1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Phương trình lượng giác

10 161 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 10
Dung lượng 235,96 KB

Nội dung

BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC A TĨM TẮT GIÁO KHOA • DẠNG CƠ BẢN VÀ BIẾN ĐỔI VỀ DẠNG CƠ BẢN: ⎡ X = A + k 2π € s inX = sin A ⇔ ⎢ (k ∈ Z ) ⎣ X = π − A + k 2π € cos X = cos A ⇔ X = ± A + k 2π ( k ∈ Z ) π ⎛ ⎞ € tan X = tan A ⇔ X = A + kπ ⎜ X , A ≠ + kπ , k ∈ Z ⎟ ⎝ ⎠ € cot X = cot A ⇔ X = A + kπ ( X , A ≠ kπ , k ∈ Z ) • CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT: € sin u = ⇔ u = kπ ( k ∈ Z ) € cos u = ⇔ u = € tan u = ⇔ u = kπ ( k ∈ Z ) € cot u = ⇔ u = € sin u = ⇔ u = π + k 2π ( k ∈ Z ) € cos u = ⇔ u = k 2π ( k ∈ Z ) € tan u = ⇔ u = π + kπ ( k ∈ Z ) € tan u = −1 ⇔ u = − π + kπ ( k ∈ Z ) π π + kπ ( k ∈ Z ) + kπ ( k ∈ Z ) € sin u = −1 ⇔ u = − π + k 2π ( k ∈ Z ) € cos u = −1 ⇔ u = π + k 2π ( k ∈ Z ) € cot u = ⇔ u = π + kπ ( k ∈ Z ) € cot u = −1 ⇔ u = − π + kπ ( k ∈ Z ) B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN ª VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sinu VÀ cosu › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: a) Dạng rút gọn: a sin u + b cos u = c (1) với a ≠ b ≠ b) Điều kiện có nghiệm: (1) có nghiệm ⇔ a + b ≥ c Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC c) Cách giải: & Cách 1: Chia hai vế cho (1) ⇔ a a + b2 sin u + b a + b ta được: cos u = c ⇔ cos α sin u + sin α cos u = a + b2 a2 + b2 ⎡u + α = β + k 2π ⇔ sin ( u + α ) = sin β ⇔ ⎢ (k ∈ Z ) ⎣u + α = π − β + k 2π & Cách 2: Chia hai vế cho a đặt tan α = c a + b2 b ta được: a b c c cos u = ⇔ sin u + tan α cos u = a a a ⎡u + α = β + k 2π c ⇔ sin u.cos α + cos u.sin α = cos α ⇔ sin ( u + α ) = sin β ⇔ ⎢ (k ∈ Z ) a ⎣u + α = π − β + k 2π (1) ⇔ sin u + & Cách 3: Đ Xét u = π + k 2π có nghiệm hay khơng? Đ Khi u ≠ π + k 2π ta đặt t = tan (1) ⇔ a u ta phương trình: 2t 1− t2 b + = c ⇔ ( b + c ) t − 2at + c − b = ( ) 2 1+ t 1+ t Đ Giải (2) ta t Thay vào chỗ đặt t ta tìm u ª VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: a) Dạng: a sin x + b sin x + c = a cos x + b cos x + c = a tan x + b tan x + c = a cot x + b cot x + c = (1) ( 2) ( 3) ( 4) b) Cách giải: ( Đặt ẩn phụ: (1) đặt t = sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) ; (2) đặt t = cos x ( −1 ≤ t ≤ 1) (3) đặt t = tan x (4) đặt t = cot x ( Ta phương trình: at + bt + c = ( *) ( Giải (*) ta t Thay vào cách đặt t ta tìm x Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Chú ý: Với cách tương tự ta giải phương trình bậc ba, bậc bốn, …đối với hàm số ª VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT (ĐẲNG CẤP) BẬC HAI › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: € Dạng 1: a.sin u + b sin u.cos u + c.cos u = @ Cách giải 1: Dùng cơng thức sin u cos u = sin 2u cơng thức hạ bậc để đưa phương trình dạng: b sin 2u + ( c − a ) cos 2u = −a − c @ Cách giải 2: +) Xét: cos u = 0? +) Khi cos u ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos u ta đưa dạng phương trình bậc hai theo tanu: a.tan u + b.tan u + c = € Dạng 2: a.sin u + b sin u.cos u + c.cos u = d ( ) @ Cách giải: Thay d = d sin u + cos u đưa dạng ª VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI sinu VÀ cosu › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: € Dạng 1: a ( sin u + cos u ) + b sin u cos u + c = (1) @ Cách giải: ⎧t ≤ π⎞ ⎪ ⎛ y Đặt: t = sin u + cos u = sin ⎜ u + ⎟ ⇒ ⎨ ⎠ ⎪sin u cos u = t − ⎝ ⎩ y Thay vào phương trình ta được: bt + 2at + 2c − b = ( 2) y Giải (2) ta t Thay vào chỗ đặt t ta tìm u € Dạng 2: a ( sin u − cos u ) + b sin u cos u + c = (1') @ Cách giải: Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC ⎧t ≤ π⎞ ⎪ ⎛ y Đặt: t = sin u − cos u = sin ⎜ u − ⎟ ⇒ ⎨ ⎠ ⎪sin u cos u = − t ⎝ ⎩ y Thay vào phương trình ta được: bt − 2at − 2c − b = ( 2') y Giải (2’) ta t Thay vào chỗ đặt t ta tìm u ª VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TÍCH SỐ › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Œ Để giải phương trình lượng giác ta thường biến đổi chúng dạng: Cơ bản, bậc sinu, cosu; bậc hai hàm số lượng giác; nhất; đối xứng… Œ Để đưa dạng ta thường biến đổi phương trình dạng tích A.B.C = phương trình A = 0; B = 0; C = phương trình nói Œ Để biến đổi phương trình dạng tích ta cần nắm vững cơng thức lượng giác, đẳng thức, phương pháp đặt nhân tử chung… Œ Dưới vài kĩ thuật nhằm giúp ta phát nhân tử chung cách nhanh chóng: Nếu phương trình chứa hàm số: y sin x;sin x; tan x; tan x; tan x ta đặt nhân tử chung sin x y sin x;cos3 x; tan x;cot x;cot x ta đặt nhân tử chung cos x x x y cos ;cot ;sin x; tan x ta đặt nhân tử chung + cos x 2 x x y sin ; tan ;sin x; tan x ta đặt nhân tử chung − cos x 2 ⎛π x ⎞ ⎛π x ⎞ y cos2 x;cot x;cos ⎜ − ⎟ ;sin ⎜ + ⎟ ta đặt nhân tử chung + sin x ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛π x ⎞ ⎛π x ⎞ y cos x;cot x;cos ⎜ + ⎟ ;sin ⎜ − ⎟ ta đặt nhân tử chung − sin x ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ y cos x;cot x;1 + sin x;1 + tan x;1 + cot x; tan x + cot x ta đặt nhân tử chung sin x + cos x y cos x;cot x;1 − sin x;1 − tan x;1 − cot x; tan x − cot x ta đặt nhân tử chung sin x − cos x ª VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HẠ BẬC › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Gặp phương trình lượng giác sinu cosu ln có số Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC mũ chẵn ta dùng cơng thức hạ bậc để hạ bậc phương trình đưa phương trình đơn giản Chú ý: Ngồi phương trình thuộc dạng thường gặp trên, ta gặp nhiều tốn mà để giải cần phải biết vận dụng cách linh hoạt phương pháp giải vào tốn cụ thể C CÁC VÍ DỤ MINH HỌA • VÍ DỤ 1: Giải phương trình sau: cos3 x.cos3 x + sin x.sin x = • VÍ DỤ 2: Tìm nghiệm ngun phương trình sau: ( ) ⎡π ⎤ cos ⎢ 3x − x + 160 x + 800 ⎥ = ⎣8 ⎦ sin x + cos x • VÍ DỤ 3: Giải phương trình sau: =− π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ tan ⎜ x − ⎟ tan ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎡ 3π ⎤ • VÍ DỤ 4: Tìm nghiệm x ∈ ⎢0; ⎥ phương trình: ⎣ ⎦ 3sin x − 4sin x + cos x = + • VÍ DỤ 5: Cho phương trình: cos x + ( 2m + 1) cos x + 2m = a) Giải phương trình m = b) Định m để phương trình có nghiệm x ∈ ( 0; π ) c) Định m để phương trình có nghiệm thuộc [ 0; 2π ) • VÍ DỤ 6: Giải phương trình: 2sin x − ( sin x + cos x ) + = • VÍ DỤ 7: Cho phương trình: sin x + ( cos x − sin x ) = m a) Giải phương trình m = b) Với giá trị m phương trình có nghiệm • VÍ DỤ 8: Giải phương trình: + tan