Phương trình bậc hai

Các số a, b, và c là nhữnghệ sốcủa phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hằng số hay số hạng tự do.[1] Vì phương trình bậc hai chỉ có

Phương trình bậc hai

Mục lục

1.1 Giải phương trình bậc hai 1

1.1.1 Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra 1

1.1.2 Phần bù bình phương 2

1.1.3 Công thức nghiệm 2

1.1.4 Phương trình bậc hai rút gọn 3

1.1.5 Biệt thức 3

1.1.6 Diễn giải bằng hình học 3

1.1.7 Nhân tử hóa đa thức bậc hai 3

1.2 Lịch sử 4

1.3 Công thức Viète 5

1.4 Các trường hợp nhận biết đặc biệt 5

1.5 Chủ đề liên quan 5

1.6 am khảo 5

1.7 Liên kết ngoài 6

2 Toán học 7 2.1 Lịch sử 7

2.2 Cảm hứng, thuần túy và ứng dụng, và vẻ đẹp 8

2.3 Ký hiệu, ngôn ngữ, và tính chặt chẽ 9

2.4 Các lĩnh vực toán học 9

2.4.1 Nền tảng và triết học 10

2.4.2 Toán học thuần túy 10

2.4.3 Toán học ứng dụng 11

2.5 Giải thưởng toán học và những bài toán chưa giải được 12

2.6 Mối quan hệ giữa toán học và khoa học 12

2.7 Xem thêm 13

2.8 Chú thích 13

2.9 am khảo 14

2.10 Liên kết ngoài 15

2.11 Nguồn, người đóng góp, và giấy phép cho văn bản và hình ảnh 16

2.11.1 Văn bản 16

2.11.2 Hình ảnh 16

i

2.11.3 Giấy phép nội dung 18

Chương 1

Phương trình bậc hai

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai

Trongđại số sơ cấp, phương trình bậc hai là phương

trình có dạng:

ax2+ bx + c = 0

với x là ẩn số chưa biết và a, b, c là các số đã biết sao

cho a khác 0 Nếu a = 0 thì phương trình sẽ chuyển về

dạngbậc nhất, không còn là bậc hai Các số a, b, và c là

nhữnghệ sốcủa phương trình và có thể phân biệt bằng

cách gọi tương ứng hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hằng

số hay số hạng tự do.[1]

Vì phương trình bậc hai chỉ có một ẩn nên nó được gọi

là phương trình "đơn biến" Phương trình bậc hai chỉ

chứalũy thừacủa x là các số tự nhiên, bởi vậy chúng là

một dạngphương trình đa thức, cụ thể làphương trình

đa thức bậc haido bậc cao nhất là hai

Các cách giải phương trình bậc hai phổ biến lànhân

tử hóa(phân tích thành nhân tử), phương phápphần

bù bình phương, sử dụngcông thức nghiệm, hoặcđồ

thị Giải pháp cho các vấn đề tương tự phương trình

bậc hai đã được con người biết đến từ năm 2000 trước

Công Nguyên

1.1 Giải phương trình bậc hai

Một phương trình bậc hai với cáchệ số thựchoặcphức

có hai đáp số, gọi là các nghiệm Hai nghiệm này có thế

phân biệt hoặc không, và có thể là thực hoặc không

Hình 1 Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax2+ bx + c với mỗi hệ

số biến đổi trong khi các hệ số khác giữ nguyên tại giá trị a = 1,

b = 0, c = 0 Ví dụ, đồ thị bên phải là của hàm số y = ax2(b =

c = 0 không đổi) ứng với các giá trị a thay đổi là −4/3, −1/2, 0, 1/3, và 3/2 (màu sắc tương ứng); tương tự đồ thị ở giữa là của hàm số y = x2+ bx và đồ thị bên trái là của hàm số y = x2+ c.

