Chuyên đề hệ phương trình 2

Trang 1

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

Cùng với phương trình, bất phương trình vô tỷ thì hệ phương trình là bài tốn ln xuất hiện trong đề thi các năm

Thir tw wu tién các tướng khi giải lệ phương trình

+ Các hệ mà 2 phương trình của hệ có dạng tương đương thì trừ 2 về của hệ, hoặc cộng 2 về của hệ sẽ được nhân từ chung

+ Biến đổi trơng đương hệ phương trình đã cho, biến đổi rút ra một phương trình trong hệ là phương trình tích

+ Các hệ có biệt thức xy;x+ y;(x+ y));x— yịx”— y?, đặt H =x + yÿV=xy + Có các nhân tử chung ở các phương trình của hệ thì đặt ẩn phụ

+ Thường thì Đề thi Đại Học cho đặt ẩn phụ nhưng ta không thể nhận thấy ngay được nên đặt

cái gì Vì vậy phải chỉa hoặc nhân với một biểu thức của biển nào đó( chẳng hạn như

x,y,x”,x”,xy, ) sau đó mới đặt an phụ được

+ Hệ có một phương trình dạng là hàm bậc 2 của x hoặc của y, giải phương trình này theo ẩn đó sẽ rút ra x theo y (hoặc y theo x)

+ Thay biểu thức ở một phương trình vào phương trình còn lại

+ Biến đổi các phương trình trong hệ rùi dung phương pháp hàm số

+ Đánh giá nhờ vào điều kiện có nghiệm của hệ, các bắt đẳng thức

Trang 1- 290 Dang Thanh Nam

Trang 2

HE PHUONG TRINH

PHUONG PHAP BIEN DOI TUONG DUONG BAI TAP MAU Bài 1 Giải hệ phương trình: pe —4xy7+3y-2xt+y)=0 (1) (,yeR) ayo + y)+2= (ety) @) Lời giải: Biến đổi phương trình thứ hai của hệ: xy(x?+y?)+2=(x+y)°Ẻ©ay(x+y)°—2x?y?+2=(x+)? ©œ(+”)°Qy=Ð=20y=10w+1)=0© Gy=D(Œ+»)°=20y+D)=0 2 xy ©@y-D(@?+y?-2)=0© @) Với xy =1, thay vào (1) ta được: 5x ”y—4xy”+3y”—2xy(x+y)=0

©3x+ y-6ay+3yè`=0ôâ y(x y)=0, nhng do xy=lnên x=y =| x=ÿ=- 1 (ii) Với x? + y? =2, thay vào (1) ta được: 5x ”y—4xy”+3y°—(x°+y?)(x+y)=0 3 2 2 3 , Am x=2y ©+x -4x y+5ayˆ-2y =0«&Ằ(x—-2yx- y} =0 x=y Thay vào phương trình (L) ta suy ra các nghệm của hệ là x=, 2 : 3, 5 Ễ | : y=, l?=-.j~ 5 5 x+y=2 4x?+y?= 5(2x-y)afxy Bài 2 Giải hệ phương trình | (x, ye R) Điều kiện: xy>0 Trang2- 29] Dang Thanh Nam

Trang 3

HE PHUONG TRIN x+y=2 (2x-y) +4xy-5(2x-y)afay =0 Hé tuong duong voi x+y=2 eS (2x-y-shy)(2x 4yf) =0 x+y=2 x+y=2 2x-y-.Jay=0 3x-2=2x-a? ea yea 2S -© x+y=2 x+y=2 PT TM nnNNỸN 25 25 2x=y-4\ày =0 3x-2=4ý2x-+” 25 25 22+8/6 =3 Vậy hệ có hai nghiệm là (x, y)= (ur 3

(+ +y)(x+ y)+x(2x+ 1)=7-2y Bài 2 Giải hệ phương trình x(4x+1)=7-3y 242 ytxyty +2x+x=7-2y 4x? +x=7-3y Trừ theo về hai phương trình của hệ ta được phương trình 0 2x'+2xÌy+ay+y°~2x°=y«œ 2x? (x+ »)+ v(x+ »)-x' + y) Sa'+y)e+y-)=0e|) I2 y=l-x Đến đây xét từng trường hợp ta suy ra nghiệm của hệ “9 xy-x+y=3 Bài 3 Giải hệ phương trình 5 43° +12x? +9x=-y? + 6y+5 Hé tuong duong voi Trang3- 292 Dang Thanh Nam

Trang 4

HE PHUONG TRINH (xty+l(@x+2-y} =o" | Ay-x+y=3 Vậy hệ có hai nghiệm là &2)-| -5+/S 228 | 4U xw+4x=y?+1lox Bài 4 Giải hệ phương trình 5 5 fro =5(I+3?) Lời giải: Hệ đã cho tương đương với x(x? -16)= y(y* -4) ( =44+5x°

Bình phương hai về phương trình thứ nhất của hệ ta được

x? (x? -16) =y (r? -4) và thay y°= 4+ 5x” vào ta được x?(x?7-16) = 25x" (44527) © 4x2 (x?—1)(BIx?+64)=0 - Với x=0ta được y°=4© y=+2 -15x=5) y=9 x=-l y=3 Vậy hệ có bốn nghiệm là (0,+2);(—1,3);(I.—3) # Với x”=l hệ trở thành | Cách khác: Xem phương pháp đồng bậc Trang 4- 293 Dang Thanh Nam

Trang 5

Bài 5 Giải hệ phương trình: kời sỉ

Điều kiện x>0,y#0

Khi đó hệ phương trình tương đương với _3 2 ñ 1 ® 3 1 —_ 2-5 x+y 2y 2x 2y - Nhân theo về hai phương trình của hệ ta được 4 9 1 ©9y°+8a?y?=a “=0 x+y? " 4p?

