Đứng giảng và các sinh viênsửa sửa mã nguồn

Nghiên cứu về bất biến vi phântrongphép tính biến phân, hayđịnh lý Noether, đã trởthành “một trong những định lý toán học quan trọngnhất từng được chứng minh giúp thúc đẩy sự pháttriển c

Đứng giảng và các sinh viên[sửa | sửa mã

nguồn]

Emmy Noether (tiếng Đức:[ˈnøːtɐ]; tên đầy đủ Amalie

Emmy Noether;[1] 23 tháng 3 năm 1882 – 14 tháng 4

năm 1935), lànhà toán họccó ảnh hưởngngười Đức

nổi tiếng vì những đóng góp nền tảng và đột phá trong

lĩnh vực đại số trừu tượngvà vật lý lý thuyết Được

Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné,

Hermann Weyl,Norbert Wienervà những người khác

miêu tả là một trong những nhà nữ toán học quan trọng

nhất trong lịch sử toán học,[2][3] bà đã làm nên cuộc

cách mạng trong lý thuyếtvành,trường, vàđại số trên

một trường Trong vật lý học,định lý Noethergiải thích

mối liên hệ sâu sắc giữa tínhđối xứngvà cácđịnh luật

bảo toàn.[4]

Bà sinh ra trong một gia đình ngườiDo áiở thị trấn

Erlangen vùngBavaria; cha bà là nhà toán học Max

Noether Emmy lúc đầu định theo nghề dạy học tiếng

Pháp và tiếng Anh sau khi thi đỗ kỳ thi tuyển, nhưng

bà đã chuyển sang nghiên cứu toán ởĐại học Erlangen

nơi cha bà đang giảng dạy Sau khi hoàn thành luận

án vào năm 1907 dưới sự hướng dẫn của giáo sưPaul

Gordan, bà làm việc không lương tại Viện Toán học

Erlangen trong vòng 7 năm (ở thời điểm đó phụ nữ

không được chấp thuận bất kỳ một vị trí hàn lâm nào)

Năm 1915, nhà toán họcDavid HilbertvàFelix Kleinđã

mời bà gia nhập khoa Toán ở trườngĐại học Göingen,

một trung tâm nghiên cứu toán học nổi tiếng thế giới

Tuy vậy, những người trong khoa Triết học đã phản đối

mạnh, và bà đã phải giảng dạy tại trường bốn năm dưới

tên của giáo sư Hilbert Chức danhhabilitationcủa bà

được chấp nhận vào năm 1919, cho phép bà có học vị

Privatdozent

Noether là một trong các thành viên hàng đầu của khoa

toán Đại họcGöingen cho tới năm 1933; trong giai

đoạn này các sinh viên của bà được gọi là “các chàng

trai Noether” Năm 1924, nhà toán học Hà LanB L

van der Waerden gia nhập nhóm của bà và sớm trở

thành chuyên gia hàng đầu giải thích và truyền bá các

ý tưởng của Noether: nghiên cứu của bà là cơ sở cho

tập hai của cuốn sách có ảnh hưởng của ông viết năm

1931,Moderne Algebra Trong thời gian diễn ra phiên

họp toàn thể củaĐại hội các nhà toán học quốc tếnăm

1932 ởZürich, các công trình về đại số của bà đã được

thế giới công nhận Năm sau, chính phủĐức ốc xãra

lệnh cho thôi mọi chức vụ đại học đối với người Do ái

ở Đức, do vậy Noether đã phải chuyển đến Hoa Kỳ để

giảng dạy tạiBryn Mawr CollegebangPennsylvania

Năm 1935 bà trải qua một cuộc phẫu thuật vìu nang

buồng trứngvà tuy có dấu hiệu bình phục, bà đã quađời bốn ngày sau đó ở tuổi 53

Các công trình toán học của Noether được chia thành

ba “kỷ nguyên” chính.[5]Trong giai đoạn (1908–19), bà

có những đóng góp quan trọng cho lý thuyết cácbấtbiến đại sốvàtrường số Nghiên cứu về bất biến vi phântrongphép tính biến phân, hayđịnh lý Noether, đã trởthành “một trong những định lý toán học quan trọngnhất từng được chứng minh giúp thúc đẩy sự pháttriển của vật lý hiện đại”.[6] Trong kỷ nguyên thứ hai(1920–26), bà bắt đầu công trình mà “thay đổi bộ mặtcủa đại số [trừu tượng]".[7] Trong bài báo Idealtheorie

in Ringbereichen (Lý thuyết các iđêan trong miền vành,

1921) Noether phát triển lý thuyếtiđêan trong vànhgiao hoántrở thành một công cụ mạnh với ứng dụngrộng rãi trên nhiều lĩnh vực Bà sử dụng một cách thanhthoátđiều kiện dây chuyền tăng dần, và các đối tượngthỏa mãn chúng được mang tên Noetherian để vinhdanh bà Trong kỷ nguyên thứ ba (1927–35), bà công bốchủ yếu các công trình trongđại số không giao hoán

và số siêu phứccũng như thống nhấtlý thuyết biểudiễn nhómvới lý thuyếtmô đunvà iđêan Ngoài chínhcác bài viết của bà, Noether còn có nhiều ý tưởng khác

và những ý tưởng này được công nhận trong một vàilĩnh vực nghiên cứu bởi các nhà toán học khác, ngay cảtrong lĩnh vực không có liên quan gì tới các công trìnhcủa bà, nhưtô pô đại số

2 1 TIỂU SỬ

thương gia ở Đức Ông mắc chứngbại liệtlúc 14 tuổi

Sau này ông có thể đi lại được nhưng với một chân vẫn

bị ảnh hưởng Chủ yếu tự học, năm 1868 ông nhận bằng

tiến sĩ tạiĐại học Heidelberg Sau khi giảng dạy ở đây

trong 7 năm, ông đảm nhiệm một vị trí trong thành phố

Erlangen, nơi ông gặp và cưới Ida Amalia Kaufmann,

con gái của một thương nhân giàu có.[8][9][10][11]Đóng

góp toán học của Max Noether phần lớn trong lĩnh vực

hình học đại số, tiếp bước trên những công trình của

Alfred Clebsch Ông nổi tiếng với các kết quả nhưđịnh

lý Brill–Noetherhayđịnh lý AF+BG; một số định lý khác

cũng gắn liền với tên tuổi của ông, chẳng hạn nhưcác

định lý Max Noether

Emmy Noether sinh ngày 23 tháng 3 năm 1882, là chị

cả trong bốn người con Tên gọi thứ nhất của bà là

“Amalie”, giống với tên của mẹ và bà ngoại, nhưng bà

đã chuyển sang dùng tên đệm từ lúc còn trẻ Là một

thiếu nữ, bà được khá nhiều sự quan tâm Bà không nổi

bật hẳn trong học tập mặc dù bà là người thông minh

và thân thiện Emmy bịcận thịvà nói một chútngọng

ngịulúc thiếu niên Một người bạn của gia đình nhớ

lại câu chuyện nhiều năm sau đó về bé Emmy nhanh

chóng giải được câu đố của giáo viên ở một bữa tiệc cho

thiếu nhi, cho thấy sự nhạy bén trong tư duy logic của

bà lúc còn trẻ.[12] Emmy cũng học nấu ăn và dọn dẹp,

như đa số con gái thời đó, và bà còn học chơi piano Bà

không thích thú lắm với những hoạt động này, mặc dù

bà khá yêu thích các điệu nhảy.[13][9]