1.1.1 Phân tích thành nhân tử bằng cách

kiểm tra

Phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0 có thể viết được thành (px + q)(rx + s) = 0 Trong một vài trường hợp,

điều này có thể thực hiện bằng một bước xem xét đơn

giản để xác định các giá trị p, q, r, và s sao cho phù hợp

với phương trình đầu Sau khi đã viết được thành dạng

này thì phương trình bậc hai sẽ thỏa mãn nếu px + q =

0 hoặc rx + s = 0 Giải hai phương trình bậc nhất này

ta sẽ tìm ra được nghiệm

Với hầu hết học sinh, phân tích thành nhân tử bằngcách kiểm tra là phương pháp giải phương trình bậchai đầu tiên mà họ được tiếp cận.[2] :202–207Nếu phương

trình bậc hai ở dạng x2+ bx + c = 0 (a = 1) thì có thể tìm cách phân tích vế trái thành (x + q)(x + s), trong đó

q và s có tổng là b và tích là c (đây đôi khi được gọi là

“quy tắc Viet”[3]) Ví dụ, x2+ 5x + 6 viết thành (x + 3)(x + 2) Trường hợp tổng quát hơn khi a ≠ 1 đòi hỏi nỗ lực

lớn hơn trong việc đoán, thử và kiểm tra; giả định rằnghoàn toàn có thể làm được như vậy

Trừ những trường hợp đặc biệt như khi b = 0 hay c =

0, phân tích bằng kiểm tra chỉ thực hiện được đối với1

những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ Điều

này có nghĩa là đa phần các phương trình bậc hai phát

sinh trong ứng dụng thực tiễn không thể giải được bằng

phương pháp này.[2] :207

1.1.2 Phần bù bình phương

32

Hình 2 Đồ thị hàm số bậc hai y = x2− x − 2 Các hoành độ

giao điểm của đồ thị với trục hoành x = −1 và x = 2 là nghiệm

của phương trình bậc hai x2− x − 2 = 0.

Trong quá trình hoàn thành bình phương ta sử dụng

hằng đẳng thức:

x2+ 2hx + h2= (x + h)2,

mộtthuật toánrạch ròi có thể áp dụng để giải bất kỳ

phương trình bậc hai nào.[2] :207 Bắt đầu với phương

trình bậc hai dạng tổng quát ax2+ bx + c = 0

1 Chia hai vế cho a, hệ số của ẩn bình phương.

2 Trừ c/a mỗi vế.

3 êm bình phương của một nửa b/a, hệ số của x,

vào hai vế, vế trái sẽ trở thành bình phương đầy

đủ

4 Viết vế trái thành bình phương của một tổng và

đơn giản hóa vế phải nếu cần thiết

5 Khai căn hai vế thu được hai phương trình bậc

nhất

6 Giải hai phương trình bậc nhất

Tiếp theo là ví dụ minh họa việc sử dụng thuật toán

này Giải phương trình 2x2+ 4x − 4 = 0

1) x2+ 2x − 2 = 0

2) x2+ 2x = 2 3) x2+ 2x + 1 = 2 + 1 4) (x + 1)2= 3

Một số nguồn tài liệu, đặc biệt là tài liệu cũ, sử dụng

tham số hóa phương trình bậc hai thay thế như ax2+

2bx + c = 0 hoặc ax2− 2bx + c = 0 ,[7]ở đây b có độ lớn

bằng một nửa và có thể mang dấu ngược lại Các dạngnghiệm là hơi khác, còn lại thì tương đương

Còn một số cách rút ra công thức nghiệm có thểtìm thấy trong tài liệu Các cách chứng minh này làđơn giản hơn phương pháp phần bù bình phương tiêuchuẩn

Một công thức ít phổ biến hơn, như dùng trongphươngpháp Mullervà có thể tìm được từcông thức Viet:

b ± √ b2− 4ac .

Một tính chất của công thức này là khi a = 0 nó sẽ cho

ra một nghiệm hợp lệ, trong khi nghiệm còn lại có chứa

phép chia cho 0, bởi khi a = 0 thì phương trình bậc hai

sẽ chuyển về bậc nhất có một nghiệm Ngược lại, côngthức phổ biến chứa phép chia cho 0 ở cả hai trường hợp

1.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 3

1.1.4 Phương trình bậc hai rút gọn

Việc rút gọn phương trình bậc hai để chohệ số lớn nhất

bằng một đôi khi là tiện lợi Cách làm là chia cả hai vế

cho a, điều này luôn thực hiện được bởi a khác 0, ta

được phương trình bậc hai rút gọn:[8]

