Phương trình bậc hai

Phng trỡnh bc hai Mc lc Phng trỡnh bc hai 1.1 Gii phng trỡnh bc hai 1.1.1 Phõn tớch thnh nhõn t bng cỏch kim tra 1.1.2 Phn bự bỡnh phng 1.1.3 Cụng thc nghim 1.1.4 Phng trỡnh bc hai rỳt gn 1.1.5 Bit thc 1.1.6 Din gii bng hỡnh hc 1.1.7 Nhõn t húa a thc bc hai 1.2 Lch s 1.3 Cụng thc Viốte 1.4 Cỏc trng hp nhn bit c bit 1.5 Ch liờn quan 1.6 am kho 1.7 Liờn kt ngoi Toỏn hc 2.1 Lch s 2.2 Cm hng, thun tỳy v ng dng, v v p 2.3 Ký hiu, ngụn ng, v tớnh cht ch 2.4 Cỏc lnh vc toỏn hc 2.4.1 Nn tng v trit hc 10 2.4.2 Toỏn hc thun tỳy 10 2.4.3 Toỏn hc ng dng 11 2.5 Gii thng toỏn hc v nhng bi toỏn cha gii c 12 2.6 Mi quan h gia toỏn hc v khoa hc 12 2.7 Xem thờm 13 2.8 Chỳ thớch 13 2.9 am kho 14 2.10 Liờn kt ngoi 15 2.11 Ngun, ngi úng gúp, v giy phộp cho bn v hỡnh nh 16 2.11.1 Vn bn 16 2.11.2 Hỡnh nh 16 i ii MC LC 2.11.3 Giy phộp ni dung 18 Chng Phng trỡnh bc hai Cụng thc nghim tng quỏt ca phng trỡnh bc hai Trong i s s cp, phng trỡnh bc hai l phng trỡnh cú dng: Hỡnh th ca hm s bc hai y = ax2 + bx + c vi mi h s bin i cỏc h s khỏc gi nguyờn ti giỏ tr a = 1, b = 0, c = Vớ d, th bờn phi l ca hm s y = ax2 (b = c = khụng i) ng vi cỏc giỏ tr a thay i l 4/3, 1/2, 0, 1/3, v 3/2 (mu sc tng ng); tng t th gia l ca hm s y = x2 + bx v th bờn trỏi l ca hm s y = x2 + c ax2 + bx + c = vi x l n s cha bit v a, b, c l cỏc s ó bit cho a khỏc Nu a = thỡ phng trỡnh s chuyn v dng bc nht, khụng cũn l bc hai Cỏc s a, b, v c l nhng h s ca phng trỡnh v cú th phõn bit bng cỏch gi tng ng h s bc hai, h s bc mt, v hng s hay s hng t do.[1] 1.1.1 Phõn tớch thnh nhõn t bng cỏch kim tra Vỡ phng trỡnh bc hai ch cú mt n nờn nú c gi l phng trỡnh "n bin" Phng trỡnh bc hai ch cha ly tha ca x l cỏc s t nhiờn, bi vy chỳng l mt dng phng trỡnh a thc, c th l phng trỡnh a thc bc hai bc cao nht l hai Phng trỡnh bc hai ax + bx + c = cú th vit c thnh (px + q)(rx + s) = Trong mt vi trng hp, iu ny cú th thc hin bng mt bc xem xột n gin xỏc nh cỏc giỏ tr p, q, r, v s cho phự hp vi phng trỡnh u Sau ó vit c thnh dng ny thỡ phng trỡnh bc hai s tha nu px + q = hoc rx + s = Gii hai phng trỡnh bc nht ny ta s tỡm c nghim Cỏc cỏch gii phng trỡnh bc hai ph bin l nhõn t húa (phõn tớch thnh nhõn t), phng phỏp phn bự bỡnh phng, s dng cụng thc nghim, hoc th Gii phỏp cho cỏc tng t phng trỡnh Vi hu ht hc sinh, phõn tớch thnh nhõn t bng bc hai ó c ngi bit n t nm 2000 trc cỏch kim tra l phng phỏp gii phng trỡnh bc Cụng Nguyờn hai u tiờn m h c tip cn.[2]:202207 Nu phng trỡnh bc hai dng x + bx + c = (a = 1) thỡ cú th tỡm cỏch phõn tớch v trỏi thnh (x + q)(x + s), ú q v s cú tng l b v tớch l c (õy ụi c gi l quy tc Viet[3] ) Vớ d, x + 5x + vit thnh (x + 3)(x 1.1 Gii phng trỡnh bc hai + 2) Trng hp tng quỏt hn a ũi hi n lc ln hn vic oỏn, th v kim tra; gi nh rng Mt phng trỡnh bc hai vi cỏc h s thc hoc phc hon ton cú th lm c nh vy cú hai ỏp s, gi l cỏc nghim Hai nghim ny cú th phõn bit hoc khụng, v cú th l thc hoc khụng Tr nhng trng hp c bit nh b = hay c = 0, phõn tớch bng kim tra ch thc hin c i vi CHNG PHNG TRèNH BC HAI nhng phng trỡnh bc hai cú nghim hu t iu Tip theo l vớ d minh vic s dng thut toỏn ny cú ngha l a phn cỏc phng trỡnh bc hai phỏt ny Gii phng trỡnh 2x + 4x = sinh ng dng thc tin khụng th gii c bng phng phỏp ny.[2]:207 1) x2 + 2x = 1.1.2 2) x2 + 2x = Phn bự bỡnh phng 3) x2 + 2x + = + 4) (x + 1) = 5) x + = 6) x = y Du cng-tr "" biu th rng c x = + v x = u l nghim ca phng trỡnh.[4] 1.1.3 Cụng thc nghim y = x2x2 x Hỡnh th hm s bc hai y = x2 x Cỏc honh giao im ca th vi trc honh x = v x = l nghim ca phng trỡnh bc hai x2 x = Cú th ỏp dng phng phỏp phn bự bỡnh phng rỳt mt cụng thc tng quỏt cho vic gii phng trỡnh bc hai, c gi l cụng thc nghim ca phng trỡnh bc hai.[5] Gi l phn chng minh túm tt.[6] Bng khai trin a thc, d thy phng trỡnh di õy tng ng vi phng trỡnh u: ( )2 b b2 4ac x+ = 2a 4a2 Ly cn bc hai ca hai v ri chuyn x v mt bờn, ta c: Trong quỏ trỡnh hon thnh bỡnh phng ta s dng hng ng thc: x= b b2 4ac 2a Mt s ngun ti liu, c bit l ti liu c, s dng tham s húa phng trỡnh bc hai thay th nh ax + [7] mt thut toỏn rch rũi cú th ỏp dng gii bt k 2bx + c = hoc ax 2bx + c = , õy b cú ln phng trỡnh bc hai no.[2]:207 Bt u vi phng bng mt na v cú th mang du ngc li Cỏc dng nghim l hi khỏc, cũn li thỡ tng ng trỡnh bc hai dng tng quỏt ax + bx + c = x2 + 2hx + h2 = (x + h)2 , Chia hai v cho a, h s ca n bỡnh phng Tr c/a mi v ờm bỡnh phng ca mt na b/a, h s ca x, vo hai v, v trỏi s tr thnh bỡnh phng y Vit v trỏi thnh bỡnh phng ca mt tng v n gin húa v phi nu cn thit Khai cn hai v thu c hai phng trỡnh bc nht Gii hai phng trỡnh bc nht Cũn mt s cỏch rỳt cụng thc nghim cú th tỡm thy ti liu Cỏc cỏch chng minh ny l n gin hn phng phỏp phn bự bỡnh phng tiờu chun Mt cụng thc ớt ph bin hn, nh dựng phng phỏp Muller v cú th tỡm c t cụng thc Viet: x= 2c b b2 4ac Mt tớnh cht ca cụng thc ny l a = nú s cho mt nghim hp l, nghim cũn li cú cha phộp chia cho 0, bi a = thỡ phng trỡnh bc hai s chuyn v bc nht cú mt nghim Ngc li, cụng thc ph bin cha phộp chia cho c hai trng hp 1.1 GII PHNG TRèNH BC HAI 1.1.4 Phng trỡnh bc hai rỳt gn Vic rỳt gn phng trỡnh bc hai cho h s ln nht bng mt ụi l tin li Cỏch lm l chia c hai v cho a, iu ny luụn thc hin c bi a khỏc 0, ta c phng trỡnh bc hai rỳt gn:[8] x2 + px + q = 0, ú p = b/a v q = c/a Cụng thc nghim ca phng trỡnh ny l: x= ) 1( p p2 4q 1.1.5 b + 2a v b , 2a c hai u l nghim thc i vi nhng phng trỡnh bc hai cú h s hu t, nu l mt s chớnh phng thỡ nghim l hu t; cũn vi nhng trng hp khỏc chỳng cú th l cỏc s vụ t Nu = 0, phng trỡnh cú mt nghim thc: b , 2a hay ụi cũn gi l nghim kộp Bit thc Nu õm ( < 0), phng trỡnh khụng cú nghim thc, thay vo ú l hai nghim phc phõn bit[10] 0 =0 Vy phng trỡnh cú nghim phõn bit v ch khỏc 0, cú nghim thc v ch khụng õm ( 0) 1.1.6 Din gii bng hỡnh hc Hm s f (x) = ax + bx + c l hm s bc hai.[11] th ca bt k hm bc hai no cng u cú mt dng chung c gi l parabol V trớ, hỡnh dng, kớch c ca Hỡnh nh hng ca du ca bit thc n s nghim [thc] parabol ph thuc vo giỏ tr ca a, b, v c Nu a > 0, ca phng trỡnh bc hai Khi > 0, ng parabol ct trc prabol cú mt im cc tiu v b lừm hng lờn trờn; honh ti hai im; = 0, nh ca parabol tip xỳc vi trc nu a < 0, parabol cú mt im cc i v b lừm hng honh ti mt im nht; < 0, parabol khụng giao trc xung di (xem hỡnh 1, a) Cc im ca parabol ng honh ti bt k im no (ng parabol l th ca hm s vi nh ca nú; im ny cú honh x= b 2a , tớnh x bc hai) ri th vo hm s ta s tỡm c giỏ tr tung th Trong cụng thc nghim ca phng trỡnh bc hai, biu giao trc tung ti im cú ta (0, c) thc di du cn c gi l bit thc v thng c Cỏc nghim ca phng trỡnh bc hai ax + bx + c = biu din bng ch D hoa hoc ch delta hoa () tng ng l cỏc nghim ca hm s f (x) = ax + bx + bng ch cỏi Hy Lp:[9] c bi chỳng l nhng giỏ tr ca x cho f (x) = Nu a, b, v c l nhng s thc v xỏc nh ca hm f l hp s thc thỡ nghim ca f l honh ca giao/tip im ca th vi trc honh (xem hỡnh 3) = b2 4ac Phng trỡnh bc hai vi cỏc h s thc cú th cú mt hoc hai nghim thc phõn bit, hoc hai nghim phc 1.1.7 Nhõn t húa a thc bc hai phõn bit Trong trng hp ny bit thc quyt nh Biu thc s lng v bn cht ca nghim Cú ba trng hp: Nu dng ( > 0), phng trỡnh cú hai nghim phõn bit: xr CHNG PHNG TRèNH BC HAI l nhõn t ca a thc Babylon, Ai Cp, Hy Lp, Trung c, v n , phng phỏp hỡnh hc c s dng gii phng trỡnh bc hai Ti liu Berlin Papyrus ca ngi Ai Cp cú t thi Trung vng quc (t nm 2050 n 1650 ax + bx + c trc CN) cú cha li gii ca phng trỡnh bc hai [14] Trong nguyờn bn kinh Sulba Sutras, v ch r l mt nghim ca phng trỡnh bc hai s hng khong th k trc CN, phng trỡnh bc hai dng hai ax = c v ax + bx = c c kho sỏt bng phng phỏp hỡnh hc Cỏc nh toỏn hc Babylon t khon nm 400 trc CN v cỏc nh toỏn hc Trung c ax2 + bx + c = t khong nm 200 trc CN ó s dng phng phỏp phõn chia hỡnh hc gii cỏc phng trỡnh bc hai vi T cụng thc nghim ta cú nghim dng.