Từ đây thay vào phương trình (*) ta được nghiệm của hệ là (xy) = (š-z) : Bài 6 Giải hệ phương trình: fry () 3 AJx-vh-2y =x+3y-2 (2) 2+6y Loi _gi

Từ phương trình (1) cia hé ta suy ra: x—2y—yafx—2y —6y =0 (*)

Ta đặt t=¥ y „ khi đó phương trình (*) trở thành: /”— y/—6y” =0, phương trình này có biệt t=3y _ © thức A2592, 846 | t=-2y |Jjš-2y=-2y Trang5- 294

Dang Thanh Nam

Trang 6

HE PHUONG TRIN @ Voi yx—2y =3y, khi đó ta có hệ x—2y=3y wJa-vh-2y =x+3y-2 đi) Với ^4a- 2y =-2yta có hệ XA-2y=-2y fx—fx—2y =x+3y-2

Bài 7 Giải hệ phương trình :

(er = 9y? = (2 —y) (429° + 3)

4x? y?-2xy? + y? =3

Loi gidi:

Nhận thấy y=0không là nghiệm của hệ đã cho, khi đó ta chia hai về của phương trình thứ nhất cho y và chia cả hai về của phương trình thứ hai cho y”, khi đó hệ trở thành : — = () Bà 3 4x°~2x+l=-— (2) ” 3 Thê —-từ phương trình (2) vào phương trình (1), ta duge : 9 16x? -9 = (2x-1)(4x-+ 4x? —2x +1) 16x? -9 = (2x-1)(4x? + 2x41) © 16x° -9=8x' -1 &x=1, thay vao phương trình (2) ta suy ra =3o y=4l Vậy hệ có hai nghiệm là (x,y) = (1,—1):(1.1) Bài 8 Giải hệ phương trình: Trang6- 295

Dang Thanh Nam

Trang 7

HE PHUONG TRIN Ù (yz+(x+y+ 1)= 3x?—4x+l 5 ® Voix=-2>y=-> 2 Vay hệ có hai nghiệm là (xy)= (1:0}(-2:- Bài 9 Giải hệ phương trình : x+y+x(2x+y)=5ay xty+ay(3x-y)=4ay Lời giải :

Nhận thấy x=0, y =0 là một nghiệm của hệ

Với x=0,y#0hoặc x#0,y=0không là nghiệm của hệ

Ta xét xy # 0, khi đó chia theo về cả hai phương trình trong hệ cho xy thì hệ trở thành 1 1 —+—+2x+y=5 x oy 1 1 —+—+3x-y=4 x oy

Trừ theo về hai phương trình của hệ ta suy ra: 2y—x=l=>x=2y—l ta thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được :

2r— I+y+3(2'-1(Sr—3) =4y(2y- 1) 101° -19)° +107-1=0

Trang7- 296

Dang Thanh Nam

Trang 8

Bài 10 Giải hệ phương trình : + =1 kLời siải : Điều kiện : x> y>0 ?ưngi — Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với (>+ yr (ve —y-— 1) =0© mi (@ Với ety = Ikhi đó hệ trở thành ar °o vx+y=1 vx+ y= Vậy hệ có hai nghiệm Ia (x;y) = (1;0);(0;1) ex=ly=0 đi) Với 4Ïx— y =1 khi đó hệ trở thành | Bài 11 Giải hệ phương trình: 2 3 2 “5 x+y+xy+xy LẺ un (x.y ER) x4 y +xy(1+2x) Loi gidi: Hệ đã cho tương đương với: 2 2 =3 x+y+ay(œ HDT (dd) Qty) tay= = 4 @)

Lấy (1) trừ (2) theo về ta được :

@2+»)d~(ˆ+))+ay@Ÿ + y)=0& 2+ y)Gy+1—(x? +) =0

Trang 8- 297 Dang Thanh Nam

Trang 9

HE PHUONG TRINH x +y=0 2 aytl-(x? + y)=0 2 2 _5 + Với #-ty=023ý=-#' =.HPT @š(c#')='_-€>£= 5 xy+l+xy(xy+2)=— + Với xy+l—(x”+y)=0©3Ì+y=ay+l= PT © 4 (y+l+xy= 9 © (ay) +3ay+ a Osx 3 5 25 sae Vay nghiệm của hệ là: (x.y) = (‹-3)(Ê¬ = na 12 Giải hệ phương trình: x(x+y+l)-3=0 x,yeR) +10! 2 Lời giải: Điều kiện x+ 0 Khi đó hệ phương trình tương đương với: x+y+l-—=0 #X+y=—- x x 2S 5 3 vở (x+y) -—+1=0 F (—-1)-—+1=0 x 3 3 x+y=—-l ye x+y=—-1 x -© x -© — S| [x=2 x? -3x+2=0 3 x=2 go Vậy hệ có hai nghiệm: (s»)=(1)(2=5) Trang 9- 298 Dang Thanh Nam

Trang 10

HE PHUONG TRIN x(y—9) +fy—-141=0 (@ Bài 13 Giải hệ phương trình : y(18x? +1) =3x4+224+(ay +l)? (2) Loi _gidi:

Điều kiện: y>l

Khi đó từ (1) ta suy ra: fy—1+1=0=x(y—9) > 81x? +3°y? -18x7y— p-2 y-1=0 (3)

va (2) tuong dwong voi: 18x° y+ y=3x+224+x°y?+2xy41 © 18x’ y+ y—3x-x’y? —2xy—22 =0 (4) Lay (3) cộng với (4) theo v ta c: Đla?~3v~222(y+ay=1)=0 đ) Mt khác từ (L) ta lại có: xy+ajy x—l, thay vào (*) ta suy ra: 8lx?~3x~22—2(9x—I)=0 © 8la?~21x—20=0 Bài 14 Giải hệ phương trình: say hJ+2 Loi gi — x-y20 Điều kiện: (*) x+y>0 Khi đó hệ tương đương với: {i =G—9P EO de 0 (x+y) =@+y)+2 x+y=2 x+y=2 x-y=0 fa fey - Vv x+y=2 y=l ÿ=0 x-y=l Vậy hệ có hai nghiệm: (x, y)=(1,1);(2.0) Trang 10- 299