Dưới bà là ba người em trai Người lớn nhất, Alfred,

sinh năm 1883, nhận bằng tiến sĩhóa họcở Erlangen

năm 1909, nhưng ông đã mất chín năm sau đó.Fritz

Noether, sinh năm 1884, được nhớ tới với các thành tựu

trong nghiên cứu toán học, sau khi học ởMunichông

thực hiện nghiên cứu trong lĩnh vựctoán học ứng dụng

Người em út, Gustav Robert, sinh năm 1889, ông bị ốm

và qua đời năm 1928.[14][15]

1.1 Đại học Erlangen

Emmy Noether sớm bộc lộ khả năng học giỏi môn tiếng

Anh và tiếng Pháp Mùa xuân năm 1900 bà tham dự kỳ

thi kiểm tra đối với giáo viên dạy các thứ tiếng này

và nhận được điểm tốt ở kết quả đánh giá ời này, ở

trường học cho phép các giáo viên nữ có thể dạy ngoại

ngữ, nhưng cuối cùng bà lại chọn tiếp tục nghiên cứu

tạiĐại học Erlangen

Đây là một quyết định bất thường; hai năm trước đó,

Ủy ban giáo dục các trường học quyết định cho phép

giáo dục cả nam và nữ lẫn nhau và “làm thay đổi hoàn

toàn trật tự trong giới giáo dục hàn lâm”.[16] Là một

trong hai học sinh nữ trong số 986 học sinh, Noether

chỉ được phép học ở một số lớp nhất định hơn là tham

gia đầy đủ vào mọi môn học, và ở lớp mà bà muốn tham

dự cần có sự cho phép của thầy giáo sẽ giảng dạy tại

lớp đó Mặc dù với những cản trở như thế, bà thi đỗ kỳ

thi tốt nghiệp ngày 14 tháng 7 năm 1903 ở trường phổ

Thầy hướng dẫn luận án tiến sĩ của Noether, Paul Gordan , với chủ đề về những bất biến của các dạng trùng phương.

thông tạiNuremberg.[17][18][19]

Trong năm học 1903–04, bà học tạiĐại học Göingen,tham dự các bài giảng của nhà thiên văn học

Karl Schwarzschild và các nhà toán học HermannMinkowski, Oo Blumenthal, Felix Klein, và DavidHilbert Ngay sau đó, sự giới hạn phụ nữ tham gia ởtrường đại học này đã được hủy bỏ hoàn toàn.Noether trở lại Erlangen Bà chính thức quay lại họcđại học vào ngày 24 tháng 10 năm 1904 với quyết địnhtập trung vào nghiên cứu toán học Dưới sự hướng dẫncủaPaul Gordanbà viết luận án, Über die Bildung des

Formensystems der ternären biquadratischen Form (Về các hệ bất biến đầy đủ của những dạng trùng phương

ba biến, 1907) Mặc dù luận án này được đánh giá cao,

Noether sau này nhớ lại và miêu tả luận án là một “mớtào lao”.[20][21][22]

Trong bảy năm tiếp theo (1908–15) bà giảng dạy tạiViện toán học Đại học Erlangen mà không có lương,

và thường đảm nhiệm thay thế cho bố bà khi ông quá

ốm để đứng giảng Năm 1910 và 1911 bà công bố nghiên

cứu mở rộng luận án từ ba biến thành n biến số.

Gordan nghỉ hưu vào mùa xuân năm 1910 nhưng ôngtiếp tục giảng dạy cùng với người kế nhiệm ErhardSchmidt, người vừa mới rời vị trí ở Breslau Gordanngừng giảng dạy hoàn toàn vào năm 1911 khi người kếnhiệm của SchmidtErnst Fischerđến, và Gordan quađời tháng 12 năm 1912

eoHermann Weyl, Fischer có ảnh hưởng quan trọngtới Noether, đặc biệt khi ông giới thiệu bà đến vớinhững công trình củaDavid Hilbert Từ 1913 đến 1916Noether công bố một số bài báo mở rộng và áp dụngphương pháp của Hilbert cho các đối tượng toán họcnhưtrườngcáchàm hữu tỉvàlý thuyết bất biến của

nhóm hữu hạn Giai đoạn này đánh dấu sự khởi đầucủa bà trong lĩnh vựcđại số trừu tượng, lĩnh vực mà bà

đã có những đóng góp đột phá

1.2 Đại học Göttingen 3

Noether đôi khi viết lên bì thư nội dung trao đổi về đại số trừu

tượng với đồng nghiệp Ernst Fischer Bưu thư này đề ngày 10

tháng 4 năm 1915.

Noether và Fischer thường chia sẻ niềm vui toán học

và thảo luận rất lâu về bài giảng sau khi lớp học đã kết

thúc; Noether gửi các bưu thiếp đến Fischer nhằm tiếp

tục diễn giải các ý tưởng toán học của bà.[23][24][25]

1.2 Đại học Göttingen

Mùa xuân 1915, David Hilbert và Felix Klein mời

Noether trở lại Đại học Göingen Tuy nhiên nỗ lực

của họ khôi phục lại vị trí của bà đã bị cản trở bởi

các nhà triết học và lịch sử ở khoa Triết học: phụ nữ,

họ quả quyết, không nên được trao vị trí privatdozent.

Một thành viên chống đối rằng: “Những người lính của

chúng ta sẽ nghĩ như thế nào khi họ trở lại trường đại

học và nhận thấy họ đang học dưới sự hướng dẫn của

một người phụ nữ?"[26][27][28][29]Hilbert đáp lại bằng sự

phẫn nộ, “Tôi không nhận thấy rằng giới tính của ứng

cử viên là một luận điểm chống lại vị trí privatdozent

của cô ấy Sau cùng, đây là trường đại học chứ không

phải là nhà tắm.”[26][27][28][29]

Noether rời Göingen vào cuối tháng 4; hai tuần sau đó

mẹ bà đột ngột qua đời ở Erlangen Trước đó mẹ bà đã

được chăm sóc cẩn thận, nhưng nguồn gốc căn bệnh và

nguyên nhân qua đời đã không được bác sĩ biết Trong

thời gian này bố của Noether nghỉ hưu và người em

bà gia nhậpquân đội Đứcnhằm phục vụ trongchiến

tranh ế giới lần thứ nhất Bà trở lại Erlangen trong

vài tuần chủ yếu để chăm sóc cho bố bà.[30]

Trong những năm đầu dạy tại Göingen, bà không có

Năm 1915 David Hilbert mời Noether gia nhập khoa Toán Göttingen, thách thức quan điểm của một số đồng nghiệp rằng không nên cho phép phụ nữ giảng dạy đại học.

một vị trí chính thức nào cũng như không được trảlương; gia đình bà đã trả tiền phòng trọ và ủng hộ sựnghiệp hàn lâm của bà Các tiết giảng của bà thường đểtên Hilbert, và Noether được coi như “người trợ giảng”của ông

Tuy nhiên, ngay sau khi đến Göingen, Noether đã thểhiện khả năng bằng chứng minh một định lý mà ngàynay gọi làđịnh lý Noether, chứng tỏ rằng cácđịnh luậtbảo toàncó mối liên hệ mật thiết với tính đối xứng của

hệ vật lý khả vi.[28][29]Các nhà vật lý Hoa KỳLeon M.LedermanvàChristopher T Hillviết trong cuốn sách

của họ Symmetry and the Beautiful Universe rằng định

lý Noether “rõ ràng là một trong những định lý toánhọc quan trọng nhất từng được chứng minh trong địnhhướng sự phát triển của vật lý hiện đại, có thể sánhngang hàng vớiđịnh lý Pytago".[6]

Khoa Toán đại học Göttingen chấp nhận luận án của Noether (habilitation) năm 1919, bốn năm sau khi bà bắt đầu dạy tại đây.

