Phương trình lượng giác

BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC A TĨM TẮT GIÁO KHOA • DẠNG CƠ BẢN VÀ BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG CƠ BẢN: ⎡ X = A + k 2π € s inX = sin A ⇔ ⎢ (k ∈ Z ) ⎣ X = π − A + k 2π € cos X = cos A ⇔ X = ± A + k 2π ( k ∈ Z ) π ⎛ ⎞ € tan X = tan A ⇔ X = A + kπ ⎜ X , A ≠ + kπ , k ∈ Z ⎟ ⎝ ⎠ € cot X = cot A ⇔ X = A + kπ ( X , A ≠ kπ , k ∈ Z ) • CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT: € sin u = ⇔ u = kπ ( k ∈ Z ) € cos u = ⇔ u = € tan u = ⇔ u = kπ ( k ∈ Z ) € cot u = ⇔ u = € sin u = ⇔ u = π + k 2π ( k ∈ Z ) € cos u = ⇔ u = k 2π ( k ∈ Z ) € tan u = ⇔ u = π + kπ ( k ∈ Z ) € tan u = −1 ⇔ u = − π + kπ ( k ∈ Z ) π π + kπ ( k ∈ Z ) + kπ ( k ∈ Z ) € sin u = −1 ⇔ u = − π + k 2π ( k ∈ Z ) € cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π ( k ∈ Z ) € cot u = ⇔ u = π + kπ ( k ∈ Z ) € cot u = −1 ⇔ u = − π + kπ ( k ∈ Z ) B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN ª VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sinu VÀ cosu › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: a) Dạng rút gọn: a sin u + b cos u = c (1) với a ≠ b ≠ b) Điều kiện có nghiệm: (1) có nghiệm ⇔ a + b ≥ c Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC c) Cách giải: & Cách 1: Chia hai vế cho (1) ⇔ a a + b2 sin u + b a + b ta được: cos u = c ⇔ cos α sin u + sin α cos u = a + b2 a2 + b2 ⎡u + α = β + k 2π ⇔ sin ( u + α ) = sin β ⇔ ⎢ (k ∈ Z ) ⎣u + α = π − β + k 2π & Cách 2: Chia hai vế cho a đặt tan α = c a + b2 b ta được: a b c c cos u = ⇔ sin u + tan α cos u = a a a ⎡u + α = β + k 2π c ⇔ sin u.cos α + cos u.sin α = cos α ⇔ sin ( u + α ) = sin β ⇔ ⎢ (k ∈ Z ) a ⎣u + α = π − β + k 2π (1) ⇔ sin u + & Cách 3: Đ Xét u = π + k 2π có nghiệm hay khơng? Đ Khi u ≠ π + k 2π ta đặt t = tan (1) ⇔ a u ta phương trình: 2t 1− t2 b + = c ⇔ ( b + c ) t − 2at + c − b = ( ) 2 1+ t 1+ t Đ Giải (2) ta t Thay vào chỗ đặt t ta tìm u ª VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: a) Dạng: a sin x + b sin x + c = a cos x + b cos x + c = a tan x + b tan x + c = a cot x + b cot x + c = (1) ( 2) ( 3) ( 4) b) Cách giải: ( Đặt ẩn phụ: (1) đặt t = sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) ; (2) đặt t = cos x ( −1 ≤ t ≤ 1) (3) đặt t = tan x (4) đặt t = cot x ( Ta phương trình: at + bt + c = ( *) ( Giải (*) ta t Thay vào cách đặt t ta tìm x Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Chú ý: Với cách tương tự ta giải phương trình bậc ba, bậc bốn, …đối với hàm số ª VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT (ĐẲNG CẤP) BẬC HAI › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: € Dạng 1: a.sin u + b sin u.cos u + c.cos u = @ Cách giải 1: Dùng cơng thức sin u cos u = sin 2u cơng thức hạ bậc để đưa phương trình dạng: b sin 2u + ( c − a ) cos 2u = −a − c @ Cách giải 2: +) Xét: cos u = 0? +) Khi cos u ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos u ta đưa dạng phương trình bậc hai theo tanu: a.tan u + b.tan u + c = € Dạng 2: a.sin u + b sin u.cos u + c.cos u = d ( ) @ Cách giải: Thay d = d sin u + cos u đưa dạng ª VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinu VÀ cosu › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: € Dạng 1: a ( sin u + cos u ) + b sin u cos u + c = (1) @ Cách giải: ⎧t ≤ π⎞ ⎪ ⎛ y Đặt: t = sin u + cos u = sin ⎜ u + ⎟ ⇒ ⎨ ⎠ ⎪sin u cos u = t − ⎝ ⎩ y Thay vào phương trình ta được: bt + 2at + 2c − b = ( 2) y Giải (2) ta t Thay vào chỗ đặt t ta tìm u € Dạng 2: a ( sin u − cos u ) + b sin u cos u + c = (1') @ Cách giải: Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC ⎧t ≤ π⎞ ⎪ ⎛ y Đặt: t = sin u − cos u = sin ⎜ u − ⎟ ⇒ ⎨ ⎠ ⎪sin u cos u = − t ⎝ ⎩ y Thay vào phương trình ta được: bt − 2at − 2c − b = ( 2') y Giải (2’) ta t Thay vào chỗ đặt t ta tìm u ª VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TÍCH SỐ › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Œ Để giải phương trình lượng giác ta thường biến đổi chúng dạng: Cơ bản, bậc sinu, cosu; bậc hai hàm số lượng giác; nhất; đối xứng… Œ Để đưa dạng ta thường biến đổi phương trình dạng tích A.B.C = phương trình A = 0; B = 0; C = phương trình nói Œ Để biến đổi phương trình dạng tích ta cần nắm vững cơng thức lượng giác, đẳng thức, phương pháp đặt nhân tử chung… Œ Dưới vài kĩ thuật nhằm giúp ta phát nhân tử chung cách nhanh chóng: Nếu phương trình chứa hàm số: y sin x;sin x; tan x; tan x; tan x ta đặt nhân tử chung sin x y sin x;cos3 x; tan x;cot x;cot x ta đặt nhân tử chung cos x x x y cos ;cot ;sin x; tan x ta đặt nhân tử chung + cos x 2 x x y sin ; tan ;sin x; tan x ta đặt nhân tử chung − cos x 2 ⎛π x ⎞ ⎛π x ⎞ y cos2 x;cot x;cos ⎜ − ⎟ ;sin ⎜ + ⎟ ta đặt nhân tử chung + sin x ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛π x ⎞ ⎛π x ⎞ y cos x;cot x;cos ⎜ + ⎟ ;sin ⎜ − ⎟ ta đặt nhân tử chung − sin x ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ y cos x;cot x;1 + sin x;1 + tan x;1 + cot x; tan x + cot x ta đặt nhân tử chung sin x + cos x y cos x;cot x;1 − sin x;1 − tan x;1 − cot x; tan x − cot x ta đặt nhân tử chung sin x − cos x ª VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HẠ BẬC › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Gặp phương trình lượng giác sinu cosu ln có số Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC mũ chẵn ta dùng cơng thức hạ bậc để hạ bậc phương trình đưa phương trình đơn giản Chú ý: Ngồi phương trình thuộc dạng thường gặp trên, ta gặp nhiều tốn mà để giải cần phải biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp giải vào tốn cụ thể C CÁC VÍ DỤ MINH HỌA • VÍ DỤ 1: Giải phương trình sau: cos3 x.cos3 x + sin x.sin x = • VÍ DỤ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình sau: ( ) ⎡π ⎤ cos ⎢ 3x − x + 160 x + 800 ⎥ = ⎣8 ⎦ sin x + cos x • VÍ DỤ 3: Giải phương trình sau: =− π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ tan ⎜ x − ⎟ tan ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎡ 3π ⎤ • VÍ DỤ 4: Tìm nghiệm x ∈ ⎢0; ⎥ phương trình: ⎣ ⎦ 3sin x − 4sin x + cos x = + • VÍ DỤ 5: Cho phương trình: cos x + ( 2m + 1) cos x + 2m = a) Giải phương trình m = b) Định m để phương trình có nghiệm x ∈ ( 0; π ) c) Định m để phương trình có nghiệm thuộc [ 0; 2π ) • VÍ DỤ 6: Giải phương trình: 2sin x − ( sin x + cos x ) + = • VÍ DỤ 7: Cho phương trình: sin x + ( cos x − sin x ) = m a) Giải phương trình m = b) Với giá trị m phương trình