[15][16] Cun Cu chng toỏn thut ca ngi Trung c cú ghi nhng quy tc ca phng [16][17] )( ( Trong nhng phng phỏp hỡnh trỡnh bc)hai 4ac 4ac b + b b b hc thu u ny khụng xut hin mt cụng thc tng x ax +bx+c = a x 2a 2a quỏt Ti khong nm 300 trc CN, nh toỏn hc Hy Lp Euclid ó cho mt phng phỏp hỡnh hc tru Trong trng hp c bit b2 = 4ac (hay = 0) phng tng hn Vi cỏch tip cn hon ton bng hỡnh hc, trỡnh ch cú mt nghim phõn bit, cú th nhõn t húa Pythagoras v Euclid ó to dng mt phng phỏp tng quan tỡm nghim ca phng trỡnh bc hai a thc bc hai thnh Trong tỏc phm Arithmetica ca mỡnh, nh toỏn hc Hy Lp Diophantus ó gii phng trỡnh bc hai, ( )2 nhiờn ch cho mt nghim, k c c hai nghim b ax2 + bx + c = a x + u l dng.[18] 2a Vo nm 628 CN, Brahmagupta, mt nh toỏn hc n a li gii rừ rng u tiờn (dự cha hon ton tng quỏt) cho phng trỡnh bc hai ax + bx 1.2 Lch s = c nh sau: Nhõn s tuyt i (c) vi bn ln h Ngay t nm 2000 trc Cụng Nguyờn, cỏc nh toỏn s bỡnh phng, cng vi bỡnh phng h s s hng hc Babylon ó cú th gii nhng bi toỏn liờn quan gia; cn bc hai ton b, tr i h s s hng n din tớch v cỏc cnh ca hỡnh ch nht Cú bng gia, ri chia cho hai ln h s bỡnh phng l giỏ tr. Colebrook translation, 1817, chng ch thut toỏn ny xut hin t triu i Ur th (Brahmasphutasiddhanta, [13]:87 tr 346) iu ny tng ng: [12] ba eo ký hiu hin i, cỏc bi toỏn ny thng liờn quan n vic gii h gm hai phng trỡnh: x + y = p, xy = q 4ac + b2 b x= 2a bn Bakhshali i n vo th k CN cú cha mt cụng thc i s cho vic gii phng tng ng vi phng trỡnh:[13]:86 trỡnh bc hai, cng nh nhng phng trỡnh vụ nh Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi i xa hn vic cung cp mt li gii y cho phng trỡnh bc x2 + q = px hai dng tng quỏt,[19] ụng cng ó mụ t phng phỏp phn bự bỡnh phng v tha nhn rng bit thc phi Cỏc bc gii c ngi Babylon a nh sau: dng,[19][20]:230 iu ó c 'Abd al-Hamd ibn Turk (Trung , th k 9) chng minh Turk l ngi a nhng biu hỡnh hc chng minh rng nu bit thc Tớnh p/2 õm thỡ phng trỡnh bc hai vụ nghim.[20]:234 Trong bn thõn al-Khwarizmi khụng chp nhn nghim Bỡnh phng kt qu tỡm c õm, cỏc nh toỏn hc Hi giỏo k tc ụng sau ny ó Tr i q chp nhn nghim õm cng nh nghim vụ t.[19]:191[21] Cỏ bit Ab Kmil Shuj ibn Aslam (Ai Cp, th k 10) Tớnh cn bc hai bng bng cn bc hai l ngi u tiờn chp nhn cỏc s vụ t (thng dng cn bc hai, cn bc ba hay cn bc bn) l nghim hay Cng kt qu ca bc (1) v (4) tỡm x iu l h s ca phng trỡnh bc hai.[22] Nh toỏn hc n ny v (c)bn l tng ng vi vic tớnh x = th k th Sridhara ó vit cỏc quy tc gii p p q phng trỡnh bc hai.[23] + 1.6 THAM KHO Nh toỏn hc ngi Do ỏi Abraham bar Hiyya HaNasi (th k 12, Tõy Ban Nha) l tỏc gi cun sỏch u tiờn ca ngi chõu u cú cha li gii y cho phng trỡnh bc hai dng tng quỏt.[24] Gii phỏp ca Ha-Nasi da nhiu vo tỏc phm ca Al-Khwarizmi.[19] Ln u tiờn h s õm ca 'x' xut hin tỏc phm ca nh toỏn hc ngi Trung c Yang Hui (12381298 CN), dự vy ụng cho iu ny l t nh toỏn hc Liu Yi thi trc ú.[25] Vo nm 1545 Gerolamo Cardano biờn son cỏc tỏc phm liờn quan n phng trỡnh bc hai Cụng thc nghim cho mi trng hp ln u t c bi Simon Stevin vo nm 1594.[26] Nm 1637 Renộ Descartes cụng b tỏc phm La Gộomộtrie ú cú cha cụng thc nghim m chỳng ta bit ngy Li gii tng quỏt xut hin ln u ti liu toỏn hc hin i vo nm 1896, bi Henry Heaton.[27] 1.3 Cụng thc Viốte Cụng thc Viốte cho ta thy quan h n gin gia cỏc nghim ca a thc vi cỏc h s ca nú Trong trng hp phng trỡnh bc hai mt n, chỳng c phỏt biu nh sau: Nu x1 v x2 l hai nghim ca phng trỡnh ax2 + bx + c = (a = 0) thỡ: b x1 + x2 = S = a x1 x2 = P = c a Hm s bc hai Phng trỡnh bc ba Phng trỡnh bc bn Phng trỡnh bc nm Lý thuyt c bn ca i s ng cong bc hai Mt bc hai 1.6 Tham kho [1] Proers & Morrey: " Calculus and Analytic Geometry First Course [2] Washington, Allyn J (2000) Basic Technical Mathematics with Calculus, Seventh Edition Addison Wesley Longman, Inc ISBN 0-201-35666-X [3] Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Ewing, John H (1991), Numbers, Graduate Texts in Mathematics 123, Springer, tr 77, ISBN 9780387974972 [4] Sterling, Mary Jane (2010), Algebra I For Dummies, Wiley Publishing, tr 219, ISBN 978-0-470-55964-2 [5] Rich, Barne; Schmidt, Philip (2004), Schaums Outline of eory and Problems of Elementary Algebra, e McGraw-Hill Companies, ISBN 0-07-141083-X, Chapter 13 Đ4.4, p 291 [6] Himonas, Alex Calculus for Business and Social Sciences, p 64 (Richard Dennis Publications, 2001) 1.4 Cỏc trng hp nhn bit c bit [7] Kahan, Willian (20 thỏng 11 nm 2004), On the Cost of Floating-Point Computation Without Extra-Precise Arithmetic (PDF), truy cp ngy 25 thỏng 12 nm 2012 Khi phng trỡnh bc hai ó cho cú du hiu sau: [8] Alenitsyn, Aleksandr and Butikov, Evgeni Concise Handbook of Mathematics and Physics, p 38 (CRC Press 1997) a + b + c = (vi a,b v c l cỏc h s ca phng trỡnh bc 2, a khỏc 0) thỡ lỳc ú nghim ca phng trỡnh l: x1 = 1; x2 = ac a b + c = (vi a,b v c l cỏc h s ca phng trỡnh bc 2, a khỏc 0) thỡ lỳc ú nghim ca phng trỡnh l: x1 = 1; x2 = ac Nu ac < (tc a v c trỏi du nhau) thỡ phng trỡnh luụn luụn cú nghim phõn bit 1.5 Ch liờn quan Phng trỡnh Phng trỡnh tuyn tớnh Hm s bc nht [9] is the initial of the Greek word , Diakrớnousa, discriminant [10] Achatz, omas; Anderson, John G.; McKenzie, Kathleen (2005) Technical Shop Mathematics Industrial Press tr 277 ISBN 0-8311-3086-5 [11] Wharton, P (2006) Essentials of Edexcel Gcse Math/Higher Lonsdale tr 63 ISBN 978-1-905-129-78-2 [12] Friberg, Jửran (2009) A Geometric Algorithm with Solutions to adratic Equations in a Sumerian Juridical Document from Ur III Umma Cuneiform Digital Library Journal [13] Stillwell, John (2004) Mathematics and Its History (2nd ed.) Springer ISBN 0-387-95336-1 [14] e Cambridge Ancient History Part Early History of the Middle East Cambridge University Press 1971 tr 530 ISBN 978-0-521-07791-0 6 CHNG PHNG TRèNH BC HAI [15] Henderson, David W Geometric Solutions of adratic and Cubic Equations Mathematics Department, Cornell University Truy cp ngy 28 thỏng nm 2013 [16] Aitken, Wayne A Chinese Classic: e Nine Chapters (PDF) Mathematics Department, California State University Truy cp ngy 28 thỏng nm 2013 [17] Smith, David Eugene (1958) History of Mathematics Courier Dover Publications tr 380 ISBN 978-0-48620430-7 [18] Smith, David Eugene (1958) History of Mathematics, Volume Courier Dover Publications tr 134 ISBN 0486-20429-4 Extract of page 134 [19] Katz, V J.; Barton, B (2006) Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching Educational Studies in Mathematics 66 (2): 185201 doi:10.1007/s10649-006-9023-7 [20] Boyer, Carl B.; Uta C Merzbach, rev editor (1991) A History of Mathematics John Wiley & Sons, Inc ISBN 0-471-54397-7 [21] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., Arabic mathematics: forgoen brilliance?, D liu Lch s Toỏn hc MacTutor, i hc St Andrews Algebra was a unifying theory which allowed rational numbers, irrational numbers, geometrical magnitudes, etc., to all be treated as algebraic objects." [22] Jacques Sesiano, Islamic