4 1 TIỂU SỬ

Khi chiến tranh thế giới lần thứ nhất kết thúc,Cuộc

Cách mạng Đức 1918–19mang lại sự thay đổi lớn trong

quan điểm của xã hội, bao gồm thêm nhiều quyền cho

phụ nữ Năm 1919 Đại học Göingen cho phép Noether

viết luận án habilitation (luận án sau tiến sĩ) Cuộc

thuyết trình của bà diễn ra vào cuối tháng 5 và bài giảng

habilitation diễn ra thành công vào tháng 6.

Ba năm sau bà nhận được lá thư từ Bộ trưởng Khoa

học, Nghệ thuật và Giáo dục công của Phổ, trong đó

ông công nhận bà là nicht beamteter ausserordentlicher

Professor (vị giáo sư không chức danh với những quyền

và chức năng quản trị nội bộ giới hạn[31]) Đây là chức

danh giáo sư “kỳ lạ" không được trả lương, không cao

hơn chức danh giáo sư “thông thường” tức vị trí phục

vụ dân sự Mặc dù bức thư công nhận những đóng góp

quan trọng của bà, Noether vẫn không được trả lương

Bà không được nhận lương cho đến khi bà được bổ

nhiệm vào vị trí đặc biệt Lehrbeauragte ür Algebra

một năm sau đó.[32][33][34]

1.3 Đóng góp nền tảng cho đại số trừu

tượng

Mặc dù định lý Noether có ảnh hưởng lớn đến sự phát

triển của vật lý học, các nhà toán học còn nhớ tới bà

cho những đóng góp nền tảng củađại số trừu tượng

Như Nathan Jacobson viết trong Lời giới thiệu trong

tập sách Các bài báo của Noether,

Sự phát triển của đại số trừu tượng, một

trong những ngành sáng tạo khác biệt nhất

của toán học thế kỷ 20, chủ yếu là nhờ bà –

trong những bài báo, bài giảng, và ảnh hưởng

cá nhân tới những nhà toán học đương thời

Công trình đột phá của Noether trong đại số bắt đầu

vào năm 1920 Cộng tác với W Schmeidler, bà viết một

bài báo vềlý thuyết các iđêantrong đó họ định nghĩa

các iđêan trái và phảitrong mộtvành Năm sau đó bà

công bố bài báo nổi bật Idealtheorie in Ringbereichen,

phân tích cácđiều kiện dây chuyền tăng tiếnđối với

đối tượng iđêan Nhà đại số họcIrving Kaplanskygọi

công trình này là “sự cách mạng";[35] bài báo đưa ra

khái niệm "vành Noether", và một vài đối tượng toán

học khác liên quan tới Noetherian.[35][36][37]

Năm 1924 nhà toán học trẻ người Hà Lan B L van

der Waerden đến Đại học Göingen Ông tham gia

ngay vào nghiên cứu cùng Noether, người đã cung cấp

những phương pháp khái niệm hóa trừu tượng vô giá

Van der Waerden sau này nói rằng ý tưởng của bà

“tuyệt đối vượt xa sự so sánh”.[38]Năm 1931 ông công

bố cuốn Moderne Algebra, với đối tượng trung tâm là

trường toán học; với tập hai của tập sách đa phần mượn

từ các công trình của Noether Mặc dù Emmy Noether

không lên tiếng công nhận về mình, ông đã viết ghi

chú trong ấn bản lần thứ bảy là “dựa trên các bài giảng

của E Artin và E Noether”.[39][40][41] Bà đôi khi chophép các đồng nghiệp và sinh viên tự nhận là ngườiđầu tiên đưa ra các ý tưởng mà bà nêu ra trước, đồngthời giúp họ phát triển sự nghiệp bằng chính công sứccủa bà.[41][42]

Lần viếng thăm của Van der Waerden nằm trong hoạtđộng hội tụ các nhà toán học từ khắp nơi trên thếgiới về Göingen, mà đã trở thành một trong nhữnghoạt động nghiên cứu chính của toán học và vật lý

Từ 1926 đến 1930 nhà tô pô học Pavel Alexandrov

giảng dạy tại trường, ông và Noether nhanh chóngtrở thành những người bạn tốt của nhau Ông thường

coi bà là der Noether, sử dụng từ cho giống đực trong

tiếng Đức nhằm bày tỏ sự tôn trọng đối với bà Bà

đã cố sắp xếp cho ông có một vị trí giáo sư thườngxuyên tại Göingen, nhưng chỉ có thể giúp ông đạtđược học bổng từỹ Rockefeller.[43][44] Họ thườngtrao đổi về những chủ đề giao nhau giữa đại số và tô

pô Trong lá thư hồi tưởng năm 1935, Alexandrov coiEmmy Noether “là nhà nữ toán học lớn nhất mọi thờiđại”.[45]

1.4 Đứng giảng và các sinh viên

Ở Göingen, Noether đã hướng dẫn hơn một tá sinhviên tiến sĩ; người đầu tiên là Grete Hermann bảo vệluận án vào tháng 2 năm 1925 Sau này cô đã gọiNoether một cách tôn kính là “người mẹ của nhữngluận án”.[46] Noether cũng hướng dẫn Max Deuring,người từng học trong các lớp của bà và có đóng gópquan trọng vào lĩnh vựchình học số học;Hans Fiing,được biết đến vớiđịnh lý Fiingvàbổ đề Fiing; và

Zeng Jiongzhi(hay “Chiungtze C Tsen”) chứng minh

định lý Tsen Bà cùng làm việc thân cận vớiWolfgangKrull, người có nhiều thúc đẩy lớn trong đại số giaohoánvới định lýHauptidealsatzvàlý thuyết chiều Krull

cho các vành giao hoán.[47]

Ngoài cái nhìn xuyên suốt về toán học của bà, Noethercòn được tôn trọng trên những lĩnh vực khác Mặc dù

có lúc bà thể hiện sự phản biện mạnh mẽ với nhữngngười không đồng ý với bà, bà luôn luôn nhận được uytín vì sự giúp đỡ và hướng dẫn không ngừng đối vớicác tân sinh viên Lòng trung thành của bà đối với sựchính xác toán học khiến cho có một sinh viên gọi bà

là “nhà phê bình khắt khe”, nhưng bà kết hợp yêu cầu

sự chính xác này với quan điểm giáo dục của mình.[48]Một đồng nghiệp sau này miêu tả bà: “tuyệt đối không

tự cao tự đại và tránh xa danh hão, bà chưa từng nhậnthứ gì về mình, nhưng lại cổ vũ cho các công trình củasinh viên một cách hết mình.”[49]

