nhân số thực giao hoán Điều nghĩa thứ tự số không ảnh hưởng đến kết Ví dụ: + = + Nói chung, điều trở thành a * b = b * a uộc tính không cho tất phép toán nhị phân Ví dụ, phép nhân ma trận phép chia bậc bốn không giao hoán • Các nhóm sóng • Các phép biến đổi đại số • Các phương trình đại số • Các tính chất đại số • Các tổng đại số • Cyclotomy • Dạng bình phương • Đại số đồng điều • Đại số không giao hoán 1.6.1 Nhóm • Đại số phổ dụng • Đại số tuyến tính • Đại số tổng quát Kết hợp khái niệm cho cấu trúc quan trọng toán học: nhóm Một nhóm kết hợp tập hợp S phép toán nhị phân nhất, xác định theo cách bạn chọn, với thuộc tính sau: • Một phần tử đơn vị e tồn tại, cho thành viên a thuộc S, e ∗ a a ∗ e a • Mỗi phần tử có phần tử nghịch đảo: thành viên a thuộc S, tồn thành viên a−1 cho a ∗ a−1 a−1 ∗ a phần tử đơn vị e • Phép toán mang tính kết hợp: a, b c thành viên S, (a ∗ b) ∗ c a ∗ (b ∗ c) Nếu nhóm có tính giao hoán - nghĩa là, với hai thành viên a b S, a * b b * a - nhóm gọi nhóm giao hoán hay nhóm Abel 1.7 Các chủ đề Dưới số chủ đề đại số: • Đại số véctơ • Đại số vô hướng • Hình học đại số • Lý thuyết giá trị • Lý thuyết mã hoá • Lý thuyết nhóm • Lý thuyết nửa nhóm • Lý thuyết số • Lý thuyết trường đại số • Lý thuyết vành 1.8 Phương trình đại số • Phương trình tuyến tính • Phương trình bậc hai • Phương trình bậc ba • Các bất biến đại số • Phương trình lũy thừa • Các đa thức • Phương Trình Đạo Hàm • Các đại số mang tên người • Các đẳng thức đại số 1.9 Biểu thức: • Các đường cong đại số Tam thức bậc hai • Các đường cong elíp Nhị thức bậc • Các nhân thức Biểu thức Đại số 1.13 THAM KHẢO 1.10 Linh tinh Từ đại số sử dụng cho cấu trúc đại số khác: • Đại số trường (K-algebra) • Đại số tập hợp • Đại số Bool • Đại số sigma (σ-algebra) 1.11 Xem thêm • Hệ thống đại số máy tính • Diophantus, “cha đẻ đại số" • Mohammed al-Khwarizmi, biết đến “cha đẻ đại số" 1.12 Sách tham khảo • Boyer, Carl B (1991), A History of Mathematics , John Wiley & Sons, Inc., ISBN 0-471-54397-7 • Donald R Hill, Islamic Science and Engineering (Edinburgh University Press, 1994) • Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, Introducing Mathematics (Totem Books, 1999) • George Gheverghese Joseph, e Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Penguin Books, 2000) • John J O'Connor and Edmund F Robertson, History Topics: Algebra Index In MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews, 2005) • I.N Herstein: Topics in Algebra ISBN 0-471-02371X • R.B.J.T Allenby: Rings, Fields and Groups ISBN 0340-54440-6 • L Euler: Elements of Algebra, ISBN 978-1-89961873-6 • Asimov, Isaac (1961) Realm of Algebra Houghton Mifflin 1.13 Tham khảo [1] I N Herstein, Topics in Algebra, “An algebraic system can be described as a set of objects together with some operations for combining them.” p 1, Ginn and Company, 1964 [2] I N Herstein, Topics in Algebra, "…it also serves as the unifying thread which interlaces almost all of mathematics.” p 1, Ginn and Company, 1964 [3] “Omar Khayyam Persian poet and astronomer” Encyclopedia Britannica Truy cập tháng 12 năm 2016 [4] Poole, David (2010) Linear Algebra: A Modern Introduction (ấn 3) Cengage Learning tr 91 ISBN 978-0-538-73545-2 [5] Pickover, Clifford A (2009) e Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics Sterling Publishing Company tr 84 ISBN 978-1-4027-5796-9 [6] “Omar Khayyam” Encyclopedia Britannica Truy cập ngày tháng 10 năm 2014 [7] (Boyer 1991, “Europe in the Middle Ages” p 258) “In the arithmetical theorems in Euclid’s Elements VII-IX, numbers had been represented by line segments to which leers had been aached, and the geometric proofs in al-Khwarizmi’s Algebra made use of leered diagrams; but all coefficients in the equations used in the Algebra are specific numbers, whether represented by numerals or wrien out in words [8] “2010 Mathematics Subject Classification” Truy cập ngày tháng 