mathematics, p 148, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan biờn (2000), Mathematics Across Cultures: e History of NonWestern Mathematics, Springer, ISBN 1-4020-0260-2 [23] Smith, David Eugene (1958) History of Mathematics Courier Dover Publications tr 280 ISBN 978-0-48620429-1 [24] Livio, Mario (2006) e Equation that Couldn't Be Solved Simon & Schuster ISBN 0743258215 [25] Ronan, Colin (1985) e Shorter Science and Civilisation in China Cambridge University Press tr 15 ISBN 9780-521-31536-4 [26] Struik, D J.; Stevin, Simon (1958), e Principal Works of Simon Stevin, Mathematics (PDF) IIB, C V Swets & Zeitlinger, tr 470 [27] Heaton, H (1896) A Method of Solving adratic Equations American Mathematical Monthly (10): 236237 JSTOR 2971099 doi:10.2307/2971099 1.7 Liờn kt ngoi adratic Equation Solver Solve adratic equations, see work shown and draw graphs Bi ging v mt bc hai khụng gian Chng Toỏn hc cht ch t nhng tiờn v nh ngha thớch hp Toỏn hc phỏt trin tng i chm cho ti thi Phc hng, s tng tỏc gia nhng phỏt minh toỏn hc vi nhng phỏt kin khoa hc mi ó dn n s gia tng nhanh chúng nhng phỏt minh toỏn hc tip tc cho n ngy nay.[12] Toỏn hc c s dng trờn khp th gii nh mt cụng c thit yu nhiu lnh vc, bao gm khoa hc, k thut, y hc, v ti chớnh Toỏn hc ng dng, mt nhỏnh toỏn hc liờn quan n vic ng dng kin thc toỏn hc vo nhng lnh vc khỏc, thỳc y v s dng nhng phỏt minh toỏn hc mi, t ú ó dn n vic phỏt trin nờn nhng ngnh toỏn hon ton mi, chng hn nh thng kờ v lý thuyt trũ chi Cỏc nh toỏn hc cng dnh thi gian cho toỏn hc thun tỳy, hay toỏn hc v toỏn hc Khụng cú biờn gii rừ rng gia toỏn hc thun tỳy v toỏn hc ng dng, v nhng ng dng thc tin thng c khỏm phỏ t nhng gỡ ban u c xem l toỏn hc thun tỳy.[13] Euclid, nh toỏn hc Hy Lp, th k th trc Tõy lch, theo hỡnh dung ca s Raphael, mt chi tit ca bc Trng Athens.[1] Toỏn hc l ngnh nghiờn cu tru tng v nhng ch nh: lng (cỏc s),[2] cu trỳc,[3] khụng gian, v s thay i.[4][5][6] Cỏc nh toỏn hc v trit hc cú nhiu quan im khỏc v nh ngha v phm vi ca toỏn hc.[7][8] 2.1 Lch s Cỏc nh toỏn hc tỡm kim cỏc mụ thc[9][10] v s dng chỳng to nhng gi thuyt mi H lý gii tớnh ỳng n hay sai lm ca cỏc gi thuyt bng cỏc chng minh toỏn hc Khi nhng cu trỳc toỏn hc l mụ hỡnh tt cho hin thc, lỳc ú suy lun toỏn hc cú th cung cp s hiu bit sõu sc hay nhng tiờn oỏn v t nhiờn ụng qua vic s dng nhng phng phỏp tru tng v lụgic, toỏn hc ó phỏt trin t vic m, tớnh toỏn, o lng, v nghiờn cu cú h thng nhng hỡnh dng v chuyn ng ca cỏc i tng vt lý Con ngi ó ng dng toỏn hc i sng t xa xa Vic tỡm li gii cho nhng bi toỏn cú th mt hng nm, hay thm hng th k.[11] T mathematics ting Anh bt ngun t (mỏthma) ting Hy Lp c, cú ngha l th hc c,[14] nhng gỡ ngi ta cn bit, v nh vy cng cú ngha l hc v khoa hc"; cũn ting Hy Lp hin i thỡ nú ch cú ngha l bi hc. T mỏthma bt ngun t (manthano), t tng ng ting Hy Lp hin i l (mathaino), c hai u cú ngha l hc. Trong ting Vit, toỏn cú ngha l tớnh; toỏn hc l mụn hc v toỏn s.[15] Trong cỏc ngụn ng s dng t vng gc Hỏn khỏc, mụn hc ny li c gi l s hc Nhng lp lun cht ch xut hin trc tiờn nn toỏn hc Hy Lp c i, ỏng chỳ ý nht l tỏc phm C s ca Euclid K t nhng cụng trỡnh tiờn phong ca Giuseppe Peano (18581932), David Hilbert (18621943), v ca nhng nh toỏn hc khỏc th k 19 v cỏc h thng tiờn , nghiờn cu toỏn hc tr thnh vic thit lp chõn lý thụng qua suy lun lụgic S tin húa ca toỏn hc cú th nhn thy qua mt lot gia tng khụng ngng nhng phộp tru tng, hay qua s m rng ca ni dung ngnh hc Phộp tru tng u tiờn, m nhiu loi ng vt cú c,[16] cú l l v cỏc s, vi nhn thc rng, chng hn, mt nhúm hai qu tỏo v mt nhúm hai qu cam cú cỏi gỡ ú chung, õy l s lng qu mi nhúm CHNG TON HC n khong nm 3000 trc Tõy lch thỡ toỏn hc phc hn mi xut hin, ngi Babylon v ngi Ai Cp bt u s dng s hc, i s, v hỡnh hc vic tớnh thu v nhng tớnh toỏn ti chớnh khỏc, xõy dng, v quan sỏt thiờn vn.[18] Toỏn hc c s dng sm nht thng mi, o c t ai, hi ha, dt, v vic ghi nh thi gian Cỏc phộp tớnh s hc cn bn toỏn hc Babylon (cng, tr, nhõn, v chia) xut hin u tiờn cỏc ti liu kho c Gia nm 600 n 300 trc Tõy lch, ngi Hy Lp c ó bt u nghiờn cu mt cỏch cú h thng v toỏn hc nh mt ngnh hc riờng, hỡnh thnh nờn toỏn hc Hy Lp.[19] K t ú toỏn hc ó phỏt trin vt bc; s tng tỏc gia toỏn hc v khoa hc ó em li nhiu thnh qu v li ớch cho c hai Ngy nay, nhng phỏt minh toỏn hc mi tip tc xut hin 2.2 Cm hng, thun tỳy v ng dng, v v p Nh toỏn hc Hy Lp Pythagoras (khong 570495 trc Tõy lch), c coi l ó phỏt minh nh lý Pythagore Nh toỏn hc Ba T Al-Khwarizmi (Khong 780-850 TCN), ngi phỏt minh i s Cỏc bng chng kho c hc cho thy, ngoi vic bit m nhng vt th vt lý, ngi thi tin s cú th cng ó bit m nhng i lng tru tng nh thi gian - ngy, mựa, v nm.[17] Isaac Newton (16431727), mt nhng ngi phỏt minh vi tớch phõn Toỏn hc ny sinh t nhiu kiu bi toỏn khỏc Trc ht l nhng bi toỏn thng mi, o c t ai, kin trỳc, v sau ny l thiờn hc; ngy nay, tt c cỏc ngnh khoa hc u gi ý nhng bi toỏn 2.4 CC LNH VC TON HC cỏc nh toỏn hc nghiờn cu, ngoi cũn nhiu bi toỏn ny sinh t chớnh bn thõn ngnh toỏn Chng hn, nh vt lý Richard Feynman ó phỏt minh tớch phõn l trỡnh (path integral) cho c hc lng t bng cỏch kt hp suy lun toỏn hc vi s hiu bit sõu sc v mt vt lý, v lý thuyt dõy - mt lý thuyt khoa hc ang giai on hỡnh thnh vi c gng thng nht tt c cỏc tng tỏc c bn t nhiờn - tip tc gi hng cho nhng lý thuyt toỏn hc mi.[20] Mt s lý thuyt toỏn hc ch cú ớch lnh vc ó giỳp to chỳng, v c ỏp dng gii cỏc bi toỏn khỏc lnh vc ú Nhng thng thỡ toỏn hc sinh mt lnh vc cú th hu ớch nhiu lnh vc, v úng gúp vo kho tng cỏc khỏi nim toỏn hc Cỏc nh toỏn hc phõn bit hai ngnh toỏn hc thun tỳy v toỏn hc ng dng Tuy vy cỏc ch toỏn hc thun tỳy thng tỡm thy mt s ng dng, chng hn nh lý thuyt s ngnh mt mó hc Vic c toỏn hc thun tỳy nht húa cng cú ng dng thc t chớnh l iu m Eugene Wigner gi l s hu hiu n mc khú tin ca toỏn hc.[21] Ging nh hu ht cỏc ngnh hc thut, s bựng n tri thc thi i khoa hc ó dn n s chuyờn mụn húa: hin cú hng trm lnh vc toỏn hc chuyờn bit v bng phõn loi cỏc ch toỏn hc ó di ti 46 trang.[22] Mt vi lnh vc toỏn hc ng dng ó nhp vo nhng lnh vc liờn quan nm ngoi toỏn hc v tr thnh nhng ngnh riờng, ú cú xỏc sut, trự hc, v khoa hc mỏy tớnh Nhng yờu thớch ngnh toỏn thng thy toỏn hc cú mt v p nht nh Nhiu nh toỏn hc núi v s lch ca toỏn hc, tớnh thm m ni ti v v p bờn ca nú H coi trng s gin n v tớnh tng quỏt V p n cha c bờn nhng chng minh toỏn hc n gin v gn nh, chng hn chng minh ca Euclid cho thy cú vụ hn s nguyờn t, v nhng phng phỏp s giỳp y nhanh cỏc phộp tớnh toỏn, nh phộp bin i Fourier nhanh Trong cun sỏch Li bo cha ca mt nh toỏn hc (A Mathematicians Apology) ca mỡnh, G H Hardy tin rng chớnh nhng lý v mt thm m ny bin minh cho vic nghiờn cu toỏn hc thun tỳy ễng nhn thy nhng tiờu chun sau õy úng gúp vo mt v p toỏn hc: tm quan trng, tớnh khụng lng trc c, tớnh khụng th trỏnh c, v s ngn gn.[23] S ph bin ca toỏn hc vỡ mc ớch gii trớ l mt du hiu khỏc cho thy nhiu ngi tỡm thy s sng khoỏi vic gii toỏn Leonhard Euler, ngi to v ph bin hu ht cỏc ký hiu toỏn hc c dựng ngy hc c vit bng ch, quỏ trỡnh nhc nhn ny ó cn tr s phỏt trin ca toỏn hc.