Đời sống tiết kiệm của bà thứ nhất là vì công việc khôngđược trả lương; tuy nhiên ngay cả khi đại học đã trả cho

bà một ít lương vào năm 1923, bà vẫn tiếp tục sống cuộcsống đơn giản và khiêm tốn Gần cuối đời trường đạihọc trả nhiều hơn, nhưng bà đã dành một nửa lương đểcho cháu traiGofried E Noether.[50]

1.5 Moskva 5

Hầu như quan tâm tới diện mạo và kiểu cách, sự tập

trung nghiên cứu của bà làm quên đi tình yêu tuổi trẻ

và thời trang Nhà đại số nổi tiếngOlga Taussky-Todd

miêu tả trong một buổi tiệc trưa, mà trong buổi này

Noether, người mải mê với các thảo luận về toán học,

làm các động tác “khoa tay múa chân” khi đang ăn và

“liên tục làm rơi vãi thức ăn và gạt chúng ra khỏi váy, và

hoàn toàn không làm xáo trộn cuộc nói chuyện”.[51]Vóc

dáng lúm khúm trước sinh viên khi bà tháo khăn quàng

ra khỏi áo và mái tóc lộn xộn trong suốt giờ giảng Hai

sinh viên nữ từng muốn nhắc bà trong giờ giải lao của

lớp học 2 tiếng, nhưng họ đã không thể ngắt cuộc thảo

luận toán học sôi nổi giữa bà với các sinh viên khác.[52]

eo điếu văn của Van der Waerden dành cho Emmy

Noether, bà ít khi tuân theo giáo án trong những buổi

lên lớp mà đã làm một số sinh viên thất vọng ay vào

đó, bà dành buổi lên lớp như là cuộc thảo luận tự phát

với sinh viên, để nghĩ về và làm rõ sự quan trọng của

những vấn đề nổi cộm của toán học Một số kết quả

quan trọng đã hình thành trong những buổi thảo luận

này, và các ghi chép bài giảng của sinh viên trở thành

cơ sở cho vài cuốn sách quan trọng, như sách của Van

der Waerden và Deuring

Một vài đồng nghiệp tham dự lớp giảng của bà, và bà

đã cho phép một số ý tưởng của bà, ví nhưtích chéo

(verschränktes Produkt trongtiếng Đức) của đại số kết

hợp, được công bố dưới tên của người khác Noether có

ít nhất 5 học kỳ giảng dạy tại Göingen:[53]

hyperkomplexe Zahlen (Lý thuyết nhóm và

số siêu phức)

• Mùa đông 1927/28: Hyperkomplexe Grössen und

Darstellungstheorie (Các đại lượng siêu phức và lý

thuyết biểu diễn)

• Mùa hè 1928: Nichtkommutative Algebra (Đại số

không giao hoán)

• Mùa hè 1929: Nichtkommutative Arithmetik (Số

học không giao hoán)

• Mùa đông 1929/30: Algebra der hyperkomplexen

Grössen (Đại số các đại lượng siêu phức).

Những khóa giảng này thường diễn ra trước những

công bố quan trọng trong những lĩnh vực này

Noether nói nhanh—phản ánh tốc độ tư duy của bà,

như nhiều người nói—và đòi hỏi sự tập trung lớn của

các sinh viên Những sinh viên mà không thích phong

cách của bà thường cảm thấy lạc lõng.[54][55] Một số

sinh viên cảm thấy rằng bà dựa trên quá nhiều thảo

luận tức thời Tuy nhiên, những sinh viên ưu tú nhất,

lại say mê với cách tiếp cận toán học của bà, đặc biệt do

những bài giảng thường xây dựng từ những công trình

trước đó mà họ thực hiện cùng nhau

Noether phát triển một nhóm gần gũi các đồng nghiệp

và sinh viên những người có cùng suy nghĩ và bà có

xu hướng không tiếp nhận những ai có tư tưởng khác

“Người ngoài” thường dự các bài giảng của Noether chỉngồi được khoảng 30 phút trong phòng trước khi rangoài sự nhàm chán và rối bời Một sinh viên từng nói

về tình huống này: “Kẻ thù đã bị đánh bại; anh ta đã bịloại ra.”[56]

Noether thể hiện sự cống hiến cho những chủ đề toánhọc và cho sinh viên của mình không chỉ trong nhữngkhóa học Một lần, khi trường học đang trong ngàynghỉ lễ quốc gia, bà quy tụ lớp học đi dạo bên ngoài,dẫn họ đi trong rừng và giảng giải tại một quán cà phêđịa phương.[57]Sau này, khiĐức ốc xãtrục xuất bà

ra khỏi trường, bà đã mời các sinh viên về nhà mình đểthảo luận với họ về kế hoạch tương lại và những kháiniệm toán học.[58]

1.5 Moskva

Noether dạy ở Đại học Quốc gia Moskva trong mùa đông 1928– 29.

Mùa đông 1928–29 Noether nhận lời mời của Đại học

ốc gia Moskva, nơi bà tiếp tục làm việc vớiP S.Alexandrov Ngoài thời gian thực hiện nghiên cứu,

bà dạy ở những lớp về đại số trừu tượng và hìnhhọc đại số Bà cộng tác với các nhà tô pô học LevPontryaginvàNikolai Chebotaryov, những người saunày ủng hộ sự đóng góp của bà vào phát triểnlý thuyết Galois.[59][60][61]

Mặc dù chính trị không là mục tiêu trung tâm trongcuộc đời bà, Noether cũng quan tâm tới các vấn đềchính trị, và theo như Alexandrov, thể hiện sự ủng hộtớiCách mạng Nga (1917) Bà cảm thấy vui khiXô Viết

thúc đẩy các lĩnh vực khoa học và toán học, mà bà coinhư là chỉ dấu cho những cơ hội mới có khả năng thựchiện bởi những ngườiBolshevik ái độ này bắt nguồn

từ những vấn đề của bà ở Đức, tích tụ từ những nămtháng ở phòng trọ, sau khi người lớp trưởng phàn nàn

về phong cách sống của “người Do ái theo xu hướngMác xít”.[62]

Noether có kế hoạch trở lại Moskva khi bà nhận được sựủng hộ từ Alexandrov Sau khi rời Đức năm 1933 ông cốgắng giúp bà có được vị trí tại Đại học quốc gia Moskvathông qua Bộ Giáo dục Xô Viết Mặc dù nỗ lực này đã

6 1 TIỂU SỬ

Pavel Alexandrov

không thành công, họ vẫn thư từ qua lại thường xuyên

trong thập niên 1930, và vào 1935 bà có kế hoạch trở

lại Liên Xô.[62]Trong khi ấy, em trai bàFritznhận một

vị trí ở Viện nghiên cứu Toán học và Cơ học ởTomsk,

thuộc Liên bang Siberi thuộc Nga sau khi buộc phải rời

Đức.[63][64]

1.6 Được công nhận

Năm 1932 Emmy Noether và Emil Artin nhận Giải

tưởng niệm Ackermann–Teubnercho những đóng góp

cho toán học.[65]Giải thưởng gồm một khoản tiền 500

Reichsmarks và là giải thưởng duy nhất chính thức

công nhận sự nghiệp toán học của bà Tuy thế, đồng

nghiệp đã thể hiện sự bất bình khi Noether không

được bầu vàoGöingen Gesellscha der Wissenschaen

(viện hàn lâm khoa học) và chưa bao giờ nhận chức

danh Ordentlicher Professor[66][67](giáo sư đầy đủ).[31]