Dang Thanh Nam

Trang 11

HE PHUONG TRIN Bài 15 Giải hệ phương trình: QBx+4-J§=x)2' =2đ2~—3x+8) z y+log,x=l Lời giải: + Điều kiện 0< x<5 2 3 + Từ (2) ta có y=I—log, x = log;—=— 2” =—, thay vào phương trình (1) ta được phng trỡnh: : x x x3x+4-5x =193x+Đx â (3x44 -4)+ (I-5—x) = 16-327 + 8 3x-12 x-4 Sa = (1-4) (34 4) N3x4444 14 f5—x 3 1 2 (x-4)C @ Pn +3x+4)=0 A3x+4+4 14+ ¥5—x ex-4=0(x > 0) Sx=45 y= 1 Vậy nghiệm của hệ là (x: y)= (4:—l) Bài 16 Giải hệ phương trình: a+ Dl pba y= 2049 (1) (yeR) (*) x? + 2xy = 6(x+1) (2) Lời giải: + Thay 2xy = 6x+6— +” ở (2) vào phương trình (1), ta được x 4x6rt6—x) 4 Cy =2x+9 ©4i”(6x+6)+(6x+6—x?)”=4(2x+9) ©3!+2xz”(6x+6)+ (6x + 6)” =4(2x+ 9) ©x!+l2x`+48x” + 64x =0 © x(xˆ+12x”+48x +64) =0 0 -4 3 * 2 x(x+4) 0] 8 Trang 11- 300

Dang Thanh Nam

Trang 12

0=9 + Với x=0—>(*)© =>VN 0=6 x=-4 + Với x=-4>(*)© 17 geet 4 x 17 Vậy hệ có nghiệm duy nhât (n»)-(-42) § Bài 17 Giải hệ phương trình: fewest kời sỉ a va 30 + Điều kiện ® x,y2-l Khi đó hệ phương trình tương đương với xey=3+ajAy x+y=3+dlay © © xt+y+2vlay+x+y+l =14 34 4fxy + 2afay +4+.hợ =14 x+y=3+.Jay [rt y=3+ xy œ+++Vm=a- a2 7| œ xty=3+ahy x+y=6 Íx=3 = eo = Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x,y) =(3,3) Bài 18 Giải hệ phương trình: bình =7y () 9) xìy ?+xy+1=l13y” (2) Lời siải: Trang 12- 301

Dang Thanh Nam

Trang 13

HE PHUONG TRIN Nhận thấy y=0, không là nghiệm của hệ, do đó ta chia ca 2 về của (1) cho y; chia cả 2 về của (2) cho y” Khi đó hệ trở thành: MT x (—?-15—+36=0 y y Vậy hệ có hai nghiệm (x,y) 1 12,1);| 1—| (2 (14] Bài 19 Giải hệ phương trình : x ditty tx ax+3 kLời siải :

Điều kiện: x>0;y>3

Khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

„—3

xJzty-xa+3

@) Với y=3, khiđó 2x+3 =0<> x=-—3 loại

đi) Với Aa+z —wx+3=x, khi đó hệ trở thành xja+y-vx+3=x Ala+3+vx=3 oe exe xt y tnx =x43 AjJaty-vx+3=x Trang 13- 302 Ly=8

Dang Thanh Nam

Trang 14

HE PHUONG TRINH Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x, y) = (1,8) ¬ ` een: —3x+y=0 Bài 20 Giải hệ phương trình: l 1+3 ?y=Sv)+y”=0 Lời giải: Hệ đã cho tương đương với + '+y=3x-ay tan (x? ty) +xy-5x? =0 (3x-x} +x'y-5x)=0 x*+y=3x-xy x?(y?—Sp+4)=0 ệ có hai nghiệm là (x; y)= (0;0);(1:1) Tu 3x °+5y”—2xy=6 Bài 21 Giải hệ phương trình 2x34 3y? +3ay=8 Lời giải: 3x'+Sy°=2xy+6 Hệ tương đương với 2x? +3y? =-3xy + 8 Lúc nay coi day là hệ với hai an là x°; y°tir dé suy ra hệ tương đương với f ta duoc 22-2Ixy nhận thây x= 0 hoặc =0 không thỏa mãn hệ nên nhân hai về của hệ với nhau =13xy-12 (ay)' = (22-2lay)(13xy—12) (ay) ((ay)’ #274264) = 0 Trang 14- 303 Dang Thanh Nam

Trang 15

HE PHUONG TRINH yel x= gh2-21(-137+ ¥i9033) y=2 I3—12(—137+19033) - V6i xy =-1374 ¥19033 & Vậy hệ có ba nghiệm Bình luận: Dạng bải toán này có cách giải rất hay và hết sức cơ bản, ta có thẻ sáng tạo nhiều bài toán tương tự x'+JA)+2y+l =x?y+y+l Bài 22 Giải hệ phương trình _ ry (xt+y-1)Jfy4l =10 Lời giải: š ?+2y+l1>0 Điêu kiện: 3 J y2-l

Khi đó biến đổi phương trình thứ nhất của hệ

wap? +2ytl=xytytl ©xz '(x-y)+a? +2y+l -(y+l)=0

# y=-l x

Nêu cả ng: 1 thay vào phương trình đâu của hệ ta được

v=

eB

+) =-a?Ằ©x=-l=x+y—I=—3<0 không thỏa mãn vậy chúng không đồng thời bang 0, khi đó biến đổi phương trình như sau

exwi(x-y +o -0- x-y w+ = Onhung do

( ) 4z )+2y+1+(y+1) ( / yx? +2y414+(y+1)

x y-l y-1=10>x+y>1 nên x —= 2a (xt>z-1)vh #Ở + 4?+2y+I+(y+l) Vậy y=x thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình >0 Trang 15 - 304

