Hệ phương trình không mẫu mực

WWW.ToanCapBa.Net Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Hệ phương trình dạng toán phổ biến đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ đề thi HSG cấp Đối với nhiều học sinh, toán giải hệ phương trình coi toán khó, chí câu khó cấu trúc đề thi ĐH, CĐ Qua trình giảng dạy học sinh ôn thi ĐH, CĐ bồi dưỡng học sinh giỏi phải trực tiếp hướng dẫn học sinh giải hệ phương trình này, thấy cần phải rèn cho học sinh thành thạo kĩ giải hệ phương trình thông thường ý tới số kĩ thường áp dụng giải “hệ không mẫu mực” Trong viết xin gọi hệ phương trình mà thuật giải không trình bày sách giáo khoa Bài viết chia làm ba mục: Mở đầu tóm tắt hệ phương trình thường gặp, giới thiệu chi tiết sách giác khoa Mục thứ hai số kĩ giải hệ phương trình không mẫu mực Các toán đưa phần lớn sưu tầm từ nhiều nguồn tài liệu khác nhau, số kì thi KS, thi HSG,…Lời giải toán ý đến cách đưa hệ không mẫu mực dạng quen thuộc mà không quan tâm đến kết cuối Cuối hệ thống tập để bạn đọc tham khảo Chuyên đề dùng giảng dạy ôn thi ĐH, CĐ ôn thi HSG cho học sinh khối 12 Thời gian giảng dạy chuyên đề cho học sinh khối 12 ôn thi ĐH, CĐ buổi Mặc dù tâm huyết với chuyên đề, thời gian khả có hạn nên viết khó tránh khỏi thiếu sót Tối mong nhận góp ý quí thầy cô, bạn bè đồng nghiệp em học sinh để chuyên đề hoàn thiện trở thành tài liệu có ích giảng dạy học tập Yên lạc, tháng 01 năm 2012 Nguyễn Thành Đông -1– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP Một số hệ phương trình học chương trình phổ thông có phương pháp giải rõ ràng, học sinh cần nhớ thuật giải, rèn luyện kĩ biến đổi, tính toán làm Thực chất hệ phương trình ta gặp nhiều THCS THPT, không riêng môn toán mà môn lí, môn hóa,… Một lần ta nhắc lại dạng hệ phương trình Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ax + by = c a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng  , x, y ẩn a ' x + b ' y = c ' b) Cách giải: Với hệ ta giải nhiều cách khác như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, đặt ẩn phụ,… Hệ ba phương trình bậc ba ẩn a1x + b1 y + c1z = d1  a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng a2 x + b2 y + c2 z = d , x, y, z a x + b y + c z = d 3  ẩn b) Cách giải: Với hệ ta giải nhiều cách khác như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay, tính định thức, phương pháp khử Gauss,… Hệ gồm phương trình bậc phương trình khác ax + by + c = a) Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng  , x, y ẩn  f ( x, y ) = f(x,y) biểu thức hai biến x, y b) Cách giải: Sử dụng phương pháp Hệ đối xứng loại a) Định nghĩa: Là hệ mà ta đổi vai trò hai ẩn cho phương trình, phương trình không thay đổi b) Cách giải: Biến đổi tương đương làm xuất tổng tích nghiệm đặt tổng S, tích P ( S ≥ P ) Thông thường sau bước ta hệ đơn giản Hệ đối xứng loại a) Định nghĩa: Là hệ mà ta đổi vai trò hai ẩn cho phương trình, phương trình biến thành phương trình b) Cách giải: Trừ vế cho vế làm xuất nhân tử chung x-y đưa hệ cho hai hệ đơn giản Hệ đẳng cấp  f1 ( x; y ) = f ( x; y ) a) Định nghĩa: Là hệ có dạng  , fi ( x; y ) & gi ( x; y ) đa g ( x ; y ) = g ( x ; y )  thức đẳng cấp hai biến bậc -2– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc b) Cách giải: Xét riêng x=0 Nếu x khác ta đặt y=kx nhận xét chia cho vế ta phương trình ẩn k Tìm k ta tìm x y II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp biến đổi tương đương Một số kĩ thường áp dụng phân tích thành tích, bình phương lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất nhân tử chung,…  x + xy + y = y + x (1) Bài Giải hệ phương trình:  (2)  y x − y + + x = Giải: ĐK: x − y + ≥ Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất nhân tử chung (3) x = y (1) ⇔ x − y + xy − y + y − x = ⇔ ( x − y )( x + y − 2) = ⇔   x = − y (4)  y = 0; x =  x = − y ⇔ Từ (3) & (2) ta có x=y=1 Từ (4) & (2) ta có  y = − ;x =  y − y = y 3  Kết luận : Hệ có nghiệm xy  2  x + y + x + y = (1) Bài (Báo TH&TT) Giải hệ phương trình:   x + y = x2 − y (2)  Giải: ĐK: x + y > Ta có xy x + y −1 (1) ⇔ x + xy + y + − xy = ⇔ ( x + y ) − − xy =0 x+ y x+ y (3) x =1− y  xy  ⇔ ( x + y − 1)  x + y + − = ⇔  x + y + x + y ÷ x+ y = (4)   x+ y  y = 0; x = -Từ (3) (2) ta có y − y = ⇒   y = 3; x = −2 -Vì x + y > nên (4) không thỏa mãn Vậy hệ có hai nghiệm 3 1 + x y = 19 x (1) Bài (Đề thi TS cũ) Giải hệ phương trình:  2  y + xy = −6 x (2) Giải: Nếu x=0, (1) trở thành 1=0, vô lí Vậy x khác Nhân hai vế (1) với 6, 6 + x3 y = 114 x hai vế (2) với 19x ta được:  2 19 xy + 19 x y = −114 x Cộng vế với vế ta được: x3 y + 19 x y + 19 xy + = , giải phương trình bậc ba ta xy = − ; xy = − ; xy = −1 -3– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc = 19 x3 ⇔ x = ⇒ y = −2 -Nếu xy = − (1) ⇔ − 27 3 27 = 19 x3 ⇔ x = − ⇒ y = -Nếu xy = − ,(1) ⇔ − -Nếu xy = −1,(1) ⇔ x = 0, vô lí  x (1 + )=2 (1)  x+ y Bài (HSG QG 1996) Giải hệ phương trình:   y (1 − ) = (2)  x+ y Giải: ĐK x ≥ & y ≥ Dễ thấy x=0 y=0 không thõa mãn hệ Với x>0, y>0 ta có  2  + = = +   x+ y 3x 3x 7y 1   ⇔ ⇒ = − ( nhân vế với vế)  x + y 3x y 1 − =  = −2  x + y x+ y 7y 3x 7y  ⇒ 21xy = (7 y − 24 x)( x + y ) ⇒ 24 x + 38 xy − y = ⇒ y = x (vì x, y dương) 1   − +1= ⇔ = 7 ± Thay vào phương trình (1) ta ÷ 7x x x 21   Từ suy x y Phương pháp đặt ẩn phụ Một số phương trình sau nhân chia hai vế cho biểu thức khác không số động tác tách ghép khéo léo ta làm xuất đại lượng mà nhờ cách đặt ẩn phụ ta đưa hệ phức tạp hệ đơn giản, quen thuộc  x + y + xy + = y (1) Bài Giải hệ phương trình:  2  y ( x + y ) = x + y + (2) Giải: Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ Với y khác không, chia hai vế (1)  x2 + +x+ y=4 a = x + y  y   (2) cho y ta được:  Đặt  x + ta ( x + y ) = x + + b = y   y   a = −5, b = a + b = b = − a b = − a ⇔ ⇔ ⇔     a = 3, b = a = 2b + a = 2(4 − a) + a + 2a-15=0 Từ ta tìm x y 2  y + xy = x (1) Bài Giải hệ phương trình:  2 1 + x y = x (2) -4– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc Giải: Nhận thấy x=0 không thỏa mãn hệ Chia hai vế (1) (2) cho x ta hệ y1   y y2  + y ÷=  S= +y  + =   x x      P.S = x x x ⇔ ⇒ Đến ta đặt     2  S − P =  + y2 =  + y  − y = P = y ÷   x  x x x  Giải hệ ta tìm S P, từ ta tìm x y    ( x + y )1 +  = xy    Bài Giải hệ phương trình:  ( x + y )1 +  = 49   x y    Giải : Trước hết ta thấy hệ có dạng quen thuộc hệ đối xứng loại 1, nhiên đặt ẩn phụ theo tổng tích cách thông thường ta gặp hệ khó, phức tạp nghiệm đẹp Nhưng sau đặt điều kiện khai triển ta 1   x + =a x + y + y + x =  a + b = x  , đặt  ta  Đến ta có  a + b = 53  x + + y + = 49 y + = b y   y2 x2 hệ quen thuộc  x + y + x y + xy + xy = −  Bài (KA - 2008) Giải hệ phương trình:   x + y + xy (1 + x) = −   2 x + y + xy ( x + y ) + xy = −   x + y = a Giải: Hệ cho tương đương với  Đặt  ta xy = b 2   ( x + y ) + xy = −  hệ 5 a     2 a + ab + b = − b = − − a a + a + =  a = 0, b = − ⇔ ⇔ ⇔  5 5 a = − ; b = − a + b = − a − a − a3 − − a = − b = − − a   4   2 Từ ta tìm x, y Phương pháp Nhiều phương trình sau rút ẩn (hoặc biếu thức) từ phương trình vào phương trình ta phương trình đơn giản nhờ mà ta có cách biến đổi hệ đơn giản Ta thường áp dụng cách với hệ mà ta quan sát thấy phương trình hệ mà ẩn có hai phương trình hệ có biểu thức chung -5– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc  x + y + x + y = (1) Bài (HSG QG – 2001) Giải hệ phương trình:  (2)  x + y + x − y = 7 x + y ≥ Giải: ĐK:  , từ (2) ta suy x + y = + y − x , vào (1) ta 2 x + y ≥ x + y = + x − y Do ta có hệ −3 ≤ x − y ≤  −3 ≤ x − y ≤   x = y =1 2 ⇔ 7 x + y = + x + y + x − xy − y ⇔  x = y −  x = 19; y = 10   2 2 x + y = + y + x + y − x − xy y − 11 y + 10 =   Dễ thấy nghiệm x = y = thỏa mãn hệ nghiệm không Bài 10 (KS-THPT Chuyên VP) Giải hệ phương trình  2 4( x + y ) + xy + =7  ( x + y )2  2 x + =  x+ y Giải : ĐK x + y ≠ Phương trình thứ tương đương với   3( x + y ) + + + ( x − y ) = 13 ⇔ x + y + + ( x − y ) = 13 (*)  ÷ x+ y ( x + y)  = − 2x , vào phương trình (*) ta Từ phương trình thứ hai ta suy x+ y x − y =1 3( x + y + − x) + ( x − y ) = 13 ⇔ 4( x − y ) − 18( x − y) + 14 = ⇒  x − y = Từ phương trình thứ hai hệ ta tìm nghiệm x y (1)  x + 3xy = −49 Bài 11 (HSG QG – 2004) Giải hệ phương trình:  2  x − xy + y = y − 17 x (2) Giải : Với hệ này, hai ẩn hai phương trình khó rút ẩn theo ẩn Tuy nhiên, rút y từ (2) vào (1) ta phương trình mà ẩn y có bậc 1: x3 + x( − x + xy + y − 17 x) = −49 ⇔ 24 xy ( x + 1) = x + x + 49 x − 49 (3) -Nếu x=0 (1) vô lí -Nếu x=-1 hệ trở thành y = 16 ⇒ y = ±4 -Nếu x ≠ −1& x ≠ từ (3) suy y = x + 49 x − 49 Thế trở lại phương trình (2) 