Đồng nghiệp Noether chúc mừng lần sinh nhật thứ 50

của bà năm 1932 theo phong cách của các nhà toán học

Helmut Hasse dành một bài viết về bà trong tạp chí

Mathematische Annalen, với sự công nhận của ông về

những đóng góp của bà trong lĩnh vựcđại số không

giao hoán một cách đơn giản hơn trong đại số giao

hoán, bằng cách chứng minh luật tương hỗ.[68] Điều

này khiến cộng đồng toán học công nhận bà một cách

rộng rãi Ông cũng gửi tới bà một bài toán khó, “vấn đề

âm tiết mμν", mà ngay lập tức bà đã giải được nó; tuy

Noether đến Zürich năm 1932 để báo cáo một phiên họp toàn thể tại Hội nghị Quốc tế các nhà toán học

vậy bản thảo cho chứng minh này đã bị thất lạc.[66][67]

áng 11 cùng năm, Noether đọc báo cáo toàn thể

(großer Vortrag) về “Hệ thống siêu phức trong mối liên

hệ với đại số giao hoán và lý thuyết số" tạiĐại hộiCác nhà toán học ốc tế ở Zürich Đại hội có 800người tham dự, bao gồm các đồng nghiệp của Noether

Hermann Weyl, Edmund Landau, vàWolfgang Krull

Có 420 người đăng ký chính thức và 21 người đọcbáo cáo toàn thể Rõ ràng, vị trí phát biểu nổi bật củaNoether thể hiện sự công nhận những đóng góp quantrọng của bà cho toán học Hội nghị năm 1932 đôi khiđược coi là thời điểm vinh quang cao nhất trong sựnghiệp của bà.[67][69]

1.7 Trục xuất khỏi Göttingen

KhiAdolf Hitlertrở thành Reichskanzler vào tháng 1năm 1933, các hoạt động của Đảng ốc xã trong nướcgia tăng đáng kể Ở Đại học Göingen, Hội Sinh viênĐức dẫn đầu cuộc tấn công vào “tinh thần phi Đức”nhắm tới người Do ái và được hỗ trợ bởi giáo sưWerner Weber, học trò cũ của Emmy Noether Chủnghĩa bài Do áitạo ra bầu không khí khiếp sợ đốivới các giáo sư Do ái Một thanh niên biểu tình thểhiện đòi hởi: “Những sinh viên Aryan muốn toán họcAryan chứ không phải toán học Aryan.”[70]

Một trong những hoạt động đầu tiên của chính quyềnHitler là “Luật khôi phục Dịch vụ dân sự chuyênnghiệp” cho phép đuổi việc người Do ái và nhữngnhân viên chính phủ nghi ngờ về chính trị (bao gồmcác giáo sư đại học) trừ khi “họ thể hiện lòng trungthành với nước Đức” bằng từng tham gia Chiến tranhthế giới lần thứ nhất áng 4 năm 1933 Noether nhậnđược thông báo từ Bộ Khoa học, Nghệ thuật và Giáodục công của Phổ: “Trên cơ sở điều 3 của Luật phụcdịch Dân sự ngày 7 tháng 4 năm 1933, tôi từ đây tướcquyền giảng dạy của bà ở Đại học Göingen.”[71][72]Vài đồng nghiệp của Noether, bao gồmMax Bornvà

Richard Courant, cũng bị mất vị trí nghiên cứu của

họ.[71][72]Noether chấp nhận quyết định trong im lặng,

1.9 Qua đời 7

và nhận được sự ủng hộ từ những người khác trong

giai đoạn khó khăn này.Hermann Weylsau này viết

rằng “Emmy Noether—lòng dũng cảm, sự không miễn

cưỡng, sự không quan tâm của bà về chính số phận

của bà, tinh thần hòa giải của bà—ở giữa bầu không

khí căm thù và phi nghĩa, nỗi tuyệt vọng và sự đau đớn

bao quanh chúng ta, một tinh thần khuây khỏa.”[70]Đặc

biệt là Noether vẫn tập trung vào toán học, gọi các sinh

viên tới căn hộ của bà để thảo luận vềlý thuyết trường

cổ điển Khi một sinh viên của bà xuất hiện dưới đồng

phục của tổ chức bán quân sựSturmabteilung(SA), bà

không thể hiện sự lay động, và thậm chí sau đó còn

cười về điều này.[71][72]

1.8 Bryn Mawr

Bryn Mawr College chào đón Noehter trong hai năm cuối cuộc

đời bà.

Với hàng tá những giáo sư thất nghiệp mới chuẩn bị tìm

kiếm nơi mới bên ngoài Đức, các đồng nghiệp của họ ở

Hoa Kỳ cũng hỗ trợ họ trong cơ hội tìm việc làm mới

Albert EinsteinvàHermann Weylnhận vị trí giáo sư ở

Viện Nghiên cứu cao cấpởPrinceton, trong khi một số

khác tìm sự tài trợ để có được quyền nhập cư hợp pháp

Đại diện của hai viện giáo dục Đại học đã liên lạc với

Noether làBryn Mawr Collegeở Hoa Kỳ vàSomerville

CollegethuộcĐại học OxfordAnh ốc Sau nhiều lần

đàm phán với ỹ Rockefeller, họ đã cấp nguồn kinh

phí cho trường Bryn Mawr để hỗ trợ Noether và bà đã

quyết định chuyển đến đây làm việc, lúc đấy vào thời

điểm cuối năm 1933.[73][74]

Ở Bryn Mawr, Noether đã gặp và trở thành bạn của

Anna Wheeler, người đã học ở Göingen ngay trước

khi Noether đến đó Một người khác ủng hộ là chủ

tịch Bryn Mawr, Marion Edwards Park, ông đã mời

các nhà toán học trong vùng đến "để thấy tiến sĩ

Noether đứng giảng!"[75][76]Noether và một nhóm nhỏ

sinh viên nghiên cứu xoay quanh quyển sách viết năm

1930 của Van der Waerden Moderne Algebra I các phần

trong luận án củaErich Heckeeorie der algebraischen

Zahlen (Lý thuyết số đại số, 1908).[77]

Năm 1934, Noether bắt đầu giảng tại Viện Nghiên cứu

cấp cao Princeton thông qua lời mời của Abraham

FlexnervàOswald Veblen Bà cũng cộng tác và hướngdẫn cùngAbraham AlbertvàHarry Vandiver.[78] Tuynhiên, bà nhớ vềĐại học Princetonở điểm bà khôngđược chào đón nồng nhiệt tại "đại học dành cho đànông, nơi không phụ nữ nào được thừa nhận”.[79]

ời gian bà ở Hoa Kỳ là giai đoạn thanh bình, vâyxung quanh bởi các đồng nghiệp ủng hộ và tìm hiểu cáccông trình nghiên cứu của bà.[80][81]Hè năm 1934 bà trởlại Đức trong một thời gian ngắn để gặp Emil Artin vàngười em Fritz trước khi ông chuyển đến Tomsk Mặc

dù nhiều đồng nghiệp cũ của bà bị buộc thôi việc ở đạihọc, bà có thể sử dụng thư viện với tư cách là một “họcgiả ngoại quốc”.[82][83]

1.9 Qua đời

Tro của Noether được rải dưới hành lang của thư viện M Carey Thomas.