[25] Euler (17071783) l ngi to nhiu s nhng ký hiu ang c dựng ngy Ký hiu hin i lm cho toỏn hc tr d hn i vi chuyờn gia toỏn hc, nhng ngi mi bt u hc toỏn thng thy nn lũng Cỏc ký hiu cc k ngn gn: mt vi biu tng cha ng rt nhiu thụng tin Ging ký hiu õm nhc, ký hiu toỏn hc hin i cú cỳ phỏp cht ch v cha ng thụng tin khú cú th vit theo mt cỏch khỏc i Ngụn ng toỏn hc cú th khú hiu i vi ngi mi bt u Nhng t nh hoc v ch cú ngha chớnh xỏc hn so vi li núi hng ngy Ngoi ra, nhng t nh m v trng ó c cho nhng ngha riờng toỏn hc Nhng thut ng mang tớnh k thut nh phộp ng phụi v kh tớch cú ngha chớnh xỏc toỏn hc ờm vo ú l nhng cm t nh nu v ch nu nm thut ng chuyờn ngnh toỏn hc Cú lý ti cn cú ký hiu c bit v t vng chuyờn ngnh: toỏn hc cn s chớnh xỏc hn li núi thng ngy Cỏc nh toỏn hc gi s chớnh xỏc ny ca ngụn ng v logic l tớnh cht ch. 2.3 Ký hiu, ngụn ng, v tớnh cht 2.4 Cỏc lnh vc toỏn hc ch Núi chung toỏn hc cú th c chia thnh cỏc ngnh Hu ht cỏc ký hiu toỏn hc ang dựng ngy ch hc v lng, cu trỳc, khụng gian, v s thay i (tc mi c phỏt minh vo th k 16.[24] Trc ú, toỏn l s hc, i s, hỡnh hc, v gii tớch) Ngoi nhng 10 CHNG TON HC mi quan tõm chớnh ny, toỏn hc cũn cú nhng lnh vc khỏc kho sỏt mi quan h gia toỏn hc v nhng ngnh khỏc, nh vi logic v lý thuyt hp, toỏn hc thc nghim nhng ngnh khoa hc khỏc (toỏn hc ng dng), v gn õy hn l s nghiờn cu cht ch v tớnh bt nh c xem nh l ca cỏc s hu t Cỏc s ny li c bao gm s thc c dựng th hin nhng i lng liờn tc S thc c tng quỏt húa thnh s phc õy l nhng bc u tiờn phõn b cỏc s, sau ú thỡ cú cỏc quaternion (mt s m rng ca s phc) v octonion Vic xem xột cỏc s t nhiờn cng dn n cỏc s vụ hn (transnite numbers), t ú chớnh thc húa khỏi nim "vụ hn" Mt lnh vc 2.4.1 Nn tng v trit hc nghiờn cu khỏc l kớch c (size), t ú sinh s m (cardinal numbers) v ri mt khỏi nim khỏc v vụ lm rừ nn tng toỏn hc, lnh vc logic toỏn hc hn: s aleph, cho phộp thc hin so sỏnh cú ý ngha v lý thuyt hp ó c phỏt trin Logic toỏn hc kớch c ca cỏc hp ln vụ hn bao gm nghiờn cu toỏn hc v logic v ng dng ca logic hỡnh thc nhng lnh vc toỏn hc khỏc Lý thuyt hp l mt nhỏnh toỏn hc nghiờn cu cỏc hp hay hp nhng i tng Lý thuyt phm trự, liờn quan n vic x lý cỏc cu trỳc v mi quan Cu trỳc h gia chỳng bng phng phỏp tru tng, ang tip tc phỏt trin Cm t khng hong nn tng núi Nhiu i tng toỏn hc, chng hn hp nhng n cụng cuc tỡm kim mt nn tng toỏn hc cht s v nhng hm s, th hin cu trỳc ni ti toỏt ch din t khong nm 1900 n 1930.[26] Mt s t nhng phộp bin i toỏn hc hay nhng mi quan bt ng v nn tng toỏn hc cũn tn ti cho n h c xỏc nh trờn hp Toỏn hc t ú nghiờn ngy Cuc khng hong nn tng ni lờn t mt cu tớnh cht ca nhng hp cú th c din t s tranh cói thi ú, ú cú nhng tranh cói liờn di dng cu trỳc ú; chng hn lý thuyt s nghiờn quan n lý thuyt hp ca Cantor v cuc tranh cu tớnh cht ca hp nhng s nguyờn cú th c cói gia Brouwer v Hilbert din t di dng nhng phộp bin i s hc Ngoi Khoa hc mỏy tớnh lý thuyt bao gm lý thuyt kh ra, thng thỡ nhng hp cú cu trỳc (hay nhng tớnh (computability theory), lý thuyt phc tớnh cu trỳc) khỏc ú th hin nhng tớnh cht ging toỏn, v lý thuyt thụng tin Lý thuyt kh tớnh kho nhau, khin ngi ta cú th xõy dng nờn nhng tiờn sỏt nhng gii hn ca nhng mụ hỡnh lý thuyt khỏc cho mt lp cu trỳc, ri sau ú nghiờn cu ng lot v mỏy tớnh, bao gm mụ hỡnh mỏy Turing ni ton b lp cu trỳc tha nhng tiờn ny Do ú ting Lý thuyt phc nghiờn cu kh nng cú ngi ta cú th nghiờn cu cỏc nhúm, vnh, trng, v th gii c bng mỏy tớnh; mt s bi toỏn, mc dự nhng h phc khỏc; nhng nghiờn cu nh vy (v v lý thuyt cú th gii c bng mỏy tớnh, cn thi nhng cu trỳc c xỏc nh bi nhng phộp bin i gian hay khụng gian tớnh toỏn quỏ ln, lm cho vic tỡm i s) to thnh lnh vc i s tru tng Vi mc li gii thc t gn nh khụng th, c vi tng quỏt cao ca mỡnh, i s tru tng thng s tin b nhanh chúng ca phn cng mỏy tớnh Mt cú th c ỏp dng vo nhng bi toỏn dng nh vớ d l bi toỏn ni ting "P = NP?".[27] Cui cựng, lý khụng liờn quan gỡ n Mt vớ d v lý thuyt thuyt thụng tin quan tõm n lng d liu cú th i s l i s tuyn tớnh, lnh vc nghiờn cu v cỏc lu tr c mt mụi trng lu tr nht nh, khụng gian vect, ú nhng yu t cu thnh nú gi v ú liờn quan n nhng khỏi nim nh nộn d l vect cú c lng v hng v chỳng cú th c dựng mụ phng cỏc im (hay mi quan h gia cỏc liu v entropy thụng tin im) khụng gian õy l mt vớ d v nhng hin tng bt ngun t nhng lnh vc hỡnh hc v i s ban u khụng liờn quan gỡ vi nhng li tng tỏc rt mnh vi toỏn hc hin i Toỏn hc t hp nghiờn cu nhng cỏch tớnh s lng 2.4.2 Toỏn hc thun tỳy nhng i tng cú th xp c vo mt cu trỳc nht nh Lng Vic nghiờn cu v lng (quantity) bt u vi cỏc s, trc ht vi s t nhiờn v s nguyờn v cỏc phộp bin i s hc, núi n lnh vc s hc Nhng tớnh cht sõu hn v cỏc s nguyờn c nghiờn cu lý thuyt s, ú cú nh lý ln Fermat ni ting Trong lý thuyt s, gi thit s nguyờn t sinh ụi v gi thit Goldbach l hai bi toỏn cha gii c Khụng gian Vic nghiờn cu khụng gian bt u vi hỡnh hc - c th l hỡnh hc Euclid Lng giỏc l mt lnh vc toỏn hc nghiờn cu v mi quan h gia cỏc cnh v gúc Khi h thng s c phỏt trin thờm, cỏc s nguyờn ca tam giỏc v vi cỏc hm lng giỏc; nú kt hp 2.4 CC LNH VC TON HC khụng gian v cỏc s, v bao gm nh lý Pythagore ni ting Ngnh hc hin i v khụng gian tng quỏt húa nhng ý tng ny bao gm hỡnh hc nhiu chiu hn, hỡnh hc phi Euclide (úng vai trũ quan trng lý thuyt tng i tng quỏt), v tụ-pụ C lng v khụng gian u úng vai trũ hỡnh hc gii tớch, hỡnh hc vi phõn, v hỡnh hc i s Hỡnh hc li v hỡnh hc ri rc trc õy c phỏt trin gii cỏc bi toỏn lý thuyt s v gii tớch phim hm thỡ ang c nghiờn cu cho cỏc ng dng ti u húa (ti u li) v khoa hc mỏy tớnh (hỡnh hc tớnh toỏn) Trong hỡnh hc vi phõn cú cỏc khỏi nim bú si (ber bundles) v vi tớch phõn trờn cỏc a tp, c bit l vi tớch phõn vect v vi tớch phõn tensor Hỡnh hc i s thỡ mụ t cỏc i tng hỡnh hc di dng li gii l nhng hp phng trỡnh a thc, cựng vi nhng khỏi nim v lng v khụng gian, cng nh nghiờn cu v cỏc nhúm tụ-pụ kt hp cu trỳc v khụng gian Cỏc nhúm Lie c dựng nghiờn cu khụng gian, cu trỳc, v s thay i Tụ-pụ tt c nhng khớa cnh ca nú cú th l mt lnh vc phỏt trin v i nht ca toỏn hc th k 20; nú bao gm tụpụ hp im (point-set topology), tụ-pụ lý thuyt hp (set-theoretic topology), tụ-pụ i s v tụ-pụ vi phõn (dierential topology) Trong ú, nhng ch ca tụ-pụ hin i l lý thuyt khụng gian mờtric húa c (metrizability theory), lý thuyt hp tiờn (axiomatic set theory), lý thuyt ng luõn (homotopy theory), v lý thuyt Morse Tụ-pụ cng bao gm gi thuyt Poincarộ ó gii c, v gi thuyt Hodge cha gii c Nhng bi toỏn khỏc hỡnh hc v tụ-pụ, bao gm nh lý bn mu v gi thuyt Kepler, ch gii c vi s tr giỳp ca mỏy tớnh S thay i Hiu v mụ t s thay i l ch thng gp cỏc ngnh khoa hc t nhiờn Vi tớch phõn l mt cụng c hiu qu ó c phỏt trin nghiờn cu s thay i ú Hm s t õy i, nh mt khỏi nim trung tõm mụ t mt i lng ang thay i Vic nghiờn cu cht ch cỏc s thc v hm s ca mt bin thc c gi l gii tớch thc, vi s phc thỡ cú lnh vc tng t gi l gii tớch phc Gii tớch phim hm (functional analysis) trung chỳ ý vo nhng khụng gian thng l vụ hn chiu ca hm s Mt nhiu ng dng ca gii tớch phim hm l c hc lng t (vớ d: lý thuyt phim hm mt ) Nhiu bi toỏn mt cỏch t nhiờn dn n nhng mi quan h gia lng v tc thay i ca nú, ri c nghiờn cu di dng cỏc phng trỡnh vi phõn Nhiu hin tng t nhiờn cú th c mụ t bng nhng h thng ng lc; lý thuyt hn n nghiờn cu cỏch thc theo ú nhiu s nhng h thng ng lc ny th hin nhng hnh vi khụng tiờn oỏn c nhng cú tớnh tt nh 11 2.4.3 Toỏn hc ng dng Toỏn hc ng dng quan tõm n nhng phng phỏp toỏn hc thng c s dng khoa hc, k thut, kinh doanh, v cụng nghip Nh vy, toỏn hc ng dng l mt ngnh khoa hc toỏn hc vi kin thc c thự ut ng toỏn hc ng dng cng c dựng ch lnh vc chuyờn nghip, ú cỏc nh toỏn hc gii quyt cỏc bi toỏn thc t Vi t cỏch l mt ngnh ngh chỳ trng vo cỏc bi toỏn thc t, toỏn hc ng dng trung vo vic thit lp, nghiờn cu, v s dng nhng mụ hỡnh toỏn hc khoa hc, k thut, v nhng lnh vc thc hnh toỏn hc khỏc Trc õy, nhng ng dng thc t ó thỳc y s phỏt trin cỏc lý thuyt toỏn hc, ri sau ú tr thnh ch nghiờn cu toỏn hc thun tỳy, ni toỏn hc c phỏt trin ch yu cho chớnh nú Nh vy, hot ng ca toỏn hc ng dng nht thit cú liờn h n nghiờn cu lnh vc toỏn hc thun tỳy Thng kờ v nhng lnh vc liờn quan Toỏn hc ng dng cú nhiu phn chung vi thng kờ, c bit vi lý thuyt xỏc sut Cỏc nh thng kờ, lm vic mt cụng trỡnh nghiờn cu, to s liu cú ý ngha s dng phng phỏp to mu ngu nhiờn (random sampling) v nhng thớ nghim c ngu nhiờn húa (randomized experiments);[28] vic thit k thớ nghim hay mu thng kờ xỏc nh phng phỏp phõn tớch s liu (trc s liu c to ra) Khi xem xột li s liu t cỏc thớ nghim v cỏc mu hay phõn tớch s liu t nhng nghiờn cu bng cỏch quan sỏt, cỏc nh thng kờ lm bt ý ngha ca s liu s dng phng phỏp mụ phng v suy lun qua vic chn mu v qua c tớnh; nhng mu c tớnh v nhng tiờn oỏn cú c t ú cn c th nghim vi nhng s liu mi.