10 năm 2014 [9] Struik, Dirk J (1987) A Concise History of Mathematics New York: Dover Publications ISBN 0-486-60255-9 [10] Boyer 1991 [11] Cajori, Florian (2010) A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching tr 34 ISBN 1-4460-2221-8 [12] Roshdi Rashed (tháng 11 năm 2009) “Al Khwarizmi: e Beginnings of Algebra” Saqi Books ISBN 0-86356-4305Bản mẫu:Inconsistent citations [13] “Diophantus, Father of Algebra” Truy cập ngày tháng 10 năm 2014 [14] “History of Algebra” Truy cập ngày tháng 10 năm 2014 [15] Josef W Meri (2004) Medieval Islamic Civilization Psychology Press tr 31 ISBN 978-0-415-96690-0 Truy cập ngày 25 tháng 11 năm 2012 [16] Boyer, Carl B (1991) A History of Mathematics Wiley tr 178, 181 ISBN 0-471-54397-7 [17] Boyer, Carl B (1991) A History of Mathematics Wiley tr 228 ISBN 0-471-54397-7 8 CHƯƠNG ĐẠI SỐ [18] (Boyer 1991, “e Arabic Hegemony” p 229) “It is not certain just what the terms al-jabr and muqabalah mean, but the usual interpretation is similar to that implied in the translation above • 4000 Years of Algebra, lecture by Robin Wilson, at Gresham College, ngày 17 tháng 10 năm 2007 (available for MP3 and MP4 download, as well as a text file) [19] (Boyer 1991, “e Arabic Hegemony” p 230) “e six cases of equations given above exhaust all possibilities for linear and quadratic equations having positive root • Algebra - mục từ Stanford Encyclopedia of Philosophy [20] Gandz and Saloman (1936), e sources of alKhwarizmi’s algebra, Osiris i, p 263–277: “In a sense, Khwarizmi is more entitled to be called “the father of algebra” than Diophantus because Khwarizmi is the first to teach algebra in an elementary form and for its own sake, Diophantus is primarily concerned with the theory of numbers” [21] Rashed, R.; Armstrong, Angela (1994) e Development of Arabic Mathematics Springer tr 11–2 ISBN 0-79232565-6 OCLC 29181926Bản mẫu:Inconsistent citations [22] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Sharaf alDin al-Muzaffar al-Tusi”, Bộ lưu trữ lịch sử toán học MacTutor [23] Victor J Katz, Bill Barton; Barton, Bill (tháng 10 năm 2007) “Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching” Educational Studies in Mathematics (Springer Netherlands) 66 (2): 185–201 [192] doi:10.1007/s10649-006-9023-7Bản mẫu:Inconsistent citations [24] (Boyer 1991, “e Arabic Hegemony” p 239) “Abu'l Wefa was a capable algebraist as well as a trigonometer [25] "e Origins of Abstract Algebra" [26] "e Collected Mathematical Papers" [27] “Hull’s Algebra” (pdf) New York Times Ngày 16 tháng năm 1904 Truy cập ngày 21 tháng năm 2012 [28] aid, Libby (ngày 22 tháng năm 2008) “Kids misplaced in algebra” (Report) Associated Press Truy cập ngày 23 tháng năm 2012 [29] Hamilton, Reeve (ngày tháng năm 2012) “THE TEXAS TRIBUNE; U.T.-Arlington Adopts New Way to Tackle Algebra” e New York Times Truy cập ngày 10 tháng năm 2012 1.14 Liên kết 1.14.1 Tiếng Anh • Khan Academy: Conceptual videos and worked examples • Khan Academy: Origins of Algebra, free online micro lectures • Algebrarules.com: An open source resource for learning the fundamentals of Algebra Chương Số Lucas Số Lucas dãy số đặt tên nhằm vinh danh ( nhà toán học François Édouard Anatole Lucas (1842– √ )n √ )n ( + − 1891), người nghiên cứu dãy số Fibonacci, dãy số L = φn +(1−φ)n = φn +(−φ)−n = + , n 2 Lucas dãy tương tự Giống dãy Fibonacci, số dãy Lucas tổng hai số liền trước Dãy số gồm thương hai số Lucas liền với φ Tỉ lệ vàng hội tụ đến giới hạn tỉ lệ vàng Một tính chất thú vị, Ln số nguyên gần với φn Tuy khác với dãy Fibonacci, hai số dãy Lucas L0 = L1 = (trong dãy Fibonacci 1) Chính mà số tính chất số Lucas 2.2.2 Mối liên hệ với số Fibonacci khác với số Fibonacci Công thức truy hồi dãy:   2 Ln :=   Ln−1 + Ln−2 Số Lucas liên hệ với số Fibonacci đẳng thức sau: if n = 0; if n = 1; if n > • Ln = Fn−2 + Fn • tổng quát công thức sau: Ln = Fk+2 Ln−k + Fk+1 Ln−k−1 với k