áng 4 năm 1935 các bác sĩ phát hiện một khối u

trong xương chậu của Noether Lo lắng về cần phảiphẫu thuật phức tạp, đầu tiên họ yêu cầu bà nghỉ ngơihai ngày nằm trên giường Trong lúc phẫu thuật họphát hiện ra khốiu nang buồng trứng“to như quảdưavàng".[84]Hai khối u nhỏ hơn trongtử cungdường nhưđang hình thành và không được cắt bỏ để tránh thờigian phẫu thuật không kéo dài Trong ba ngày bà hồiphục một cách bình thường, và bà khôi phục nhanhchóng sau khihệ tuần hoànbị hư hại trong ngày thứ tư.Ngày 14 tháng 4 bà rơi vào hôn mê, nhiệt độ cơ thể lêncao 109 ℉ (42,8 ℃), và đã không qua khỏi “ật khó dễdàng để nói rằng điều gì đã xảy ra với tiến sĩ Noether”,một thầy thuốc viết “Có thể đây là một trường hợp bấtthường và bị nhiễm do nguyên nhân vi rút, tấn côngvào trung tâm não nơi được cho chịu nhiệt độ cao.”[84]Vài ngày sau khi Noether qua đời, đồng nghiệp và bạn

bè ở Bryn Mawr tổ chức một lễ tưởng niệm nhỏ ở nhàcủa ông chủ tịch trường Hermann Weyl và RichardBrauer đến từ Princeton và nói chuyện với Wheeler

và Taussky về người đồng nghiệp đã khuất Trongnhững tháng sau đó, nhiều bài văn tưởng niệm dầnxuất hiện trên toàn cầu: Albert Einstein cùng với Van

8 2 ĐÓNG GÓP CHO TOÁN HỌC VÀ VẬT LÝ

der Waerden, Weyl, và Pavel Alexandrov đều tỏ lòng

thương tiếc bà i thể bà được hỏa thiêu và tro được

rải dưới hành lang của thư viện M Carey omas ở

Bryn Mawr.[85]

Điều đầu tiên và lớn nhất mà các nhà toán học nhớ

về Noether đó là những công trình trong lĩnh vựcđại

số trừu tượngvàtô pô học Các nhà vật lý biết ơn bà

vớiđịnh lý nổi tiếngbởi những hệ quả rộng lớn của nó

trongvật lý lý thuyếtvàhệ thống động lực Bà chứng tỏ

một xu hướng sắc bén cho tư duy trừu tượng cho phép

bà tiếp cận các vấn đề toán học theo những cách mới

và cơ bản.[86][23]Người bạn và đồng nghiệp Hermann

Weyl miêu tả đóng góp của bà theo ba giai đoạn:

Công trình khoa học của Emmy Noether

(3) nghiên cứu đại số không giao hoán,

biểu diễn chúng bằng các phép biến đổi tuyến

tính, và những ứng dụng vào nghiên cứu các

trường số giao hoán và số học

—Weyl 1935

Trong kỷ nguyên đầu tiên (1907–19), Noether tập trung

chủ yếu vào các bất biến đại số và bất biến vi phân,

bắt đầu từ luận án của bà dưới sự hướng dẫn củaPaul

Gordan Khi chân trời toán học của bà rộng mở, các

công trình trở lên tổng quát hơn và trừu tượng hơn,

như bà quen thuộc với các công trìn củaDavid Hilbert,

hay cộng tác với người kế nhiệm Gordan, giáo sư Ernst

Sigismund Fischer Sau khi chuyển đến Göingen năm

1915, bà đã có đóng góp nền tảng vào lĩnh vực vật lý

với hai định lý Noether

Kỷ nguyên thứ hai (1920–26), Noether dành thời gian

phát triển lý thuyết vành.[87]

Trong kỷ nguyên thứ ba (1927–35), Noether tập trung

chođại số không giao hoán, các phép biến đổi tuyến

tính và trường số giao hoán.[88]

2.1 Bối cảnh lịch sử

Trong giai đoạn từ 1832 cho đến khi Noether qua đời

năm 1935, lĩnh vực toán hoc—đặc biệt làđại số—trải qua

một cuộc cách mạng sâu sắc, mà sự vang dội của nó vẫn

còn truyền tới ngày nay Những nhà toán học ở thế kỷ

trước nghiên cứu dựa trên các phương pháp thực hành

để giải quyết những loại phương trình cụ thể, ví dụ như

phương trình bậc ba,bậc bốn, vàphương trình bậc năm,cũng nhưbài toán liên quanđến dựng cácđa giác đều

sử dụngthước kẻ và compa Mở đầu với chứng minhcủaCarl Friedrich Gaussnăm 1832 rằngsố nguyên tố

như 5 có thểphân tíchthành cácsố nguyên Gauss,[89]Évariste Galois đưa ra nhóm hoán vịvào năm 1832(mặc dù, bởi vì ông qua đời sớm, các bài viết của ôngđược Liouville công bố vào năm 1846), khám phá của

William Rowan Hamiltonvềquaternionnăm 1843, vàđịnh nghĩa hiện đại hơn củaArthur Cayleychonhóm

vào năm 1854, nghiên cứu chuyển sang xác định cáctính chất của những hệ trừu tượng hơn xác định bởinhững quy tắc phổ quát hơn Đóng góp quan trọng nhấtcủa Noether cho toán học đó là phát triển một lĩnh vựcmới,đại số trừu tượng.[90]

2.1.1 Đại số trừu tượng và begriffliche Mathematik

(toán học khái niệm)

Hai đối tượng quan trọng nhất trong đại số trừu tượng

là nhóm và vành

Một nhóm chứa tập hợp các phần tử và một phép toán

kết hợp hai phần tử của tập hợp thu được phần tử thứ

ba cũng thuộc tập đó Phép toán này phải thỏa mãn một

số điều kiện nhất định để xác định lên một nhóm: nóphải thỏa mãn tínhđóng(khi kết hợp hai phần tử bất

kỳ của tập hợp thì phần tử thu được cũng phải thuộctập hợp đó), phép toán phải đảm bảotính kết hợp, phải

cóphần tử đơn vị-hay còn gọi phần tử đồng nhất (phần

tử mà khi kết hợp với nó sử dụng phép toán nhóm thuđược chính phần tử đầu tiên, như cộng với số 0 hoặcnhân với số 1), và mỗi phần tử của nhóm đều phải cóphần tử nghịch đảo tương ứng

Tương tự như vậy cho một vành, đó là tập hợp các phần

tử nhưng được trang bị hai phép toán Phép toán thứ

nhất khiến tập đó là một nhóm, còn phép toán thứ haiđảm bảo tính chất kết hợp và phân phối đối với phéptoán thứ nhất Vành có thể là giao hoán hoặc khônggiao hoán; điều này có nghĩa là kết quả áp dụng phéptoán đối với phần tử thứ nhất và phần tử thứ hai làgiống với kết quả khi áp dụng phép toán đối với phần

tử thứ hai và phần tử thứ nhất—thứ tự của các phần tửkhông quan trọng Nếu mỗi phần tử khác 0 có một phần

tử nghịch đảo đối với phép nhân (phần tử x thỏa mãn

ax = xa = 1), thì vành được gọi làvành chia(divisionring) Mộttrường được định nghĩa là vành chia giaohoán