Dang Thanh Nam

Trang 16

HE PHUONG TRIN 31 xi BE ST=l0e| | c©x=3 (x-1)(2x-1) = 100 (x-3)(43°+4x+17)=0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (as) = (3:3) I+xy?=19x? Bài 23 Giải hệ phương trình 5 yt xy? =-6x" Loi gi:

Nhận thấy x= 0 không thỏa mãn hệ phương trình, voi x # 0 nhan vào hai về của phương trình thứ hai với x ta được hệ 19 2 1+xy? =19x? I+ay)+(sy+x°y?)=0 Eí 22 ao 6 AJjEEa.V S=6X 1+x°y? =19x° 1 *=n 2 3 Ay+—l|xy+—|(xy+l)=0 y=-2 all? sll zor JO |b 1 14x? y? =192° a y=3 Vậy hệ có hai nghiệm là 7)= (š:2){-z2] x°+xy+2x+2y—-l6=0 Bài 24 Giải hệ ph ài tải hệ phương trìn [it vn trình Loi gi Hé tuong duong voi th tGsae > (x+z)(+4)=32 (x+z)(x+4)=32 Trang 16 - 305

Dang Thanh Nam

Trang 17

HE PHUONG TRIN Py l6 _ 32 a8 câlxty y+4 SH = t2 (x+y)(x+2)=16 (xƠy)(e#2)=16 =2 6 2 ——¬ <4 nod Vậy hệ có ba nghiệm (asy) = (0:8);(2:2):(—6;2) x -12y? +xy(7x+16y)=0 Jx-2y + x+2y=2 Bài 25 Giải hệ phương trình | Điều kiện | : Khi đó hệ tương đương với (x-3z)œ-2»} =0 [: 2 5L¥ 2x+2va° -4y? =4 x=3y Sy? =2-3y eS x=2y 2=2 Vậy hệ có hai nghiệm là (x; y)= exy| —: xafx? + 2y Bài 26 Giải hệ phương trình 2(z' +2y Loi gi Viết phương trình thứ hai của hệ dưới dạng Trang 17 - 306

Dang Thanh Nam

Trang 18

HE PHUONG TRIN

2(y° + 2y—x=1) = y? (x41) 2(y°+2y)=y? (x41) +2(x41)

= 2y(y? +2)=(x+1)(y? +2) 2y=x+1, thay vao phuong trình đầu tiên của hệ ta được

phương trình

x⁄š°+2x+2+3(x+l)=0

Nếu x>0 thì về trái của phương trình luôn lớn hơn 0, vậy nên phương trình có nghiệm nếu x<0, nên chia cả hai về của phương trình cho x”,x <0 ta được

iid

yx? -y? y(x+3) Bài 27 Giải hệ phương trình (ay? i than ) Lời giải: Hệ phương trình tương đương với ay (x+3)20 xy(x+3)20 x Pax y (x43) eda (x43) =4v)y?+8x?y? y= 4x? y? + 8x7 y? xh-y°=x?y *(x+3Ÿ Trang 18 - 307

Dang Thanh Nam

Trang 19

xy(x+3)20 a ` j= } 2y?(x+I ` =0 : yxy? (x41) yoy © _—- vay? =x’y?(x+3) =x7y?(x43) Vậy hệ có ba nghiệm là G2)=(09)|-s‡Ÿ] 24 y+y°=2x'+a (x+2)jy+I= (x+1Ỷ Bài 28 Giải hệ phương trình | Lời gi

Điều kiện y>—l

Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ

2x y+y°=2x1+x°©2x” (y-x?)+(y—x?)(x! +xy+y?)= 0

c©Ð?-y)](23}+a°+a y+y?]=0©

(=r) yey) 2x? txt tx?y ty? =x" (yt2)+x*+y? =0

- Nếu x7 (y+ 2)+x" +y°=0€x= y=0 thử lại nghiệm thấy không thỏa man

- Nếu y=+” thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình (x+2)Xx” +1= (x41) =x +2x41(*)

Đến đây ta đặt £=Ajx?+l khi đó phương trình (*) trở thành

P+2x=(x+2)tex(r~x)(r~2)=0x | TS cv 3Š suy rà y=3 +x=|* aS —X — HUD ext suyra y= Xa +l=x Vậy hệ có hai nghiệm là (x; y)= (3) z-dă-y—I =1 y?(I=x)+x+2yMx= 0 Bài 29 Giải hệ phương trình | Lời giải: Trang 19- 308

Dang Thanh Nam

Trang 20

HE PHUONG TRIN ne sae x20 Điêu kiện: x-y-120 Khi đó hệ tương đương với nan (eer 2 (l-x)txt2yve=0 |y?+2y@x+x-ay?=0 y=2lx-2 (»+#) =(d5) |” 5 waft 3{x~2=2>(x =1) x=4;y=2 1 e 3w~-2=-2h(jx-I}â #=mw=ơl y=2vx-2 x-2afyt+ aly + 1-9x-8y = 52 - 4ay Bài 30 Giải hệ phương trình x-4x Lời gi Điều kiện: y2-l Hệ phương trình tương đương với *# - 6x45 1 4 ©-x +4x+2l=0© x>3 Trang 20 - 309

Dang Thanh Nam

Trang 21

HE PHUONG TRINH Vậy hệ có nghiệm duy nhat (x; y)=(7;3) xh+y'+ =1 Bài 31 Giải hệ phương trình x+ÿ Lời giải:

Điều kiện: x+y >0

Khi đó biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta được tị +1 + v1 3xv='fx+vÏ=0 ty (x+y) (x +y )+ xy — (x+y) xi+yÌ+ 0 ° (4+ yy (x? +ự —ay)+3xy-(x+y) © (x+y) (e+ ry ~3ay]+3ay=(x+y)= 0 @ (x+y) -(v+y)+3ay(I-(x+y)')=0 (xt y-I((x+ 9) +043 Y+x+y-l-3x x+y+1))=0(*) Nhung do (x+ yy +(x+ »} +x+ y-lI-3y(x+y+]) =x#l+y +3 +y°-ay+x+y= (x+y)(x? +yÌ-ay+ 1)+ x ty -ay>0 Với x+y>0

Vậy nên phương trình (*) tương đương với x+ y—l=0; lúc này thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình

Ä/3x—I+45x+l= 2z ( phương trình này được giải bằng cách lập phương hai về; chỉ tiết xem

Chuyén dé phwong trinh bat phwong trinh v6 ty)

Trang 21 - 310

Dang Thanh Nam

Trang 22

BAI TAP DE NGHI

Giải các hệ phương trình sau:

Bài 1 Giải hệ phương trình: đen) 14

(x + »)@? +l4ay+ y ) = 36

Bài 2 Giải hệ phương trình:

Bài 3 Giải hệ phương trình:

2x°+3y=y°+4x

5(1+3y?)=4(3x?+2)

Bài 4 Giải hệ phương trình

x(x? +1)+ay(2x-3y)+ y(x-2)=2y (14 5y)

Bài 5 Giải hệ phương trình 3 (x7+17y+12} =4(x+y+7)(A”+3x+8y+5) pean ` x'+2y°-2xy=l Bài 6 Giải hệ phương trình 2x”+ y +2xy=5 x'+y'+x ?y°=ay=2 Bài 6 Giải hệ phương trình —x°+y”+ay=l +'+4à?+l+3y—y? =z*(y-I)+v (xt y-1)fy+1=10 (x+y +1)(2x+2y-l)=9 (3x+y—l)yfy+1=10

Trang 22 - 311

Dang Thanh Nam

Trang 23

HE PHUONG TRINH 2(y? +2y-x-1)=y? (x41) +°+2y—2+42y-+? =x -2y+3 Bài 9 Giải hệ phương trình 3 (2y+5)+6y+7=0

log; (3x-y)+ log, (x+z)= 1+log,2 Bài 12 Giải hệ phương trình a x +y?-2x4+3y-35=0 Bài 13 Giải hệ phương trình # 35 12 Bài 14 Giải hệ phương trình HE DOI XUNG

(i) Hé déi xứng loại I

Hệ đối xứng loai 1 1a hệ mà vai trò của x, y trong hệ là như nhau Nếu (xạ vạ) là nghiệm của hệ thì ( yạ,x, ) cũng là nghiệm của hệ Phương pháp:

VI ST và vài Q2

Đặt E - với điêu kiện Š“ >4P

(ii) Hệ đối xứng loại 2

Hệ đối xứng loại 2 là hệ mà khi ta đôi vai trò x, y cho nhau thì phương trình này chuyển thành phương trình kia Nếu (xạ y„) là nghiệm của hệ thì ( y„.x) cũng là nghiệm của hệ Phương pháp: Trừ theo về hai phương trình trong hệ ta được Trang 23- 312

Dang Thanh Nam

Trang 24

BAI TAP MAU

Bài 1 Giải hệ phương trình: i y+2ay=2 Đặt Ÿ=x+ y,P = xy Khi đó hệ trở thành 2=5 (oar += 3(S?~3P)=8 (Sẽ Tứ" x+y=2 x=2 |x=0 2S Sp Vv

xy=0 y=0 [y=2

Vậy hệ có hai nghiệm Ia (x, y) = (2,0);(0,2) Bài 2 Giải hệ phương trình: f +y =19 (x+z)(§+ y)= 2 i (s?-3 ne ofr S?-3(2-88)=19 PAPA x=3 ® Vv —2 |y Vậy hệ có hai nghiệm Ia (x, y) = (3,-2);(-2,3) Trang 24- 313

Dang Thanh Nam

Trang 25

HE PHUONG TRIN Bài 3 Giải hệ phương trình : 2(x+»)=3(&'y + #9” ] Lời giải : 31 ĐỀN — 3 (22p + B2 Đặt ŸX =a,4Ïy =b khi đó hệ trở thành : S04 )=3[g085f] a+b=6 Đặt Ÿ =a+b,P = ab khi đó hệ trên trở thành

2ÿ(S°~3P)=3§P _ [Š=6_ [a+b=6_ [a=4=x=64 [a=2 - -© -© Vv S=6 P=8 ab=8 b=2>y=8 b=4 Từ đó suy ra nghiệm của hệ là (x, y) = (64,8);(8,64) Bài 4 Giải hệ phương trình : 41+ J#i=4 xy20 Điêu kiện : x,y2-l Dat S=x+ y,P = xykhi do hệ trở thành SP =3 P=(S-3) S23 © S+2+24$+P+I=l6 24jš+(S~3) +1=14-š S=6 x+y=6 x=3 eS eS -© P=9 xy=9 y=3 Bài 5 Giải hệ phương trình : Trang 25 - 314

Dang Thanh Nam

Trang 26

HE PHUONG TRIN 3x'=x?+2y? 3y? = y +2x?

Từ hai phương trình của hệ suy ra hệ có nghiệm nếu x, y >0 Trừ theo về hai phương trình của hệ, ta được 3(x? -y) = -#? -1?)© (x-»)0(' +ự +xy)}+x+} =0 =y â ơ t +ay)}+x+y= 0 x=y y, khi đó ta được hệ $B 12 3x =x+2y 5P (đi) Nếu 3(x? +y? +ay)+ x+y=0, khi đó ta có hệ 3(2 + +ay)}+ x+y=0 3x'=a?+2y?

