BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC A TĨM TẮT GIÁO KHOA DẠNG CƠ BẢN VÀ BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG CƠ BẢN: ⎡ X = A + k 2π s inX = sin A ⇔ ⎢ (k ∈ Z ) ⎣ X = π − A + k 2π cos X = cos A ⇔ X = ± A + k 2π ( k ∈ Z ) π ⎛ ⎞ tan X = tan A ⇔ X = A + kπ ⎜ X , A ≠ + kπ , k ∈ Z ⎟ ⎝ ⎠ cot X = cot A ⇔ X = A + kπ ( X , A ≠ kπ , k ∈ Z ) CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT: sin u = ⇔ u = kπ ( k ∈ Z ) cos u = ⇔ u = tan u = ⇔ u = kπ ( k ∈ Z ) cot u = ⇔ u = sin u = ⇔ u = π + k 2π ( k ∈ Z ) cos u = ⇔ u = k 2π ( k ∈ Z ) tan u = ⇔ u = π + kπ ( k ∈ Z ) tan u = −1 ⇔ u = − π + kπ ( k ∈ Z ) π π + kπ ( k ∈ Z ) + kπ ( k ∈ Z ) sin u = −1 ⇔ u = − π + k 2π ( k ∈ Z ) cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π ( k ∈ Z ) cot u = ⇔ u = π + kπ ( k ∈ Z ) cot u = −1 ⇔ u = − π + kπ ( k ∈ Z ) B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN ª VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNGTRÌNH BẬC NHẤT THEO sinu VÀ cosu PHƯƠNG PHÁP GIẢI: a) Dạng rút gọn: a sin u + b cos u = c (1) với a ≠ b ≠ b) Điều kiện có nghiệm: (1) có nghiệm ⇔ a + b ≥ c Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC c) Cách giải: & Cách 1: Chia hai vế cho (1) ⇔ a a + b2 sin u + b a + b ta được: cos u = c ⇔ cos α sin u + sin α cos u = a + b2 a2 + b2 ⎡u + α = β + k 2π ⇔ sin ( u + α ) = sin β ⇔ ⎢ (k ∈ Z ) ⎣u + α = π − β + k 2π & Cách 2: Chia hai vế cho a đặt tan α = c a + b2 b ta được: a b c c cos u = ⇔ sin u + tan α cos u = a a a ⎡u + α = β + k 2π c ⇔ sin u.cos α + cos u.sin α = cos α ⇔ sin ( u + α ) = sin β ⇔ ⎢ (k ∈ Z ) a ⎣u + α = π − β + k 2π (1) ⇔ sin u + & Cách 3: Đ Xét u = π + k 2π có nghiệm hay khơng? Đ Khi u ≠ π + k 2π ta đặt t = tan (1) ⇔ a u ta phương trình: 2t 1− t2 b + = c ⇔ ( b + c ) t − 2at + c − b = ( ) 2 1+ t 1+ t Đ Giải (2) ta t Thay vào chỗ đặt t ta tìm u ª VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNGTRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNGGIÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI: a) Dạng: a sin x + b sin x + c = a cos x + b cos x + c = a tan x + b tan x + c = a cot x + b cot x + c = (1) ( 2) ( 3) ( 4) b) Cách giải: ( Đặt ẩn phụ: (1) đặt t = sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) ; (2) đặt t = cos x ( −1 ≤ t ≤ 1) (3) đặt t = tan x (4) đặt t = cot x ( Ta phương trình: at + bt + c = ( *) ( Giải (*) ta t Thay vào cách đặt t ta tìm x Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Chú ý: Với cách tương tự ta giải phươngtrình bậc ba, bậc bốn, …đối với hàm số ª VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNGTRÌNH THUẦN NHẤT (ĐẲNG CẤP) BẬC HAI PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Dạng 1: a.sin u + b sin u.cos u + c.cos u = @ Cách giải 1: Dùng cơng thức sin u cos u = sin 2u cơng thức hạ bậc để đưa phươngtrình dạng: b sin 2u + ( c − a ) cos 2u = −a − c @ Cách giải 2: +) Xét: cos u = 0? +) Khi cos u ≠ 0, chia hai vế phươngtrình cho cos u ta đưa dạng phươngtrình bậc hai theo tanu: a.tan u + b.tan u + c = Dạng 2: a.sin u + b sin u.cos u + c.cos u = d ( ) @ Cách giải: Thay d = d sin u + cos u đưa dạng ª VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNGTRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinu VÀ cosu PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Dạng 1: a ( sin u + cos u ) + b sin u cos u + c = (1) @ Cách giải: ⎧t ≤ π⎞ ⎪ ⎛ y Đặt: t = sin u + cos u = sin ⎜ u + ⎟ ⇒ ⎨ ⎠ ⎪sin u cos u = t − ⎝ ⎩ y Thay vào phươngtrình ta được: bt + 2at + 2c − b = ( 2) y Giải (2) ta t Thay vào chỗ đặt t ta tìm u Dạng 2: a ( sin u − cos u ) + b sin u cos u + c = (1') @ Cách giải: Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC ⎧t ≤ π⎞ ⎪ ⎛ y Đặt: t = sin u − cos u = sin ⎜ u − ⎟ ⇒ ⎨ ⎠ ⎪sin u cos u = − t ⎝ ⎩ y Thay vào phươngtrình ta được: bt − 2at − 2c − b = ( 2') y Giải (2’) ta t Thay vào chỗ đặt t ta tìm u ª VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC TÍCH SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Để giải phươngtrìnhlượnggiác ta thường biến đổi chúng dạng: Cơ bản, bậc sinu, cosu; bậc hai hàm số lượng giác; nhất; đối xứng… Để đưa dạng ta thường biến đổi phươngtrình dạng tích A.B.C = phươngtrình A = 0; B = 0; C = phươngtrình nói Để biến đổi phươngtrình dạng tích ta cần nắm vững cơng thức lượng giác, đẳng thức, phương pháp đặt nhân tử chung… Dưới vài kĩ thuật nhằm giúp ta phát nhân tử chung cách nhanh chóng: Nếu phươngtrình chứa hàm số: y sin x;sin x; tan x; tan x; tan x ta đặt nhân tử chung sin x y sin x;cos3 x; tan x;cot x;cot x ta đặt nhân tử chung cos x x x y cos ;cot ;sin x; tan x ta đặt nhân tử chung + cos x 2 x x y sin ; tan ;sin x; tan x ta đặt nhân tử chung − cos x 2 ⎛π x ⎞ ⎛π x ⎞ y cos2 x;cot x;cos ⎜ − ⎟ ;sin ⎜ + ⎟ ta đặt nhân tử chung + sin x ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛π x ⎞ ⎛π x ⎞ y cos x;cot x;cos ⎜ + ⎟ ;sin ⎜ − ⎟ ta đặt nhân tử chung − sin x ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ y cos x;cot x;1 + sin x;1 + tan x;1 + cot x; tan x + cot x ta đặt nhân tử chung sin x + cos x y cos x;cot x;1 − sin x;1 − tan x;1 − cot x; tan x − cot x ta đặt nhân tử chung sin x − cos x ª VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC HẠ BẬC PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Gặp phươngtrìnhlượnggiác sinu cosu ln có số Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC mũ chẵn ta dùng cơng thức hạ bậc để hạ bậc phươngtrình đưa phươngtrình đơn giản Chú ý: Ngồi phươngtrình thuộc dạng thường gặp trên, ta gặp nhiều tốn mà để giải cần phải biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp giải vào tốn cụ thể C CÁC VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Giải phươngtrình sau: cos3 x.cos3 x + sin x.sin x = VÍ DỤ 2: Tìm nghiệm ngun phươngtrình sau: ( ) ⎡π ⎤ cos ⎢ 3x − x + 160 x + 800 ⎥ = ⎣8 ⎦ sin x + cos x VÍ DỤ 3: Giải phươngtrình sau: =− π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ tan ⎜ x − ⎟ tan ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎡ 3π ⎤ VÍ DỤ 4: Tìm nghiệm x ∈ ⎢0; ⎥ phương trình: ⎣ ⎦ 3sin x − 4sin x + cos x = + VÍ DỤ 5: Cho phương trình: cos x + ( 2m + 1) cos x + 2m = a) Giải phươngtrình m = b) Định m để phươngtrình có nghiệm x ∈ ( 0; π ) c) Định m để phươngtrình có nghiệm thuộc [ 0; 2π ) VÍ DỤ 6: Giải phương trình: 2sin x − ( sin x + cos x ) + = VÍ DỤ 7: Cho phương trình: sin x + ( cos x − sin x ) = m a) Giải phươngtrình m = b) Với