Nhóm thường được nghiên cứu thông qua lý thuyết

biểu diễn nhóm Trong dạng tổng quát nhất, lý thuyết

chứa một nhóm được chọn, một tập hợp, và một tác

dụng của nhóm lên tập hợp, tức là một phép toán kết

hợp một phần tử của nhóm với một phần tử của tập hợp

và kết quả thu được một phần tử của tập hợp Trongnhiều trường hợp, tập hợp này làkhông gian vectơ, vànhóm biểu diễn cho các đối xứng của không gian vectơ

2.2 Kỷ nguyên đầu tiên (1908–19) 9

Ví dụ nhóm biểu diễn phép quay trong không gian Đây

là một loại đối xứng của không gian bởi vì không gian

tự nó không thay đổi khi thực hiện phép quay mặc dù

vị trí của các vật thể trong nó thay đổi Noether sử dụng

những khái niệm này nhằm nghiên cứu đối xứng trong

công trình của bà về những bất biến trong vật lý học

Một công cụ mạnh để nghiên cứu vành là thông qua

cácmôđun Môđun chứa một vành được lựa chọn, một

tập hợp khác-thường là khác với tập chứa vành và gọi

là tập chứa môđun, một phép toán trên cặp các phần

tử của tập chứa môđun, và một phép toán tác dụng lên

một phần tử thuộc vành và một phần tử thuộc môđun

và trả lại một phần tử thuộc môđun Tập chứa mô đun

và phép toán đối với nó phải tạo thành một nhóm Một

mô đun là phiên bản vành lý thuyết của phép biểu diễn

nhóm: khi bỏ phép toán thứ hai của vành và phép toán

trên cặp phần tử của mô đun xác định lên phép biểu

diễn nhóm Tiện ích thực của mô đun là loại các mô

đun tồn tại và tương tác của chúng cho thấy cấu trúc

của vành theo cách mà không thể thấy rõ ràng khi chỉ

nhận xét từ chính vành Một trường hợp quan trọng

đặc biệt làđại số trên một trường (từ đại số có nghĩa

cho cả vật thể trong toán học cũng như vật thể nghiên

cứu trong chủ đề của đại số.) Một đại số chứa hai vành

được lựa chọn và một phép toán tác động lên mỗi phần

tử thuộc từng vành và thu được phần tử thuộc vành thứ

hai Phép toán này khiến cho vành thứ hai trở thành

mô đun đối với vành thứ nhất ông thường vành thứ

nhất là một trường

Các từ như “phần tử" và “phép toán kết hợp” là rất tổng

quát, và có thể áp dụng cho nhiều tình huống trong thế

giới thực và trừu tượng Bất kỳ tập hợp nào mà tuân

theo các quy tắc cho một (hoặc hai) phép toán sẽ là,

bằng định nghĩa, một nhóm (hoặc vành), và tuân theo

mọi định lý về nhóm (hoặc vành) Các số nguyên với

phép toán cộng và nhân là những ví dụ như thế Ví

dụ, các phần tử có thể là các chữ cái trong dữ liệu máy

tính, nơi phép toán kết hợp thứ nhất là phép loại trừ

(phép tuyển) và phép toán thứ hai là phép hội lôgic

Các định lý của đại số trừu tượng là rất mạnh và có tính

tổng quát Tưởng tượng ra rằng chỉ có thể rút ra kết

luận về vật thể định nghĩa chỉ với vài tính chất, nhưng

chính xác như but precisely therein lay Noether’s gi:

để khám phá ra nhiều nhất mà có thể rút ra từ một tập

hợp các tính chất cho trước, hoặc ngược lại, để định ra

tập hợp nhỏ nhất, những tính chất cơ bản đáp ứng cho

một quan sát đặc biệt Không như hầu hết các nhà toán

học, bà không thực hiện sự trừu tượng bằng cách tổng

quát hóa từ những ví dụ cụ thể; hơn hết bà làm việc

trực tiếp với những khái niệm trừu tượng Như van der

Waerden nhớ lại trong điếu văn của bà,[91]

Điều lớn nhất mà Emmy Noether đi theo

trong toàn sự nghiệp của bà có thể miêu tả

như sau: “Bất kỳ mối quan hệ giữa những số,

hàm, và các phép toán trở lên mạch lạc, áp

dụng được cho trường hợp tổng quát, và sự

khai thác đầy đủ chỉ sau khi chúng đã bị côlập khỏi những vật thể đặc biệt và được thiếtlập như là một khái niệm đúng đắn phổ quát

Đây chính là begriffliche Mathematik (toán học khái

niệm thuần túy) mà thường thấy ở Noether Kiểu phongcách này sau đó được những nhà toán học khác tiếpnhận, đặc biệt là trong lĩnh vực mới nổi là đại số trừutượng

Số nguyên như một ví dụ của vành Cácsố nguyên

tạo thành một vành giao hoán mà các phần tử là các sốnguyên, và các phép toán là phép cộng và phép nhân.Bất kỳ cặp số nguyên nào có thể cộng hoặc nhân vớinhau với kết quả luôn luôn là một số nguyên khác, vàphép toán thứ nhất, phép cộng, có tính chất giao hoán

tức là, đối với bất kỳ phần tử a và b thuộc vành, a +

b = b + a Phép toán thứ hai, phép nhân, cũng có tính

chất giao hoán, nhưng điều này không cần phải thỏa

mãn đối với các vành khác, có nghĩa là a kết hợp với

b có thể khác khi b kết hợp với a Ví dụ về các vành

không giao hoán bao gồmma trậnvàquaternion Các

số nguyên không tạo thành một vành chia, bởi vì phéptoán thứ hai không luôn luôn khả nghịch; ví dụ không

tồn tại số nguyên a sao cho 3 × a = 1.

Các số nguyên có thêm những tính chất khác mà có thểkhông thể tổng quát hóa cho mọi vành được Một ví dụquan trọng làđịnh lý cơ bản của số học, nói rằng mỗi

số nguyên dương có thể phân tích duy nhất thành tíchcácsố nguyên tố Sự phân tích duy nhất thành các nhân

tử không phải lúc nào cũng đúng cho các vành khác,nhưng Noether tìm ra một định lý phân tích duy nhất,

mà bây giờ gọi làđịnh lý Lasker–Noether, đối với các

iđêancủa nhiều vành Nhiều công trình của Noetherđặt ra cách xác định tính chất nào thỏa mãn đối vớimọi vành, theo cách tương tự đối với định lý cho các

số nguyên, và xác định lên tập tối thiểu các giả sử cầnthiết để thu được những tính chất nhất định của vành

2.2 Kỷ nguyên đầu tiên (1908–19)2.2.1 Lý thuyết bất biến đại số

Nhiều công trình của Noether trong kỷ nguyên thứnhất của sự nghiệp gắn liền vớilý thuyết bất biến, đặcbiệt là lý thuyết bất biến đại số Lý thuyết bất biến xemxét đến các biểu thức mà không thay đổi (bất biến) dướimộtnhóm các phép biến đổi Như ví dụ thường gặp,

nếu một thước đặc bị quay đi, các tọa độ (x, y, z) của hai điểm đầu và cuối nó thay đổi, nhưng độ dài L của thước cho bởi công thức L2= Δx2+ Δy2+ Δz2vẫn lànhư nhau Lý thuyết bất biến là một lĩnh vực nghiêncứu sôi động vào cuối thế kỷ 19, một phần nhờchươngtrình ErlangendoFelix Kleinđề xuất, theo đó các loại

hình họckhác nhau có thể được đặc trưng bởi nhữngbất biến của chúng dưới các phép biến đổi, ví như tỷ

10 2 ĐÓNG GÓP CHO TOÁN HỌC VÀ VẬT LÝ

Bảng 2 từ luận án của Noether [92] về lý thuyết bất biến Bảng

này liệt kê 202 trong số 331 bất biến của dạng trùng phương bậc

ba Những dạng này được phân loại dựa theo hai biến x và u.