24 x ta -6– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc 2 x + 49 x − 49  x + 49 x − 49  x + 49 x − 49 x − x +  = − 17 x ÷ ÷ 24 x 24 x x   x  x + 49 x − 49  −49 ⇔ +  = ⇔ 192 x + (2 x + 49 x − 49)2 = −49.192 x ÷ ÷  24 x 3x  ⇔ 196 x + 196 x3 + 2205 x + 4606 x + 2401 = ⇔ 196 x3 + 2205 x + 2401 = ⇔ 196 x3 + 196 + 2205 x + 2205 = ⇔ 196 x − 196 x + 2401 = Phương trình cuối vô nghiệm, chứng tỏ hệ có hai nghiệm (-1;4) (-1;-4) Không phái lúc ta may mắn áp dụng phương pháp ‘‘ đến cùng’’ vậy, chẳng hạn gặp phương trình bậc mà không nhẩm nghiệm toán sau : b − 2bc + 2c + = (1) Bài 12 Giải hệ phương trình :  2 b − c − 2b + 2c − = (2) Giải : Rõ ràng phương trình đầu có bậc b c, điều gợi ý cho ta rút ẩn từ phương trình vào phương trình Tuy nhiên sau rút gọn ta phương trình bậc mà nghiệm lẻ Ở ta cần kĩ tách khéo léo : Ta có (1) ⇔ 2c(b − 1) = b + ⇔ 2c(b − 1) = b − 2b + + 2b − + , rõ ràng b=1 không thỏa mãn, với b ≠ suy 2c = b − + + , vào (2) ta b −1 4b − 8b + = 4c − 8c + 16 ⇔ 4(b − 1) = (2c − 2) + 12   ⇔ 4(b − 1) = (b − 1) + + 12 ⇔ 3(b − 1) − 22(b − 1) − 25 =  b − 1   5+ 4+ ;c = b = 3 Suy   −5 3−4 ;c = b =  3 Hệ phương trình xuất ta giải toán hình học phẳng: Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm A(1 ;2), đường thẳng ∆ : y=3 Tìm điểm B thuộc ∆ điểm C thuộc Ox cho tam giác ABC Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số Để vận dụng phương pháp ta cần đến tính chất quan trọng sau đây: Nếu hàm số f(x) đơn điệu liên tục khoảng (α ; β ) phương trình f(x)=0 có nghiệm khoảng (α ; β ) , f(a)=f(b) a=b  x5 + xy = y10 + y (1) Bài 13 (HSG K12 Đồng Nai) Giải hệ phương trình:   x + + y + = (2) -7– WWW.ToanCapBa.Net WWW.ToanCapBa.Net Hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Thành Đông – Yên Lạc Giải: ĐK: x ≥ − Nếu y=0 từ phương trình (1) ta suy x=0, vào phương trình (2) ta thấy không thỏa mãn, y khác Đặt x=ky ta (1) trở thành k y + ky = y10 + y ⇔ k + k = y + y (3) Xét hàm số f (t ) = t + t ¡ , ta có f '(t ) = 5t + > 0∀t ∈ ¡ Do f(t) hàm số đồng biến (3) ⇔ f ( k ) = f ( y ) ⇔ k = y ⇒ x = y Thế vào (2) ¡ , ta x + + x + = ⇔ x + 13 + x + 37 x + 40 = 36 ⇔ x + 37 x + 40 = 23 − x x = 23 − x ≥ 5 x ≤ 23 ⇔ ⇔ ⇔   x = 41 2  16 x + 148 x + 160 = 25 x − 230 x + 529 9 x − 378 x + 369 = Suy x=1 y = ±1 Bài 14 (KS khối 12 chung đợt năm học 2011-2012, THPT Yên Lạc) 2 x + = y − + y (1)  Giải hệ phương trình:  2 y + = x − + x (2) Giải: ĐK x ≥ 0, y ≥ Ta thấy hệ đối xứng loại 2, nên trừ vế cho vế biến đổi ta được: x + + x − + x = y + + y − + y (3) Xét hàm số f (t ) = t + + t − + t [1;+∞) , dễ thấy f’(t)>0 (1; +∞) nên f(t) đồng biến [1;+∞) (3) tương đương với x=y Thế vào (1) ta x + = x − + x Giải MTCT ta x=2 Do ta biến đổi sau 2 x + − = x −1 − + x − ⇔ x2 − x2 + + =2 x−2 + ( x − 2)( x + 2) x −1 +1 x = 2 ⇔  2( x + 2) = + x + (4)  x + + x −1 +1 Phương trình (4) có VP>3, VT