Hình 3 Ảnh hưởng của dấu của biệt thức đến số nghiệm [thực]

của phương trình bậc hai Khi Δ > 0, đường parabol cắt trục

hoành tại hai điểm; Δ = 0, đỉnh của parabol tiếp xúc với trục

hoành tại một điểm duy nhất; Δ < 0, parabol không giao trục

hoành tại bất kỳ điểm nào (đường parabol là đồ thị của hàm số

bậc hai)

Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu

thức dưới dấu căn được gọi làbiệt thứcvà thường được

biểu diễn bằng chữ D hoa hoặc chữdeltahoa (Δ) trong

bảng chữ cái Hy Lạp:[9]

∆ = b2− 4ac.

Phương trình bậc hai với các hệ số thực có thể có một

hoặc hai nghiệm thực phân biệt, hoặc hai nghiệm phức

phân biệt Trong trường hợp này biệt thức quyết định

số lượng và bản chất của nghiệm Có ba trường hợp:

• Nếu Δ dương (Δ > 0), phương trình có hai nghiệm

hay đôi khi còn gọi lànghiệm kép

• Nếu Δ âm (Δ < 0), phương trình không có nghiệm

thực, thay vào đó là hai nghiệmphứcphân biệt[10]

parabol phụ thuộc vào giá trị của a, b, và c Nếu a > 0,

prabol có một điểm cực tiểu và bề lõm hướng lên trên;

nếu a < 0, parabol có một điểm cực đại và bề lõm hướng

xuống dưới (xem hình 1, a) Cực điểm của parabol ứngvớiđỉnhcủa nó; điểm này có hoành độx= − 2a b , tính x

rồi thế vào hàm số ta sẽ tìm được giá trị tung độ Đồ thị

giao trục tung tại điểm có tọa độ (0, c).

Các nghiệm của phương trình bậc hai ax2+ bx + c = 0

tương ứng là cácnghiệmcủa hàm số f (x) = ax2+ bx +

c bởi chúng là những giá trị của x để cho f (x) = 0 Nếu

là nhân tử của đa thức

Trong trường hợp đặc biệt b2= 4ac (hay Δ = 0) phương

trình chỉ có một nghiệm phân biệt, có thể nhân tử hóa

Ngay từ năm 2000 trước Công Nguyên,các nhà toán

học Babylonđã có thể giải những bài toán liên quan

đến diện tích và các cạnh của hình chữ nhật Có bằng

chứng chỉ ra thuật toán này xuất hiện từtriều đại Ur thứ

ba.[12] eo ký hiệu hiện đại, các bài toán này thường

liên quan đến việc giải hệ gồm hai phương trình:

4 Tính căn bậc hai bằng bảng căn bậc hai

5 Cộng kết quả của bước (1) và (4) để tìm x Điều

này về cơ bản là tương đương với việc tính x =

p+√(p)2

− q

Ở Babylon, Ai Cập, Hy Lạp, Trung ốc, và Ấn Độ,phương pháp hình học được sử dụng để giải phươngtrình bậc hai Tài liệuBerlin Papyruscủa người Ai Cập

có từ thời Trung vương quốc(từ năm 2050 đến 1650trước CN) có chứa lời giải của phương trình bậc haihai số hạng.[14]Trong nguyên bản kinhSulba Sutras,khoảng thế kỷ 8 trước CN, phương trình bậc hai dạng

ax2 = c và ax2+ bx = c được khảo sát bằng phương

pháp hình học Các nhà toán học Babylon từ khoảnnăm 400 trước CN vàcác nhà toán học Trung ốc

từ khoảng năm 200 trước CN đã sử dụngphương phápphân chia hình họcđể giải các phương trình bậc hai vớinghiệm dương.[15][16]CuốnCửu chương toán thuậtcủangười Trung ốc có ghi những quy tắc của phươngtrình bậc hai.[16][17] Trong những phương pháp hìnhhọc thuở đầu này không xuất hiện một công thức tổngquát Tới khoảng năm 300 trước CN, nhà toán học HyLạpEuclidđã cho ra một phương pháp hình học trừutượng hơn Với cách tiếp cận hoàn toàn bằng hình học,