x = + sin x − tan x • VÍ DỤ 9: Giải phương trình: sin x + sin x + sin16 x + sin18 x + 16sin x = Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC x • VÍ DỤ 10: Giải phương trình: tan x = − sin x 2cos • VÍ DỤ 11: Giải phương trình: sin x + sin 2 x + sin 3x + sin x = • VÍ DỤ 12: Giải phương trình: 2cos13 x + ( cos5 x + cos3 x ) = 8cos x cos3 x • VÍ DỤ 13: Giải phương trình: ( cot x − cos x ) − ( tan x − sin x ) − = • VÍ DỤ 14: Giải phương trình: sin x + sin x + sin x + cos x = D BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải phương trình sau: ⎛π x⎞ a) sin x.cos x − sin 2 x = 4sin ⎜ − ⎟ − với x − < ⎝ 2⎠ b) 2cos x + 2cos 2 x + 2cos x − = cos x ( 2sin x + 1) c) sin x.cos x.cos x = sin x d) sin x + cos8 x = ( sin10 x + cos10 x ) + cos x Bài 2: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m: a) sin x + m + = m sin x b) m cos x − 2m + = c) cos x = m + 2m + d) m tan x − m + tan x = e) cos x + cos m + cos ( x + m ) = + 2cos m cos ( x + m ) Bài 3: Giải phương trình sau: a) 3sin 3x + cos9 x = + 4sin 3x b) 5sin x − 12cos x = 13 Bài 4: Giải phương trình sau: a) sin x − 2cos x = 2 + 2cos x ⎛π ⎞ c) cos x + sin x = 2cos ⎜ − x ⎟ ⎝3 ⎠ b) cos x − sin x = ( cos5 x − sin x ) d) ( ) − sin x − ( ) + cos x + − = Bài 5: Định m để phương trình sau có nghiệm: a) ( 2m − 1) sin x + m cos x = 3m − b) ( 2sin x − cos x ) = m ( cos x + sin x ) Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC Bài 6: Cho hàm số: y = sin x + 2cos x + CMR: −2 ≤ y ≤ 1, ∀x ∈ R sin x + cos x + Bài 7: Giải phương trình sau: a) 4sin x + ( ) − sin x − = c) ( sin x + cos x ) = 5cos x e) + tan x − = cos x b) − 6sin x cos x = cos x d) cos5 x cos x = cos x cos x + 3cos x + f) cos6 x − sin x = 13 cos x g) + 3tan x = 2sin x Bài 8: Cho phương trình: (1 − a ) tan x − + 3a + = cos x (1) a) Giải phương trình (1) a = ⎛ π⎞ b) Tìm a để phương trình (1) có nhiều nghiệm thuộc khoảng ⎜ 0; ⎟ ⎝ 2⎠ Bài 9: Cho phương trình: cos x − ( 2m + 1) cos x + m + = (1) a) Giải phương trình (1) m = ⎛ π 3π ⎞ b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ⎜ ; ⎟ ⎝2 ⎠ Bài 10: Định m để phương trình: m sin x + ( m + ) sin x − 3m − = (1) có nghiệm ⎡ 5π π ⎞ x ∈ ⎢− ; ⎟ ⎣ 2⎠ Bài 11: Định m để phương trình: cos x + 2m cos x + m + 4m = (1) có nghiệm x ∈ ( 0; π ) Bài 12: Định m để phương trình: sin x + cos x = m sin x có nghiệm Bài 13: Cho phương trình: 3cos x + sin x = m (1) a) Giải phương trình m = ⎡ π π⎤ b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc ⎢ − ; ⎥ ⎣ 4⎦ Bài 14: Giải phương trình sau: Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC a) 3cos x + 4sin x cos x − sin x = + b) sin x + sin x cos x + 2cos x = 3+ Bài 15: Giải phương trình sau: a) 5sin x − 4sin x cos x − cos x = b) 2sin x − c) + sin x cos x = + tan x ⎛π ⎞ ⎛π ⎞ − sin ⎜ + x ⎟ = 2sin ⎜ + x ⎟ sin x − sin x + ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ Bài 16: Giải phương trình sau: ⎛π ⎞ a) sin ⎜ + x ⎟ = sin x ⎝4 ⎠ b) sin x.sin x + sin 3x = 6cos3 x sin x + cos3 x = cos x c) 2cos x − sin x d) 6sin x − 2cos3 x = 5sin x cos x 2cos x Bài 17: Giải phương trình sau: a) sin x + cos x + sin x cos x = − 2 b) ( sin x + cos x ) = cos x − sin x c) + sin x + cos3 x = sin x Bài 18: Giải phương trình sau: π⎞ ⎛ a) 2sin x cos x + cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ b) + sin x + cos x = − tan x + sin x Bài 19: Giải phương trình sau: a) (1 − sin x )( cos x − sin x ) = cos x b) cot x − tan x = sin x + cos x c) sin x (1 + cot x ) + cos3 x (1 + tan x ) = sin x + cos x Bài 20: Giải phương trình sau: a) 2sin x + cot x = 2sin x + Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC b) sin x cos x + 2sin x + 2cos x = π⎞ ⎛ c) sin x + sin ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ Bài 21: Cho phương trình: cos3 x − sin x = m a) Giải phương trình m = −1 ⎡ π ⎤ b) Tìm m cho phương trình có nghiệm x ∈ ⎢ − ;0 ⎥ ⎣ ⎦ Bài 22: Định m để phương trình sau có nghiệm: a) ( sin x + cos x ) + 2sin x cos x + m − = b) sin x − cos x = m sin x cos x Bài 23: Giải phương trình sau: a) sin x + sin x + sin x = b) sin x + sin x + sin x = c) cos3 x + cos x + 2sin x − = d) cos3 x + sin x = cos x Bài 24: Giải phương trình sau: a) 2cos 2 x − 2cos x = sin x c) b) + cos x + cos x + cos3 x = ⎛ 21π ⎞ d) sin x − cos x = sin ⎜ + 10 x ⎟ ⎝ ⎠ cos x = ( cos x − sin x ) Bài 25: Giải phương trình sau: ( a) tan x − 3cot x = sin x + cos x c) 3sin x + 5cos x − = ) b) sin x + 2cos x = + sin x − 4cos x d) 2sin x − sin x = 2cos x − cos x + cos x Bài 26: Giải phương trình sau: a) sin x + cos6 x = ( ) b) sin x + cos8 x = c) sin x − sin 2 x + sin x = d) sin x + sin 2 x + sin x = Bài 27: Giải phương trình sau: a) cos x + 2sin x = cos x b) sin x + cos x − cos x + sin 2 x − = Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN THI ĐẠI HỌC π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ c) sin x + sin ⎜ x + ⎟ + sin ⎜ x − ⎟ = 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ Bài 28: Định m để phương trình sau có nghiệm: ( a) sin x + cos x = m sin x + cos x ) sin x + cos6 x b) = 2m tan x cos x − sin x ( ) ( ) c) sin x + cos x − sin x + cos6 x − sin x = m Bài 29: Giải phương trình sau: a) 1 + sin x − − sin x = sin x sin x ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ b) ⎜ cos x + + 5⎜ − cos x ⎟ − = ⎟ cos x ⎠ ⎝ cos x ⎝ ⎠ c) 3sin x + 4cos x + d) π2 =6 3sin x + 4cos x + − x sin x = e) tan x + cot x = ( tan x + cot x ) − Bài 30: Định m để phương trình sau có nghiệm: a) + cot x + m ( tan x + cot x ) − = cos x b) sin x ( sin x + )( sin x + )( sin x + ) = m - Nguyên tắc để thành công Suy nghó tích cực Cảm nhận say mê Hành động kiên trì THÀNH CÔNG SẼ ĐẾN! Biên soạn: Nguyễn Duy Trương 10 ... ª VẤN ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC HẠ BẬC › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Gặp phương trình lượng giác sinu cosu ln có số Biên soạn: Nguyễn Duy Trương BÀI TẬP CHỦ ĐIỂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC – LUYỆN... thường biến đổi phương trình dạng tích A.B.C = phương trình A = 0; B = 0; C = phương trình nói Œ Để biến đổi phương trình dạng tích ta cần nắm vững cơng thức lượng giác, đẳng thức, phương pháp đặt... u ª VẤN ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TÍCH SỐ › PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Œ Để giải phương trình lượng giác ta thường biến đổi chúng dạng: Cơ bản, bậc sinu, cosu; bậc hai hàm số lượng giác; nhất; đối

Ngày đăng: 15/07/2017, 21:01

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w