Từ x>0suy ra để hệ có nghiệm thì phương trình thứ nhất phải có nghiệm y<0 Do đó

x= y=0 là nghiệm duy nhất của hệ này

Vậy hệ có hai nghiệm là (x,y) =(0,0);(1,1) Bài 6 Giải hệ phương trình : ng vx =2y y+ Jy S 2% Lời giải :

Điều kiện : »,y„>0

Xét hàm số ƒ(f)=f”+^f trên đoạn [0;+œ) Ta có 7@=2+—E— >0, Vte( (0;+00) Do đó

wr

hàm số ƒ() đồng biến trên [0; +00)

Hệ phương trình tương đương với

Trang 26- 315

Dang Thanh Nam

Trang 27

HE PHUONG TRIN 2(y-x)= f@)- FY) - f(x) => a2x= f(y) Do /Œ)là hàm đồng biến nên, nếu y>x=>ƒ(x)<ƒ(y)và nếu y<x=/ƒ(x)>/(v) Vậy x= y, khi đó hệ trở thành x=y x=y : ee “| 3-5 af) Vay hệ có hai nghiệm là G2)=()| 2.na TK ¬ e—.: x=y=l 2 Bài 7 Giải hệ phương trình : Lời giải : Hệ phương trình tương đương với fr +6x-y? -6= yx? +y yx +6y-x°-6= y?+x Trừ theo về hai phương trình của hệ ta được (x—y)(x+z»—2xy+7)=0 =|" 3 x+y-2x„+7=0 x=y () Nếu x = y khi đó ta có hệ | Ji”) x= xy?+6x—y°—6=ywx?+y xen (ii) Néu x + y—2xy+ 7= 0, khi đó cộng theo về hai phương trinh của hệ ta được ng —5(x+x)+12=0 Từ đó ta có hệ x+y-2xy+7=0 x+y-2xy+7=0 Đặt Ÿ=x+y,P=ay;Ÿ? >4P khi đó hệ trở thành Trang 27 - 316

Dang Thanh Nam

?+y?—5(x+y)+12=0 ety) —S(x4+ y)-2ay412=

Trang 28

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ` §*-58-2P+l2=0_ |3 “63?3=0 [s~lp=a g ‘= S+7 lo S-2P+7=0 Be S=5,P=6 S=5 x+y=S5 tr=2;y=3 Chỉ nhận nghiệm - eS P=6 xy=6 x=3y=2 Vậy hệ có bốn nghiệm là (2,2);(3,3);(3,2);(2,3) - BÀI TẠP ĐÈ NGHỊ Giải các hệ phương trình sau : Hé doi xứng loại I : xi+y'+ Oxy? =41 Bài 1 Giải hệ phương trình : VỆ ề xy(x? + y?)=10 suy 2 ` x°+y”+xy=7 Bài 2 Giải hệ phương trình : 8 xi+ytx?y? =21 2y ` x'+yˆ=l3 Bài 3 Giải hệ phương trình : 3 xft+ty'+x )y?=9l xt+y=4 (x? +y?)(x? +y?)=280 (wees “)=99 y (v+y)(1- 4-5 ay yx? + y +ap2xy = 82 M+dy=4 x?+y?-x-y=l2 x(x-I)y(y-))=36 (x+ y)(1+ xy) =18xy (x? +9? )(I+37y*) = 208x797 Bài 4 Giải hệ phương trình :

Bài 8 Giải hệ phương trình : Trang 28 - 317

Dang Thanh Nam

Trang 29

HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 9 Giải hệ phương trình : 3 2 *) 4} 2) arg Bài 10 Giải hệ phương trình : 4\ y 3y (w}Ỳ +ay=6 242 3 xy + 4(x +y }+ Ty“ Tay Bài 11 Giải hệ phương trình ¡ ~ 2x+ =3 x+y Bài 11 Giải hệ phương trình 1 1 Hé doi xứng loại 2 :

Bài 2 Giải hệ phương trình : Bài 3 Giải hệ phương trình : 2y=z”+l Hy 2 ` x'=3x+§y Bài 4 Giải hệ phương trình : y =3y+8x i+ soy -W2 $??2 £ x'+7x=y°+7y

Bài 6 Giải hệ phương trình : x+yÌ=x+y+2

Trang 29 - 318

Dang Thanh Nam

Trang 30

HE PHUONG TRINH

Bài 8 Giải hệ phương trình : 4? ?+3+2ữ-h=3 Bài 9 Giải hệ phương trình : | | ha cà ` x°—=3xy?—x+l=x”—2xy— y” Bài 10 Giải hệ phương trình : 5 y-3x°y+y4+ls y?-2xy-2? HE PHUONG TRINH DANG CAP Phương pháp :

Xét xem hệ phương trình có nghiệm x = 0 hoặc y=0hay không, xét x z 0, khi đó đặt y=x

BAI TAP MAU Bài 1 Giải hệ phương trình : 2y(x? -y x(x? +y’)= 10y Lời siải : Nhận thấy x=0, y =0 là một nghiệm của hệ Xét x z 0, đặt y =ứx khi đó hệ trở thành 2w(x'~t?4?)=3x 2nø°(I=?)=3 © x(?++”)=10w +*(+¿)=10 Từ đó suy ra 2/(I—/?).10 =3.(I+/?)© 20/220" =3+ 37? ©20°~H1ˆ+3=0t=Š t= Trang 30- 319