có nghiệm • VÍ DỤ 8: Giải phương trình: + tan x = + sin x − tan x • VÍ DỤ 9: Giải phương trình: sin x + sin x + sin16 x + sin18 x + 16sin x = Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC x • VÍ DỤ 10: Giải phương trình: tan x = − sin x 2cos • VÍ DỤ 11: Giải phương trình: sin x + sin 2 x + sin 3x + sin x = • VÍ DỤ 12: Giải phương trình: 2cos13 x + ( cos5 x + cos3 x ) = 8cos x cos3 x • VÍ DỤ 13: Giải phương trình: ( cot x − cos x ) − ( tan x − sin x ) − = • VÍ DỤ 14: Giải phương trình: sin x + sin x + sin x + cos x = D BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải phương trình sau: ⎛π x⎞ a) sin x.cos x − sin 2 x = 4sin ⎜ − ⎟ − với x − < ⎝ 2⎠ b) 2cos x + 2cos 2 x + 2cos x − = cos x ( 2sin x + 1) c) sin x.cos x.cos x = sin x d) sin x + cos8 x = ( sin10 x + cos10 x ) + cos x Bài 2: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: a) sin x + m + = m sin x b) m cos x − 2m + = c) cos x = m + 2m + d) m tan x − m + tan x = e) cos x + cos m + cos ( x + m ) = + 2cos m cos ( x + m ) Bài 3: Giải phương trình sau: a) 3sin 3x + cos9 x = + 4sin 3x b) 5sin x − 12cos x = 13 Bài 4: Giải phương trình sau: a) sin x − 2cos x = 2 + 2cos x ⎛π ⎞ c) cos x + sin x = 2cos ⎜ − x ⎟ ⎝3 ⎠ b) cos x − sin x = ( cos5 x − sin x ) d) ( ) − sin x − ( ) + cos x + − = Bài 5: Định m để phương trình sau có nghiệm: a) ( 2m − 1) sin x + m cos x = 3m − b) ( 2sin x − cos x ) = m ( cos x + sin x ) Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 6: Cho hàm số: y = sin x + 2cos x + CMR: −2 ≤ y ≤ 1, ∀x ∈ R sin x + cos x + Bài 7: Giải phương trình sau: a) 4sin x + ( ) − sin x − = c) ( sin x + cos x ) = 5cos x e) + tan x − = cos x b) − 6sin x cos x = cos x d) cos5 x cos x = cos x cos x + 3cos x + f) cos6 x − sin x = 13 cos x g) + 3tan x = 2sin x Bài 8: Cho phương trình: (1 − a ) tan x − + 3a + = cos x (1) a) Giải phương trình (1) a = ⎛ π⎞ b) Tìm a để phương trình (1) có nhiều nghiệm thuộc khoảng ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠ Bài 9: Cho phương trình: cos x − ( 2m + 1) cos x + m + = (1) a) Giải phương trình (1) m = ⎛ π 3π ⎞ b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ⎜ ; ⎟ ⎝2 ⎠ Bài 10: Định m để phương trình: m sin x + ( m + ) sin x − 3m − = (1) có nghiệm ⎡ 5π π ⎞ x ∈ ⎢− ; ⎟ ⎣ 2⎠ Bài 11: Định m để phương trình: cos x + 2m cos x + m + 4m = (1) có nghiệm x ∈ ( 0; π ) Bài 12: Định m để phương trình: sin x + cos x = m sin x có nghiệm Bài 13: Cho phương trình: 3cos x + sin x = m (1) a) Giải phương trình m = ⎡ π π⎤ b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc ⎢ − ; ⎥ ⎣ 4⎦ Bài 14: Giải phương trình sau: Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC a) 3cos x + 4sin x cos x − sin x = + b) sin x + sin x cos x + 2cos x = 3+ Bài 15: Giải phương trình sau: a) 5sin x − 4sin x cos x − cos x = b) 2sin x − c) + sin x cos x = + tan x ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ − sin ⎜ + x ⎟ = 2sin ⎜ + x ⎟ sin x − sin x + ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Bài 16: Giải phương trình sau: ⎛π ⎞ a) sin ⎜ + x ⎟ = sin x ⎝4 ⎠ b) sin x.sin x + sin 3x = 6cos3 x sin x + cos3 x = cos x c) 2cos x − sin x d) 6sin x − 2cos3 x = 5sin x cos x 2cos x Bài 17: Giải phương