Pythagorasvà Euclid đã tạo dựng một phương pháptổng quan để tìm nghiệm của phương trình bậc hai.Trong tác phẩmArithmeticacủa mình, nhà toán học

Hy LạpDiophantusđã giải phương trình bậc hai, tuynhiên chỉ cho ra một nghiệm, kể cả khi cả hai nghiệmđều là dương.[18]

Vào năm 628 CN,Brahmagupta, mộtnhà toán học Ấn

Độđưa ra lời giải rõ ràng đầu tiên (dù vẫn chưa hoàn

toàn tổng quát) cho phương trình bậc hai ax2 + bx

= c như sau: “Nhân số tuyệt đối (c) với bốn lần hệ

số bình phương, cộng với bình phương hệ số số hạng

ở giữa; căn bậc hai toàn bộ, trừ đi hệ số số hạng ởgiữa, rồi chia cho hai lần hệ số bình phương là giá trị.”

(Brahmasphutasiddhanta, Colebrook translation, 1817,

tr 346)[13] :87Điều này tương đương:

x =

√

4ac + b2− b

ủ bản Bakhshalira đời ở Ấn Độ vào thế kỷ 7 CN

có chứa một công thức đại số cho việc giải phươngtrình bậc hai, cũng như những phương trìnhvô định

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmiđi xa hơn trongviệc cung cấp một lời giải đầy đủ cho phương trình bậchai dạng tổng quát,[19]ông cũng đã mô tả phương phápphần bù bình phương và thừa nhận rằngbiệt thứcphảidương,[19][20] :230điều đã được'Abd al-Hamīd ibn Turk

(Trung Á, thế kỷ 9) chứng minh Turk là người đưa ranhững biểu đồ hình học chứng minh rằng nếu biệt thức

âm thì phương trình bậc hai vô nghiệm.[20] :234 Trongkhi bản thân al-Khwarizmi không chấp nhận nghiệm

âm, các nhà toán học Hồi giáo kế tục ông sau này đãchấp nhận nghiệm âm cũng như nghiệmvô tỉ.[19] :191 [21]

Cá biệtAbū Kāmil Shujā ibn Aslam(Ai Cập, thế kỷ 10)

là người đầu tiên chấp nhận các số vô tỉ (thường ở dạng

căn bậc hai,căn bậc bahaycăn bậc bốn) là nghiệm hay

làhệ sốcủa phương trình bậc hai.[22]Nhà toán học Ấn

Độ thế kỷ thứ 9 Sridharađã viết ra các quy tắc giảiphương trình bậc hai.[23]

1.6 THAM KHẢO 5

Nhà toán học người Do áiAbraham bar Hiyya

Ha-Nasi(thế kỷ 12, Tây Ban Nha) là tác giả cuốn sách đầu

tiên của người châu Âu có chứa lời giải đầy đủ cho

phương trình bậc hai dạng tổng quát.[24]Giải pháp của

Ha-Nasi dựa nhiều vào tác phẩm của Al-Khwarizmi.[19]

Lần đầu tiên hệ số âm của 'x' xuất hiện trong tác

phẩm của nhà toán học người Trung ốcYang Hui

(1238–1298 CN), dù vậy ông cho điều này là từ nhà

toán học Liu Yi ở thời trước đó.[25] Vào năm 1545

Gerolamo Cardanobiên soạn các tác phẩm liên quan

đến phương trình bậc hai Công thức nghiệm cho mọi

trường hợp lần đầu đạt được bởiSimon Stevinvào năm

1594.[26] Năm 1637René Descartescông bố tác phẩm

La Géométrietrong đó có chứa công thức nghiệm mà

chúng ta biết ngày nay Lời giải tổng quát xuất hiện

lần đầu trong tài liệu toán học hiện đại vào năm 1896,

bởi Henry Heaton.[27]

1.3 Công thức Viète

Công thức Viètecho ta thấy quan hệ đơn giản giữa các

nghiệm của đa thức với các hệ số của nó Trong trường

hợp phương trình bậc hai một ẩn, chúng được phát biểu

Khi phương trình bậc hai đã cho có dấu hiệu sau:

• a + b + c = 0 (với a,b và c là các hệ số của phương

trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương

trình là: x1= 1; x2= c a

• a − b + c = 0 (với a,b và c là các hệ số của phương

trình bậc 2, a khác 0) thì lúc đó nghiệm của phương

trình là: x1=−1; x2=− c

a

• Nếu ac < 0 (tức a và c trái dấu nhau) thì phương

trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt

• Lý thuyết cơ bản của đại số

• Đường cong bậc hai

of eory and Problems of Elementary Algebra, eMcGraw-Hill Companies,ISBN 0-07-141083-X,Chapter

13 §4.4, p 291[6] Himonas, Alex.Calculus for Business and Social Sciences,

p 64 (Richard Dennis Publications, 2001)

[7] Kahan, Willian (20 tháng 11 năm 2004),On the Cost

of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic(PDF), truy cập ngày 25 tháng 12 năm 2012

[8] Alenit͡syn, Aleksandr and Butikov, Evgeniĭ Concise Handbook of Mathematics and Physics, p 38 (CRC Press

[11] Wharton, P (2006) Essentials of Edexcel Gcse Math/Higher Lonsdale tr 63.ISBN 978-1-905-129-78-2.[12] Friberg, Jöran (2009) “A Geometric Algorithm withSolutions to adratic Equations in a SumerianJuridical Document from Ur III Umma” Cuneiform

Digital Library Journal 3.

[13] Stillwell, John (2004) Mathematics and Its History (2nd ed.) Springer.ISBN 0-387-95336-1

[14] e Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East Cambridge University Press 1971 tr

530.ISBN 978-0-521-07791-0

[15] Henderson, David W “Geometric Solutions of

adratic and Cubic Equations” Mathematics

Department, Cornell University Truy cập ngày 28

tháng 4 năm 2013

[16] Aitken, Wayne “A Chinese Classic: e Nine

Chapters”(PDF) Mathematics Department, California

State University Truy cập ngày 28 tháng 4 năm 2013

[17] Smith, David Eugene (1958) History of Mathematics

Courier Dover Publications tr 380 ISBN

978-0-486-20430-7

[18] Smith, David Eugene (1958) History of Mathematics,

Volume 1 Courier Dover Publications tr 134.ISBN

0-486-20429-4.Extract of page 134

[19] Katz, V J.; Barton, B (2006) “Stages in the

History of Algebra with Implications for Teaching”

Educational Studies in Mathematics 66 (2): 185–201.

doi:10.1007/s10649-006-9023-7

[20] Boyer, Carl B.; Uta C Merzbach, rev editor (1991) A

History of Mathematics John Wiley & Sons, Inc.ISBN

0-471-54397-7

[21] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., “Arabic

mathematics: forgoen brilliance?”, Dữ liệu Lịch sử

Toán học MacTutor,Đại học St Andrews“Algebra was

a unifying theory which allowed rational numbers,

irrational numbers, geometrical magnitudes, etc., to all

be treated as “algebraic objects”."

[22] Jacques Sesiano, “Islamic mathematics”, p 148, in

Selin, Helaine;D'Ambrosio, Ubiratan biên tập (2000),

Mathematics Across Cultures: e History of

Non-Western Mathematics,Springer,ISBN 1-4020-0260-2

[23] Smith, David Eugene (1958) History of Mathematics

Courier Dover Publications tr 280 ISBN

978-0-486-20429-1

[24] Livio, Mario (2006) e Equation that Couldn't Be

Solved Simon & Schuster.ISBN 0743258215

[25] Ronan, Colin (1985).e Shorter Science and Civilisation

in China Cambridge University Press tr 15.ISBN

978-0-521-31536-4

[26] Struik, D J.; Stevin, Simon (1958),e Principal Works

of Simon Stevin, Mathematics(PDF) II–B, C V Swets &

Zeitlinger, tr 470

[27] Heaton, H (1896) “A Method of Solving adratic

Equations” American Mathematical Monthly 3 (10):

236–237.JSTOR 2971099.doi:10.2307/2971099

1.7 Liên kết ngoài

• adratic Equation Solver

• Solve adratic equations, see work shown and

draw graphs

• Bài giảng về mặt bậc hai trong không gian

Chương 2

Toán học

Euclid, nhà toán học Hy Lạp, thế kỷ thứ 3 trước Tây lịch, theo

hình dung của họa sĩ Raphael, trong một chi tiết của bức họa

“Trường Athens” [1]