giá trị m phươngtrình có nghiệm VÍ DỤ 8: Giải phương trình: + tan x = + sin x − tan x VÍ DỤ 9: Giải phương trình: sin x + sin x + sin16 x + sin18 x + 16sin x = Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC x VÍ DỤ 10: Giải phương trình: tan x = − sin x 2cos VÍ DỤ 11: Giải phương trình: sin x + sin 2 x + sin 3x + sin x = VÍ DỤ 12: Giải phương trình: 2cos13 x + ( cos5 x + cos3 x ) = 8cos x cos3 x VÍ DỤ 13: Giải phương trình: ( cot x − cos x ) − ( tan x − sin x ) − = VÍ DỤ 14: Giải phương trình: sin x + sin x + sin x + cos x = D BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải phươngtrình sau: ⎛π x⎞ a) sin x.cos x − sin 2 x = 4sin ⎜ − ⎟ − với x − < ⎝ 2⎠ b) 2cos x + 2cos 2 x + 2cos x − = cos x ( 2sin x + 1) c) sin x.cos x.cos x = sin x d) sin x + cos8 x = ( sin10 x + cos10 x ) + cos x Bài 2: Giải biện luận phươngtrình sau theo tham số m: a) sin x + m + = m sin x b) m cos x − 2m + = c) cos x = m + 2m + d) m tan x − m + tan x = e) cos x + cos m + cos ( x + m ) = + 2cos m cos ( x + m ) Bài 3: Giải phươngtrình sau: a) 3sin 3x + cos9 x = + 4sin 3x b) 5sin x − 12cos x = 13 Bài 4: Giải phươngtrình sau: a) sin x − 2cos x = 2 + 2cos x ⎛π ⎞ c) cos x + sin x = 2cos ⎜ − x ⎟ ⎝3 ⎠ b) cos x − sin x = ( cos5 x − sin x ) d) ( ) − sin x − ( ) + cos x + − = Bài 5: Định m để phươngtrình sau có nghiệm: a) ( 2m − 1) sin x + m cos x = 3m − b) ( 2sin x − cos x ) = m ( cos x + sin x ) Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 6: Cho hàm số: y = sin x + 2cos x + CMR: −2 ≤ y ≤ 1, ∀x ∈ R sin x + cos x + Bài 7: Giải phươngtrình sau: a) 4sin x + ( ) − sin x − = c) ( sin x + cos x ) = 5cos x e) + tan x − = cos x b) − 6sin x cos x = cos x d) cos5 x cos x = cos x cos x + 3cos x + f) cos6 x − sin x = 13 cos x g) + 3tan x = 2sin x Bài 8: Cho phương trình: (1 − a ) tan x − + 3a + = cos x (1) a) Giải phươngtrình (1) a = ⎛ π⎞ b) Tìm a để phươngtrình (1) có nhiều nghiệm thuộc khoảng ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠ Bài 9: Cho phương trình: cos x − ( 2m + 1) cos x + m + = (1) a) Giải phươngtrình (1) m = ⎛ π 3π ⎞ b) Tìm m để phươngtrình (1) có nghiệm thuộc khoảng ⎜ ; ⎟ ⎝2 ⎠ Bài 10: Định m để phương trình: m sin x + ( m + ) sin x − 3m − = (1) có nghiệm ⎡ 5π π ⎞ x ∈ ⎢− ; ⎟ ⎣ 2⎠ Bài 11: Định m để phương trình: cos x + 2m cos x + m + 4m = (1) có nghiệm x ∈ ( 0; π ) Bài 12: Định m để phương trình: sin x + cos x = m sin x có nghiệm Bài 13: Cho phương trình: 3cos x + sin x = m (1) a) Giải phươngtrình m = ⎡ π π⎤ b) Tìm m để phươngtrình (1) có nghiệm thuộc ⎢ − ; ⎥ ⎣ 4⎦ Bài 14: Giải phươngtrình sau: Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC a) 3cos x + 4sin x cos x − sin x = + b) sin x + sin x cos x + 2cos x = 3+ Bài 15: Giải phươngtrình sau: a) 5sin x − 4sin x cos x − cos x = b) 2sin x − c) + sin x cos x = + tan x ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ − sin ⎜ + x ⎟ = 2sin ⎜ + x ⎟ sin x − sin x + ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Bài 16: Giải phươngtrình sau: ⎛π ⎞ a) sin ⎜ + x ⎟ = sin x ⎝4 ⎠ b) sin x.sin x + sin 3x = 6cos3 x sin x + cos3 x = cos x c) 2cos x − sin x d) 6sin x − 2cos3 x = 5sin x cos x 2cos x Bài 17: Giải phươngtrình sau: a) sin x + cos x + sin x