trình sau: a) sin x + cos x + sin x cos x = − 2 b) ( sin x + cos x ) = cos x − sin x c) + sin x + cos3 x = sin x Bài 18: Giải phương trình sau: π⎞ ⎛ a) 2sin x cos x + cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ b) + sin x + cos x = − tan x + sin x Bài 19: Giải phương trình sau: a) (1 − sin x )( cos x − sin x ) = cos x b) cot x − tan x = sin x + cos x c) sin x (1 + cot x ) + cos3 x (1 + tan x ) = sin x + cos x Bài 20: Giải phương trình sau: a) 2sin x + cot x = 2sin x + Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC b) sin x cos x + 2sin x + 2cos x = π⎞ ⎛ c) sin x + sin ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ Bài 21: Cho phương trình: cos3 x − sin x = m a) Giải phương trình m = −1 ⎡ π ⎤ b) Tìm m cho phương trình có nghiệm x ∈ ⎢ − ;0 ⎥ ⎣ ⎦ Bài 22: Định m để phương trình sau có nghiệm: a) ( sin x + cos x ) + 2sin x cos x + m − = b) sin x − cos x = m sin x cos x Bài 23: Giải phương trình sau: a) sin x + sin x + sin x = b) sin x + sin x + sin x = c) cos3 x + cos x + 2sin x − = d) cos3 x + sin x = cos x Bài 24: Giải phương trình sau: a) 2cos 2 x − 2cos x = sin x c) b) + cos x + cos x + cos3 x = ⎛ 21π ⎞ d) sin x − cos x = sin ⎜ + 10 x ⎟ ⎝ ⎠ cos x = ( cos x − sin x ) Bài 25: Giải phương trình sau: ( a) tan x − 3cot x = sin x + cos x c) 3sin x + 5cos x − = ) b) sin x + 2cos x = + sin x − 4cos x d) 2sin x − sin x = 2cos x − cos x + cos x Bài 26: Giải phương trình sau: a) sin x + cos6 x = ( ) b) sin x + cos8 x = c) sin x − sin 2 x + sin x = d) sin x + sin 2 x + sin x = Bài 27: Giải phương trình sau: a) cos x + 2sin x = cos x b) sin x + cos x − cos x + sin 2 x − = Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ c) sin x + sin ⎜ x + ⎟ + sin ⎜ x − ⎟ = 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ Bài 28: Định m để phương trình sau có nghiệm: ( a) sin x + cos x = m sin x + cos x ) sin x + cos6 x b) = 2m tan x cos x − sin x ( ) ( ) c) sin x + cos x − sin x + cos6 x − sin x = m Bài 29: Giải phương trình sau: a) 1 + sin x − − sin x = sin x sin x ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ b) ⎜ cos x + + 5⎜ − cos x ⎟ − = ⎟ cos x ⎠ ⎝ cos x ⎝ ⎠ c) 3sin x + 4cos x + d) π2 =6 3sin x + 4cos x + − x sin x = e) tan x + cot x = ( tan x + cot x ) − Bài 30: Định m để phương trình sau có nghiệm: a) + cot x + m ( tan x + cot x ) − = cos x b) sin x ( sin x + )( sin x + )( sin x + ) = m - Nguyên tắc để thành công Suy nghó tích cực Cảm nhận say mê Hành động kiên trì THÀNH CÔNG SẼ ĐẾN! Biên soạn: Nguyễn Duy Trương 10 ... ª VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HẠ BẬC › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Gặp phương trình lượng giác sinu cosu ln có số Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN... thường biến đổi phương trình dạng tích A.B.C = phương trình A = 0; B = 0; C = phương trình nói Œ Để biến đổi phương trình dạng tích ta cần nắm vững cơng thức lượng giác, đẳng thức, phương pháp đặt... u ª VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TÍCH SỐ › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Œ Để giải phương trình lượng giác ta thường biến đổi chúng dạng: Cơ bản, bậc sinu, cosu; bậc hai hàm số lượng giác; nhất; đối