[29] Lý thuyt thng kờ nghiờn cu nhng bi toỏn liờn quan n vic quyt nh, vớ d gim thiu nguy c (s tn tht c mong i) ca mt hnh ng mang tớnh thng kờ, chng hn s dng phng phỏp thng kờ c tớnh tham s, kim nghim gi thuyt, v chn tham s cho kt qu tt nht Trong nhng lnh vc truyn thng ny ca thng kờ toỏn hc, bi toỏn quyt nh-thng kờ c to bng cỏch cc tiu húa mt hm mc tiờu (objective function), chng hn giỏ thnh hay s mt mỏt c mong i, di nhng iu kin nht nh.[30] Vỡ cú s dng lý thuyt ti u húa, lý thuyt toỏn hc v thng kờ cú chung mi quan tõm vi nhng ngnh khoa hc khỏc nghiờn cu vic quyt nh, nh trự hc, lý thuyt iu khin, v kinh t hc toỏn.[31] Toỏn hc tớnh toỏn Toỏn hc tớnh toỏn a v nghiờn cu nhng phng phỏp gii cỏc bi toỏn toỏn hc m ngi thng 12 CHNG TON HC khụng cú kh nng gii s c Gii tớch s nghiờn cu nhng phng phỏp gii cỏc bi toỏn gii tớch s dng gii tớch phim hm v lý thuyt xp x; gii tớch s bao gm vic nghiờn cu xp x v ri rc húa theo ngha rng, vi s quan tõm c bit n sai s lm trũn (rounding errors) Gii tớch s v núi rng hn tớnh toỏn khoa hc (scientic computing) cng nghiờn cu nhng ch phi gii tớch nh khoa hc toỏn hc, c bit l ma trn thut toỏn v lý thuyt th Nhng lnh vc khỏc ca toỏn hc tớnh toỏn bao gm i s mỏy tớnh (computer algebra) v tớnh toỏn biu tng (symbolic computation) 2.5 Gii thng toỏn hc v nhng bi toỏn cha gii c Cú th núi gii thng toỏn hc danh giỏ nht l Huy chng Fields,[32][33] thit lp vo nm 1936 v c trao bn nm mt ln cho n nh toỏn hc cú tui di 40 Huy chng Fields thng c xem l tng ng vi Gii Nobel nhng lnh vc khỏc (Gii Nobel khụng xột trao thng lnh vc toỏn hc) Mt s gii thng quc t quan trng khỏc gm cú: Gii Wolf v Toỏn hc (thit lp vo nm 1978) ghi nhn thnh tu trn i; Gii Abel (thit lp vo nm 2003) dnh cho nhng nh toỏn hc xut chỳng; Huy chng Chern (thit lp vo nm 2010) ghi nhn thnh tu trn i Carl Friedrich Gauss, ngi c xem l hong t ca toỏn hc.[34] phỏp lun Bacon, t ú i lp khoa hc t nhiờn vi phng phỏp kinh vin, phng phỏp lun Aristotle nghiờn cu t nhng nguyờn lý c s So vi cỏc ngnh khoa hc t nhiờn nh sinh hc hay vt lý hc thỡ thc nghim v quan sỏt thc t cú vai trũ khụng ỏng k toỏn hc Albert Einstein núi rng cỏc nh lut toỏn hc cũn phự hp vi thc ti thỡ chỳng khụng chc chn; v m chỳng chc chn thỡ chỳng khụng cũn phự hp vi thc ti.[36] Mi õy hn, Marcus du Sautoy ó gi toỏn hc l n hong ca cỏc ngnh khoa hc; ng lc thỳc y chớnh ng sau nhng phỏt kin khoa hc.[37] Nm 1900, nh toỏn hc ngi c David Hilbert biờn son mt danh sỏch gm 23 bi toỏn cha cú li gii (cũn c gi l Cỏc bi toỏn ca Hilbert) Danh sỏch ny rt ni ting cng ng cỏc nh toỏn hc, v ngy cú ớt nht chớn bi ó c gii Mt danh sỏch mi bao gm by bi toỏn quan trng, gi l "Cỏc bi toỏn ca gii thiờn niờn k" (Millennium Prize Problems), ó c cụng b vo nm 2000, gii c mt s cỏc bi toỏn ny s c trao gii mt triu ụ-la Ch cú mt bi toỏn t danh sỏch ca Hilbert (c th l gi thuyt Riemann) danh sỏch Nhiu trit gia tin rng, toỏn hc, tớnh cú th mi ny Ti nay, mt s by bi toỏn ú (gi chng minh c l sai (falsiability) khụng th thc hin c bng thc nghim, v ú toỏn hc khụng thuyt Poincarộ) ó cú li gii phi l mt ngnh khoa hc theo nh nh ngha ca Karl Popper.[38] Tuy nhiờn, thp niờn 1930, cỏc nh lý v tớnh khụng y (incompleteness 2.6 Mi quan h gia toỏn hc v theorems) ca Gửdel a gi ý rng toỏn hc khụng th b quy gim v logic m thụi, v Karl Popper kt khoa hc lun rng hu ht cỏc lý thuyt toỏn hc, ging nh Gauss xem toỏn hc l n hong ca cỏc ngnh khoa cỏc lý thuyt vt lý v sinh hc, mang tớnh gi nh-suy hc.[35] Trong cm t La-tinh Regina Scientiarum v din: toỏn hc thun tỳy ú tr nờn gn gi hn vi tớnh cm t ting c Kửnigin der Wissenschaen (c hai cỏc ngnh khoa hc t nhiờn ni gi nh mang [39] cht suy oỏn hn hn mc m ngi ta ngh u cú ngha l n hong ca cỏc ngnh khoa hc), t ch khoa hc cú ngha l lnh vc tri thc, v õy cng chớnh l ngha gc ca t science (khoa hc) ting Anh; nh vy toỏn hc l mt lnh vc tri thc S chuyờn bit húa gii hn ngha ca khoa hc vo khoa hc t nhiờn theo sau s phỏt trin ca phng Mt quan im khỏc thỡ cho rng mt s lnh vc khoa hc nht nh (nh vt lý lý thuyt) l toỏn hc vi nhng tiờn c to kt ni vi thc ti c s, nh vt lý lý thuyt J M Ziman ó cho rng khoa hc l tri thc chung v nh th bao gm c toỏn 2.8 CH THCH hc.[40] Dự i na, toỏn hc cú nhiu im chung vi nhiu lnh vc cỏc ngnh khoa hc vt lý, ỏng chỳ ý l vic kho sỏt nhng h qu logic ca cỏc gi nh Trc giỏc v hot ng thc nghim cng úng mt vai trũ vic xõy dng nờn cỏc gi thuyt toỏn hc ln nhng ngnh khoa hc (khỏc) Toỏn hc thc nghim ngy cng c chỳ ý bn thõn ngnh toỏn hc, v vic tớnh toỏn v mụ phng ang úng vai trũ ngy cng ln c khoa hc ln toỏn hc í kin ca cỏc nh toỏn hc v ny khụng thng nht Mt s cm thy vic gi toỏn hc l khoa hc lm gim tm quan trng ca khớa cnh thm m ca nú, v lch s ca nú by mụn khai phúng truyn thng; mt s ngi khỏc cm thy rng b qua mi quan h gia toỏn hc v cỏc ngnh khoa hc l c tỡnh lm ng trc thc t l s tng tỏc gia toỏn hc v nhng ng dng ca nú khoa hc v k thut ó l ng lc chớnh ca nhng phỏt trin toỏn hc S khỏc bit quan im ny bc l cuc tranh lun trit hc v chuyn toỏn hc "c to (nh ngh thut) hay "c khỏm phỏ (nh khoa hc) Cỏc vin i hc thng cú mt trng hay phõn khoa khoa hc v toỏn hc.[41] Cỏch gi tờn ny ngm ý rng khoa hc v toỏn hc gn gi vi nhng khụng phi l mt 2.7 Xem thờm Danh sỏch cỏc nh toỏn hc Danh sỏch cỏc bi toỏn toỏn hc 2.8 Chỳ thớch [1] Ngi i sau khụng bit Euclid trụng nh th no, ú miờu t v Euclid cỏc tỏc phm ngh thut tựy thuc vo trớ tng tng ca ngi ngh s (xem Euclid) [2] mathematics, n. Oxford English Dictionary Oxford University Press 2012 Truy cp ngy 16 thỏng nm 2012 e science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis ([Toỏn hc l] ngnh khoa hc nghiờn cu v khụng gian, cỏc s, s lng, v s sp xp, bao gm hỡnh hc, s hc, i s, v gii tớch; cỏc phng phỏp ca toỏn hc liờn quan n suy lun logic v thng s dng cỏc ký hiu tng trng) [3] Kneebone, G.T (1963) Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey Dover tr ISBN 0-486-41712-3 Mathematics is simply the study of abstract structures, or formal paerns of connectedness (Toỏn hc n gin l ngnh nghiờn cu v nhng cu trỳc tru tng, hay nhng mụ thc hỡnh thc ca s ni kt) 13 [4] LaTorre, Donald R., John W Kenelly, Iris B Reed, Laurel R Carpenter, and Cynthia R Harris (2011) Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change Cengage Learning tr ISBN 1-4390-4957-2 Calculus is the study of changehow things change, and how quickly they change (Vi tớch phõn l lnh vc ngiờn cu v s thay i-mi th