Toán học là ngành nghiên cứu trừu tượng về những chủ

đề như: lượng (cáccon số),[2] cấu trúc,[3] không gian,

vàsự thay đổi.[4][5][6]Các nhà toán học và triết học có

nhiều quan điểm khác nhau về định nghĩa và phạm vi

của toán học.[7][8]

Các nhà toán học tìm kiếm các mô thức[9][10] và sử

dụng chúng để tạo ra nhữnggiả thuyếtmới Họ lý giải

tính đúng đắn hay sai lầm của các giả thuyết bằng các

chứng minh toán học Khi những cấu trúc toán học là

mô hình tốt cho hiện thực, lúc đó suy luận toán học có

thể cung cấp sự hiểu biết sâu sắc hay những tiên đoán

về tự nhiên ông qua việc sử dụng những phương

pháp trừu tượng vàlôgic, toán học đã phát triển từ việc

đếm, tính toán,đo lường, và nghiên cứu có hệ thống

những hình dạng vàchuyển độngcủa các đối tượng

vật lý Con người đã ứng dụng toán học trong đời sống

từ xa xưa Việc tìm lời giải cho những bài toán có thể

mất hàng năm, hay thậm chí hàng thế kỷ.[11]

Nhữnglập luận chặt chẽxuất hiện trước tiên trong nền

toán họcHy Lạpcổ đại, đáng chú ý nhất là trong tác

phẩm Cơ sởcủa Euclid Kể từ những công trình tiên

phong củaGiuseppe Peano(1858–1932),David Hilbert

(1862–1943), và của những nhà toán học khác trongthế

kỷ 19về các hệ thống tiên đề, nghiên cứu toán học trở

thành việc thiết lậpchân lýthông qua suy luận lôgic

chặt chẽ từ nhữngtiên đềvàđịnh nghĩathích hợp Toánhọc phát triển tương đối chậm cho tới thờiPhục hưng,khi sự tương tác giữa những phát minh toán học vớinhững phát kiến khoa học mới đã dẫn đến sự gia tăngnhanh chóng những phát minh toán học vẫn tiếp tụccho đến ngày nay.[12]

Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công

cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồmkhoa học,

kỹ thuật,y học, vàtài chính.Toán học ứng dụng, mộtnhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thứctoán học vào những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụngnhững phát minh toán học mới, từ đó đã dẫn đến việcphát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳnghạn nhưthống kêvàlý thuyết trò chơi Các nhà toánhọc cũng dành thời gian chotoán học thuần túy, haytoán học vị toán học Không có biên giới rõ ràng giữatoán học thuần túy và toán học ứng dụng, và nhữngứng dụng thực tiễn thường được khám phá từ những gìban đầu được xem là toán học thuần túy.[13]

2.1 Lịch sử

Từ “mathematics” trong tiếng Anh bắt nguồn từ

μάθημα (máthēma) trong tiếng Hy Lạp cổ, có nghĩa

là “thứ học được”,[14]“những gì người ta cần biết,” vànhư vậy cũng có nghĩa là “học” và “khoa học"; còntrong tiếng Hy Lạp hiện đại thì nó chỉ có nghĩa là “bài

học.” Từ máthēma bắt nguồn từ μανθάνω (manthano),

từ tương đương trong tiếng Hy Lạp hiện đại là μαθαίνω

(mathaino), cả hai đều có nghĩa là “học.” TrongtiếngViệt, “toán” có nghĩa là tính; “toán học” là môn học về

toán số.[15] Trong cácngôn ngữsử dụng từ vựng gốcHán khác, môn học này lại được gọi làsố học

Sự tiến hóa của toán học có thể nhận thấy qua mộtloạt gia tăng không ngừng những phép trừu tượng, hayqua sự mở rộng của nội dung ngành học Phép trừutượng đầu tiên, mà nhiều loài động vật có được,[16]có

lẽ là về cáccon số, với nhận thức rằng, chẳng hạn, mộtnhóm hai quả táo và một nhóm hai quả cam có cái gì

đó chung, ở đây là số lượng quả trong mỗi nhóm.7