Dang Thanh Nam

Trang 31

3 @ Vi t=2= ii) Với =—= ( 4 |: Vậy hệ có năm nghiệm là (x,>)=(0,0), : g 5 9 5 Ja = + nN a oO Bài 2 Giải hệ phương trình: x°-3xy+y”=—I 34?+2xy-2y?=l Lời giải Nhận thấy y=0không là nghiệm của hệ, đặt x = /y khi đó hệ trở thành y?(? -3r41)=-1 3?(+2-2)=1 Chia theo về hai phương trình của hệ, ta được ~3/+1 fel ————=-I©2-i-I=0© 1 #+2:-2 f##—— x=y y?(P-3r+t)=-1> ¬ 1 šà gã 1 x=~ry a (ii) Voi t= “52 2 hệ này vô nghiệm Bài 3 Giải hệ phương trình: Trang 31 - 320

Dang Thanh Nam

Trang 32

HE PHUONG TRIN pe —x(y-1)+y’ =3y x°+ay-3yŸ? =x-2y Loi gidi: Hệ phương trình đã cho tương đương với 2x?-xy+y°=3y—x x'+ay-3y? =x-2y

Néu y=0=>x=01a mét nghiém cua hé

Xét y 40, dat x=sy khi đó hệ trở thành y? (2° -1+1)= y(3-2) y?(? +t-3)=y(t-2) Từ đó suy ra (20° -1+1)(t-2)=(3-1)( +1-3) 30 - 78 -314+7=0 @ (P-1)(1-7)=0e r= 410-2 Thế ngược trở lại hệ đã cho tìm được các nghiệm là (s¥)=(0.0).(41)-11)( 2.) hs Bài 4 Giải hệ phương trình: x'-§x=y°+2y x'-3=3(y°+1) Nhận thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình, đặt y= +, khi đó hệ trở thành x'(I=?)=(2/+8)x 2 x? (1-377) 6 Trang 32 - 321

Dang Thanh Nam

Trang 33

HỆ PHƯƠNG TRÌNH 1 ret Tir day suy ra 6(1-°) = (20+ 8)(1-37) @ 12° -1-1=0 ` pendk 4 1 a yoox x=#3 @ Voi t=-> 3 =| x’ (1-37) =6 y=H x _„ 478 n 1 |#**7 xxx (đi) Với ==—> 4 eS x7 (1-37) =6 ya 78 Vay hé co bén nghiệm là (x.z)= 6a)Cs-D{ -i J1 (2m 13 ` 13 13 ` 13 BÀI TẠP ĐÈ NGHỊ Giải các hệ phương trình sau: " 3x?°~2xy=l6 Bài 1 Giải phương trình: x-3-23y =8 2 2 3 ` x? —2xy+3y Bài 2 Giải phương trình: 5 2x? -13xy +159? =0 3 2x+y== Bài 3 Giải phương trình: â 2y+x= `" n x?y+y?x=30 Bài 4 Giải hệ phương trình: x+y`=35 sass 5 x+y —x2 =1 Bài 5 Giải hệ phương trình: 4i 2+y°=4x+y (x-y)(x?-y?)=3 Bài 6 Giải hệ phương trình: (x+z)(+” + Trang 33- 322

Dang Thanh Nam

Trang 34

HE PHUONG TRINH 2x°+3y= y`+4x Bài 7 Giải hệ phương trình {rien 4(3x7 +2) x°-3x’y-2y=0 xt+3y-2y`=0 Bài 8 Giải hệ phương trình |

Bài 9 Giải hệ phương trình DẠNG TOÁN CỘNG, TRỪ THEO VÉ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRONG HỆ (PHƯƠNG PHÁP HẸ SÓ BÁT ĐỊNH) - Đôi khi việc giải hệ phương trình, đơn giản nhất chỉ là cộng hoặc trừ theo vé 2 phuong trình của hệ

- Nâng cao hơn thì nhân vào hai về của một phương trình với một biểu thức rồi cộng vào phương trình còn lại của hệ

Các cách trên sẽ đưa về một phương trình tích( hay là các hằng đẳng thức) và ta dé dang tìm ra môi liên hệ giữa x và y

BAI TAP MAU Bài 1 Giải hệ phương trình sau: way =35 (1) 2x '+3y”=4x-9y — (2) Lời siải: Trang 34- 323 Dang Thanh Nam

Trang 35

Ta sẽ chọn các số ø,b,œ e]R sao cho:

xÌ+2ox?~4ox— y` +3oy”+9qy— 35 =(x+ a) -(y+b)

Vậy đi đến lời giải cho bài toán này như sau:

Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình(2) ta được: (x-2}Ÿ =(3+y) =>x=y+5 (3) ‘ y=-2>x=3 Thê (3) vào phương trình (2) của hệ ta được : y +5y+6=0 2" y=-3>x=2 Vậy nghiệm của hệ là (3,~2).(2.~3) Bài 2 Giải hệ phương trình sau: v+y=91 @®) 4a ?+3y?=l6úx+9y (2) Lời giải: Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình (2) theo về ta được: (x-4) =(3-y) Sx=7-y @) Thay (3) vào phương trình (2) của hệ ta được 5 y=4=x=3 y -Ty+12=00 y=3>x=4 Vậy nghiệm của hệ là (3,4).(4.3) Trang 35 - 324

Dang Thanh Nam

Trang 36

HE PHUONG TRIN Bài 3 Giải hệ phương trình sau: xÌ+3ay?=-49 () x°~§xy+y”=§y_l7x (2) Loi gi: Lấy phương trình (1) cộng theo về với 3 lần phương trình (2) ta được x°+ay?+3x?—24xy+3y” =—49+24y—Slx x=-lLy=-4 =+1\(e+1Ÿ+Ay=4})=0e| x=-l;y=4 Vậy nghiệm của hệ là (—1,=4).(—1,4) Bài 4 Giải hệ phương trình sau: 1 ty ss 1 ys (1) ay s3r-22 yareh) xt3x-sec=-y@x+l) 2) 2 Lời giải: Lấy 25 lần phương trình (1) cộng theo về với 50 lần phương trình (2) ta được 3xty=e 25(3x+ y)°+50(3x+ y)~119=0 ` 3x+y=-— 5 sas : 21 11 2 Giải ra ta được nghiệm của hệ là KH Si số 25 25 Bài 5 Giải hệ phương trình sau : A4?+2xy+2y°+3x=0 () Ay+y?+3y+l=0 (2) Loi gi: Lấy phương trình (1) cộng theo về với 2 lần phương trình (2) ta được: Trang 36 - 325