thay i v thay i nhanh chm nh th no) [5] Ramana (2007) Applied Mathematics Tata McGraw Hill Education tr 2.10 ISBN 0-07-066753-5 e mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus (Vi tớch phõn l lnh vc toỏn hc nghiờn cu v s thay i, chuyn ng, phỏt trin, hay suy tn) [6] Ziegler, Gỹnter M (2011) What Is Mathematics? An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research Springer tr ISBN 3-642-19532-6 [7] Mura, Robert (thỏng 12 nm 1993) Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences Educational Studies in Mathematics 25 (4): 375385 [8] Tobies, Renate and Helmut Neunzert (2012) Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry Springer tr ISBN 3-0348-0229-3 It is rst necessary to ask what is meant by mathematics in general Illustrious scholars have debated this maer until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form (Trc ht cn hi toỏn hc núi chung cú ngha l gỡ Nhng hc gi cú ting ó tranh lun gay gt v ny, vy m cha ng ý c vi chuyn toỏn hc cú phi l mt ngnh khoa hc t nhiờn, mt nhỏnh ca cỏc ngnh nhõn vn, hay mt dng ngh thut) [9] Steen, L.A (ngy 29 thỏng nm 1988) e Science of Paerns Science, 240: 611616 And summarized at Association for Supervision and Curriculum Development, www.ascd.org [10] Devlin, Keith, Mathematics: e Science of Paerns: e Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientic American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-71675047-5 [11] Kneebone, G.T (1963) Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey Dover pp ISBN 0-486-41712-3 Mathematics is simply the study of abstract structures, or formal paerns of connectedness [12] Eves 1990 [13] Ivars Peterson, e Mathematical Tourist, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3 p.4 A few complain that the computer program can't be veried properly (Mt s ngi phn nn l cỏc chng trỡnh mỏy tớnh khụng th c xỏc minh mt cỏch rừ rng) - nhc n chng minh HakenApple ca nh lý bn mu [14] mathematic Online Etymology Dictionary 14 [15] Hi Khai Trớ Tin c, Vit-Nam T-in, Trung-Bc Tõn-Vn, 1931 [16] Dehaene, Stanislas; Dehaene-Lambertz, Ghislaine; Cohen, Laurent (thỏng nm 1998) Abstract representations of numbers in the animal and human brain Trends in Neuroscience 21 (8): 355361 PMID 9720604 doi:10.1016/S0166-2236(98)01263-6 [17] Xem, chng hn, Raymond L Wilder, Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study, passim [18] Kline 1990, Chapter [19] "A History of Greek Mathematics: From ales to Euclid" omas Lile Heath (1981) ISBN 0-486-24073-8 [20] Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L (2002) e Feynman Integral and Feynmans Operational Calculus Oxford University Press ISBN 0-8218-2413-9 [21] Wigner, Eugene (1960) e Unreasonable Eectiveness of Mathematics in the Natural Sciences Communications on Pure and Applied Mathematics 13 (1): 114 doi:10.1002/cpa.3160130102 [22] Mathematics Subject Classication 2010 (PDF) Truy cp ngy thỏng 11 nm 2010 [23] Hardy, G.H (1940) A Mathematicians Apology Cambridge University Press ISBN 0-521-42706-1 CHNG TON HC [33] Riehm, Carl (thỏng nm 2002) e Early History of the Fields Medal (PDF) Notices of the AMS (AMS) 49 (7): 778782 [34] Zeidler, Eberhard (2004) Oxford Users Guide to Mathematics Oxford, UK: Oxford University Press tr 1188 ISBN 0-19-850763-1 [35] Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856) Gauss zum Gedọchtniss Sọndig Reprint Verlag H R Wohlwend ISBN 3-253-01702-8 [36] Einstein, p 28 Cõu trớch dn nm on Einstein tr li cho cõu hi: How can it be that mathematics, being aer all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?" (Lm m toỏn hc, núi cho cựng cng ch l mt sn phm ca t ngi v c lp vi tri nghim, li cú th mụ t tt nh vy nhng i tng ca thc ti?) Bn thõn ụng cng quan tõm n bi bỏo e Unreasonable Eectiveness of Mathematics in the Natural Sciences (S hu hiu n mc khú tin ca toỏn hc cỏc ngnh khoa hc t nhiờn) ca nh vt lý Eugene Wigner [37] Marcus du Sautoy, A Brief History of Mathematics: 10 Nicolas Bourbaki, BBC Radio 4, ngy thỏng 10 nm 2010 [24] Earliest Uses of Various Mathematical Symbols (Cú thờm nhiu ti liu tham kho v ch ny) [38] Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A (1998) Out of eir Minds: e Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists Springer tr 228 [25] Kline, p 140, on Diophantus; p 261, on Franciscus Vieta [39] Popper 1995, p 56 [26] Luke Howard Hodgkin & Luke Hodgkin, A History of Mathematics, Oxford University Press, 2005 [40] Ziman, John (1968) Public Knowledge: Essay Concerning the Social Dimension of Science Cambridge University Press ISBN 978-0-521-06894-9 [27] P vs NP Problem, Vin Toỏn hc Clay cp nht: 28 thỏng nm 2015 3:14 pm [28] Rao, C.R (1997) Statistics and Truth: Puing Chance to Work, World Scientic ISBN 981-02-3111-3 [29] Ging vi cỏc khoa hc toỏn hc khỏc nh vt lý v khoa hc mỏy tớnh, thng kờ l mt ngnh c lp ch khụng phi l mt nhỏnh ca toỏn hc ng dng Tng t nh cỏc nh vt lý v nh khoa hc mỏy tớnh, nhng nh nghiờn cu thng kờ l cỏc nh khoa hc toỏn hc Nhiu nh thng kờ cú bng cp ngnh toỏn hc, v mt s nh thng kờ cng l nh toỏn hc [30] Rao, C.R (1981) Foreword Trong Arthanari, T.S.; Dodge, Yadolah Mathematical programming in statistics Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics New York: Wiley tr viiviii ISBN 0-47108073-X [31] While (1994, tr 1011 and 1418): While, Peter (1994) Almost home Trong Kelly, F.P Probability, statistics and optimisation: A Tribute to Peter While Chichester: John Wiley tr 128 ISBN 0-471-94829-2 [32] e Fields Medal is now indisputably the best known and most inuential award in mathematics (Hin Fields Medal chc chn l gii thng toỏn hc cú nh hng nht v c bit n nhiu nht). Monastyrsky 2001 [41] Chng hn, College of Science and Mathematics (Trng i hc Khoa hc v Toỏn hc) California State University, Northridge 2.9 Tham kho [Tỏc gi?] Toỏn hc (B sỏch Tri thc tui hoa niờn th k XXI) T Vn Mc, T u Hng dch Nh xut bn Vn húa ụng tin, 2001, 470 tr S M Nikol skij (ch.b.) T in bỏch khoa ph thụng toỏn hc Hong ý, Nguyn Vn Ban, v Hong Chỳng dch Nh xut bn Giỏo dc, 2001, 454 tr Howard Eves Gii thiu lch s toỏn hc Trn Tt ng dch Nh xut bn Tp H Chớ Minh, 1993, 518 tr Benson, Donald C., e Moment of Proof: Mathematical Epiphanies, Oxford University Press: new ed (Dec 14, 2000) ISBN 0-19-5139194 Boyer, Carl B A History of Mathematics Wiley: 2nd ed (Mar 6, 1991) ISBN 0-471-54397-7 2.10 LIấN KT NGOI Courant, R and H Robbins What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods Oxford University Press, USA: 2nd ed (Jul 18, 1996) ISBN 0-19-510519-2 Davis, Philip J and Hersh, Reuben e Mathematical Experience Mariner Books: Reprint ed (Jan 14, 1999) ISBN 0-395-92968-7 Einstein, Albert (1923) Sidelights on Relativity (Geometry and Experience) P Duon., Co Eves, Howard An Introduction to the History of Mathematics Saunders: 6th ed., 1990 ISBN 0-03029558-0 Gullberg, Jan MathematicsFrom the Birth of Numbers W W Norton & Company: 1st ed (Oct 1997) ISBN 0-393-04002-X Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics Kluwer Academic Publishers, 2000 Jourdain, Philip E B e Nature of Mathematics, e World of Mathematics James R Newman, editor Dover Publications, 2003 ISBN 0-486-43268-8 Kline, Morris Mathematical ought from Ancient to Modern Times Oxford University Press (Mar 1, 1990) ISBN 0-19-506135-7 Monastyrsky, Michael (2001) Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal (PDF) Canadian Mathematical Society Truy cp ngy 28 thỏng nm 2006 Pappas, eoni e Joy Of Mathematics Wide World Publishing: revised edition (Jun 1989) ISBN 0-933174-65-9 Peterson, Ivars Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics Owl Books, 2001 ISBN 0-8050-7159-8 Paulos, John Allen (1996) A Mathematician Reads the Newspaper Anchor ISBN 0-385-48254-X Popper, Karl R (1995) On knowledge In Search of a Beer World: Lectures and Essays from irty Years Routledge ISBN 0-415-13548-6 Sevryuk, Mikhail B (thỏng nm 2006) Book Reviews (PDF) Bulletin of the American Mathematical Society 43 (1): 101 109 doi:10.1090/S0273-0979-05-01069-4 Truy cp ngy 24 thỏng nm 2006 15 2.10 Liờn kt ngoi Mathematics ti Encyclopổdia Britannica (ting Anh) Toỏn hc ti T in bỏch khoa Vit Nam Vin Toỏn hc Vit Nam Mathematics Cỏc khúa hc v bi ging v toỏn hc MIT OpenCourseWare Weisstein, Eric W., "Mathematics" t MathWorld e Mathematical Atlas (Bn cỏc nhỏnh toỏn hc) 16 CHNG TON HC 2.11 Ngun, ngi úng gúp, v giy phộp cho bn v hỡnh nh 2.11.1 Vn bn Phng trỡnh bc hai Ngun: https://vi.wikipedia.org/wiki/Ph%C6%B0%C6%A1ng_tr%C3%ACnh_b%E1%BA%ADc_hai?oldid= 26758744 Ngi úng gúp: DHN, Mekong Bluesman, Vng Ngõn H, Trung, Chobot, YurikBot, Apple, Newone, DHN-bot, Ctmt, Huynhvietkhanh, Nguyenthephuc, Escarbot, Hong Cm, Haonhien, Nguyn Kim V, VolkovBot, TXiKiBoT, YonaBot, AlleborgoBot, SieBot, DXLINH, ieungukinhnien, Flavia, Alexbot, Kjtz, Purbo T, Khunglongcon, MelancholieBot, Finnrind, SpBot, CarsracBot, Luckas-bot, Amirobot, Eternal Dragon, Nam 243, aihocsinh, ArthurBot, Danghuanbk, Rubinbot, Xqbot, Arkanosis, Banhtrung1, Tnt1984, Namnguyenvn, TuHan-Bot, EmausBot, SweetLoveFC, Loc041294, CNBH, FoxBot, WikitanvirBot, Cheers!-bot, MerlIwBot, Mathvn, AlphamaBot, Mimunchu, Hugopako, Addbot, itxongkhoiAWB, Dat Em, Tuanminh01, TuanminhBot, Leduyquang03, Akzx, P.T., Trantrongnhan100YHbot, Zasawa v 46 ngi vụ danh Toỏn hc Ngun: https://vi.wikipedia.org/wiki/To%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc?oldid=26704541 Ngi úng gúp: Mxn, DHN, Mekong Bluesman, Vng Ngõn H, Bunhia, Nguyn anh ang, Trung, Sz-iwbot, ỏi Nhi, aisk, Newone, DHN-bot, Ctmt, Escarbot, JAnDbot, ijs!bot, Kimiroo, VolkovBot, TXiKiBoT, Hoang448, Lile cat, Synthebot, Handyhuy, BotMultichill, AlleborgoBot, SieBot, TVT-bot, PipepBot, Parkjunwung, Idioma-bot, Qbot, Alexbot, Ti2008, MelancholieBot, MystBot, AlleinStein, Magicknight94, Pq, Future ahead, ick thi sock, Nguyn Nhó Phong, ArthurBot, Porcupine, Rubinbot, Xqbot, GhalyBot, Aqua blue, Discovery1998, TobeBot, Trn Nguyn Minh Huy, DangTungDuong, Prenn, Earthandmoon, Phng Huy, Tnt1984, DixonDBot, TuHan-Bot, EmausBot, Yanajin33, ZộroBot, Yduocizm, Hung long, JackieBot, FoxBot, Cheers!, WikitanvirBot, Mjbmrbot, ChiTam2209, Movses-bot, Cheers!bot, Trnh Bch ng, Huynl, Anroi202, Wkpda, angnc191984, AvocatoBot, enhitran, TuanUt, Alphama, Hoang Dat, AlphamaBot, Phamnhatkhanh, Fumiko Take, Tranganhnam, Hoanh3696, Earthshaker, Addbot, OctraBot, Arc Warden, itxongkhoiAWB, Beyond234, Nguyen L Danh, Tuanminh01, AlphamaBot4, TuanminhBot, Mai Ngc Xuõn, ẫn bc AWB, 86namnguyen, Myoni2306, Youandme410, P.T., o anh Oai, Tran Trong Nhan v 47 ngi vụ danh 2.11.2 Hỡnh nh Tp_tin:1000_bi_c_bn.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/95/1000_b%C3%A0i_c%C6%A1_b%E1% BA%A3n.svg Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: File:Wikipedia-logo-v2.svg Ngh s u tiờn: is le: Prenn Tp_tin:Airflow-Obstructed-Duct.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/17/Airflow-Obstructed-Duct png Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Chuyn t en.wikipedia sang Commons Ngh s u tiờn: User A1 ti Wikipedia Ting Anh Tp_tin:Arbitrary-gametree-solved.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/Arbitrary-gametree-solved svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Arbitrary-gametree-solved.png Ngh s u tiờn: derivative work: Qef (talk) Tp_tin:BernoullisLawDerivationDiagram.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/20/ BernoullisLawDerivationDiagram.svg Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: Image:BernoullisLawDerivationDiagram.png Ngh s u tiờn: MannyMax (original) Tp_tin:Braid-modular-group-cover.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/da/ Braid-modular-group-cover.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Own work, created as per: en:meta:Help:Displaying a formula#Commutative diagrams; source code below Ngh s u tiờn: Nils R Barth Tp_tin:CH4-structure.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0f/CH4-structure.svg Giy phộp: GPLv3 Ngi úng gúp: File:Ch4-structure.png Ngh s u tiờn: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Tp_tin:Caesar3.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2b/Caesar3.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Cepheus Tp_tin:Carl_Friedrich_Gauss.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Gauò-Gesellscha Gửingen e.V (Foto: A Wimann) Ngh s u tiờn: Aer Christian Albrecht Jensen Tp_tin:Commons-logo.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: is version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features (Former versions used to be slightly warped.) Ngh s u tiờn: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab Tp_tin:Commutative_diagram_for_morphism.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ef/Commutative_ diagram_for_morphism.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Own work, based on en:Image:MorphismComposition-01.png Ngh s u tiờn: User:Cepheus Tp_tin:Composite_trapezoidal_rule_illustration_small.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/dd/ Composite_trapezoidal_rule_illustration_small.svg Giy phộp: Aribution Ngi úng gúp: Composite_trapezoidal_rule_illustration_small.png Ngh s u tiờn: derivative work: Pbroks13 (talk) Tp_tin:Conformal_grid_after_Mửbius_transformation.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/ Conformal_grid_after_M%C3%B6bius_transformation.svg Giy phộp: CC BY-SA 2.5 Ngi úng gúp: By Lokal_Prol Ngh s u tiờn: Lokal_Prol Tp_tin:DFAexample.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9d/DFAexample.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Cepheus 2.11 NGUN, NGI ểNG GểP, V GIY PHẫP CHO VN BN V HèNH NH 17 Tp_tin:Elliptic_curve_simple.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/da/Elliptic_curve_simple.svg Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: Elliptic_curve_simple.png Ngh s u tiờn: derivative work: Pbroks13 (talk) Tp_tin:Euclid.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/Euclid.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:GDP_PPP_Per_Capita_IMF_2008.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d4/GDP_PPP_Per_ Capita_IMF_2008.svg Giy phộp: CC BY 3.0 Ngi úng gúp: Sbw01s work, but converted to an SVG le instead Data from International Monetary Fund World Economic Outlook Database April 2009 Ngh s u tiờn: Powerkeys Tp_tin:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/39/ GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: http://www.newton.cam.ac.uk/art/portrait.html Ngh s u tiờn: is a copy of a painting by Sir Godfrey Kneller(1689) is copy was painted by Barrington Bramley Tp_tin:Gravitation_space_source.