Hướng theo phương ngang của bảng liệt kê các bất biến theo

chiều tăng của x, trong khi hướng theo phương dọc liệt kê chúng

theo chiều tăng của u.

lệ chéo tronghình học xạ ảnh Ví dụ điển hình cho bất

biến đó làbiệt thứcB2− 4AC của phương trình bậc hai

Ax2 + Bxy + Cy2 Nó được gọi là bất biến bởi vì nó

không thay đổi sau khi áp dụng phép thay thế x→ax

+ by, y→cx + dy với định thức ad − bc = 1 Những

thay thế này tạo thànhnhóm tuyến tính đặc biệtSL2

(Không có bất biến đối vớinhóm tuyến tính tổng quát

của mọi phép biến đổi khả nghịch bởi vì các phép biến

đổi này có thể trở thành phép nhân bởi một hệ số tỷ lệ

Để khắc phục điểm này, lý thuyết bất biến cổ điển cũng

xét đến bất biến tương đối, mà tạo thành dạng bất biến

cho cả hệ số tỷ lệ.) Các nhà toán học có thể yêu cầu đối

với mọi đa thức mà A, B, and C không thay đổi bởi tác

dụng của SL2; đây được gọi là bất biến của dạng trùng

phương bậc hai, tương ứng với biệt thức của đa thức

Một cách tổng quát hơn, có thể tổng quát đối với dạng

bất biến của phương trình đa thức thuần nhất A0xr y0

+… + Ax0y rcó bậc cao hơn, mà sẽ là đa thức với các

hệ số A0,…, A, và thậm chí tổng quát hơn, ta có thể đặt

câu hỏi tương tự đối với đa thức thuần nhất có nhiều

hơn hai biến

Một trong những mục đích chính của lý thuyết bất biến

là giải quyết “vấn đề cơ sở hữu hạn” Tổng hay tích của

hai bất biến bất kỳ là không đổi, và vấn đề cơ sở hữu

hạn đòi hỏi liệu có thể thu được mọi bất biến chỉ từ

một số hữu hạn các bất biến, gọi là các phần tử sinh, và

sau đó thực hiện cộng hoặc nhân các phần tử sinh với

nhau Ví dụ, biệt thức cho một cơ sở hữu hạn (với một

phần tử) cho các bất biến của dạng trùng phương bậc

hai ầy hướng dẫn của Noether, Paul Gordan, được

coi là "ông hoàng của lý thuyết bất biến”, và đóng góp

chính của ông đối với toán học là lời giải đưa ra vào

năm 1870 về vấn đề cơ sở hữu hạn cho các bất biến của

những đa thức thuần nhất hai biến.[93][94]Ông chứng

minh vấn đề này bằng phương pháp xây dựng để tìm

mọi bất biến và các phần tử sinh của chúng, nhưng đã

không thể áp dụng phương pháp này cho các bất biếncủa đa thức với ba hay nhiều biến hơn Năm 1890, DavidHilbert chứng minh mệnh đề tương tự cho bất biến của

đa thức thuần nhất có số biến bất kỳ.[95][96] Hơn thếnữa, phương pháp của ông áp dụng không những chonhóm tuyến tính đặc biệt, mà còn đối với các nhóm concủa nó nhưnhóm trực giao đặc biệt.[97] Trong chứngminh đầu tiên của ông gây ra một số tranh cãi bởi vì

nó không đưa ra phương pháp xây dựng cho các phần

tử sinh, tuy vậy điều này đã được ông nêu ra sau đó.Đối với luận án của bà, Noether mở rộng phép chứngminh tính toán của Gordan đối với các đa thức thuầnnhất có ba biến Cách xây dựng của Noether đưa ra khảnăng nghiên cứu mối liên hệ giữa các bất biến Sau này,sau khi bà chuyển sang các phương pháp trừu tượng,Noether nhớ lại luận án của mình như làMist(mớ hỗn

độn) và Formelngestrüpp (một rừng các phương trình).

2.2.2 Lý thuyết Galois

Lý thuyết Galoisđề cập tới các phép biến đổi củatrường

sốlàmhoán vịnghiệm của phương trình Xét phương

trình đa thức một biến x cóbậcn, mà các hệ số của nó

thuộc về tập hợp cáctrường nền, mà có thể là, ví dụ,trường cácsố thực,số hữu tỉ, hoặcsố nguyên đồng dư

7 Có thể tồn tại hoặc không tồn tại x làm cho đa thức

có giá trị bằng 0 Những lựa chọn này nếu tồn tại, được

gọi là nghiệm của đa thức Nếu đa thức là x2 + 1 vàtrường nền là số thực, thì đa thức vô nghiệm, bởi vì với

bất kỳ x nào thì giá trị của đa thức luôn lớn hơn hoặc

bằng 1 Nếu trường nền làmở rộng, thì đa thức có thể

có nghiệm, và nếu sự mở rộng này là đủ, thì số nghiệmcủa đa thức luôn luôn bằng số bậc của nó Tiếp tục ví dụ

ở trước, nếu trường được mở rộng tới trường số phức,

thì đa thức có hai nghiệm i và −i, với i làđơn vị ảo, tức

là i2= −1 Tổng quát hơn, trường mở rộng cho phép đathức có thể phân tích thành các nghiệm của nó gọi là

trường táchcủa đa thức

Nhóm Galois của đa thức là tập hợp mọi cách biếnđổi trường tách, trong khi vẫn bảo tồn trường nền vànghiệm của đa thức (Trong ngôn ngữ toán học, nhữngphép biến đổi này được gọi là phéptự đẳng cấu.) Nhóm

Galois của x2 + 1 chứa hai phần tử: Phép biến đổiđồng nhất, mà biến mỗi số phức thành chính nó, và

liên hợp phức, biến i thành −i Do nhóm Galois không

làm thay đổi trường nền, nó cũng không làm thay đổicác hệ số của đa thức, do vậy mọi nghiệm của đa thứccũng không bị thay đổi Mỗi nghiệm có thể chuyển tớinghiệm kia, do vậy phép biến đổi chỉ làmhoán vị n

nghiệm giữa chúng Sự quan trọng của nhóm Galois rút

ra từđịnh lý cơ bản của lý thuyết Galois, với kết quả

là các trường nằm giữa trường nền và trường tách làtương ứng một một với cácnhóm concủa nhóm Galois.Năm 1918, Noether công bố bài báo cột mốc vềbài toánGalois nghịch đảo.[98] ay vì xác định nhóm Galoiscủa các phép biến đổi đối với một trường và mở rộngcủa nó, Noether đặt ra câu hỏi liệu khi cho một trường