Dang Thanh Nam

Trang 37

HE PHUONG TRIN 2 x+2y=-l (x+2y) +34++2y)+2=0© x+2y=-2 y=l+42=x=-3-242 v=I-⁄2=x=-3+242 + Với x+2y=-—], thay vo (2) ta c: y~2yI1=0ôâ + Với x+2y=~—2, thay vào (2) ta được: es x= =a=-3+4S 2 yobs ` 2 =x=-3-S Vậy hệ có 4 nghiệm Bài 6 Giải hệ phương trình: 6x?y+2y°+35=0 (Ll) 5(x? +y7)+ 2ayt-5x413y=0 (2) Lời giải: Lấy phương trình (1) cộng với 3 lần phương trình (2) ta được (6y+15)x?+3(2y+5)x+2y°+15y?+39y+35 =0 5 1 1” 5\? Jango ES = (2y+5)) 3) x+—] +] +i] 2 2 [=00 13 2 2 1, Š 1 5 Vậy nghiệm của hệ là | —;—— |.| ——:—~ |: mu : (5 a} 2 Bài 7 Giải hệ phương trình: x?+2y°=xy+2y () 2x°+3xy?=2y?+3x”y (2) Trang 37 - 326

Dang Thanh Nam

Trang 38

HE PHUONG TRIN Loi gi

+ Với y=0—>x =0là một nghiệm của hệ

Thay (3) vào phương trình (1) ta được: 2y”=2y©© y=l (y#0)=x=l Vậy nghiệm của hệ là (0:0).(1;1) Bài 8 Giải hệ phương trình : x'+txy+y =3 @) x°#2xy-7x-5y+9=ÙŨ (2) Loi gi: x+y-2=0 Cộng theo về 2 phương ong theo về 2 phương trình của hệ ta ợc: ( trình của hệ ta được: (x+ y—2)(2x+ y—3)=0© 3 \ 3 ) ae s Với x+ y—2=0khi đó ta có hệ: x+y-2=0 y=2-# x=l = 2t x*+x(2-x)+(2-x} =3 y=l ` Với 2x+ y—3=0khi đó ta có hệ: x=l 2x+y-3=0 y=3-2x ye=l > ° ° x +ay+y =3 x°+x(3-2x)+(3-2x)° =3 | Ẽ x=2 Vậy hệ có hai nghiệm là (x; y) = (1;1);(2:—1) BÀI TẠP ĐÈ NGHỊ Giải các hệ phương trình sau: x+y=9 1.1 2 5 x +2y =x+4y Trang 38 - 327

Dang Thanh Nam

Trang 39

HỆ PHƯƠNG TRÌNH w+y=91 1.2 _ 4x? +3y? =16x+9y 3x° + 2xy =3y-16 1.3 2y? +3xy =2x+12 Gợi ý: Nhân vào hai vé phương trình thứ hai với (-8) rùi cộng theo về với phương trình thứ nhất của hệ

DANG TOAN BIEN DOI VA DAT AN PHU

Ap dung với hệ có số hạng chung xuất hiện ở các phương trình trong hệ ° xã - 8 u=xty Thường thì các bài toán biên đôi đơn giản ta đặt ân phụ với v=x Chẳng hạn: 2 x'+xy?+x?y+yÌ=4 G+z)((x+z) ~2y)=4 ể c2 : 2 = 2 (xt y)(x tayty )=6 G+z)((x+z) -ay)}=6 u=xt+y u(u?-2v)=4 ` Ta đặt ân phụ như sau: | ~ khidé được hệ mới: đơn giản hơn nhiêu va ay u(u?-v)=6

Đôi khi chỉa(hoặc nhân) hai về của phương trình trong hệ với một biểu thức nào đó của biển x

thường đơn giản là x,x”,x`; y, y°,y}) lúc này sẽ được hệ mới có thể đặt ẩn phụ được

Chẳng hạn:

x°+ay-3x+y=0

fi 43x? y—5x? +y? =0

Mới đầu nhìn hệ này chưa có gì đặc biệt tuy nhiên, với x # 0 ta chia hai về của phương trình đầu cho x và chia hai về của phương trình thứ hai cho xŸ ta được hệ mới như sau:

Trang 39 - 328

Dang Thanh Nam

Trang 40

y y xt+24y-3=0 x x+o+y—-3=0 x 2 sa? v+543y-5=0 («+2 +y—5=0 x x Dén day ta dat uw =x „+y=0 Khi đó hệ trở thành: 4 „ „ˆ+y—2=0 BAI TAP MAU Bài 1 Giải hệ phương trình: x?+y?=ay+x+y () vì y2=3 @ Lời si: srg x1 È+3(x— yÝ

Taco x+y we=g((+y) +3(x 3): Vậy đặt a=x+ y;b=x— y, khi đó hệ trở thành 3b'-12b+9=0 [3(b—1)?(b? +2b+3)=0 = ab=3 wa wae b b Vay nghiém cia hé 1a (x;y) =(2;1) Bài 2.Giải hệ phương trình: errs =y+l x°+xy+y?=7 Loi gi: + Diéu kién y >—1, khido hé tuong duong voi Trang 40 - 329 Dang Thanh Nam

Định dạng
Số trang	112
Dung lượng	11,7 MB