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/26/Gravitation_space_source png Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Group_diagdram_D6.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0e/Group_diagdram_D6.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: User:Cepheus Tp_tin:Hyperbolic_triangle.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/89/Hyperbolic_triangle.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Illustration_to_Euclid{}s_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ commons/2/26/Illustration_to_Euclid%27s_proof_of_the_Pythagorean_theorem.svg Giy phộp: WTFPL Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Integral_as_region_under_curve.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f2/Integral_as_region_ under_curve.svg Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to ra, based on JPG version Ngh s u tiờn: 4C Tp_tin:Kapitolinischer_Pythagoras_adjusted.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Kapitolinischer_ Pythagoras_adjusted.jpg Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: First upload to Wikipedia: de.wikipedia; description page is/was here Ngh s u tiờn: e original uploader was Galilea ti Wikipedia Ting c Tp_tin:Lattice_of_the_divisibility_of_60.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/51/Lattice_of_the_ divisibility_of_60.svg Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: No machine-readable source provided Own work assumed (based on copyright claims) Ngh s u tiờn: No machine-readable author provided Ed g2s assumed (based on copyright claims) Tp_tin:Leonhard_Euler_2.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Leonhard_Euler_2.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: 2011-12-22 (upload, according to EXIF data) Ngh s u tiờn: Jakob Emanuel Handmann Tp_tin:Limitcycle.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/91/Limitcycle.svg Giy phộp: CC BY-SA 3.0 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Gargan Tp_tin:Lorenz_attractor.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f4/Lorenz_attractor.svg Giy phộp: CC BY 2.5 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Dschwen Tp_tin:Mandel_zoom_07_satellite.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Mandel_zoom_07_satellite jpg Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Market_Data_Index_NYA_on_20050726_202628_UTC.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/46/ Market_Data_Index_NYA_on_20050726_202628_UTC.png Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Maximum_boxed.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1a/Maximum_boxed.png Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Created with the help of GraphCalc Ngh s u tiờn: Freiddy Tp_tin:Measure_illustration.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/Measure_illustration.png Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: self-made with en:Inkscape Ngh s u tiờn: Oleg Alexandrov Tp_tin:Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/Nuvola_apps_ edu_mathematics_blue-p.svg Giy phộp: GPL Ngi úng gúp: Derivative work from Image:Nuvola apps edu mathematics.png and Image:Nuvola apps edu mathematics-p.svg Ngh s u tiờn: David Vignoni (original icon); Flamurai (SVG convertion); bayo (color) Tp_tin:Oldfaithful3.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0f/Oldfaithful3.png Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Persian_Khwarazmi.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b7/Persian_Khwarazmi.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Based on the USSR stamp of him, shaded by me, see File:Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi.jpg for a version of the stamp, although perhaps not the one used here Ngh s u tiờn: Khụng rừ Tp_tin:Polynomialdeg2.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f8/Polynomialdeg2.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Ngh s u tiờn: Original hand-drawn version: N.Mori 18 CHNG TON HC Tp_tin:Quadratic_eq_discriminant.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/35/Quadratic_eq_discriminant svg Giy phộp: CC BY-SA 3.0 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Olin Tp_tin:Quadratic_equation_coefficients.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d1/Quadratic_equation_ coefficients.png Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: self-made using text editor to produce SVG, Batik to render Ngh s u tiờn: KSmrq Tp_tin:Quadratic_formula.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c4/Quadratic_formula.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Wolfram Mathworld Ngh s u tiờn: Jamie Twells Tp_tin:Rubik{}s_cube.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/Rubik%27s_cube.svg Giy phộp: CC-BYSA-3.0 Ngi úng gúp: Based on Image:Rubiks cube.jpg Ngh s u tiờn: is image was created by me, Booyabazooka Tp_tin:Signal_transduction_pathways.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b0/Signal_transduction_ pathways.svg Giy phộp: CC BY-SA 3.0 Ngi úng gúp: L nh phỏi sinh t: Signal transduction v1.png Ngh s u tiờn: cybertory Tp_tin:Simple_feedback_control_loop2.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/90/Simple_feedback_ control_loop2.svg Giy phộp: CC BY-SA 3.0 Ngi úng gúp: L nh phỏi sinh t Simple feedback control loop2.png: Ngh s u tiờn: Simple_feedback_control_loop2.png: Corona Tp_tin:Sinusvồg_400px.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Sinusv%C3%A5g_400px.png Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: User Solkoll on sv.wikipedia Tp_tin:Torus.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/17/Torus.png Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: is image was created with POV-Ray Ngh s u tiờn: LucasVB Tp_tin:Two_red_dice_01.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/36/Two_red_dice_01.svg Giy phộp: CC0 Ngi úng gúp: Open Clip Art Library Ngh s u tiờn: Stephen Silver Tp_tin:Vector_field.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Vector_field.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Fibonacci Tp_tin:Venn_A_intersect_B.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Venn_A_intersect_B.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Cepheus Tp_tin:Wikibooks-logo-en-noslogan.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/df/ Wikibooks-logo-en-noslogan.svg Giy phộp: CC BY-SA 3.0 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: User:Bastique, User:Ramac et al Tp_tin:Wiktionary_small.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f9/Wiktionary_small.svg Giy phộp: CC BY-SA 3.0 Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? 2.11.3 Giy phộp ni dung Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0 ... na b/a, h s ca x, vo hai v, v trỏi s tr thnh bỡnh phng y Vit v trỏi thnh bỡnh phng ca mt tng v n gin húa v phi nu cn thit Khai cn hai v thu c hai phng trỡnh bc nht Gii hai phng trỡnh bc nht... trỡnh bc hai s chuyn v bc nht cú mt nghim Ngc li, cụng thc ph bin cha phộp chia cho c hai trng hp 1.1 GII PHNG TRèNH BC HAI 1.1.4 Phng trỡnh bc hai rỳt gn Vic rỳt gn phng trỡnh bc hai cho... trỡnh bc hai + 2) Trng hp tng quỏt hn a ũi hi n lc ln hn vic oỏn, th v kim tra; gi nh rng Mt phng trỡnh bc hai vi cỏc h s thc hoc phc hon ton cú th lm c nh vy cú hai ỏp s, gi l cỏc nghim Hai nghim