cos x = − 2 b) ( sin x + cos x ) = cos x − sin x c) + sin x + cos3 x = sin x Bài 18: Giải phươngtrình sau: π⎞ ⎛ a) 2sin x cos x + cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ b) + sin x + cos x = − tan x + sin x Bài 19: Giải phươngtrình sau: a) (1 − sin x )( cos x − sin x ) = cos x b) cot x − tan x = sin x + cos x c) sin x (1 + cot x ) + cos3 x (1 + tan x ) = sin x + cos x Bài 20: Giải phươngtrình sau: a) 2sin x + cot x = 2sin x + Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC b) sin x cos x + 2sin x + 2cos x = π⎞ ⎛ c) sin x + sin ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ Bài 21: Cho phương trình: cos3 x − sin x = m a) Giải phươngtrình m = −1 ⎡ π ⎤ b) Tìm m cho phươngtrình có nghiệm x ∈ ⎢ − ;0 ⎥ ⎣ ⎦ Bài 22: Định m để phươngtrình sau có nghiệm: a) ( sin x + cos x ) + 2sin x cos x + m − = b) sin x − cos x = m sin x cos x Bài 23: Giải phươngtrình sau: a) sin x + sin x + sin x = b) sin x + sin x + sin x = c) cos3 x + cos x + 2sin x − = d) cos3 x + sin x = cos x Bài 24: Giải phươngtrình sau: a) 2cos 2 x − 2cos x = sin x c) b) + cos x + cos x + cos3 x = ⎛ 21π ⎞ d) sin x − cos x = sin ⎜ + 10 x ⎟ ⎝ ⎠ cos x = ( cos x − sin x ) Bài 25: Giải phươngtrình sau: ( a) tan x − 3cot x = sin x + cos x c) 3sin x + 5cos x − = ) b) sin x + 2cos x = + sin x − 4cos x d) 2sin x − sin x = 2cos x − cos x + cos x Bài 26: Giải phươngtrình sau: a) sin x + cos6 x = ( ) b) sin x + cos8 x = c) sin x − sin 2 x + sin x = d) sin x + sin 2 x + sin x = Bài 27: Giải phươngtrình sau: a) cos x + 2sin x = cos x b) sin x + cos x − cos x + sin 2 x − = Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNGTRÌNHLƯỢNGGIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ c) sin x + sin ⎜ x + ⎟ + sin ⎜ x − ⎟ = 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ Bài 28: Định m để phươngtrình sau có nghiệm: ( a) sin x + cos x = m sin x + cos x ) sin x + cos6 x b) = 2m tan x cos x − sin x ( ) ( ) c) sin x + cos x − sin x + cos6 x − sin x = m Bài 29: Giải phươngtrình sau: a) 1 + sin x − − sin x = sin x sin x ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ b) ⎜ cos x + + 5⎜ − cos x ⎟ − = ⎟ cos x ⎠ ⎝ cos x ⎝ ⎠ c) 3sin x + 4cos x + d) π2 =6 3sin x + 4cos x + − x sin x = e) tan x + cot x = ( tan x + cot x ) − Bài 30: Định m để phươngtrình sau có nghiệm: a) + cot x + m ( tan x + cot x ) − = cos x b) sin x ( sin x + )( sin x + )( sin x + ) = m - Nguyên tắc để thành công Suy nghó tích cực Cảm nhận say mê Hành động kiên trì THÀNH CÔNG SẼ ĐẾN! Biên soạn: Nguyễn Duy Trương 10 ... ª VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HẠ BẬC PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Gặp phương trình lượng giác sinu cosu ln có số Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN... thường biến đổi phương trình dạng tích A.B.C = phương trình A = 0; B = 0; C = phương trình nói Để biến đổi phương trình dạng tích ta cần nắm vững cơng thức lượng giác, đẳng thức, phương pháp đặt... u ª VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TÍCH SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Để giải phương trình lượng giác ta thường biến đổi chúng dạng: Cơ bản, bậc sinu, cosu; bậc hai hàm số lượng giác; nhất; đối